山东省潍坊市2024届高三一模数学试题

这是一份山东省潍坊市2024届高三一模数学试题，共22页。
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．
2．回答选择题时，选出每小题答案后、用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知平面向量，，若，则实数（ ）
A. B. C. D. 2
2. 已知抛物线上点的纵坐标为1，则到的焦点的距离为（ ）
A. 1B. C. D. 2
3. 已知集合，集合，其中．若，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
4. 已知等差数列的前n项和为，则（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 10
5. 12世纪以前某时期，盛行欧洲的罗马数码采用的是简单累数制进行记数，现在一些场合还在使用，比如书本的卷数、老式表盘等．罗马数字用七个大写的拉丁文字母表示数目：
例如：，．依据此记数方法，（ ）
A. 2025B. 2035C. 2050D. 2055
6. 如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（ ）
A. B. C. D. 1
7. 已知数列满足，．若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为（ ）
A. 8B. 12C. 16D. 24
二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 某科技攻关青年团队有人，他们年龄分布的茎叶图如图所示，已知这人年龄的极差为，则（ ）
A. B. 人年龄的平均数为
C. 人年龄分位数为D. 人年龄的方差为
10. 函数（）的图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 是奇函数
C. 的图象关于直线对称
D. 若（）在上有且仅有两个零点，则
11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（ ）
A. B. 的图象关于点对称
C. D. （）
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 已知虚数单位，若复数满足，则______．
13. 第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派人参加连续天的志愿服务活动，其中甲连续参加天，其他人各参加天，则不同的安排方法有______种．（结果用数值表示）
14. 已知平面直角坐标系中，直线：，：，点为平面内一动点，过作交于，作交于，得到的平行四边形面积为1，记点的轨迹为曲线．若与圆有四个交点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，，为的中点，求．
16. 已知椭圆：（）中，点，分别是的左、上顶点，，且的焦距为．
（1）求的方程和离心率；
（2）过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，求的值．
17. 如图，在四棱台中，下底面是平行四边形，，，，，，为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
18. 若，是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设的一切可能取值为，，记表示在中出现的概率，其中．
（1）将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为，2号盒子中的小球个数为，则是一个二维随机变量．
①写出该二维离散型随机变量的所有可能取值；
②若是①中的值，求（结果用，表示）；
（2）称为二维离散型随机变量关于的边缘分布律或边际分布律，求证：．
19. 已知函数（）．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：（，）；
（3）若函数有三个不同的零点，求的取值范围．
潍坊市高考模拟考试
数学
本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．
2．回答选择题时，选出每小题答案后、用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知平面向量，，若，则实数（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.
【详解】平面向量，，由，得，
所以.
故选：A
2. 已知抛物线上点的纵坐标为1，则到的焦点的距离为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义计算可得.
【详解】抛物线的准线方程为，
又点在抛物线上且纵坐标为，所以点到的焦点的距离为.
故选：B
3. 已知集合，集合，其中．若，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出集合，依题意可得，即可求出的值.
【详解】由，则，解得，所以，
又，，即，所以.
故选：D
4. 已知等差数列的前n项和为，则（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由等差数列的前项和公式即可得到，再由等差数列的求和公式即可得到结果.
【详解】因为数列为等差数列，则，
又，则，即，
则.
故选：C
5. 12世纪以前的某时期，盛行欧洲的罗马数码采用的是简单累数制进行记数，现在一些场合还在使用，比如书本的卷数、老式表盘等．罗马数字用七个大写的拉丁文字母表示数目：
例如：，．依据此记数方法，（ ）
A. 2025B. 2035C. 2050D. 2055
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的信息，直接写出该数即可.
【详解】依题意，每个表示1000，左起两个就表示2000，
每个表示10，中间3个就表示30，最后一个表示5，
因此表示的数是
所以.
故选：B
6. 如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】连接，利用线面垂直的判定推理证得平面即可确定点的轨迹得解.
