2024年新高考数学题型全归纳讲义第二十三讲圆锥曲线离心率归类(原卷版+解析)

这是一份2024年新高考数学题型全归纳讲义第二十三讲圆锥曲线离心率归类(原卷版+解析)，共71页。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc21801" 题型01离心率基础 PAGEREF _Tc21801 \h 1
\l "_Tc5991" 题型02第一定义求离心率 PAGEREF _Tc5991 \h 2
\l "_Tc7802" 题型03中点型求离心率 PAGEREF _Tc7802 \h 3
\l "_Tc8399" 题型04点差法型求离心率（第三定义型） PAGEREF _Tc8399 \h 4
\l "_Tc4181" 题型05渐近线型离心率 PAGEREF _Tc4181 \h 5
\l "_Tc26270" 题型06渐近线中点型求离心率 PAGEREF _Tc26270 \h 6
\l "_Tc7142" 题型07构造a、b、c齐次式型 PAGEREF _Tc7142 \h 7
\l "_Tc8088" 题型08焦半径型离心率 PAGEREF _Tc8088 \h 7
\l "_Tc1558" 题型09焦点三角形求离心率 PAGEREF _Tc1558 \h 8
\l "_Tc10573" 题型10双焦点三角形余弦定理型 PAGEREF _Tc10573 \h 9
\l "_Tc31037" 题型11焦点三角形双角度型 PAGEREF _Tc31037 \h 10
\l "_Tc25503" 题型12共焦点型椭圆双曲线离心率 PAGEREF _Tc25503 \h 11
\l "_Tc16663" 题型13借助均值不等式求共焦点型 PAGEREF _Tc16663 \h 12
\l "_Tc4423" 题型14焦点三角形内心型求离心率 PAGEREF _Tc4423 \h 13
\l "_Tc27548" 题型15焦点三角形重心型求离心率 PAGEREF _Tc27548 \h 14
\l "_Tc11746" 题型16小题大做型求离心率 PAGEREF _Tc11746 \h 15
\l "_Tc7538" 高考练场 PAGEREF _Tc7538 \h 16

题型01离心率基础
【解题攻略】
【典例1-1】.P是椭圆上的一点，F为椭圆的右焦点，轴，过点P作斜率为的直线恰好经过左顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2021秋·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考阶段练习）双曲线的离心率用来表示，则（ ）
A．在上是增函数B．在上是减函数
C．在上是增函数，在上是减函数D．是常数
【变式1-1】（2023秋·高三课时练习）实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
【变式1-2】已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C的离心率为（ ）．
A．B．C．D．
题型02第一定义求离心率
【解题攻略】
【典例1-1】已知椭圆的右焦点为F（5，0），点A，B为C上关于原点对称的两点，且，，则C的离心率为___________.
【典例1-2】设椭圆 ()的一个焦点点为椭圆内一点,若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
【变式1-1】.椭圆的左右焦点分别为､，直线与交于A､两点，若，，当时，的离心率的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】.已知椭圆的右焦点为F（5，0），点A，B为C上关于原点对称的两点，且，，则C的离心率为___________.
【变式1-3】.设椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，点在椭圆的内部，点P是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型03中点型求离心率
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线：的左，右焦点分别为，，正六边形的一边的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2021秋·福建厦门·高三福建省厦门集美中学校考阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于，两点.点为线段的中点，且.若，则双曲线的离心率是（ ）
A．2B．C．D．
【变式1-1】（2022春·陕西安康·高三统考）已知双曲线的左，右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，若，且双曲线C的离心率为2．则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2021春·河北唐山·高三唐山市第十一中学校考阶段练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点，分别在其左、右两支上，且，为线段的中点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022春·新疆·高三八一中学校考）设，分别为双曲线的左、右焦点．若为右支上的一点，且为线段的中点，，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
题型04点差法型求离心率（第三定义型）
【解题攻略】
【典例1-1】已知点是椭圆上的两点，且线段恰好为圆的一条直径，为椭圆上与不重合的一点，且直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为____________．
【典例1-2】已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为_______
【变式1-1】（2023·四川雅安·统考三模）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，点在双曲线C上，椭圆E的焦点与双曲线C的焦点相同，斜率为的直线与椭圆E交于A、B两点．若线段AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2021秋·河南·高三校联考阶段练习）已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
【变式1-3】（2022秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第一中学校考）已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
题型05渐近线型离心率
【典例1-1】（2021秋·重庆南岸·高三重庆市南坪中学校校考阶段练习）经过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若与双曲线的左支有两个不同的交点，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023春·黑龙江大庆·高三大庆中学校考开学考试）已知点在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【变式1-1】（2023秋·甘肃天水·高三校考）已知双曲线：的渐近线方程为：，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【变式1-2】（2023·内蒙古通辽·校考模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线（，）与直线无公共点，则双曲线的离心率的最大值是（ ）
A．B．2C．D．
.
