山东省潍坊市2024届高三一模数学试题及详细答案

这是一份山东省潍坊市2024届高三一模数学试题及详细答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知平面向量，，若，则实数（ ）
A．B．C．D．2
2．已知抛物线上点的纵坐标为1，则到的焦点的距离为（ ）
A．1B．C．D．2
3．已知集合，集合，其中．若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．已知等差数列的前n项和为，则（ ）
A．6B．7C．8D．10
5．12世纪以前的某时期，盛行欧洲的罗马数码采用的是简单累数制进行记数，现在一些场合还在使用，比如书本的卷数、老式表盘等．罗马数字用七个大写的拉丁文字母表示数目：
例如：，．依据此记数方法，（ ）
A．2025B．2035C．2050D．2055
6．如图所示，在棱长为1的正方体中，点为截面上的动点，若，则点的轨迹长度是（ ）
A．B．C．D．1
7．已知数列满足，．若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为（ ）
A．8B．12C．16D．24
二、多选题
9．某科技攻关青年团队有人，他们年龄分布的茎叶图如图所示，已知这人年龄的极差为，则（ ）
A．B．人年龄的平均数为
C．人年龄的分位数为D．人年龄的方差为
10．函数（）的图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为
B．是奇函数
C．的图象关于直线对称
D．若（）在上有且仅有两个零点，则
11．已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（ ）
A．B．的图象关于点对称
C．D．（）
三、填空题
12．已知是虚数单位，若复数满足，则 ．
13．第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派人参加连续天的志愿服务活动，其中甲连续参加天，其他人各参加天，则不同的安排方法有 种．（结果用数值表示）
14．已知平面直角坐标系中，直线：，：，点为平面内一动点，过作交于，作交于，得到的平行四边形面积为1，记点的轨迹为曲线．若与圆有四个交点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
15．在中，角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若，，为的中点，求．
16．已知椭圆：（）中，点，分别是的左、上顶点，，且的焦距为．
(1)求的方程和离心率；
(2)过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，求的值．
17．如图，在四棱台中，下底面是平行四边形，，，，，，为的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
18．若，是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设的一切可能取值为，，记表示在中出现的概率，其中．
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为，2号盒子中的小球个数为，则是一个二维随机变量．
①写出该二维离散型随机变量的所有可能取值；
②若是①中的值，求（结果用，表示）；
(2)称为二维离散型随机变量关于的边缘分布律或边际分布律，求证：．
19．已知函数（）．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：（，）；
(3)若函数有三个不同的零点，求的取值范围．
I
V
X
L
C
D
M
1
5
10
50
100
500
1000
参考答案：
1．A
【分析】利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.
【详解】平面向量，，由，得，
所以.
故选：A
2．B
【分析】首先求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义计算可得.
【详解】抛物线的准线方程为，
又点在抛物线上且纵坐标为，所以点到的焦点的距离为.
故选：B
3．D
【分析】首先求出集合，依题意可得，即可求出的值.
【详解】由，则，解得，所以，
又，，即，所以.
故选：D
4．C
【分析】根据题意，由等差数列的前项和公式即可得到，再由等差数列的求和公式即可得到结果.
【详解】因为数列为等差数列，则，
又，则，即，
则.
故选：C
5．B
【分析】根据给定的信息，直接写出该数即可.
【详解】依题意，每个表示1000，左起两个就表示2000，
每个表示10，中间3个就表示30，最后一个表示5，
因此表示的数是
所以.
故选：B
6．B
【分析】连接，利用线面垂直的判定推理证得平面即可确定点的轨迹得解.
【详解】在棱长为1的正方体中，连接，
由平面，平面，得，而，
平面，则平面，又平面，
于是，同理，而平面，
因此平面，因为，则平面，
而点为截面上的动点，平面平面，
所以点的轨迹是线段，长度为.
故选：B
7．A
【分析】利用等比数列求出，进而求得，再利用累加法求通项得解.
【详解】依题意，，，当时，，则，
所以
.
故选：A
8．C
【分析】由已知求出多面体外接球的半径，设，把棱锥体积用含有的代数式表示，再由基本不等式求最值．
【详解】在直三棱柱中，所以为直角三角形，
则外接圆的圆心为斜边的中点，同理外接圆的圆心为斜边的中点，如图，
直三棱柱外接球的直径为，外接球的半径，
设上下底面的中心分别为，，连接，则外接球的球心为的中点，
连接，则，
设，所以，则，
在中，，则，
该棱柱的体积．
当且仅当，即时等号成立．
故选：C．
9．ACD
【分析】根据极差求出，从而求出平均数、方差，再根据百分位计算规则判断C.
【详解】因为这人年龄的极差为，即，解得，故A正确；
所以这人年龄分别为、、、、、，
则人年龄的平均数为，故B错误；
又，所以人年龄的分位数为从小到大排列的第个数，即，故C正确；
又人年龄的方差，故D正确.
故选：ACD
10．ACD
【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，结合给定图象求出，再逐项判断即可.
【详解】依题意，，
由，得，解得，而，
解得，，的最小正周期为，A正确；
是偶函数，B错误；
，令，
则，
的图象关于直线对称，C正确；
，，当时，，
依题意，，解得，D正确.
故选：ACD
11．ABD
【分析】对于A，对条件，求导可得；对于B，对条件，两边同时除以可得；对于C，反证法，假设C正确，求导，结合条件，可得与矛盾，可判断C；对于D，求出，，所以有，，，得出数列是以0为首项，为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断．
【详解】因为，
所以，即，
令，得，故A正确；
因为，
当时，，
所以的图象关于点对称，故B正确；
对于C，假设成立，
求导得，
即，又，
所以，所以与矛盾，故C错误；
对于D，因为，，
所以，，，，
所以有，
所以数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，
数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列，
又，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是，的应用，D选项关键是推出是以为首项，为公差的等差数列.
12．
【分析】利用复数除法法则进行计算出答案..
【详解】，故.
故答案为：
13．
【分析】首先考虑甲连续天的情况，再其余人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得.
【详解】在天里，连续天的情况，一共有种，
则剩下的人全排列有种排法，
故一共有种排法．
故答案为：．
14．
【分析】设点，则点到的距离为，再联立直线与的方程，求出点的坐标，进而表达出平行四边形面积，再结合平行四边形面积为求出点的轨迹方程，再利用双曲线的性质求解．
【详解】设点，则点到的距离为，
直线方程为，
联立，解得，
所以，
所以，
所以，
所以点的轨迹为两个双曲线、，
因为双曲线的实半轴长为，双曲线的实半轴长为，
若与圆有四个交点，则，即，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是求出动点的轨迹方程，最后结合双曲线的性质求出的取值范围.
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到，即可得解；
（2）由余弦定理求出，再由，根据数量积的运算律计算可得.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
在中，，
则有，
，
，又，，
，，又，；
（2）根据余弦定理有，
则有，解得或（舍去），
为的中点，则，
，
．

