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第25讲 特殊四边形-正方形与梯形（讲义）2024年中考数学一轮复习（讲义+练习）（全国通用）
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这是一份第25讲 特殊四边形-正方形与梯形（讲义）2024年中考数学一轮复习（讲义+练习）（全国通用），文件包含第25讲特殊四边形-正方形与梯形讲义原卷版docx、第25讲特殊四边形-正方形与梯形讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共213页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc157028086" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc157028087" 考点一 正方形的性质与判定
\l "_Tc157028088" 题型01 根据正方形的性质求角度
\l "_Tc157028089" 题型02 根据正方形的性质求线段长
\l "_Tc157028090" 题型03 根据正方形的性质求面积
\l "_Tc157028091" 题型04 根据正方形的性质求坐标
\l "_Tc157028092" 题型05 与正方形有关的折叠问题
\l "_Tc157028093" 题型06 求正方形重叠部分面积
\l "_Tc157028094" 题型07 利用正方形的性质证明
\l "_Tc157028095" 题型08 添加一个条件使四边形是正方形
\l "_Tc157028096" 题型09 证明四边形是正方形
\l "_Tc157028097" 题型10 根据正方形的性质与判定求角度
\l "_Tc157028098" 题型11 根据正方形的性质与判定求线段长
\l "_Tc157028099" 题型12 根据正方形的性质与判定求面积
\l "_Tc157028100" 题型13 根据正方形的性质与判定证明
\l "_Tc157028101" 题型14 根据正方形的性质与判定解决多结论问题
\l "_Tc157028102" 题型15 与正方形有关的规律探究问题
\l "_Tc157028103" 题型16 与正方形有关的动点问题
\l "_Tc157028104" 题型17 正方形与一次函数的综合应用
\l "_Tc157028105" 题型18 正方形与反比例函数的综合应用
\l "_Tc157028106" 题型19 正方形与一次函数、反比例函数综合应用
\l "_Tc157028107" 题型20 正方形与二次函数综合应用
\l "_Tc157028108" 考点二 四边形之间的区别与联系
\l "_Tc157028109" 题型01 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
\l "_Tc157028110" 题型02 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
\l "_Tc157028111" 题型03 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质
\l "_Tc157028112" 题型04 利用矩形、菱形、正方形的性质与判定求解
\l "_Tc157028113" 考点三 梯形的性质与判定
\l "_Tc157028114" 题型01 等腰三角形的性质求解
\l "_Tc157028115" 题型02 等腰三角形的判定求解
\l "_Tc157028116" 题型03 解决梯形问题的常用方法
考点一 正方形的性质与判定
正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
正方形的性质：
1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
3）正方形对边平行且相等.
4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；
5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形.
【补充】正方形对角线与边的夹角为45°.
正方形的判定：
1）平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角；
2）矩形+一组邻边相等；
3）矩形+对角线互相垂直；
4）菱形+一个角是直角；
5）菱形+对角线相等.
【解题技巧】判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等．
正方形的面积公式：a2＝对角线乘积的一半=2S△ABC=4S△AOB.
正方形的周长公式：周长= 4a
题型01 根据正方形的性质求角度
【例1】（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考三模）如图，点E、F、G分别是正方形ABCD的边AD、BC、AB上的点，连接DG，EF，GF．且EF=DG，DE=2AG，∠ADG的度数为α，则∠EFG的度数为（ ）
A．αB．2αC．45°-αD．45°+α
【变式1-1】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图，点E是正方形ABCD中的一点，连接EB、EC、EA、ED，若△EBC为等边三角形时，则∠EAD= ．
【变式1-2】（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）如图，正六边形ABCDEF内，以AB为边做正方形ABGH，则∠CBG= ．
【变式1-3】（2023·浙江湖州·统考二模）如图，在正方形ABCD中，延长BC至点F，使得CF=CA，连接AF交CD于点E，则∠AED的度数为 ．
题型02 根据正方形的性质求线段长
【例2】（2024·福建三明·统考一模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AD的中点，连接AC，BE，点M,N分别在BE,AC上，且BM=13ME，CN=13AN，则MN的长为（ ）
A．322B．52C．22D．3
【变式2-1】（2022·湖南长沙·统考一模）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM交CD于点N，若四边形MOND的面积是4，则AB的长为（ ）
A．2B．22C．4D．42
【变式2-2】（2023·广东清远·统考模拟预测）如图，边长分别为2和6的正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P．则GT=（ ）
A．2B．22C．1D．2
【变式2-3】（2023·安徽宿州·统考模拟预测）如图，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若每个直角三角形的面积为4，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）
A．9B．6C．1D．3
【变式2-4】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考模拟预测）已知：正方形ABCD边长为3，E为直线AD上一点，AE=1，连接CE，CE所在直线与AB所在直线交于点F．则AF= ．
题型03 根据正方形的性质求面积
【例3】（2024·重庆大渡口·统考一模）一个正方形的边长为2，它的面积为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【变式3-1】（2023·广东汕尾·三模）如图，大正方形中有2个小正方形，这两个小正方形的面积分别是S1和S2，则S1S2的值是（ ）
A．98B．89C．1D．54
【变式3-2】（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段a的长度为10-2，则这块地砖的面积为（ ）
A．50B．40C．30D．20
【变式3-3】（2023·河南省直辖县级单位·统考二模）四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC'D'，如果∠DAD'=30°，那么菱形ABC'D'与正方形ABCD的面积之比是（ ）
A．1B．34C．32D．34
【变式3-4】（2023·四川成都·校考三模）如图，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成一个大正方形ABCD，连接AF和CH,AF=AB．现随机向正方形ABCD内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．
题型04 根据正方形的性质求坐标
【例4】（2023·河北邯郸·校考三模）如图，在正方形ABCD中，已知点A0，3，B5，3．将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α0<α<180°后，点B的对应点B'恰好落在坐标轴上，则点C的对应点C'的坐标为（ ）
A．7，4或5，-2B．7，4或5，-2或-1，-4
C．5，-2或-1，-4D．7，4或4，7
【变式4-1】（2023·河南安阳·统考模拟预测）如图．四边形ABCO为正方形，点A的坐标为1,3，将正方形绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点C所到位置的坐标为（ ）
A．3,-1B．-1,-3C．-1,3D．3,1
【变式4-2】（2019·山东聊城·校联考一模）如图，将边长为3的正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°得到正方形A'BC'D',AD与C'D'交于点M，那么图中点M的坐标为（ ）
A．3,1B．1,3C．3,32D．32,3
【变式4-3】（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点为A-2,0，B2,0．半圆与正方形ABCD组成一个新的图形，点M为DC（靠近点D）的三等分点，将此组合图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点M的坐标为（ ）
A．2+3,-1B．-2-3,-1C．-4+3,-1D．-4-3,-1
【变式4-4】（2023·陕西西安·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴负半轴上，点A的坐标为(-2,0), tan∠DAO=12，求点B的坐标．
题型05 与正方形有关的折叠问题
【例5】（2023·山西朔州·校联考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，AB=2，将其沿EF翻折，使∠EFC=120°，顶点B恰好落在线段AD上的点G处，点C的对应点为点H．则线段AE的长为 ．
【变式5-1】（2023·广西南宁·统考三模）如图，四边形ABCD为正方形纸片，E是边CB的中点，连接DE，P是边CD上一点，将纸片沿着AP折叠，使点D落在DE上的F点处，则DFEF为 ．
【变式5-2】（2023·山东泰安·东平县实验中学统考三模）四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B'处，点A对应点为A'，且S△A'ME:S△CNB'=1:4，则AM的长是 ．
【变式5-3】（2023·安徽池州·统考二模）如图，在正方形ABCD中，G为AD边上一点，将△ABG沿BG翻折到△FBG处，延长GF交CD边于点E，过点F作FH∥BC分别交BG，AB，CD于点H，P，Q，请完成下列问题：
（1）∠EBG= ．
（2）若FH=12BC=8，则BP= ．
【变式5-4】（2023·广东茂名·三模）如图，正方形ABCD中，E是边BC的中点，将△ABE沿AE折叠，得到△AFE，延长EF交边CD于点P．
(1)求证：DP=FP；
(2)若AB=6，求CP的长．
【变式5-5】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）（1）如图1，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF= 度；
（2）如图2，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕AE上，
则①∠AEF= 度；
②若AB=3，求线段AP的长；
（3）如图3，在矩形ABCD中，AD=nAB，点E、F分别在边BC、CD上，将矩形ABCD沿AE、AF折叠，点B落在M处，点D落在G处，点A、M、G恰好在同一直线上，若BE=1，AB=a，则DFAB= （用含a、n的代数式表示结果）．
题型06 求正方形重叠部分面积
【例6】（2020·河北·校联考二模）在平面上，边长为2的正方形和短边长为1的矩形几何中心重合，如图①，当正方形和矩形都水平放置时，容易求出重叠面积S=2×1=2．
甲、乙、丙三位同学分别给出了两个图形不同的重叠方式；
甲：矩形绕着几何中心旋转，从图②到图③的过程中，重叠面积S大小不变．
乙：如图④，矩形绕着几何中心继续旋转，矩形的两条长边与正方形的对角线平行时，此时的重叠面积大于图③的重叠面积．
丙：如图⑤，将图④中的矩形向左上方平移，使矩形的一条长边恰好经过正方形的对角线，此时的重叠面积是5个图形中最小的．
下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙、丙都对B．只有乙对C．只有甲不对D．甲、乙、丙都不对
【变式6-1】（2023·山东菏泽·校考一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式6-2】（2021·辽宁抚顺·统考三模）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．设两个正方形重合部分的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2，通过探索，我们发现：无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，始终有S1= S2．
【变式6-3】（2021·山东临沂·校考一模）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为 （用含a，b的代数式表示）．
题型07 利用正方形的性质证明
【例7】（2022·天津·天津市双菱中学校考模拟预测）如图，在边长为2的正方形ABCD中，动点F，E以相同的速度分别从点D，C同时出发向点C，B运动（任何一个点到达终点时，两点都停止运动）连接AE，BF，AE与BF交于点P，过点P分别作PM∥CD交BC于点M，PN∥BC交CD于点N，连接MN，在运动过程中，
（1）AE和BF的数量关系为 ；
（2）MN长度的最小值为 ．
【变式7-1】（2024·福建三明·统考一模）如图，四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，点E在射线CD上，AC交BE于点O，GH⊥AB交AB延长线于点H．
(1)若D为CE的中点，求证：OE=2OB；
(2)求证：AB=BH．
【变式7-2】（2022·湖北武汉·校考一模）如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点，若AB+CE=AE，以BC为直径作半圆⊙O．
(1)求证：AE与⊙O相切；
(2)若正方形的边长为4，求图中阴影部分的面积．
【变式7-3】（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一点，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，连接CG．
(1)求证：CD⊥CG；
(2)若tan∠MEN=13，求MNEM的值；
(3)已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为12，请说明理由．
题型08 添加一个条件使四边形是正方形
【例8】（2022·广西河池·校联考二模）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等 d.一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是：（ ）
A．仅①B．仅③C．①②D．②③
【变式8-1】（2023·河南周口·统考一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交O，添加下列条件不能判定矩形ABCD是正方形的是（ ）
A．AB=BCB．AC=BDC．AC⊥BDD．∠1=∠2
【变式8-2】（2022·江苏无锡·模拟预测）四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD＝BC，使四边形ABCD为正方形，下列条件中：①AC＝BD；②AB＝AD； ③AB＝CD；④AC⊥BD．需要满足（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①②或①④
