海南省琼海市嘉积中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份海南省琼海市嘉积中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟 满分：150分）
欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！
一、单选题
1. 集合，集合，则集合（ ）
A. B. C. D.
2. 若实数a，b满足，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A. ，B. ，
C. D. ，
4. 在，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（ ）
A. ，，，B. ，，，
C. ，，，D. ，，，
6. 扇子最早称“翣”，其功能并不是纳凉，而是礼仪器具，后用于纳凉､娱乐､欣赏等.扇文化是中国传统文化重要门类，扇子的美学也随之融人到建筑等艺术审美之中.图1为一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半径（图2），圆心角为，且为的中点，则该扇形窗子的面积为（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心到水面的距离为，筒车的半径是，盛水筒的初始位置为与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：），则（ ）

A. B. C. D.
8. 已知函数是定义域为上的奇函数，满足，若，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、多选题
9. 设，，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最小值B. 有最大值
C. 有最大值为D. 有最小值为
10. (多选)若函数(,且)的图像经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有
A. B. C. D.
11. 已知函数的图象为（ ）
A. 的最小值为0
B. 的最小正周期为
C. 将向右平移个单位所得图象关于原点中心对称
D. 函数在区间上单调递增
三、填空题
12. 函数的最小正周期为______.
13. 已知，则________.
14. 已知函数.若，则的零点为___________；若函数有两个零点，则的最小值为__________.
四、解答题
15 计算：
（1）．
（2）．
16. 已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
17. 如图，在平面坐标系中，第二象限角的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为.
（1）求值；
（2）求的值.
18. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式：
（2）将函数图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．
①当时，求函数值域；
②若方程在上有三个不相等的实数根，求的值．
19. 如图，矩形中，，，点，分别在线段，(含端点)上，为的中点，，设.
（1）求角的取值范围；
（2）求出的周长关于角的函数解析式，并求的周长的最小值及此时的值.
2023—2024学年度第二学期高中教学第一次大课堂练习
高一数学科试题
（时间：120分钟 满分：150分）
欢迎你参加这次测试，祝你取得好成绩！
一、单选题
1. 集合，集合，则集合（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接求并集即可.
【详解】因为集合，集合，
则集合.
故选：D.
2. 若实数a，b满足，则下列不等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用不等式的性质即可判断.
【详解】由，，
，故A错；
，故C错；
，故D错；
由不等式的性质易知B正确.
故选：B
3. 下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A. ，B. ，
C. D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据同一函数的定义域和对应法则分别相同进行判断即得.
【详解】对于A项，因，两函数定义域相同，对应法则也相同，故是同一函数，故A项正确；
对于B项，的定义域为，而的定义域为R，故不是同一函数，故B项错误；
对于C项，的定义域是R，而的定义域为，故不是同一函数，故C项错误；
对于D项，的定义域是R，而的定义域是，故不是同一函数，故D项错误.
故选：A.
4. 在，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
分析】先考虑充分性，再考虑必要性得解.
【详解】当，因为在内单调递减，所以，所以“”是“”的充分条件；
当时，因为在内单调递减，所以，所以“”是“”的必要条件.
故选：C
【点睛】本题主要考查充分条件必要条件的判断，考查余弦函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5. 幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（ ）
A. ，，，B. ，，，
C. ，，，D. ，，，
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂函数的性质即可求解.
【详解】根据幂函数的性质可知，在第一象限内的图像，当时，图像递增，
且越大，图像递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线；
当时，图像递减，且越大，图像越陡，由此可判断是曲线，
是曲线；综上所述幂函数，，，，
在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，.
故选：D.
6. 扇子最早称“翣”，其功能并不是纳凉，而是礼仪器具，后用于纳凉､娱乐､欣赏等.扇文化是中国传统文化的重要门类，扇子的美学也随之融人到建筑等艺术审美之中.图1为一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半径（图2），圆心角为，且为的中点，则该扇形窗子的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形面积公式进行求解即可.
【详解】因为为的中点，所以化成弧度为，所以此扇形窗子的面积为
故选：B
7. 如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心到水面的距离为，筒车的半径是，盛水筒的初始位置为与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：），则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意求出盛水桶到水面的距离与时间的函数关系式，令即可求解.
【详解】设盛水桶在转动中到水面的距离为，时间为，
由题意可得，盛水桶到水面的距离与时间的函数关系如下：
，
令，即，解得，
又，可得，，
，故C正确；
，，
，故D错误；
又，解得，故B错误；
，解得，故A错误.
故选：C.
8. 已知函数是定义域为上的奇函数，满足，若，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，探讨函数的周期性，求出即可求解作答.
【详解】因为函数是定义域为上的奇函数，则，即，
由，得，因此，即，
则，于是函数是以4为周期周期函数，
由，得，由，得，，
从而，
所以.
故选：A
【点睛】关键点睛：涉及较大自变量的抽象函数的函数值问题，根据给定的函数性质，求出函数的周期是解题的关键.