题型06渐近线中点型求离心率
【典例1-1】（2021秋·陕西渭南·高三统考）已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，过的直线分别交双曲线C的两条渐近线于点M、N.若点M是线段的中点，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．4
【典例1-2】（2023秋·河南安阳·高三校考）已知双曲线的左焦点为，右顶点为A，两条渐近线为.设关于的对称点为，且线段的中点恰好在上，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线与椭圆．过椭圆上一点作椭圆的切线l，l与x轴交于M点，l与双曲线C的两条渐近线分别交于N、Q，且N为MQ的中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022春·广西南宁·高三南宁二中校考阶段练习）已知双曲线的右焦点为F，左顶点为A，M为C的一条渐近线上一点，延长FM交y轴于点N，直线AM经过ON（其中O为坐标原点）的中点B，且，则双曲线C的离心率为（ ）．
A．2B．C．3D．4
【变式1-3】（2022·河北沧州·统考模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，M为OA的中点，P为双曲线C右支上一点且，且，则说法错误的是（ ）
A．C的离心率为2B．C的渐近线方程为
C．PM平分D．
题型07构造a、b、c齐次式型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知双曲线为双曲线的右焦点，过点作渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）过双曲线的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）已知双曲线C：的左顶点为A，右焦点为F，以线段AF为直径的圆M与双曲线的一条渐近线相交于B，D两点，且满足（O为坐标原点），若圆M的面积S满足，则双曲线C的离心率e的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别是，若双曲线C上存在点P使得，，则其离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2008·湖南·高考真题）若双曲线上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型08焦半径型离心率
【解题攻略】
【典例1-1】（2023秋·高三课时练习）已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线（，）左、右焦点分别为，，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点到焦点的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】设是椭圆的右焦点，是椭圆的左顶点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【变式1-3】设，分别为椭圆的左，右焦点，若直线上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为______.
题型09焦点三角形求离心率
【典例1-1】已知分别是椭圆的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点,使得的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
【典例1-2】已知是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若，且，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】.已知是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】如图，椭圆的左右焦点分别是，点、是上的两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】已知椭圆的左，右焦点分别为，，直线与C交于点M，N，若四边形的面积为且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
题型10双焦点三角形余弦定理型
【解题攻略】
【典例1-1】椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，，，则椭圆的离心率为___________.