【变式8-3】（2021·山东青岛·青岛经济技术开发区第四中学校考一模）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD//BC，OA=OC，AC平分∠BAD．欲使四边形ABCD是正方形，则还需添加 （写出一个合适的条件即可）
题型09 证明四边形是正方形
【例9】（2022·湖南长沙·统考一模）如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
(1)求证：四边形ADOE是正方形；
(2)若AC=2cm，求⊙O的半径．
【变式9-1】（2021·湖南娄底·统考一模）如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，
（1）求证：四边形 AMCN 是矩形；
（2）△ABC 满足什么条件，四边形AMCN是正方形，请说明理由．
【变式9-2】（2022·贵州贵阳·统考二模）如图，已知四边形ABCD是正方形，AB＝42，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG．
(1)求证：矩形DEFG为正方形；
(2)求证：CE＋CG＝8
【变式9-3】（2022·山东枣庄·统考一模）问题解决：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE=AF，DE⊥AF于点G．
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)延长CB到点H，使得BH=AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
题型10 根据正方形的性质与判定求角度
【例10】（2023·福建宁德·统考一模）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使顶点B落在AD上点B'处；再将矩形展平，沿AF折叠，使顶点B落在AE上点G处，连接DE． 小明发现△DEC可以由△AFG绕某一点顺时针旋转α0°<α<180°得到，则α= °．
【变式10-1】（2021·北京海淀·统考二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则∠BAC与∠DAC的大小关系为：∠BAC ∠DAC（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【变式10-2】（2021·山东菏泽·统考一模）如图，点C在线段AB上，且AC=2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG= ．
【变式10-3】（2022·广东佛山·校考一模）已知：BD是△ABC的角平分线，点E在AB边上，BE＝BC，过点E作EF∥AC，交BD于点F，连接CF，DE．
(1)如图1，求证：四边形CDEF是菱形；
(2)如图2，当∠DEF=90°，AC=BC时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为∠ABD的度数2倍的角．
题型11 根据正方形的性质与判定求线段长
【例11】（2022·广东·统考模拟预测）如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，点D在AC上，且AD=2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连接AG，FG，当AG=FG时，线段DE长为（ ）
A．13B．522C．412D．4
【变式11-1】（2022·天津东丽·统考二模）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点，若BH＝7，BC＝13，则DH＝ ．
【变式11-2】（2023·江苏泰州·校考三模）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C、在直角坐标系中的坐标分别为3,6，-3,3，7,-2，则△ABC内心的坐标为 ．
【变式11-3】（2022·四川绵阳·校联考一模）在直角△ABC中，∠C=90°，1tanA+1tanB=52，∠C的角平分线交AB于点D，且CD=22，斜边AB的值是 ．
题型12 根据正方形的性质与判定求面积
【例12】（2022·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考一模）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a和b，则a+b2=（ ）
A．12B．13C．24D．25
【变式12-1】（2021·江西·统考一模）如图，已知点O为勾股形ABC（我国古代数学家刘徽称直角三角形为勾股形）的内心，其中∠A为直角，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，∠ADO=∠AFO=∠BEO=90°，若BD=4，CF=6，则正方形ADOF的面积是（ ）
A．2B．4C．3D．16
【变式12-2】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）如图，在正方形ABCD中，O为AC、BD的交点，△DCE为直角三角形，∠CED=90°，OE=32，若CE⋅DE=6，则正方形的面积为（ ）
A．20B．22C．24D．26
【变式12-3】（2022·云南楚雄·统考二模）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE//AB,DF//AC．
（1）试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；
（2）若∠BAC=90°，且AD=22，求四边形AFDE的面积．
题型13 根据正方形的性质与判定证明
【例13】（2022·山东济南·统考二模）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF,DF的延长线交BE于H点．
（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
（2）已知BH=7,BC=13，求DH的长．
【变式13-1】（2021·广东深圳·校联考三模）（1）问题背景：如图1，∠ACB＝∠ADE＝90°，AC＝BC，AD＝DE，求证：△ABE∽△ACD；
（2）尝试应用：如图2，E为正方形ABCD外一点，∠BED＝45°，过点D作DF⊥BE，垂足为F，连接CF．求BECF的值；
（3）拓展创新：如图3，四边形ABCD是正方形，点F是线段CD上一点，以AF为对角线作正方形AEFG，连接DE，BG．当DF＝1，S四边形AEDF＝5时，则BG的长为 ．
【变式13-2】（2022·辽宁辽阳·一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD>2CE），直线BG与DE交于点H．
(1)如图1，当点G在CD上时，请直接写出线段BG与DE的数量关系和位置关系；
(2)将正方形CEFG绕点C旋转一周．
①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH-DH=2CH；
②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．
【变式13-3】（2023·内蒙古呼和浩特·校考二模）已知CD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AC，BC上，AD=m，BD=n，△ADE与△BDF的面积之和为S．
(1)填空：当∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC时，
①如图1，若∠B=45°，m=52，则n=_____________，S=_____________；
②如图2，若∠B=60°，m=43，则n=_____________，S=_____________；
(2)如图3，当∠ACB=∠EDF=90°时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由：
(3)如图4，当∠ACB=60°，∠EDF=120°，m=6，n=4时，请直接写出S的大小．
题型14 根据正方形的性质与判定解决多结论问题
【例14】（2023·山东泰安·校考模拟预测）如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB=2，HG=3．以下结论：
①∠EDC=135°；②EC2=CD⋅CF；③HG=EF；④sin∠CED=23．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式14-1】（2022·福建厦门·统考模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，正方形EFGH的三个顶点E，F，H分别在矩形ABCD的边AB，BC、DA上，现给出以下结论：
①当AE=4时，S△FGC=16；②当S△FGC=17.5时，AE=5；③当A，G，C三点共线时，AG:GC=2:1；④点G到CD的距离为定值，其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【变式14-2】（2022·山东济南·统考一模）如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E为CD上一动点，AE交BD于点F，过点F作FH⊥AE，交BC于H，连接AH交BD于点P，过H作HG⊥BD于点G，下列结论：①AF=FH，②△CEH的周长是7，③BD=2FG，④△AFP∽△AHE．其中正确的是 （写正确结论的序号）．
【变式14-3】（2023·湖北孝感·统考二模）如图，正方形ABCD的边长为2，点E为对角线AC上一动点(点E不与A、C重合)，过点E作EF⊥BE交直线CD于F，将线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段GF，连接GA，GB，GC，下列结论：①EB=EF；②AC⊥GC；③CE+CG=2CB；④GA+GB的最小值为25，其中正确的是 .(填写所有正确结论的序号)
【变式14-4】（2022·辽宁本溪·统考三模）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，且BE＝2DE，连接AE并延长交CD于点P，点F是BC边上一点，且CF＝2BF，连接AF交BD于点G，连接EF，PF．下列四个结论：①DP＝CP；②S△ABF＝S△FCP；③AE＝EF；④∠DPF＝2∠BGF．其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号）
【变式14-5】（2022·辽宁葫芦岛·校联考二模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是对角线AC上的动点（点E不与A，C重合），连接BE,EF⊥BE交CD于点F，线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段FG，连接BG．下列结论：①BE=EF；②∠ACG=90°；③若四边形BEFG的面积是正方形ABCD面积的一半，则AE的长为42-4；④CG+CE=2AB．其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
题型15 与正方形有关的规律探究问题
【例15】（2023·山东济南·统考一模）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2……；按如图的方式放置，点A1、A2、A3……An在直线y=-x-1，点C1、C2、C3……Cn在x轴上．抛物线L1过点A1、B1，且顶点在直线y=-x-1上，抛物线L2过点A2、B2 ，且顶点在直线y=-x-1上，……按此规律，抛物线Ln过点An、Bn，且顶点也在直线y=-x-1上，抛物线Ln的顶点坐标为( )
A．3×2n-1-1,-3×2n-1B．3×2n-1-1,-3×2n-2
C．3×2n-2-1,-3×2n-1D．3×2n-2-1,-3×2n-2
【变式15-1】（2023·广东惠州·统考二模）如图，点O0,0，A0,1是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以正方形的对角线作正方形，…，依此规律，则点A8的坐标是 ．
【变式15-2】（2023·山东泰安·统考二模）如图，正方形A0B0C0A1的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3的边长为4，正方形A3B3C3A4的边长为8…依次规律继续作正方形AnBnCnAn+1，且点A0，A1，A2，A3，…，An+1在同一条直线上，连接A0C1交，A1B1于点D1，连接A1C2，交A2B2于点D2，连接A2C3，交A3B3于点D3，…记四边形A0B0C0D1的面积为S1，四边形A1B1C1D2的面积为S2，四边形A2B2C2D3的面积为S3，…，四边形An-1Bn-1Cn-1Dn的面积为Sn，则S2023= ．
【变式15-3】（2023·山东聊城·统考一模）如图，正方形ABCB1中，AB=3，AB与直线l所夹锐角为60°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则线段A2022A2023= ．
【变式15-4】（2023·湖北十堰·统考模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为1，以AC为边作第二个正方形ACEF，再以CF为边作第三个正方形FCGH…，按照这样规律作下去，第10个正方形的边长为 ．
题型16 与正方形有关的动点问题
【例16】（2021·山东菏泽·统考一模）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合）且AM①点M位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；
②无论点M运动到何处，都有DM=2HM；
③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；
④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．
以上结论正确的有 （把所有正确结论的序号都填上）．
【变式16-1】（2023·河南周口·校联考三模）如图，正方形ABCD的边长是8，点E是BC边的中点，连接DE，点F是线段DE上不与点D，E重合的一个动点，连接BF，点G是线段BF的中点，则线段AG的最小值为 ．
【变式16-2】（2023·河南周口·一模）综合与实践
综合与实践课上，老师与同学们以“特殊的三角形”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点P是直线AC 上一动点．
操作：连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到PD，连接DC，如图2．
根据以上操作，判断：如图3，当点P与点A重合时，则四边形ABCD的形状是 ；
（2）迁移探究
①如图4，当点P与点C重合时，连接DB，判断四边形ABDC的形状，并说明理由；
②当点P与点A，点C都不重合时，试猜想DC与BC的位置关系，并利用图2证明你的猜想；
（3）拓展应用
当点P与点A，点C都不重合时，若AB=4，AP=3，请直接写出CD的长．
【变式16-3】（2023·浙江·一模）如图1，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，E是边BC上一动点（不与点B、C重合）连结DE，点C关于直线DE的对称点为C'，连结AC'并延长交直线DE于点P、F是AC'的中点，连结DC'、DF．
(1)填空：DC'=________；∠FDP=________．
(2)如图2，将题中条件“∠B=60°”改成“∠B=90°”，其余条件均不变，连结BP，猜想AP、BP、DP这三条线段间的数量关系，并对你的猜想加以证明．
(3)在（2）的条件下，连结AC．
①若动点E运动到边BC的中点处时，求△ACC'的面积；
②在动点E的整个运动过程中，求△ACC'面积的最大值．
题型17 正方形与一次函数的综合应用
【例17】2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A(1,1)，B(-1,1)，C(-1,-1).对于图形M，给出定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P、Q两点之间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d(M).