【详解】在棱长为1的正方体中，连接，
由平面，平面，得，而，
平面，则平面，又平面，
于是，同理，而平面，
因此平面，因为，则平面，
而点为截面上的动点，平面平面，
所以点的轨迹是线段，长度为.
故选：B
7. 已知数列满足，．若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用等比数列求出，进而求得，再利用累加法求通项得解.
【详解】依题意，，，当时，，则，
所以
.
故选：A
8. 已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为（ ）
A. 8B. 12C. 16D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】由已知求出多面体外接球的半径，设，把棱锥体积用含有的代数式表示，再由基本不等式求最值．
【详解】在直三棱柱中，所以为直角三角形，
则外接圆的圆心为斜边的中点，同理外接圆的圆心为斜边的中点，如图，
直三棱柱外接球的直径为，外接球的半径，
设上下底面的中心分别为，，连接，则外接球的球心为的中点，
连接，则，
设，所以，则，
在中，，则，
该棱柱的体积．
当且仅当，即时等号成立．
故选：C．
二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 某科技攻关青年团队有人，他们年龄分布的茎叶图如图所示，已知这人年龄的极差为，则（ ）
A. B. 人年龄的平均数为
C. 人年龄的分位数为D. 人年龄的方差为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据极差求出，从而求出平均数、方差，再根据百分位计算规则判断C.
【详解】因为这人年龄的极差为，即，解得，故A正确；
所以这人年龄分别为、、、、、，
则人年龄的平均数为，故B错误；
又，所以人年龄的分位数为从小到大排列的第个数，即，故C正确；
又人年龄的方差，故D正确.
故选：ACD
10. 函数（）的图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 奇函数
C. 的图象关于直线对称
D. 若（）在上有且仅有两个零点，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，结合给定图象求出，再逐项判断即可.
【详解】依题意，，
由，得，解得，而，
解得，，的最小正周期为，A正确；
是偶函数，B错误；
，令，
则，
的图象关于直线对称，C正确；
，，当时，，
依题意，，解得，D正确.
故选：ACD
11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（ ）
A. B. 的图象关于点对称
C. D. （）
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，对条件，求导可得；对于B，对条件，两边同时除以可得；对于C，反证法，假设C正确，求导，结合条件，可得与矛盾，可判断C；对于D，求出，，所以有，，，得出数列是以0为首项，为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断．
【详解】因为，
所以，即，
令，得，故A正确；
因为，
当时，，
所以的图象关于点对称，故B正确；
对于C，假设成立，
求导得，
即，又，
所以，所以与矛盾，故C错误；
对于D，因为，，
所以，，，，
所以有，
所以数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，
数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列，
又，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是，的应用，D选项关键是推出是以为首项，为公差的等差数列.
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 已知是虚数单位，若复数满足，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用复数除法法则进行计算出答案..
【详解】，故.
故答案为：
13. 第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派人参加连续天的志愿服务活动，其中甲连续参加天，其他人各参加天，则不同的安排方法有______种．（结果用数值表示）
【答案】
【解析】
【分析】首先考虑甲连续天的情况，再其余人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得.