【典例1-2】已知椭圆以为左右焦点，点P、Q在椭圆上，且过右焦点，，若，则该椭圆离心率是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】如图所示，为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于B．D两点且，E为线段上靠近的四等分点．若对于线段上的任意点P，都有成立，则椭圆的离心率为________．
【变式1-2】已知椭圆的左焦点和右焦点，上顶点为，的中垂线交椭圆于点，若左焦点在线段上，则椭圆离心率为____．
【变式1-3】.已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
题型11焦点三角形双角度型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023秋·河北保定·高三校考）已知椭圆的两个焦点分别为，点为椭圆上一点，且 ，则椭圆的离心率为 ．
【典例1-2】（2023·上海·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，且，则 ．
【变式1-1】（2023·重庆·统考三模）已知，分别为椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为 ．
【变式1-2】已知，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆E上的点，，且，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】设P为椭圆上一点，且，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于（ ）
A．B．
C．D．
题型12共焦点型椭圆双曲线离心率
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知椭圆和双曲线的焦点相同，记左、右焦点分别为，，椭圆和双曲线的离心率分别为，，设点为与在第一象限内的公共点，且满足，若，则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【典例1-2】（2022秋·江西南昌·高三南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）已知椭圆，双曲线，，为的焦点，为和的交点，若△的内切圆的圆心的横坐标为1，和的离心率之积为，则实数的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式1-1】（2023·高三课时练习）已知椭圆（）与双曲线（，）有公共焦点，，且两条曲线在第一象限的交点为P．若是以为底边的等腰三角形，曲线，的离心率分别为和，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有相同的左、右焦点，，若，在第一象限内的交点为P，且满足，设，分别是，的离心率，则，的关系是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知分别是椭圆和双曲线的公共的左右焦点，是的离心率，若在第一象限内的交点为，且满足，则的关系是（ ）
A．B．C．D．
题型13借助均值不等式求共焦点型
【典例1-1】、已知是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们一个公共点，且，椭圆、双曲线的离心率分别为，则的最小值__________．
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则当取最大值时，，的值分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知是椭圆和双曲线的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点，分别为椭圆和双曲线的离心率，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】．（2022秋·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考）已知椭圆和双曲线有相同焦点与，设椭圆和双曲线的离心率分别为，为两曲线的一个公共点，且(其中O为坐标原点），则的最小值为（ ）
A．B．10C．D．15
【变式1-3】（2022·高三课时练习）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是曲线与的一个公共点，分别是和的离心率，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
题型14焦点三角形内心型求离心率
【解题攻略】
【典例1-1】（2022秋·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点M在C的右支上运动，的内心为I，若，则C的离心率为（ ）
A．2B．C．3D．
【典例1-2】．（2023春·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知双曲线()的左､右焦点分别为为双曲线上的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）点P是双曲线C：右支上一点，，分别是双曲线C的左，右焦点，M为的内心，若双曲线C的离心率，且，则（ ）
A．B．C．1D．
【变式1-2】（2022秋·四川宜宾·高三宜宾市叙州区第一中学校校考）已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点为双曲线右支一点，为的内心，若成立，给出下列结论：
①当轴时，
②离心率
③
④点的横坐标为定值
上述结论正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①③④D．②③④
【变式1-3】（2023秋·高三课时练习）已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点为双曲线右支上一点，为内心，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
题型15焦点三角形重心型求离心率
【典例1-1】（2020·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）设，是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，若的内切圆的半径为，且的重心满足，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）在双曲线：的右支上存在点，使得点与双曲线的左、右焦点，形成的三角形的内切圆的半径为，若的重心满足，则双曲线的离心率为
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022春·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）设双曲线的左右焦点分别为若在曲线的右支上存在点，使得的内切圆半径为，圆心记为，又的重心为，满足,则双曲线的离心率为．
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左顶点为A，若在双曲线的右支上存在两点M，N，使△AMN为等边三角形，且右焦点为△AMN的重心，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【变式1-3】（2023春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知双曲线的右焦点为，过点作一条渐近线的垂线，垂足为，若的重心在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
题型16小题大做型求离心率