二、多选题
9. 设，，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A. 有最小值B. 有最大值
C. 有最大值为D. 有最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用基本不等式直接判断与的最值情况.
【详解】，，，
当且仅当即时，等号成立，A选项正确，B选项错误；
又，时，，即，
所以，当且仅当时，等号成立，C选项错误，D选项正确；
故选：AD.
10. (多选)若函数(,且)的图像经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据指数型函数的图象分布列式可解得.
【详解】因为函数 (,且)的图像经过第 一、三、四象限，所以其大致图像如图所示:

由图像可知函数为增函数，所以.当时，，
故选AD.
【点睛】本题考查了指数函数的图象,属于基础题.
11. 已知函数的图象为（ ）
A. 的最小值为0
B. 的最小正周期为
C. 将向右平移个单位所得图象关于原点中心对称
D. 函数在区间上单调递增
【答案】BC
【解析】
【分析】根据正弦函数的性质判断每个选项．
【详解】，
对于A，的最小值为，故A错误；
对于B，的最小正周期为，故B正确；
对于C，将向右平移个单位可得：，
为奇函数，关于原点对称，故C正确；
对于D，由于，所以，根据正弦函数的单调性可知，
函数在区间上有增有减，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
12. 函数的最小正周期为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据正弦型函数的最小正周期的计算方法，即可求解.
【详解】根据正弦型函数的最小正周期的计算公式，可得：
函数的最小正周期为.
故答案为：.
13. 已知，则________.
【答案】
【解析】
【分析】注意到，利用诱导公式和二倍角公式,将解析式转化为的关系式计算即得.
【详解】由
.
故答案为：.
14. 已知函数.若，则的零点为___________；若函数有两个零点，则的最小值为__________.
【答案】 ①. 6 ②. 60
【解析】
【分析】（1）求解即可；
（2）作出的图象，结合题意可得，再根据基本不等式求解最小值即可.
【详解】（1），解得，故的零点为；
（2）由题意有两个零点，作出的图象可得，
且，故，即.
故，当且仅当，即时取等号.
故答案为：6；60
四、解答题
15. 计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】(1)进行分数指数幂的运算即可；
(2)进行对数的运算即可．
【详解】解：原式；
原式．
【点睛】考查分数指数幂和对数的运算.需要牢记运算法则.
16. 已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求实数k取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）方程有实数根则∆0，解出即可；（2）根据韦达定理，求出把题中条件展开，带入求解即可.
【小问1详解】
解：∵一元二次方程有实数根．
∴∆0，即，
解得，
故实数k的取值范围为；
【小问2详解】
∵方程的两个实数根分别为，
∴
∵，
∴，
∴
解得．
17. 如图，在平面坐标系中，第二象限角的终边与单位圆交于点A，且点A的纵坐标为.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据角的终边与单位圆相交的三角函数定义可得，再利用同角的三角函数基本关系式即可求得；
（2）利用诱导公式化简所求式，得弦的齐次式，化弦为切即得.
【小问1详解】
依题意得：，因是第二象限角，故，于是
【小问2详解】
由，由（1）得：，故所求式为，即的值为.
18. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式：
（2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．
①当时，求函数的值域；
②若方程在上有三个不相等的实数根，求的值．
【答案】（1）；
（2）①；②.
【解析】
【分析】（1）由图象得A、B、，再代入点，求解可得函数的解析式；
（2）①由已知得，由求得，继而求得函数的值域；
②令，，做出函数的图象，设有三个不同的实数根，有，，继而得，由此可得答案.
【小问1详解】
解：由图示得：，
又，所以，所以，所以，
又因为过点，所以，即，
所以，解得，又，所以，
所以；
小问2详解】
解①：由已知得，当时，，
所以，所以，所以，
所以函数的值域为；
②当时，，令，则，
令，则函数的图象如下图所示，且，，，
由图象得有三个不同的实数根，则，，
所以，即，
所以，所以，
故.
19. 如图，矩形中，，，点，分别在线段，(含端点)上，为的中点，，设.
（1）求角的取值范围；
（2）求出的周长关于角的函数解析式，并求的周长的最小值及此时的值.
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】（1）由题意，当点位于点时，角取最大值，得到，当点位于点时，取得最大值，角取最小值，求得，即可求解.
（2）在直角中，求得，在直角中，求得，在中，由勾股定理求得，得到，利用换元法和三角函数的性质，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】（1）由题意，当点位于点时，角取最大值，此时，
因为，所以，
当点位于点时，取得最大值，角取最小值，
由对称性知此时，所以，
所以角的取值范围是.
（2）在直角中，且，所以，
在直角中，且，所以，
中，由勾股定理得，
因为，所以，所以，
所以，
令，
因为，可得，所以，
又由，可得，
因为函数在区间上单调递减，
当时，，此时，解得，
所以当时，的周长取得最小值，最小值为.
【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为 的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.