(1)点D的坐标为__________；
(2)设一次函数y=-x+3的图像是直线l，与x轴交于点E，
①求d(E)；
②记两点的横坐标分别为m和n，若线段PQ在直线l上平移，PQ=2，m【变式17-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A1，2，B5，2．若一次函数y=kx-2k≠0的图象经过C点，且与x，y轴分别交于M，N，求△OMN的面积．
【变式17-2】（2019·贵州遵义·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣23x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．
（1）当t=13秒时，点Q的坐标是 ；
（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；
（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．
题型18 正方形与反比例函数的综合应用
【例18】（2024·福建泉州·模拟预测）如图，反比例函数y=kx(x>0)图象经过正方形OABC的顶点A，BC边与y轴交于点D，若正方形OABC的面积为12，BD=2CD，则k的值为（ ）
A．3B．185C．165D．103
【变式18-1】（2023·吉林长春·吉林省第二实验学校校考二模）如图，已知正方形ABCD的面积为4，它的两个顶点B，D是反比例函数y=kxk>0,x>0的图象上两点．若点D的坐标是a,b，则a-b的值为（ ）
A．3B．-3C．2D．-2
【变式18-2】（2023·浙江温州·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，且OAOB=13，以AB为边向右上方作正方形ABCD．反比例函数y1=k1x与y2=k2x的图象分别过D与C，则k1k2= ．
【变式18-3】（2023·湖北恩施·统考二模）如图，矩形ABOD的两边OB，OD都在坐标轴的正半轴上，OD=4，另两边与反比例函数y=kx的图象分别相交于点E，F，且DE=2．过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥EH于点G，请解答下列问题．
(1) k= ；
(2)当四边形AEGF为正方形时，求点F的坐标；
(3)当AE>EG时，若矩形AEGF∽矩形DOHE，求出相似比．
题型19 正方形与一次函数、反比例函数综合应用
【例19】（2023·安徽淮北·统考三模）如图，已知反比例函数y=kx在第一象限内的图象与正方形AEOC的两边相交于B，D两点．若AB=3，直线y=14x经过点B，则k的值是 ．
【变式19-1】（2023·四川成都·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A-6,0、D-7,3，点B、C在第二象限内．
(1)求点B的坐标；
(2)将正方形ABCD以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、D两点的对应点B'、D'正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；
(3)在（2）的情况下，问是否存在y轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B'、D'四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式19-2】（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，已知A0,2，B1,0，连接AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD与反比例函数y=kxk≠0相交于D，E两点，连接CE，交x轴于点F．
(1)求k的值及直线DE的解析式；
(2)求△DEC的面积．
【变式19-3】（2023·广东深圳·模拟预测）如图，一次函数y=ax-3aa≠0的图象与反比例函数y=-24xx>0的图象交于点Mm,-4，与y轴交于点A，与x轴交于点B，△AOB两个外角的平分线在第一象限内交于点C，反比例函数y=kx的图象恰好经过点C．
(1)求m的值和线段AB的长；
(2)求反比例函数y=kx的表达式．
题型20 正方形与二次函数综合应用
【例20】（2023·浙江宁波·校联考一模）如图，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过B，C两点．
(1)求b，c的值；
(2)若将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形OABC内（不包括边上），求m的取值范围．
【变式20-1】（2023·湖北武汉·模拟预测）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数y=x2+mx+n的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；
(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；
(4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
【变式20-2】（2020·江苏泰州·统考模拟预测）二次函数y=m6x2-2m3x+m(m>0)的图象交y轴于点A，顶点为P，直线PA与x轴交于点B．
（1）当m=1时，求顶点P的坐标；
（2）若点Q（a，b）在二次函数y=m6x2-2m3x+m(m>0)的图象上，且b-m>0，试求a的取值范围；
（3）在第一象限内，以AB为边作正方形ABCD．
①求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
②若该二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，请直接写出符合条件的整数m的值．
【变式20-3】（2020·河北唐山·统考二模）如图1，二次函数y=-13x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为M8,0．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图2，y1=23x与二次函数y=-13x2+bx+c的图象交于点N，求△OMN的面积；
（3）如图3，直线y2=4与二次函数y=-13x2+bx+c的图象交于A、B两点（点A在点B的左侧），过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（4）如图4，在（3）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t>0）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由．
考点二 四边形之间的区别与联系
1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质
3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
题型01 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
【例1】（2021·福建宁德·统考一模）如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列描述错误的是（ ）
A．①表示有一个角是直角B．②表示有一组邻边相等
C．③表示四个角都相等D．④表示对角线相等
【变式1-1】（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图推理中，空格①②③④处可以填上条件“对角线相等”的是（ ）
A．①②B．①④C．③④D．②③
【变式1-2】（2023·山西晋中·统考二模）在平行四边形的复习课上，小明绘制了如下知识框架图，箭头处添加条件错误的是（ ）
A．①：对角线相等B．②：对角互补C．③：一组邻边相等D．④：有一个角是直角
题型02 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
【例2】（2023·广东佛山·校考一模）给出下列判断，正确的是（ ）
A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形
【变式2-1】（2023·浙江绍兴·统考三模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，AB=6，AD=4，E、F是BC上的两动点，且EF=4，点E从点B出发，当点F移动到点C时，两点停止运动．在四边形AEFD形状的变化过程中，依次出现的特殊四边形是（ ）
A．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形B．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
C．平行四边形→菱形→正方形→菱形D．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形
【变式2-2】（2023·浙江·一模）如图，菱形ABCD中，点O为对称中心，点E从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，作射线EO，交边CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
【变式2-3】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当AB=BC时，它是正方形B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC=BD时，它是矩形D．当∠ABC=90°时，它是矩形
【变式2-4】（2021·云南·统考一模）设A,B,C,D是反比例函数y=kx图象上的任意四点，现有以下结论：
①四边形ABCD可以是平行四边形；
②四边形ABCD可以是菱形；
③四边形ABCD不可能是矩形；
④四边形ABCD不可能是正方形．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【变式2-5】（2020·北京·校考模拟预测）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形；
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是 ．
题型03 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质
【例3】（2020·湖南长沙·二模）菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且互相垂直
C．对角线互相平分D．四条边相等
【变式3-1】（2023·江苏无锡·无锡市民办辅仁中学校考一模）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式3-2】（2023·江苏无锡·校考三模）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对边平行B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角互补
【变式3-3】（2023·湖北随州·模拟预测）矩形具有而菱形也具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线相等C．四边相等D．对角线互相垂直
题型04 利用矩形、菱形、正方形的性质与判定求解
【例4】（2023·江西南昌·校考二模）数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究．如图1，其中∠ADB=∠CBD=30°，∠ABD=∠BDC=90°，AB=CD=3，将Rt△BCD沿射线DB方向平移，得到Rt△B'C'D'，分别连接AB'，DC'（如图2所示），下列有关四边形AB'C'D的说法正确的是（ ）