【典例1-1】已知椭圆，若存在过点且互相垂直的直线，，使得，与椭圆C均无公共点，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】如图，椭圆的离心率为e，F是的右焦点，点P是上第一象限内任意一点.且，，，若，则离心率e的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】存在过椭圆左焦点的弦，使得，则椭圆C的离心率的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】已知椭圆内有一定点，过点P的两条直线，分别与椭圆交于A、C和B、D两点，且满足，，若变化时，直线CD的斜率总为，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【变式1-3】过原点的一条直线与椭圆=1（a＞b＞0）交于A，B两点，以线段AB为直径的圆过该椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[]，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【市级联考】河南省洛阳市2018-2019学年高三第一学期考试数学试题（文）
高考练场
1..已知椭圆的左右焦点分别，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2.已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则该椭圆的离心率为______．
3.（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线：的左､右焦点分别为，，过作以为圆心､为半径的圆的切线切点为.延长交的左支于点，若为线段的中点，且，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
4.（2021秋·江苏扬州·高三扬州大学附属中学校考）已知直线y=x-1与双曲线交于A、B两点，若线段AB的中点为M（2，1），则双曲线的离心率等于（ ）
A．B．2C．D．
5.（2022春·新疆博尔塔拉·高三阶段练习）若双曲线的两条渐近线与直线y＝2围成了一个等边三角形，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
6.（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段的中点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
7.（2022·陕西·校联考模拟预测）已知双曲线左顶点为，左、右焦点分别为，以为直径的圆交双曲线一条渐近线于两点，若，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8.（2023·高三课时练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9.已知是椭圆的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10..已知椭圆的上顶点，左右焦点分别为，连接，并延长交椭圆于另一点P，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
11.在平面直角坐标系中，已知的顶点，顶点在椭圆上，___
12.（2021秋·安徽亳州·高三安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，点是与的一个交点，满足.设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
13.（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，它们的离心率分别为，是它们的一个公共点，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
14.（2023·全国·高三专题练习）已知，分别为双曲线的左､右焦点，且，点P为双曲线右支上一点，M为的内心，若成立，则λ的值为（ ）
A．B．C．2D．
15.（2023·甘肃兰州·兰化一中校考模拟预测）已知双曲线：的左、右焦点分别是，，是双曲线右支上一点，且，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．3D．4
16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上任意一点，直线垂直于且交线段于点，若，则该椭圆的离心率的取值范围是______.
求解圆锥曲线的离心率的常见方法：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；
3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.
解题时要把所给的几何特征转化为的关系式．求离心率的常用方法有：
（1）根据条件求得，利用或求解；
（2）根据条件得到关于的方程或不等式，利用将其化为关于的方程或不等式，然后解方程或不等式即可得到离心率或其范围．
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。
主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
中点， ，
设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ；
将两式相减，可得；；
最后整理得：
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：
设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ；
将两式相减，可得；整理得：
只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
圆锥曲线焦半径统一结论，其中p为交点到准线的距离，对椭圆和双曲线而言
对于抛物线，则
圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质：
焦点四边形具有中心对称性质。
焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。
焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解
设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则．
双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为.
证明：设内切圆与的切点分别为，则由切线长定理可得,因为，，所以，所以点的坐标为，所以点的横坐标为定值a.
第二十三讲 圆锥曲线离心率归类
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc21801" 题型01离心率基础 PAGEREF _Tc21801 \h 1
\l "_Tc5991" 题型02第一定义求离心率 PAGEREF _Tc5991 \h 3
\l "_Tc7802" 题型03中点型求离心率 PAGEREF _Tc7802 \h 6
\l "_Tc8399" 题型04点差法型求离心率（第三定义型） PAGEREF _Tc8399 \h 9
\l "_Tc4181" 题型05渐近线型离心率 PAGEREF _Tc4181 \h 12
\l "_Tc26270" 题型06渐近线中点型求离心率 PAGEREF _Tc26270 \h 13
\l "_Tc7142" 题型07构造a、b、c齐次式型 PAGEREF _Tc7142 \h 17
\l "_Tc8088" 题型08焦半径型离心率 PAGEREF _Tc8088 \h 19
\l "_Tc1558" 题型09焦点三角形求离心率 PAGEREF _Tc1558 \h 21
\l "_Tc10573" 题型10双焦点三角形余弦定理型 PAGEREF _Tc10573 \h 23
\l "_Tc31037" 题型11焦点三角形双角度型 PAGEREF _Tc31037 \h 27
\l "_Tc25503" 题型12共焦点型椭圆双曲线离心率 PAGEREF _Tc25503 \h 30
\l "_Tc16663" 题型13借助均值不等式求共焦点型 PAGEREF _Tc16663 \h 32
\l "_Tc4423" 题型14焦点三角形内心型求离心率 PAGEREF _Tc4423 \h 35
\l "_Tc27548" 题型15焦点三角形重心型求离心率 PAGEREF _Tc27548 \h 39
\l "_Tc11746" 题型16小题大做型求离心率 PAGEREF _Tc11746 \h 41
\l "_Tc7538" 高考练场 PAGEREF _Tc7538 \h 45

题型01离心率基础
【解题攻略】
【典例1-1】.P是椭圆上的一点，F为椭圆的右焦点，轴，过点P作斜率为的直线恰好经过左顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图所示，求出，化简方程即得解.