16．(1)，
(2)
【分析】（1）由的值，可得，的关系，再由焦距可得的值，又可得，的关系，两式联立，可得，的值，即求出椭圆的方程；
（2）设直线的方程，与椭圆的方程联立，消元、列出韦达定理，求出直线，的斜率之和，由题意整理可得参数的值，进而求出直线的斜率的大小．
【详解】（1）由题意可得，，
可得，，可得，
可得，，
解得，，
所以离心率，
所以椭圆的方程为，离心率；
（2）由（1）可得，
（3）
（4）由题意设直线的方程为，则，
设，，
联立，整理可得，
显然，且，，
直线，的斜率，，
则
，
因为，即，解得，
所以直线的斜率．
即的值为3．

17．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用平行四边形性质及余弦定理求出，进而证得，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理即得.
（2）由已知证得平面，再以为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.
【详解】（1）在中，由，得，而，
在中，由余弦定理，得，
则，即，又，，
平面，因此平面，而平面，
所以平面平面.
（2）在四棱台中，由，得，有，
在梯形中，，过作交于点，
则，又，显然，则，即，
又平面，于是平面，
以为坐标原点，以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
，，
设平面的法向量为，则，令，得，
而，设与平面所成角大小为，
因此，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．(1)①；②；
(2)证明见解析.
【分析】（1）①根据题意直接写出所有可能取值；②利用独立重复试验的概率、条件概率公式及独立事件的概率公式列式化简即得.
（2）利用全概率公式及互斥事件的加法公式推理即可.
【详解】（1）①该二维离散型随机变量的所有可能取值为：
.
②依题意，，，
显然，则，
所以.
（2）由定义及全概率公式知，
.
【点睛】关键点睛：利用全概率公式求随机事件B的概率问题，把事件B分拆成两个互斥事件与的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.
19．(1)答案见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）求出函数的导数，按与分类讨论求出的单调区间.
（2）利用（1）中时的结论，再利用裂项相消法求和，推理即得.
（3）变形函数，将的零点个数问题转化为的零点个数，再借助导数及零点存在性定理求解.
【详解】（1）函数定义域为，求导得，
设，则，
①当时，恒成立，且至多一点处为0，函数在上递减；
②当时，有两个零点，
则当或时，，即；当时，，即，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，的递减区间为；
当时，的递减区间为，递增区间为.
（2）由（1）知，当时，时，，
则，令，
于是，
，
所以.
（3）函数，
由于与同号，则只有一个零点，
令，由，则有三个不同的零点等价于函数有三个不同的零点，
由（1）知，当时，在上单调递减，不合题意；
当时，由（1）知，的两极值点满足，所以，得，
由， 则，由（2）知，当时，，
则，即，
因此，
由零点存在性定理知，在区间上有唯一的一个零点，
显然，
而，则，于是当时，存在三个不同的零点，
所以的取值范围是.
【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用函数零点的意义等价转化，构造函数并用导数探讨函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.