A．先是平行四边形，平移3个单位长度后是菱形
B．先是平行四边形，平移3个单位长度后是矩形，再平移23个单位长度后是菱形
C．先是平行四边形，平移3个单位长度后是矩形，再平移33个单位长度后是正方形
D．在Rt△BCD平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形
【变式4-1】（2023·广东广州·广州市番禺区市桥星海中学校考一模）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使CH=DE，连接DH．求证：∠ADF=∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，求CF的长．
【变式4-2】（2023·江苏南通·校考三模）（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点，求证：△BFG≌△BCG；
（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8，AB=6，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH=CH，求FG的长．
（3）拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB=6，E为CD边上的三等分点，∠D=60°．将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长．
【变式4-3】（2023·广东深圳·深圳市龙岗区深圳中学龙岗初级中学校考模拟预测）【问题发现】
（1）在一次小组合作探究课上，老师将正方形ABCD和正方形AEFG按如图所示的位置摆放，连接BE和DG，请直接写出线段BE与DG的数量关系______ ，位置关系______ ；
【类比探究】
（2）若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成“矩形ABCD和矩形AEFG，且矩形ABCD ∽矩形AEFG，AE=3，AG=4，如图，点E、D、G三点共线，点G在线段DE上时，若AD=12105，求BE的长．
【拓展延伸】
（3）若将正方形ABCD和正方形AEFG改成菱形ABCD和菱形AEFG，且菱形ABCD∽菱形AEFG如图3，AD=5，AC=6，AG平分∠DAC，点P在射线AG上，在射线AF上截取AQ，使得AQ=35AP，连接PQ，QC，当tan∠PQC=43时，直接写出AP的长．
【变式4-4】（2023·河南信阳·校考三模）综合与实践
综合与实践课上，同学们以“四边形的折叠”为主题开展数学活动．
操作判断
(1)操作一：如图1，将正方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，然后将纸片展开；
操作二：依次将边AB，CD折到对角线AC上，折痕分别为AE，CG，使点B，D分别落在对角线AC上的点F，H处，将纸片展开，连接EH，FG．
根据以上操作，易得出结论：四边形EFGH的形状是______．
迁移探究
(2)如图2，将正方形纸片换成矩形纸片，按照（1）中的方式操作，继续探究．
①小明认为此时四边形EFGH的形状仍然符合（1）中的结论，你认为小明的说法正确吗？请说明理由；
②小亮认为可以通过改变矩形AB与BC的比值，让四边形EFGH成为菱形，你认为小亮说法正确吗？请简述理由．
拓展应用
(3)在（2）的条件下，若AB=6，当F，H分别是线段AC的三等分点时，请直接写出四边形EFGH的面积．
【变式4-5】（2023·山西吕梁·统考三模）综合与实践
问题情境：数学课上，老师提出如下问题：如图，四边形ABCD是矩形，分别以AD，CD为边，在矩形ABCD外侧作正方形ADEF和CDMN（点B，A，F在同一直线上，点B，C，N在同一直线上）．连接FN，取FN的中点P，连接BP．
求证：BP⊥FN，BP=12FN．
解决问题：
(1)请你解答老师提出的问题．
数学思考：
(2)受到老师所提问题的启发，“兴趣小组”又提出了一个新问题：如图，若四边形ABCD是平行四边形∠DAB≠90°，其余条件保持不变，则老师所提问题的结论是否保持不变？请你说明理由．
(3)“智慧小组”所提的问题是：如图，四边形ABCD是菱形，分别以AD，CD为边，在菱形外侧作正方形ADEF和CDMN．连接BD并延长，交FN于点P．若∠DAB=30°，FN=6，求BD的长．请你思考该问题，并直接写出结果．
【变式4-6】（2023·内蒙古包头·二模）（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG；
（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8，AB=6．将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH=CH，求AE的长．
（3）拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB=6,E为CD边上的一点且DE=13DC，∠D=60°．将△ADE沿AE翻折得到△AFE，AF与CD交于H且FH=34，直线EF交直线BC于点P，求PE的长．
【变式4-7】（2023·江西南昌·统考一模）如图，两个全等的四边形ABCD和OA'B'C'，其中四边形OA'B'C'的顶点O位于四边形ABCD的对角线交点O．
(1)如图1，若四边形ABCD和OA'B'C'都是正方形，则下列说法正确的有_______．（填序号）
①OE=OF；②重叠部分的面积始终等于四边形ABCD的14；③BE+BF=22DB．
(2)应用提升:如图2，若四边形ABCD和OA'B'C'都是矩形，AD=a,DC=b，写出OE与OF之间的数量关系，并证明．
(3)类比拓展:如图3，若四边形ABCD和OA'B'C'都是菱形，∠DAB=α，判断（1）中的结论是否依然成立；如不成立，请写出你认为正确的结论（可用α表示），并选取你所写结论中的一个说明理由．
考点三 梯形的性质与判定
梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形.
梯形的分类：
等腰梯形性质：1）等腰梯形的两底平行，两腰相等；
2）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；
3）等腰梯形的两条对角线相等；
4）等腰梯形是轴对称图形（底边的中垂线就是它的对称轴）.
等腰梯形判定：1）两腰相等的梯形是等腰梯形；
2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
3）对角线相等的梯形是等腰梯形.
【解题思路】判定一个四边形是等腰梯形,必须先判定四边形是梯形,再证明同一底边上的两个角相等或两腰相等或两条对角线相等.
梯形的面积公式：S=12×（上底+下底）×高
解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：
1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中；
2）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中.
3）“延长两腰”：构造具有公共角的两个三角形.
4）“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．并且这个三角形面积与原来的梯形面积相等.
5）平移腰.过上底端点作一腰的平行线，构造一个平行四边形和三角形.
6）过上底中点平移两腰.构造两个平行四边形和一个三角形.
题型01 等腰三角形的性质求解
【例1】（2024·上海杨浦·统考一模）已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点E在边AB上，AC与DE交于点F，∠ADE=∠DCA．
(1)求证：AF·AC=AE·CD；
(2)如果点E是边AB的中点，求证：AB2=2DF⋅DE．
【变式1-1】（2022上·上海徐汇·九年级校考阶段练习）已知：如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC,E是对角线BD上一点，∠BCE=∠ABD
(1)求证：△ABD∽△ECB
(2)求证：DC2=DE⋅DB
【变式1-2】（2023·上海虹口·校联考二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点E为BC延长线上一点，∠ADB=∠CDE，点F在BD上，联结CF．
(1)求证：AD⋅DE=AC⋅DC；
(2)如果AD⋅CE=DF⋅DB，求证：四边形DFCE为梯形．
【变式1-3】（2023·四川达州·统考二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，且AB∥DE，
(1)试判断四边形ABED的形状，并说明理由；
(2)若AB=AD=DC，EC=BE，
①求∠B的度数；
②当DC=4cm时，求四边形ABED的面积．
题型02 等腰三角形的判定求解
【例2】（2022上·上海奉贤·九年级统考阶段练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AD=CD，对角线AC,BD相交于点O．
(1)如图1，当∠ADO=∠DCO，求证：四边形ABCD是等腰梯形；
(2)如图2，如果DB=DC，且AB=3,BC=2，求AD的长．
【变式2-1】（2022上·上海松江·九年级统考期末）已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AC=AB，过点D作BC的平行线交AC于点E．
(1)如果∠DEC=∠BEC，求证：CE2=ED⋅CB；
(2)如果AD2=AE⋅AC，求证：AD=BC．
【变式2-2】（2023·上海·模拟预测）已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB=AC，点M、N分别在弦AB、AC上，且AM=CN，AM
(1)求证：OM=ON；
(2)当∠BAC为锐角时，如果AO2=AM⋅AC，求证：四边形AMON为等腰梯形．
题型03 解决梯形问题的常用方法
【例3】（2023上·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是边CD的中点，如果AE平分∠BAD，那么下列结论中不一定成立的是（ ）
A．BE平分∠ABCB．∠AEB=90°
C．AE=12ABD．AB=AD+BC
【变式3-1】（2023下·江苏南京·八年级统考期中）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路．
知识回顾
例如，在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决．
实践操作
如图②，在梯形ABCD中，AD∥BC，F是腰DC的中点，请你沿着AF将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形．
数学发现
如图③，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是两腰AB、DC的中点，我们把EF叫做梯形ABCD的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系?
证明猜想
请结合“实践操作”完成猜想的证明．
【变式3-2】（2022上·上海·九年级开学考试）如图，点E、F分别是梯形ABCD两腰的中点，联结EF、DE，如果图中△DEF的面积为1.5，那么梯形ABCD的面积等于 ．
考点要求
新课标要求
命题预测
正方形的性质与判定
探索并证明正方形的性质定理.
探索并证明正方形的判定定理.
正方形是特殊平行四边形中比较重要的图形，也是几何图形中难度比较大的几个图形之一，年年都会考查，预计2024年各地中考还将出现. 其中，正方还经常成为综合压轴题的问题背景来考察，而正方其他出题类型还有选择、填空题的压轴题，难度都比较大，需要加以重视.解答题中考查正方形的性质和判定，45°半角模型，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函数、动态问题综合应用的可能性比较大．
四边形之间的区别和联系
理解矩形、菱形、正方形之间的关系.
梯形的性质与判定
理解梯形的概念.