【详解】
如图所示，，
由题得
所以.
故选：C
【典例1-2】（2021秋·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考阶段练习）双曲线的离心率用来表示，则（ ）
A．在上是增函数B．在上是减函数
C．在上是增函数，在上是减函数D．是常数
【答案】D
【分析】根据双曲线的渐近线为坐标轴，结合等轴双曲线的离心率为定值，即可求解.
【详解】由题意，双曲线的渐近线为轴和轴，即坐标轴，
其中坐标轴互相垂直，即该双曲线为等轴双曲线，
所以双曲线的离心率为，即（常数）.
故选：D.
【变式1-1】（2023秋·高三课时练习）实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】A
【分析】依题意可得，即可得到，从而求出离心率.
【详解】依题意可得等轴双曲线中，则，
所以离心率.
故选：A
【变式1-2】已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P为C上一点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据，且求得，再根据勾股定理列出关于 的方程，解出 即可
【详解】点椭圆上的点，

，且
在 中， 即 ，整理得：
即 故选：D
【变式1-3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C的离心率为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】因为的周长为18，所以，结合题意可得，代入离心率公式运算求解．
【详解】设焦距为．
因为的周长为18，所以，所以．
因为长半轴长为5，即
所以椭圆C的离心率为故选：B．
题型02第一定义求离心率
【解题攻略】
【典例1-1】已知椭圆的右焦点为F（5，0），点A，B为C上关于原点对称的两点，且，，则C的离心率为___________.
【答案】
【分析】根据题意可得，结合，求得，，继而可求出，求得答案.
【详解】因为点A，B为C上关于原点对称的两点，故连接AB，则AB过原点O，
又因为， ，故，
又，所以，，取C的左焦点为 ，连接 ，则，
所以，所以，所以C的离心率为，故答案为：
【典例1-2】设椭圆 ()的一个焦点点为椭圆内一点,若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
【答案】A【解析】记椭圆的左焦点为，则，即，，，即，即 ，椭圆的离心率的取值范围是，故选A.
【变式1-1】.椭圆的左右焦点分别为､，直线与交于A､两点，若，，当时，的离心率的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】结合题干条件得到，表达出，，利用椭圆定义得到关系，结合的范围求出离心率的最小值.
【详解】连接，由题知点A､关于原点对称，，，，则，，又，即，，由得，所以，D正确.
故选：D
【变式1-2】.已知椭圆的右焦点为F（5，0），点A，B为C上关于原点对称的两点，且，，则C的离心率为___________.
【答案】
【分析】根据题意可得，结合，求得，，继而可求出，求得答案.
【详解】因为点A，B为C上关于原点对称的两点，故连接AB，则AB过原点O，
又因为， ，故，
又，所以，，取C的左焦点为 ，连接 ，则，
所以，所以，所以C的离心率为，故答案为：
【变式1-3】.设椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，点在椭圆的内部，点P是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用点在椭圆的内部，以及列不等式，化简后求得椭圆的离心率的取值范围.
【详解】因为点在椭圆的内部，所以①，而②，，由①②得，即.所以.
因为，而，所以，即，由三角形的性质可得，因为是椭圆上的动点，且恒成立，所以，所以，即，所以椭圆离心率的取值范围是.
故选：A
.
题型03中点型求离心率
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线：的左，右焦点分别为，，正六边形的一边的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设的中点为P，连接OP，，求出，，即得解.
【详解】设的中点为P，连接OP，，得，，所以，，在中，
由余弦定理得，
所以，所以，所以双曲线的离心率.故选：B.
【典例1-2】（2021秋·福建厦门·高三福建省厦门集美中学校考阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于，两点.点为线段的中点，且.若，则双曲线的离心率是（ ）
A．2B．C．D．
【答案】A
【分析】设，根据双曲线的定义得出，从而求出，在中利用余弦定理以及离心率的定义即可求解.