【详解】在天里，连续天的情况，一共有种，
则剩下的人全排列有种排法，
故一共有种排法．
故答案为：．
14. 已知平面直角坐标系中，直线：，：，点为平面内一动点，过作交于，作交于，得到的平行四边形面积为1，记点的轨迹为曲线．若与圆有四个交点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】设点，则点到的距离为，再联立直线与的方程，求出点的坐标，进而表达出平行四边形面积，再结合平行四边形面积为求出点的轨迹方程，再利用双曲线的性质求解．
【详解】设点，则点到的距离为，
直线方程为，
联立，解得，
所以，
所以，
所以，
所以点的轨迹为两个双曲线、，
因为双曲线实半轴长为，双曲线的实半轴长为，
若与圆有四个交点，则，即，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是求出动点的轨迹方程，最后结合双曲线的性质求出的取值范围.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，，为的中点，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到，即可得解；
（2）由余弦定理求出，再由，根据数量积的运算律计算可得.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理得，
在中，，
则有，
，
，又，，
，，又，；
【小问2详解】
根据余弦定理有，
则有，解得或（舍去），
为的中点，则，
，
．

16. 已知椭圆：（）中，点，分别是的左、上顶点，，且的焦距为．
（1）求的方程和离心率；
（2）过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由的值，可得，的关系，再由焦距可得的值，又可得，的关系，两式联立，可得，的值，即求出椭圆的方程；
（2）设直线的方程，与椭圆的方程联立，消元、列出韦达定理，求出直线，的斜率之和，由题意整理可得参数的值，进而求出直线的斜率的大小．
小问1详解】
由题意可得，，
可得，，可得，
可得，，
解得，，
所以离心率，
所以椭圆的方程为，离心率；
【小问2详解】
由（1）可得，
【小问3详解】
【小问4详解】
由题意设直线的方程为，则，
设，，
联立，整理可得，
显然，且，，
直线，的斜率，，
则
，
因为，即，解得，
所以直线的斜率．
即的值为3．

17. 如图，在四棱台中，下底面是平行四边形，，，，，，为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用平行四边形性质及余弦定理求出，进而证得，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理即得.
（2）由已知证得平面，再以为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.
【小问1详解】
中，由，得，而，
在中，由余弦定理，得，
则，即，又，，
平面，因此平面，而平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
在四棱台中，由，得，有，
在梯形中，，过作交于点，
则，又，显然，则，即，
又平面，于是平面，
以为坐标原点，以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
，，
设平面的法向量为，则，令，得，
而，设与平面所成角大小为，
因此，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18. 若，是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设的一切可能取值为，，记表示在中出现的概率，其中．
（1）将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为，2号盒子中的小球个数为，则是一个二维随机变量．
①写出该二维离散型随机变量的所有可能取值；
②若是①中的值，求（结果用，表示）；
（2）称为二维离散型随机变量关于的边缘分布律或边际分布律，求证：．
【答案】（1）①；②；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）①根据题意直接写出所有可能取值；②利用独立重复试验的概率、条件概率公式及独立事件的概率公式列式化简即得.
（2）利用全概率公式及互斥事件的加法公式推理即可.
【小问1详解】
①该二维离散型随机变量的所有可能取值为：
.
②依题意，，，
显然，则，
所以.
【小问2详解】
由定义及全概率公式知，
.
【点睛】关键点睛：利用全概率公式求随机事件B的概率问题，把事件B分拆成两个互斥事件与的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.
19. 已知函数（）．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：（，）；
（3）若函数有三个不同的零点，求的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，按与分类讨论求出的单调区间.
（2）利用（1）中时的结论，再利用裂项相消法求和，推理即得.
（3）变形函数，将的零点个数问题转化为的零点个数，再借助导数及零点存在性定理求解.
【小问1详解】
函数定义域为，求导得，
设，则，
①当时，恒成立，且至多一点处为0，函数在上递减；
②当时，有两个零点，
则当或时，，即；当时，，即，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，的递减区间为；
当时，递减区间为，递增区间为.
【小问2详解】
由（1）知，当时，时，，
则，令，
于是，
，
所以.
【小问3详解】
函数，
由于与同号，则只有一个零点，
令，由，则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点，
由（1）知，当时，在上单调递减，不合题意；
当时，由（1）知，的两极值点满足，所以，得，
由， 则，由（2）知，当时，，
则，即，
因此，
由零点存在性定理知，在区间上有唯一的一个零点，
显然，
而，则，于是当时，存在三个不同的零点，
所以的取值范围是.
【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用函数零点的意义等价转化，构造函数并用导数探讨函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.I
V
X
L
C
D
M
1
5
10
50
100
500
1000
I
V
X
L
C
D
M
1
5
10
50
100
500
1000