四边形
边
角
对角线
对称性
平行四边形
对边平行且相等
对角相等
两条对角线互相平分
中心对称
矩形
对边平行且相等
四个角都是直角
两条对角线互相平分且相等
轴对称、中心对称
菱形
对边平行且四条边都相等
对角相等
两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角
轴对称、中心对称
正方形
对边平行且四条边都相等
四个角都是直角
两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角
轴对称、中心对称
四边形
边
角
对角线
平行四边形
1）两组对边分别平行
2) 两组对边分别相等
3) 一组对边平行且相等
两组对角分别相等
两组对角线互相平分
矩形
1）平行四边形+ 一直角
2）四边形+三直角
平行四边形+两条对角线相等
菱形
1）平行四边形+一组邻边相等
2）四边形+四条边都相等
平行四边形+两条对角线互相垂直
正方形
矩形+一组邻边相等
菱形+一直角
两条对角线互相垂直平分且相等的四边形
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc157028086" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc157028087" 考点一 正方形的性质与判定
\l "_Tc157028088" 题型01 根据正方形的性质求角度
\l "_Tc157028089" 题型02 根据正方形的性质求线段长
\l "_Tc157028090" 题型03 根据正方形的性质求面积
\l "_Tc157028091" 题型04 根据正方形的性质求坐标
\l "_Tc157028092" 题型05 与正方形有关的折叠问题
\l "_Tc157028093" 题型06 求正方形重叠部分面积
\l "_Tc157028094" 题型07 利用正方形的性质证明
\l "_Tc157028095" 题型08 添加一个条件使四边形是正方形
\l "_Tc157028096" 题型09 证明四边形是正方形
\l "_Tc157028097" 题型10 根据正方形的性质与判定求角度
\l "_Tc157028098" 题型11 根据正方形的性质与判定求线段长
\l "_Tc157028099" 题型12 根据正方形的性质与判定求面积
\l "_Tc157028100" 题型13 根据正方形的性质与判定证明
\l "_Tc157028101" 题型14 根据正方形的性质与判定解决多结论问题
\l "_Tc157028102" 题型15 与正方形有关的规律探究问题
\l "_Tc157028103" 题型16 与正方形有关的动点问题
\l "_Tc157028104" 题型17 正方形与一次函数的综合应用
\l "_Tc157028105" 题型18 正方形与反比例函数的综合应用
\l "_Tc157028106" 题型19 正方形与一次函数、反比例函数综合应用
\l "_Tc157028107" 题型20 正方形与二次函数综合应用
\l "_Tc157028108" 考点二 四边形之间的区别与联系
\l "_Tc157028109" 题型01 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
\l "_Tc157028110" 题型02 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
\l "_Tc157028111" 题型03 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质
\l "_Tc157028112" 题型04 利用矩形、菱形、正方形的性质与判定求解
\l "_Tc157028113" 考点三 梯形的性质与判定
\l "_Tc157028114" 题型01 等腰三角形的性质求解
\l "_Tc157028115" 题型02 等腰三角形的判定求解
\l "_Tc157028116" 题型03 解决梯形问题的常用方法
考点一 正方形的性质与判定
正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
正方形的性质：
1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
3）正方形对边平行且相等.
4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；
5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形.
【补充】正方形对角线与边的夹角为45°.
正方形的判定：
1）平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角；
2）矩形+一组邻边相等；
3）矩形+对角线互相垂直；
4）菱形+一个角是直角；
5）菱形+对角线相等.
【解题技巧】判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等．
正方形的面积公式：a2＝对角线乘积的一半=2S△ABC=4S△AOB.
正方形的周长公式：周长= 4a
题型01 根据正方形的性质求角度
【例1】（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考三模）如图，点E、F、G分别是正方形ABCD的边AD、BC、AB上的点，连接DG，EF，GF．且EF=DG，DE=2AG，∠ADG的度数为α，则∠EFG的度数为（ ）
A．αB．2αC．45°-αD．45°+α
【变式1-1】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图，点E是正方形ABCD中的一点，连接EB、EC、EA、ED，若△EBC为等边三角形时，则∠EAD= ．
【变式1-2】（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）如图，正六边形ABCDEF内，以AB为边做正方形ABGH，则∠CBG= ．
【变式1-3】（2023·浙江湖州·统考二模）如图，在正方形ABCD中，延长BC至点F，使得CF=CA，连接AF交CD于点E，则∠AED的度数为 ．
题型02 根据正方形的性质求线段长
【例2】（2024·福建三明·统考一模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AD的中点，连接AC，BE，点M,N分别在BE,AC上，且BM=13ME，CN=13AN，则MN的长为（ ）
A．322B．52C．22D．3
【变式2-1】（2022·湖南长沙·统考一模）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM交CD于点N，若四边形MOND的面积是4，则AB的长为（ ）
A．2B．22C．4D．42
【变式2-2】（2023·广东清远·统考模拟预测）如图，边长分别为2和6的正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P．则GT=（ ）
A．2B．22C．1D．2
【变式2-3】（2023·安徽宿州·统考模拟预测）如图，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若每个直角三角形的面积为4，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）
A．9B．6C．1D．3
【变式2-4】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考模拟预测）已知：正方形ABCD边长为3，E为直线AD上一点，AE=1，连接CE，CE所在直线与AB所在直线交于点F．则AF= ．
题型03 根据正方形的性质求面积
【例3】（2024·重庆大渡口·统考一模）一个正方形的边长为2，它的面积为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【变式3-1】（2023·广东汕尾·三模）如图，大正方形中有2个小正方形，这两个小正方形的面积分别是S1和S2，则S1S2的值是（ ）
A．98B．89C．1D．54
【变式3-2】（2023·江苏苏州·苏州市立达中学校校考一模）如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段a的长度为10-2，则这块地砖的面积为（ ）
A．50B．40C．30D．20
【变式3-3】（2023·河南省直辖县级单位·统考二模）四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC'D'，如果∠DAD'=30°，那么菱形ABC'D'与正方形ABCD的面积之比是（ ）
A．1B．34C．32D．34
【变式3-4】（2023·四川成都·校考三模）如图，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形EFGH拼成一个大正方形ABCD，连接AF和CH,AF=AB．现随机向正方形ABCD内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．
题型04 根据正方形的性质求坐标
【例4】（2023·河北邯郸·校考三模）如图，在正方形ABCD中，已知点A0，3，B5，3．将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α0<α<180°后，点B的对应点B'恰好落在坐标轴上，则点C的对应点C'的坐标为（ ）
A．7，4或5，-2B．7，4或5，-2或-1，-4
C．5，-2或-1，-4D．7，4或4，7
【变式4-1】（2023·河南安阳·统考模拟预测）如图．四边形ABCO为正方形，点A的坐标为1,3，将正方形绕点O逆时针旋转，每次旋转60°，则第2023次旋转结束时，点C所到位置的坐标为（ ）
A．3,-1B．-1,-3C．-1,3D．3,1
【变式4-2】（2019·山东聊城·校联考一模）如图，将边长为3的正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°得到正方形A'BC'D',AD与C'D'交于点M，那么图中点M的坐标为（ ）
A．3,1B．1,3C．3,32D．32,3
【变式4-3】（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点为A-2,0，B2,0．半圆与正方形ABCD组成一个新的图形，点M为DC（靠近点D）的三等分点，将此组合图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点M的坐标为（ ）
A．2+3,-1B．-2-3,-1C．-4+3,-1D．-4-3,-1
【变式4-4】（2023·陕西西安·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴负半轴上，点A的坐标为(-2,0), tan∠DAO=12，求点B的坐标．
题型05 与正方形有关的折叠问题
【例5】（2023·山西朔州·校联考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，AB=2，将其沿EF翻折，使∠EFC=120°，顶点B恰好落在线段AD上的点G处，点C的对应点为点H．则线段AE的长为 ．
【变式5-1】（2023·广西南宁·统考三模）如图，四边形ABCD为正方形纸片，E是边CB的中点，连接DE，P是边CD上一点，将纸片沿着AP折叠，使点D落在DE上的F点处，则DFEF为 ．
【变式5-2】（2023·山东泰安·东平县实验中学统考三模）四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B'处，点A对应点为A'，且S△A'ME:S△CNB'=1:4，则AM的长是 ．
【变式5-3】（2023·安徽池州·统考二模）如图，在正方形ABCD中，G为AD边上一点，将△ABG沿BG翻折到△FBG处，延长GF交CD边于点E，过点F作FH∥BC分别交BG，AB，CD于点H，P，Q，请完成下列问题：
（1）∠EBG= ．
（2）若FH=12BC=8，则BP= ．
【变式5-4】（2023·广东茂名·三模）如图，正方形ABCD中，E是边BC的中点，将△ABE沿AE折叠，得到△AFE，延长EF交边CD于点P．
(1)求证：DP=FP；
(2)若AB=6，求CP的长．
【变式5-5】（2022·湖北武汉·校考模拟预测）（1）如图1，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF= 度；
（2）如图2，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕AE上，
则①∠AEF= 度；
②若AB=3，求线段AP的长；
（3）如图3，在矩形ABCD中，AD=nAB，点E、F分别在边BC、CD上，将矩形ABCD沿AE、AF折叠，点B落在M处，点D落在G处，点A、M、G恰好在同一直线上，若BE=1，AB=a，则DFAB= （用含a、n的代数式表示结果）．
题型06 求正方形重叠部分面积
【例6】（2020·河北·校联考二模）在平面上，边长为2的正方形和短边长为1的矩形几何中心重合，如图①，当正方形和矩形都水平放置时，容易求出重叠面积S=2×1=2．
甲、乙、丙三位同学分别给出了两个图形不同的重叠方式；
甲：矩形绕着几何中心旋转，从图②到图③的过程中，重叠面积S大小不变．
乙：如图④，矩形绕着几何中心继续旋转，矩形的两条长边与正方形的对角线平行时，此时的重叠面积大于图③的重叠面积．
丙：如图⑤，将图④中的矩形向左上方平移，使矩形的一条长边恰好经过正方形的对角线，此时的重叠面积是5个图形中最小的．
下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙、丙都对B．只有乙对C．只有甲不对D．甲、乙、丙都不对
【变式6-1】（2023·山东菏泽·校考一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 ．
【变式6-2】（2021·辽宁抚顺·统考三模）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．设两个正方形重合部分的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2，通过探索，我们发现：无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，始终有S1= S2．
【变式6-3】（2021·山东临沂·校考一模）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖的面积为a，小正方形地砖的面积为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为 （用含a，b的代数式表示）．
题型07 利用正方形的性质证明
【例7】（2022·天津·天津市双菱中学校考模拟预测）如图，在边长为2的正方形ABCD中，动点F，E以相同的速度分别从点D，C同时出发向点C，B运动（任何一个点到达终点时，两点都停止运动）连接AE，BF，AE与BF交于点P，过点P分别作PM∥CD交BC于点M，PN∥BC交CD于点N，连接MN，在运动过程中，
（1）AE和BF的数量关系为 ；
（2）MN长度的最小值为 ．
【变式7-1】（2024·福建三明·统考一模）如图，四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，点E在射线CD上，AC交BE于点O，GH⊥AB交AB延长线于点H．
(1)若D为CE的中点，求证：OE=2OB；
(2)求证：AB=BH．
【变式7-2】（2022·湖北武汉·校考一模）如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点，若AB+CE=AE，以BC为直径作半圆⊙O．
(1)求证：AE与⊙O相切；
(2)若正方形的边长为4，求图中阴影部分的面积．
【变式7-3】（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一点，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，连接CG．
(1)求证：CD⊥CG；
(2)若tan∠MEN=13，求MNEM的值；
(3)已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为12，请说明理由．
题型08 添加一个条件使四边形是正方形
【例8】（2022·广西河池·校联考二模）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等 d.一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是：（ ）
A．仅①B．仅③C．①②D．②③
【变式8-1】（2023·河南周口·统考一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交O，添加下列条件不能判定矩形ABCD是正方形的是（ ）