【详解】点为线段的中点，且，则, 设，则，
又为直角三角形，，即，
，，由双曲线的定义可得，，，，
，又，在中，由余弦定理可得
，，离心率.故选：A
【变式1-1】（2022春·陕西安康·高三统考）已知双曲线的左，右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，若，且双曲线C的离心率为2．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合双曲线的性质和余弦定理,即可求解.
【详解】由双曲线的定义知，，∵，
∴，即，
∴，
在中，由余弦定理知，，∵，故选A．
【变式1-2】（2021春·河北唐山·高三唐山市第十一中学校考阶段练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点，分别在其左、右两支上，且，为线段的中点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】若，，，由求得，进而可求、，在中有得到关于a、c的齐次方程，即可求离心率.
【详解】
由题意，若，，，
∴，即，得，
∵，得，
∴在中，，即，
∴.故选：A
【变式1-3】（2022春·新疆·高三八一中学校考）设，分别为双曲线的左、右焦点．若为右支上的一点，且为线段的中点，，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得，再由双曲线定义可得，在中，利用勾股定理可得，同除解方程即可求解.
【详解】由题意可得，由双曲线定义可得，
则，．在中，，又，，
整理可得，即，
解得或（舍去）．故选：B
题型04点差法型求离心率（第三定义型）
【解题攻略】
【典例1-1】已知点是椭圆上的两点，且线段恰好为圆的一条直径，为椭圆上与不重合的一点，且直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为____________．
湖南省株洲市第二中学2021-2022学年高三下学期数学试题
【答案】
【分析】根据给定条件，设出点A，M的坐标，表示出点B的坐标，利用斜率坐标公式结合椭圆方程即可计算作答.
【详解】设，，依题意，，两式相减得，
因线段恰好为圆的一条直径，则，
于是得直线的斜率之积为，解得，
所以椭圆的离心率为.
故答案为：
【典例1-2】已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为_______
【答案】试题分析：直线与的交点为，点即为中点，设与的交点分别为，所以。将点代入椭圆方程，两式相减整理可得，即，由直线方程可知，所以，即。因为，所以，即， 。
【变式1-1】（2023·四川雅安·统考三模）已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率等于，点在双曲线C上，椭圆E的焦点与双曲线C的焦点相同，斜率为的直线与椭圆E交于A、B两点．若线段AB的中点坐标为，则椭圆E的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由离心率和点求出双曲线的方程，进而求出焦点，设出椭圆的方程及的坐标，由点差法得到，结合中点坐标及斜率求得，
再利用焦点坐标，即可求解.
【详解】设双曲线方程为，则，解得，故双曲线方程为，焦点为；
设椭圆方程为，则椭圆焦点为焦点为，故，设，则，
两式相减得，整理得，即，解得，故，椭圆方程为.故选：D.
【变式1-2】（2021秋·河南·高三校联考阶段练习）已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】C
【分析】利用点差法，结合直线斜率公式、中点坐标公式、双曲线离心率公式进行求解即可.
【详解】设，，，则，
两式相减得，所以.
因为，，所以.
因为，，
所以，，故.故选：C
【变式1-3】（2022秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第一中学校考）已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】运用点差法即可求解
【详解】由已知得，又，，可得.
则双曲线C的方程为.设，，
则两式相减得，
即.
又因为点P恰好是弦的中点，所以，，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
经检验满足题意故选：C
题型05渐近线型离心率
【典例1-1】（2021秋·重庆南岸·高三重庆市南坪中学校校考阶段练习）经过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线，若与双曲线的左支有两个不同的交点，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】只需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，再利用双曲线中 关系以及离心率的范围即得.
【详解】要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率即，
即，整理得，
即，
又双曲线故的范围是故选：B
【典例1-2】（2023春·黑龙江大庆·高三大庆中学校考开学考试）已知点在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】将P点坐标代入渐近线方程，求出a与b的关系，再根据 求出离心率.
【详解】渐近线方程为： ，由于P点坐标在第二象限，选用 ，
将P点坐标代入得： ，又 ；
故选：D.