A．AB=BCB．AC=BDC．AC⊥BDD．∠1=∠2
【变式8-2】（2022·江苏无锡·模拟预测）四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD＝BC，使四边形ABCD为正方形，下列条件中：①AC＝BD；②AB＝AD； ③AB＝CD；④AC⊥BD．需要满足（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①②或①④
【变式8-3】（2021·山东青岛·青岛经济技术开发区第四中学校考一模）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD//BC，OA=OC，AC平分∠BAD．欲使四边形ABCD是正方形，则还需添加 （写出一个合适的条件即可）
题型09 证明四边形是正方形
【例9】（2022·湖南长沙·统考一模）如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
(1)求证：四边形ADOE是正方形；
(2)若AC=2cm，求⊙O的半径．
【变式9-1】（2021·湖南娄底·统考一模）如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2OM，
（1）求证：四边形 AMCN 是矩形；
（2）△ABC 满足什么条件，四边形AMCN是正方形，请说明理由．
【变式9-2】（2022·贵州贵阳·统考二模）如图，已知四边形ABCD是正方形，AB＝42，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG．
(1)求证：矩形DEFG为正方形；
(2)求证：CE＋CG＝8
【变式9-3】（2022·山东枣庄·统考一模）问题解决：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE=AF，DE⊥AF于点G．
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
(2)延长CB到点H，使得BH=AE，判断△AHF的形状，并说明理由．
题型10 根据正方形的性质与判定求角度
【例10】（2023·福建宁德·统考一模）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使顶点B落在AD上点B'处；再将矩形展平，沿AF折叠，使顶点B落在AE上点G处，连接DE． 小明发现△DEC可以由△AFG绕某一点顺时针旋转α0°<α<180°得到，则α= °．
【变式10-1】（2021·北京海淀·统考二模）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则∠BAC与∠DAC的大小关系为：∠BAC ∠DAC（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【变式10-2】（2021·山东菏泽·统考一模）如图，点C在线段AB上，且AC=2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG= ．
【变式10-3】（2022·广东佛山·校考一模）已知：BD是△ABC的角平分线，点E在AB边上，BE＝BC，过点E作EF∥AC，交BD于点F，连接CF，DE．
(1)如图1，求证：四边形CDEF是菱形；
(2)如图2，当∠DEF=90°，AC=BC时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中度数为∠ABD的度数2倍的角．
题型11 根据正方形的性质与判定求线段长
【例11】（2022·广东·统考模拟预测）如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，点D在AC上，且AD=2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连接AG，FG，当AG=FG时，线段DE长为（ ）
A．13B．522C．412D．4
【变式11-1】（2022·天津东丽·统考二模）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点，若BH＝7，BC＝13，则DH＝ ．
【变式11-2】（2023·江苏泰州·校考三模）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C、在直角坐标系中的坐标分别为3,6，-3,3，7,-2，则△ABC内心的坐标为 ．
【变式11-3】（2022·四川绵阳·校联考一模）在直角△ABC中，∠C=90°，1tanA+1tanB=52，∠C的角平分线交AB于点D，且CD=22，斜边AB的值是 ．
题型12 根据正方形的性质与判定求面积
【例12】（2022·广东东莞·东莞市东莞中学初中部校考一模）如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a和b，则a+b2=（ ）
A．12B．13C．24D．25
【变式12-1】（2021·江西·统考一模）如图，已知点O为勾股形ABC（我国古代数学家刘徽称直角三角形为勾股形）的内心，其中∠A为直角，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，∠ADO=∠AFO=∠BEO=90°，若BD=4，CF=6，则正方形ADOF的面积是（ ）
A．2B．4C．3D．16
【变式12-2】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）如图，在正方形ABCD中，O为AC、BD的交点，△DCE为直角三角形，∠CED=90°，OE=32，若CE⋅DE=6，则正方形的面积为（ ）
A．20B．22C．24D．26
【变式12-3】（2022·云南楚雄·统考二模）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE//AB,DF//AC．
（1）试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；
（2）若∠BAC=90°，且AD=22，求四边形AFDE的面积．
题型13 根据正方形的性质与判定证明
【例13】（2022·山东济南·统考二模）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF,DF的延长线交BE于H点．
（1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；
（2）已知BH=7,BC=13，求DH的长．
【变式13-1】（2021·广东深圳·校联考三模）（1）问题背景：如图1，∠ACB＝∠ADE＝90°，AC＝BC，AD＝DE，求证：△ABE∽△ACD；
（2）尝试应用：如图2，E为正方形ABCD外一点，∠BED＝45°，过点D作DF⊥BE，垂足为F，连接CF．求BECF的值；
（3）拓展创新：如图3，四边形ABCD是正方形，点F是线段CD上一点，以AF为对角线作正方形AEFG，连接DE，BG．当DF＝1，S四边形AEDF＝5时，则BG的长为 ．
【变式13-2】（2022·辽宁辽阳·一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD>2CE），直线BG与DE交于点H．
(1)如图1，当点G在CD上时，请直接写出线段BG与DE的数量关系和位置关系；
(2)将正方形CEFG绕点C旋转一周．
①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH-DH=2CH；
②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．
【变式13-3】（2023·内蒙古呼和浩特·校考二模）已知CD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AC，BC上，AD=m，BD=n，△ADE与△BDF的面积之和为S．
(1)填空：当∠ACB=90°，DE⊥AC，DF⊥BC时，
①如图1，若∠B=45°，m=52，则n=_____________，S=_____________；
②如图2，若∠B=60°，m=43，则n=_____________，S=_____________；
(2)如图3，当∠ACB=∠EDF=90°时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由：
(3)如图4，当∠ACB=60°，∠EDF=120°，m=6，n=4时，请直接写出S的大小．
题型14 根据正方形的性质与判定解决多结论问题
【例14】（2023·山东泰安·校考模拟预测）如图，四边形ABCD为正方形，将△EDC绕点C逆时针旋转90°至△HBC，点D，B，H在同一直线上，HE与AB交于点G，延长HE与CD的延长线交于点F，HB=2，HG=3．以下结论：
①∠EDC=135°；②EC2=CD⋅CF；③HG=EF；④sin∠CED=23．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式14-1】（2022·福建厦门·统考模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，正方形EFGH的三个顶点E，F，H分别在矩形ABCD的边AB，BC、DA上，现给出以下结论：
①当AE=4时，S△FGC=16；②当S△FGC=17.5时，AE=5；③当A，G，C三点共线时，AG:GC=2:1；④点G到CD的距离为定值，其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【变式14-2】（2022·山东济南·统考一模）如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E为CD上一动点，AE交BD于点F，过点F作FH⊥AE，交BC于H，连接AH交BD于点P，过H作HG⊥BD于点G，下列结论：①AF=FH，②△CEH的周长是7，③BD=2FG，④△AFP∽△AHE．其中正确的是 （写正确结论的序号）．
【变式14-3】（2023·湖北孝感·统考二模）如图，正方形ABCD的边长为2，点E为对角线AC上一动点(点E不与A、C重合)，过点E作EF⊥BE交直线CD于F，将线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段GF，连接GA，GB，GC，下列结论：①EB=EF；②AC⊥GC；③CE+CG=2CB；④GA+GB的最小值为25，其中正确的是 .(填写所有正确结论的序号)
【变式14-4】（2022·辽宁本溪·统考三模）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，且BE＝2DE，连接AE并延长交CD于点P，点F是BC边上一点，且CF＝2BF，连接AF交BD于点G，连接EF，PF．下列四个结论：①DP＝CP；②S△ABF＝S△FCP；③AE＝EF；④∠DPF＝2∠BGF．其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号）
【变式14-5】（2022·辽宁葫芦岛·校联考二模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是对角线AC上的动点（点E不与A，C重合），连接BE,EF⊥BE交CD于点F，线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段FG，连接BG．下列结论：①BE=EF；②∠ACG=90°；③若四边形BEFG的面积是正方形ABCD面积的一半，则AE的长为42-4；④CG+CE=2AB．其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
题型15 与正方形有关的规律探究问题
【例15】（2023·山东济南·统考一模）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2……；按如图的方式放置，点A1、A2、A3……An在直线y=-x-1，点C1、C2、C3……Cn在x轴上．抛物线L1过点A1、B1，且顶点在直线y=-x-1上，抛物线L2过点A2、B2 ，且顶点在直线y=-x-1上，……按此规律，抛物线Ln过点An、Bn，且顶点也在直线y=-x-1上，抛物线Ln的顶点坐标为( )
A．3×2n-1-1,-3×2n-1B．3×2n-1-1,-3×2n-2
C．3×2n-2-1,-3×2n-1D．3×2n-2-1,-3×2n-2
【变式15-1】（2023·广东惠州·统考二模）如图，点O0,0，A0,1是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以正方形的对角线作正方形，…，依此规律，则点A8的坐标是 ．
【变式15-2】（2023·山东泰安·统考二模）如图，正方形A0B0C0A1的边长为1，正方形A1B1C1A2的边长为2，正方形A2B2C2A3的边长为4，正方形A3B3C3A4的边长为8…依次规律继续作正方形AnBnCnAn+1，且点A0，A1，A2，A3，…，An+1在同一条直线上，连接A0C1交，A1B1于点D1，连接A1C2，交A2B2于点D2，连接A2C3，交A3B3于点D3，…记四边形A0B0C0D1的面积为S1，四边形A1B1C1D2的面积为S2，四边形A2B2C2D3的面积为S3，…，四边形An-1Bn-1Cn-1Dn的面积为Sn，则S2023= ．
【变式15-3】（2023·山东聊城·统考一模）如图，正方形ABCB1中，AB=3，AB与直线l所夹锐角为60°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则线段A2022A2023= ．
【变式15-4】（2023·湖北十堰·统考模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为1，以AC为边作第二个正方形ACEF，再以CF为边作第三个正方形FCGH…，按照这样规律作下去，第10个正方形的边长为 ．
题型16 与正方形有关的动点问题
【例16】（2021·山东菏泽·统考一模）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合）且AM
②无论点M运动到何处，都有DM=2HM；
③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；
④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．
以上结论正确的有 （把所有正确结论的序号都填上）．
【变式16-1】（2023·河南周口·校联考三模）如图，正方形ABCD的边长是8，点E是BC边的中点，连接DE，点F是线段DE上不与点D，E重合的一个动点，连接BF，点G是线段BF的中点，则线段AG的最小值为 ．
【变式16-2】（2023·河南周口·一模）综合与实践
综合与实践课上，老师与同学们以“特殊的三角形”为主题开展数学活动．
（1）操作判断
如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点P是直线AC 上一动点．
操作：连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到PD，连接DC，如图2．
根据以上操作，判断：如图3，当点P与点A重合时，则四边形ABCD的形状是 ；
（2）迁移探究
①如图4，当点P与点C重合时，连接DB，判断四边形ABDC的形状，并说明理由；
②当点P与点A，点C都不重合时，试猜想DC与BC的位置关系，并利用图2证明你的猜想；
（3）拓展应用
当点P与点A，点C都不重合时，若AB=4，AP=3，请直接写出CD的长．
【变式16-3】（2023·浙江·一模）如图1，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，E是边BC上一动点（不与点B、C重合）连结DE，点C关于直线DE的对称点为C'，连结AC'并延长交直线DE于点P、F是AC'的中点，连结DC'、DF．
(1)填空：DC'=________；∠FDP=________．
(2)如图2，将题中条件“∠B=60°”改成“∠B=90°”，其余条件均不变，连结BP，猜想AP、BP、DP这三条线段间的数量关系，并对你的猜想加以证明．
(3)在（2）的条件下，连结AC．
①若动点E运动到边BC的中点处时，求△ACC'的面积；
②在动点E的整个运动过程中，求△ACC'面积的最大值．
题型17 正方形与一次函数的综合应用
【例17】2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A(1,1)，B(-1,1)，C(-1,-1).对于图形M，给出定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P、Q两点之间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d(M).
(1)点D的坐标为__________；
(2)设一次函数y=-x+3的图像是直线l，与x轴交于点E，
①求d(E)；
②记两点的横坐标分别为m和n，若线段PQ在直线l上平移，PQ=2，m
【变式17-2】（2019·贵州遵义·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣23x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．
（1）当t=13秒时，点Q的坐标是 ；
（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；
（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．
题型18 正方形与反比例函数的综合应用
【例18】（2024·福建泉州·模拟预测）如图，反比例函数y=kx(x>0)图象经过正方形OABC的顶点A，BC边与y轴交于点D，若正方形OABC的面积为12，BD=2CD，则k的值为（ ）
A．3B．185C．165D．103
【变式18-1】（2023·吉林长春·吉林省第二实验学校校考二模）如图，已知正方形ABCD的面积为4，它的两个顶点B，D是反比例函数y=kxk>0,x>0的图象上两点．若点D的坐标是a,b，则a-b的值为（ ）
A．3B．-3C．2D．-2
【变式18-2】（2023·浙江温州·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，且OAOB=13，以AB为边向右上方作正方形ABCD．反比例函数y1=k1x与y2=k2x的图象分别过D与C，则k1k2= ．
【变式18-3】（2023·湖北恩施·统考二模）如图，矩形ABOD的两边OB，OD都在坐标轴的正半轴上，OD=4，另两边与反比例函数y=kx的图象分别相交于点E，F，且DE=2．过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥EH于点G，请解答下列问题．
(1) k= ；
(2)当四边形AEGF为正方形时，求点F的坐标；
(3)当AE>EG时，若矩形AEGF∽矩形DOHE，求出相似比．
题型19 正方形与一次函数、反比例函数综合应用
【例19】（2023·安徽淮北·统考三模）如图，已知反比例函数y=kx在第一象限内的图象与正方形AEOC的两边相交于B，D两点．若AB=3，直线y=14x经过点B，则k的值是 ．
【变式19-1】（2023·四川成都·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A-6,0、D-7,3，点B、C在第二象限内．
(1)求点B的坐标；
(2)将正方形ABCD以每秒2个单位的速度沿x轴向右平移t秒，若存在某一时刻t，使在第一象限内点B、D两点的对应点B'、D'正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；
(3)在（2）的情况下，问是否存在y轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B'、D'四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式19-2】（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，已知A0,2，B1,0，连接AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD与反比例函数y=kxk≠0相交于D，E两点，连接CE，交x轴于点F．
(1)求k的值及直线DE的解析式；
(2)求△DEC的面积．
【变式19-3】（2023·广东深圳·模拟预测）如图，一次函数y=ax-3aa≠0的图象与反比例函数y=-24xx>0的图象交于点Mm,-4，与y轴交于点A，与x轴交于点B，△AOB两个外角的平分线在第一象限内交于点C，反比例函数y=kx的图象恰好经过点C．
(1)求m的值和线段AB的长；
(2)求反比例函数y=kx的表达式．
题型20 正方形与二次函数综合应用
【例20】（2023·浙江宁波·校联考一模）如图，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，二次函数y=-x2+bx+c的图象经过B，C两点．
(1)求b，c的值；
(2)若将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形OABC内（不包括边上），求m的取值范围．
【变式20-1】（2023·湖北武汉·模拟预测）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数y=x2+mx+n的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 ；
(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；
(4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．
【变式20-2】（2020·江苏泰州·统考模拟预测）二次函数y=m6x2-2m3x+m(m>0)的图象交y轴于点A，顶点为P，直线PA与x轴交于点B．
（1）当m=1时，求顶点P的坐标；
（2）若点Q（a，b）在二次函数y=m6x2-2m3x+m(m>0)的图象上，且b-m>0，试求a的取值范围；
（3）在第一象限内，以AB为边作正方形ABCD．
①求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
②若该二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，请直接写出符合条件的整数m的值．
【变式20-3】（2020·河北唐山·统考二模）如图1，二次函数y=-13x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为M8,0．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）如图2，y1=23x与二次函数y=-13x2+bx+c的图象交于点N，求△OMN的面积；
（3）如图3，直线y2=4与二次函数y=-13x2+bx+c的图象交于A、B两点（点A在点B的左侧），过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（4）如图4，在（3）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t>0）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由．
考点二 四边形之间的区别与联系
1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质
3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
题型01 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
【例1】（2021·福建宁德·统考一模）如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则下列描述错误的是（ ）
A．①表示有一个角是直角B．②表示有一组邻边相等
C．③表示四个角都相等D．④表示对角线相等
【变式1-1】（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图推理中，空格①②③④处可以填上条件“对角线相等”的是（ ）
A．①②B．①④C．③④D．②③
【变式1-2】（2023·山西晋中·统考二模）在平行四边形的复习课上，小明绘制了如下知识框架图，箭头处添加条件错误的是（ ）
A．①：对角线相等B．②：对角互补C．③：一组邻边相等D．④：有一个角是直角
题型02 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
【例2】（2023·广东佛山·校考一模）给出下列判断，正确的是（ ）
A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形
【变式2-1】（2023·浙江绍兴·统考三模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°，AB=6，AD=4，E、F是BC上的两动点，且EF=4，点E从点B出发，当点F移动到点C时，两点停止运动．在四边形AEFD形状的变化过程中，依次出现的特殊四边形是（ ）
A．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形B．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
C．平行四边形→菱形→正方形→菱形D．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形
【变式2-2】（2023·浙江·一模）如图，菱形ABCD中，点O为对称中心，点E从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，作射线EO，交边CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
【变式2-3】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当AB=BC时，它是正方形B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当AC=BD时，它是矩形D．当∠ABC=90°时，它是矩形
【变式2-4】（2021·云南·统考一模）设A,B,C,D是反比例函数y=kx图象上的任意四点，现有以下结论：
①四边形ABCD可以是平行四边形；
②四边形ABCD可以是菱形；
③四边形ABCD不可能是矩形；
④四边形ABCD不可能是正方形．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【变式2-5】（2020·北京·校考模拟预测）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；
②存在无数个四边形MNPQ是矩形；
③存在无数个四边形MNPQ是菱形；
④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．
所有正确结论的序号是 ．
题型03 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质
【例3】（2020·湖南长沙·二模）菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等且互相平分B．对角线相等且互相垂直
C．对角线互相平分D．四条边相等
【变式3-1】（2023·江苏无锡·无锡市民办辅仁中学校考一模）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式3-2】（2023·江苏无锡·校考三模）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对边平行B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角互补
【变式3-3】（2023·湖北随州·模拟预测）矩形具有而菱形也具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．对角线相等C．四边相等D．对角线互相垂直
题型04 利用矩形、菱形、正方形的性质与判定求解
【例4】（2023·江西南昌·校考二模）数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究．如图1，其中∠ADB=∠CBD=30°，∠ABD=∠BDC=90°，AB=CD=3，将Rt△BCD沿射线DB方向平移，得到Rt△B'C'D'，分别连接AB'，DC'（如图2所示），下列有关四边形AB'C'D的说法正确的是（ ）
A．先是平行四边形，平移3个单位长度后是菱形
B．先是平行四边形，平移3个单位长度后是矩形，再平移23个单位长度后是菱形
C．先是平行四边形，平移3个单位长度后是矩形，再平移33个单位长度后是正方形
D．在Rt△BCD平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形
【变式4-1】（2023·广东广州·广州市番禺区市桥星海中学校考一模）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使CH=DE，连接DH．求证：∠ADF=∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，求CF的长．