【变式1-1】（2023秋·甘肃天水·高三校考）已知双曲线：的渐近线方程为：，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据渐近线方程求出，从而根据求出离心率.
【详解】的渐近线方程为，
故，故双曲线的离心率为.
故选：A
【变式1-2】（2023·内蒙古通辽·校考模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】求出双曲线一条渐近线斜率，即，从而求出离心率.
【详解】由题意得：双曲线的一条渐近线方程的斜率，
所以双曲线离心率.
故选：D
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线（，）与直线无公共点，则双曲线的离心率的最大值是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的几何性质可知：双曲线与没有公共点，则，即可求解.
【详解】双曲线的渐近线方程为：，若双曲线（，）与直线无公共点，则应有，所以离心率，
故选：D
.
题型06渐近线中点型求离心率
【典例1-1】（2021秋·陕西渭南·高三统考）已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，过的直线分别交双曲线C的两条渐近线于点M、N.若点M是线段的中点，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【分析】根据三角形中位线得，又M是线段的中点，又可得，则可得渐近线的倾斜角为，从而求得的值，即可得双曲线离心率.
【详解】双曲线C：的渐近线方程为，

因为O是线段的中点，M是线段的中点，所以
又，所以，所以，
所以
所以渐近线的倾斜角为，则，又，
所以，则离心率.故选：C.
【典例1-2】（2023秋·河南安阳·高三校考）已知双曲线的左焦点为，右顶点为A，两条渐近线为.设关于的对称点为，且线段的中点恰好在上，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方法1：根据几何性质分析可得：，运算求解；方法2：根据点关于线对称求点，再求线段的中点，代入渐近线方程运算求解.
【详解】方法1：
如图，设为坐标原点，，直线与交于点，则，且为线段的中点，设线段中点为，则在上，∵，则，
设直线与轴的交点为，则为线段的中点，且轴，则，
∵，则，∴，即，整理得
设双曲线的离心率为，则，解得或（舍去）.
方法2：由题意可得：，不妨设直线，，则，解得，即，设线段中点为，点，则，
将点坐标代入方程得，整理得，
设双曲线的离心率为，则，解得或（舍去）.故选：C.
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线与椭圆．过椭圆上一点作椭圆的切线l，l与x轴交于M点，l与双曲线C的两条渐近线分别交于N、Q，且N为MQ的中点，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设出切线方程，与椭圆方程联立后利用根的判别式求出，求出切线方程，从而得到M点坐标，再联立渐近线得到N，Q的横坐标，利用中点得到方程，求出，从而求出离心率.
【详解】由题意得：渐近线方程为，设切线方程为，联立得：
，由得：，
解得：，所以切线方程为，令得：，所以，联立与，解得：，联立与，解得：，因为N为MQ的中点，
所以，解得：，所以离心率为故选：A
【变式1-2】（2022春·广西南宁·高三南宁二中校考阶段练习）已知双曲线的右焦点为F，左顶点为A，M为C的一条渐近线上一点，延长FM交y轴于点N，直线AM经过ON（其中O为坐标原点）的中点B，且，则双曲线C的离心率为（ ）．
A．2B．C．3D．4
【答案】A
【分析】因为，且，可得，再结合双曲线的知识可得，利用几何知识可得为等边三角形，，进而求．
【详解】记M为双曲线的渐近线上的点，因为，且，
所以，．所以．因为右焦点到渐近线的距离，所以．所以，所以，
所以≌，所以，又因为，．
所以为等边三角形，所以，所以，即，
所以．故选：A．
【变式1-3】（2022·河北沧州·统考模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，M为OA的中点，P为双曲线C右支上一点且，且，则说法错误的是（ ）
A．C的离心率为2B．C的渐近线方程为
C．PM平分D．
【答案】B
【分析】由题设及双曲线性质可得且，即可判断A、B；根据角平分线性质只需判断、是否相等判断C；利用向量线性运算的几何意义，用表示即可判断D.