【变式4-2】（2023·江苏南通·校考三模）（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点，求证：△BFG≌△BCG；
（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8，AB=6，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH=CH，求FG的长．
（3）拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB=6，E为CD边上的三等分点，∠D=60°．将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长．
【变式4-3】（2023·广东深圳·深圳市龙岗区深圳中学龙岗初级中学校考模拟预测）【问题发现】
（1）在一次小组合作探究课上，老师将正方形ABCD和正方形AEFG按如图所示的位置摆放，连接BE和DG，请直接写出线段BE与DG的数量关系______ ，位置关系______ ；
【类比探究】
（2）若将“正方形ABCD和正方形AEFG改成“矩形ABCD和矩形AEFG，且矩形ABCD ∽矩形AEFG，AE=3，AG=4，如图，点E、D、G三点共线，点G在线段DE上时，若AD=12105，求BE的长．
【拓展延伸】
（3）若将正方形ABCD和正方形AEFG改成菱形ABCD和菱形AEFG，且菱形ABCD∽菱形AEFG如图3，AD=5，AC=6，AG平分∠DAC，点P在射线AG上，在射线AF上截取AQ，使得AQ=35AP，连接PQ，QC，当tan∠PQC=43时，直接写出AP的长．
【变式4-4】（2023·河南信阳·校考三模）综合与实践
综合与实践课上，同学们以“四边形的折叠”为主题开展数学活动．
操作判断
(1)操作一：如图1，将正方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，然后将纸片展开；
操作二：依次将边AB，CD折到对角线AC上，折痕分别为AE，CG，使点B，D分别落在对角线AC上的点F，H处，将纸片展开，连接EH，FG．
根据以上操作，易得出结论：四边形EFGH的形状是______．
迁移探究
(2)如图2，将正方形纸片换成矩形纸片，按照（1）中的方式操作，继续探究．
①小明认为此时四边形EFGH的形状仍然符合（1）中的结论，你认为小明的说法正确吗？请说明理由；
②小亮认为可以通过改变矩形AB与BC的比值，让四边形EFGH成为菱形，你认为小亮说法正确吗？请简述理由．
拓展应用
(3)在（2）的条件下，若AB=6，当F，H分别是线段AC的三等分点时，请直接写出四边形EFGH的面积．
【变式4-5】（2023·山西吕梁·统考三模）综合与实践
问题情境：数学课上，老师提出如下问题：如图，四边形ABCD是矩形，分别以AD，CD为边，在矩形ABCD外侧作正方形ADEF和CDMN（点B，A，F在同一直线上，点B，C，N在同一直线上）．连接FN，取FN的中点P，连接BP．
求证：BP⊥FN，BP=12FN．
解决问题：
(1)请你解答老师提出的问题．
数学思考：
(2)受到老师所提问题的启发，“兴趣小组”又提出了一个新问题：如图，若四边形ABCD是平行四边形∠DAB≠90°，其余条件保持不变，则老师所提问题的结论是否保持不变？请你说明理由．
(3)“智慧小组”所提的问题是：如图，四边形ABCD是菱形，分别以AD，CD为边，在菱形外侧作正方形ADEF和CDMN．连接BD并延长，交FN于点P．若∠DAB=30°，FN=6，求BD的长．请你思考该问题，并直接写出结果．
【变式4-6】（2023·内蒙古包头·二模）（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG；
（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8，AB=6．将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH=CH，求AE的长．
（3）拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB=6,E为CD边上的一点且DE=13DC，∠D=60°．将△ADE沿AE翻折得到△AFE，AF与CD交于H且FH=34，直线EF交直线BC于点P，求PE的长．
【变式4-7】（2023·江西南昌·统考一模）如图，两个全等的四边形ABCD和OA'B'C'，其中四边形OA'B'C'的顶点O位于四边形ABCD的对角线交点O．
(1)如图1，若四边形ABCD和OA'B'C'都是正方形，则下列说法正确的有_______．（填序号）
①OE=OF；②重叠部分的面积始终等于四边形ABCD的14；③BE+BF=22DB．
(2)应用提升:如图2，若四边形ABCD和OA'B'C'都是矩形，AD=a,DC=b，写出OE与OF之间的数量关系，并证明．
(3)类比拓展:如图3，若四边形ABCD和OA'B'C'都是菱形，∠DAB=α，判断（1）中的结论是否依然成立；如不成立，请写出你认为正确的结论（可用α表示），并选取你所写结论中的一个说明理由．
考点三 梯形的性质与判定
梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形.
梯形的分类：
等腰梯形性质：1）等腰梯形的两底平行，两腰相等；
2）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；
3）等腰梯形的两条对角线相等；
4）等腰梯形是轴对称图形（底边的中垂线就是它的对称轴）.
等腰梯形判定：1）两腰相等的梯形是等腰梯形；
2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
3）对角线相等的梯形是等腰梯形.
【解题思路】判定一个四边形是等腰梯形,必须先判定四边形是梯形,再证明同一底边上的两个角相等或两腰相等或两条对角线相等.
梯形的面积公式：S=12×（上底+下底）×高
解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：
1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中；
2）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中.
3）“延长两腰”：构造具有公共角的两个三角形.
4）“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．并且这个三角形面积与原来的梯形面积相等.
5）平移腰.过上底端点作一腰的平行线，构造一个平行四边形和三角形.
6）过上底中点平移两腰.构造两个平行四边形和一个三角形.
题型01 等腰三角形的性质求解
【例1】（2024·上海杨浦·统考一模）已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点E在边AB上，AC与DE交于点F，∠ADE=∠DCA．
(1)求证：AF·AC=AE·CD；
(2)如果点E是边AB的中点，求证：AB2=2DF⋅DE．
【变式1-1】（2022上·上海徐汇·九年级校考阶段练习）已知：如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC,E是对角线BD上一点，∠BCE=∠ABD
(1)求证：△ABD∽△ECB
(2)求证：DC2=DE⋅DB
【变式1-2】（2023·上海虹口·校联考二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点E为BC延长线上一点，∠ADB=∠CDE，点F在BD上，联结CF．
(1)求证：AD⋅DE=AC⋅DC；
(2)如果AD⋅CE=DF⋅DB，求证：四边形DFCE为梯形．
【变式1-3】（2023·四川达州·统考二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，且AB∥DE，
(1)试判断四边形ABED的形状，并说明理由；
(2)若AB=AD=DC，EC=BE，
①求∠B的度数；
②当DC=4cm时，求四边形ABED的面积．
题型02 等腰三角形的判定求解
【例2】（2022上·上海奉贤·九年级统考阶段练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AD=CD，对角线AC,BD相交于点O．
(1)如图1，当∠ADO=∠DCO，求证：四边形ABCD是等腰梯形；
(2)如图2，如果DB=DC，且AB=3,BC=2，求AD的长．
【变式2-1】（2022上·上海松江·九年级统考期末）已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AC=AB，过点D作BC的平行线交AC于点E．
(1)如果∠DEC=∠BEC，求证：CE2=ED⋅CB；
(2)如果AD2=AE⋅AC，求证：AD=BC．
【变式2-2】（2023·上海·模拟预测）已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，AB=AC，点M、N分别在弦AB、AC上，且AM=CN，AM
(1)求证：OM=ON；
(2)当∠BAC为锐角时，如果AO2=AM⋅AC，求证：四边形AMON为等腰梯形．
题型03 解决梯形问题的常用方法
【例3】（2023上·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是边CD的中点，如果AE平分∠BAD，那么下列结论中不一定成立的是（ ）
A．BE平分∠ABCB．∠AEB=90°
C．AE=12ABD．AB=AD+BC
【变式3-1】（2023下·江苏南京·八年级统考期中）在探索平面图形的性质时，往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路．
知识回顾
例如，在证明三角形中位线定理时，就采用了如图①的剪拼方式，将三角形转化为平行四边形使问题得以解决．
实践操作
如图②，在梯形ABCD中，AD∥BC，F是腰DC的中点，请你沿着AF将上图的梯形剪开，并重新拼成一个完整的三角形．
数学发现
如图③，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是两腰AB、DC的中点，我们把EF叫做梯形ABCD的中位线．请类比三角形的中位线的性质，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系?
证明猜想
请结合“实践操作”完成猜想的证明．
【变式3-2】（2022上·上海·九年级开学考试）如图，点E、F分别是梯形ABCD两腰的中点，联结EF、DE，如果图中△DEF的面积为1.5，那么梯形ABCD的面积等于 ．
考点要求
新课标要求
命题预测
正方形的性质与判定
探索并证明正方形的性质定理.
探索并证明正方形的判定定理.
正方形是特殊平行四边形中比较重要的图形，也是几何图形中难度比较大的几个图形之一，年年都会考查，预计2024年各地中考还将出现. 其中，正方还经常成为综合压轴题的问题背景来考察，而正方其他出题类型还有选择、填空题的压轴题，难度都比较大，需要加以重视.解答题中考查正方形的性质和判定，45°半角模型，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函数、动态问题综合应用的可能性比较大．
四边形之间的区别和联系
理解矩形、菱形、正方形之间的关系.
梯形的性质与判定
理解梯形的概念.
四边形
边
角
对角线
对称性
平行四边形
对边平行且相等
对角相等
两条对角线互相平分
中心对称
矩形
对边平行且相等
四个角都是直角
两条对角线互相平分且相等
轴对称、中心对称
菱形
对边平行且四条边都相等
对角相等
两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角
轴对称、中心对称
正方形
对边平行且四条边都相等
四个角都是直角
两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角
轴对称、中心对称
四边形
边
角
对角线
平行四边形
1）两组对边分别平行
2) 两组对边分别相等
3) 一组对边平行且相等
两组对角分别相等
两组对角线互相平分
矩形
1）平行四边形+ 一直角
2）四边形+三直角
平行四边形+两条对角线相等
菱形
1）平行四边形+一组邻边相等
2）四边形+四条边都相等
平行四边形+两条对角线互相垂直
正方形
矩形+一组邻边相等
菱形+一直角
两条对角线互相垂直平分且相等的四边形
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