【详解】由题设，且，又，所以，而，故，
由，则，，故，所以C的离心率为2，A正确；
由上可得，故C的渐近线方程为，B错误；
由，则，故，
而M为OA的中点，则，，故，
由角平分线性质易知：PM平分，C正确；
，D正确.故选：B
题型07构造a、b、c齐次式型
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知双曲线为双曲线的右焦点，过点作渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设，根据列式，根据的取值范围求得的取值范围，进而求得离心率的取值范围.
【详解】依题意可知在第一象限，在第二象限，
到渐近线的距离为，
即，设，则，，
由得，
故，，
.
故选:C
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）过双曲线的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先写出直线的方程，联立双曲线的方程消去y，由k＝1得到，即．由k＝3得到，即，再求离心率的范围．
【详解】双曲线右焦点为，设过右焦点的直线为，
与双曲线方程联立消去y可得到：，
由题意可知，当k＝1时，此方程有两个不相等的异号实根，
∴，得0＜a＜b，即；
当k=3时，此方程有两个不相等的同号实根，∴，得0＜b＜3a，；
又，∴离心率的取值范围为．故选：C.
【变式1-1】（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）已知双曲线C：的左顶点为A，右焦点为F，以线段AF为直径的圆M与双曲线的一条渐近线相交于B，D两点，且满足（O为坐标原点），若圆M的面积S满足，则双曲线C的离心率e的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由结合圆的相交弦定理得，由圆M的面积S满足，即可求出双曲线C的离心率e的取值范围.
【详解】设双曲线C的半焦距为c，∵，∴.
由圆的相交弦定理知，.
又圆M的半径，∴，
∴，∴，∴，
∴.又，∴，∴.故选:B.
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别是，若双曲线C上存在点P使得，，则其离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质、双曲线的离心率公式进行求解即可.
【详解】设，
利用向量加法法则知，则
即，
故①，
设，
则，
②，
由①②得，即，
又，所以，即，即
所以双曲线离心率的值大于3，故选：D
【变式1-3】（2008·湖南·高考真题）若双曲线上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题设条件可得基本量的关系，从而可求离心率.
【详解】根据双曲线的第二定义，双曲线上横坐标为的点到右焦点的距离为，而该点到左准线的距离为．故由条件知．整理得．
综合，解得． 故选：B
题型08焦半径型离心率
【解题攻略】
【典例1-1】（2023秋·高三课时练习）已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】在中，由正弦定理可得，再由已知可得，根据点在双曲线右支上，得到关于的不等式，从而可求出的范围.
【详解】由题意可得点不是双曲线的顶点，否则无意义
在中，由正弦定理得，因为，所以，所以，
因为点在双曲线右支上，所以，所以，得，由双曲线的性质可得，所以，化简得，所以，解得，
因为，所以，即双曲线离心率的取值范围为，故选：C
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线（，）左、右焦点分别为，，若双曲线右支上存在点使得，则离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由正弦定理得，，可得在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得，根据在双曲线右支上，得关于的不等式，从而求出的范围
【详解】解：由题意，点不是双曲线的顶点，否则无意义，
在中，由正弦定理得，又，∴，即，
∵在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得，∴，即，
由双曲线的几何性质，知，∴，即，
∴，解得，又，双曲线离心率的范围是．故选：C．
【变式1-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点到焦点的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由椭圆上的点到焦点的距离最大值为，最小值为，可求出，即可计算出离心率
【详解】设椭圆的半焦距为，由题意可得，解得，，所以椭圆C的离心率，
故选：A.
【变式1-2】设是椭圆的右焦点，是椭圆的左顶点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为
A．B．C．D．
【答案】B【详解】如图，设直线与轴的交点为，因为由椭圆性质可知，，由题意可知解得，故选B.
【变式1-3】设，分别为椭圆的左，右焦点，若直线上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为______.
【答案】
【分析】由题设易知，结合椭圆离心率的性质即可得离心率的取值范围.
【详解】由题设，，则，而，
所以.故答案为：.
题型09焦点三角形求离心率
【典例1-1】已知分别是椭圆的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点,使得的面积为，则椭圆的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设椭圆的上顶点为A,问题转化为的面积大于解不等式即可.
【详解】由题知a=2,b=设椭圆的右顶点为A(,0),的面积为,
∴的面积的最大值时为>