2023年中考数学压轴真题汇编(全国通用)1.2直角三角形(练习)(原卷版+解析)

这是一份2023年中考数学压轴真题汇编(全国通用)1.2直角三角形(练习)(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022秋·河南郑州·八年级统考期中）满足下列条件的不是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．，，
2．（2022秋·安徽·八年级统考期末）下列命题中，假命题是（ ）
A．全等三角形对应角相等B．对顶角相等
C．同位角相等D．有两边对应相等的直角三角形全等
3．（2022秋·河北石家庄·八年级石家庄市第二十二中学校考期末）两个直角三角形中：①一锐角和斜边对应相等；②斜边和一直角边对应相等；③有两条边相等；④两个锐角对应相等．能使这两个直角三角形全等的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
4．（2022秋·湖北武汉·七年级统考期末）将两个三角板按如图所示的位置摆放，已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2021春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）如图，在中，，，平分交于，于，下列结论不正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
6．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）的三边为，，，下列条件不能确保为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
7．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）直角三角形中两个锐角的差为60°，则较小的锐角度数是______．
8．（2022秋·吉林松原·八年级统考期中）如图，在中，，平分，若，，则_____．
9．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，在中，，点为上一点，连接，，，，则________．
10．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在中，，，以为边在的左侧作等边，连接，则______°．
三、解答题
11．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期末）已知：如图，，，、相交于点O．求证：是等腰三角形．
12．（2021春·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）如图，，是上的一点，且，．
(1)与全等吗？并说明理由．
(2)若，求的长．
提升篇
一、填空题
1．（2022秋·湖南株洲·八年级校考期中）等腰三角形一条腰上的高与另一条腰所成的角为25°，那么这个等腰三角形顶角的度数为_____．
2．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，在中，，点在边上，过点作，垂足为点，如果，且，那么的度数是________．
3．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第十六中学校考期末）如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接，，，若，则___________．
4．（2022秋·广东阳江·八年级统考期中）如图，在中，，D为的中点，，点P为边上的动点，点E为边上的动点，则的最小值为 _____．
5．（2022秋·四川资阳·七年级统考期末）如图，在长方形中，E点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠压平，如图，若图中，则的度数为___________．
二、解答题
6．（2022秋·北京东城·七年级景山学校校考期末）如图，已知、是的边、上的高，P是上的一点，且，Q是的延长线上的一点，且，求证：且．
7．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图，在中，，，为的中线，D在上，，垂足为H，连接．求证：
(1)；
(2)．
8．（2022秋·河南驻马店·八年级校联考期中）在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
(1)问是否为从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明；
(2)求的长．
第一章 三角形的证明
第二节 直角三角形
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2022秋·河南郑州·八年级统考期中）满足下列条件的不是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．，，
【答案】A
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，逐一进行判断即可．
，
不是直角三角形，故A符合题意；
B. ，
，
是直角三角形，故B不符合题意；
C. ，
，
，
，
是直角三角形，故C不符合题意；
D. ，，，
，
，
是直角三角形，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
2．（2022秋·安徽·八年级统考期末）下列命题中，假命题是（ ）
A．全等三角形对应角相等B．对顶角相等
C．同位角相等D．有两边对应相等的直角三角形全等
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质与判定即可判断A、D；根据对顶角的性质即可判断B；根据平行线的性质即可判断C．
【详解】解：A、全等三角形对应角相等，是真命题，不符合题意；
B、对顶角相等，是真命题，不符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，是假命题，符合题意；
D、有两边对应相等的直角三角形全等，是真命题，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了判断命题真假，熟知平行线的性质，全等三角形的性质与判定，对顶角的性质是解题的关键．
3．（2022秋·河北石家庄·八年级石家庄市第二十二中学校考期末）两个直角三角形中：①一锐角和斜边对应相等；②斜边和一直角边对应相等；③有两条边相等；④两个锐角对应相等．能使这两个直角三角形全等的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
【答案】C
【分析】根据直角三角形全等的判定可进行排除选项．
【详解】解：①一锐角和斜边对应相等，可根据“AAS”或“ASA”判定这两个直角三角形全等，故符合题意；
②斜边和一直角边对应相等，可根据“HL”判定这两个直角三角形全等，故符合题意；
③有两条边相等，分当这两边分别是斜边和一条直角边时，可根据“HL”判定全等，当这两条边为直角边时，可根据“SAS”判定全等，故符合题意；
④两个锐角对应相等，没有边的相等，故不能判定全等；
故选C．
【点睛】本题主要考查直角三角形的全等，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键．
4．（2022秋·湖北武汉·七年级统考期末）将两个三角板按如图所示的位置摆放，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据余角的性质：等角的余角相等即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了余角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
5．（2021春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）如图，在中，，，平分交于，于，下列结论不正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，根据含30度直角三角形的性质得到，再根据角平分线的定义得到，即可证明从而判断A、B；再根据即可判断C、D．
【详解】解：∵在中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，故B不符合题意
∴，故A不符合题意；
∵，
∴，
∴，故C符合题意，D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余，灵活运用所学知识是解题的关键．
6．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）的三边为，，，下列条件不能确保为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
解得：，
∴，
即为直角三角形，故A选项不符合题意；
设，
∴，
即不为直角三角形，故B选项符合题意；
∵，
∴，
即为直角三角形，故C选项不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
即为直角三角形，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，三角形内角和定理是解题的关键．
二、填空题
7．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）直角三角形中两个锐角的差为60°，则较小的锐角度数是______．
【答案】15°##15度
【分析】根据直角三角形中两个锐角互余，且差为60°，即可得到结果．
【详解】解：设其中较小的一个锐角是，则另一个锐角是，
直角三角形中两个锐角互余，
，
解得：，
较小的一个锐角是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形两个锐角互余，根据题意列出方程是解题的关键．
8．（2022秋·吉林松原·八年级统考期中）如图，在中，，平分，若，，则_____．
【答案】##30度
【分析】由平分，可得角相等，由，，可求得的度数，在直角三角形中利用两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵平分，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为直角三角形，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形的角平分线和高，直角三角形两锐角互余等知识点．理解和掌握三角形的角平分线和高的定义是解题的关键．
9．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，在中，，点为上一点，连接，，，，则________．
【答案】
【分析】根据勾股定理的逆定理可得，然后设，则，在中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，即，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
即．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，根据题意得到是解题的关键．
10．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在中，，，以为边在的左侧作等边，连接，则______°．
【答案】30
【分析】根据等腰三角形和直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵，，以为边在的左侧作等边，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了等腰三角形和直角三角形的性质，掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解题的关键．
三、解答题
11．（2022秋·河北石家庄·八年级校考期末）已知：如图，，，、相交于点O．求证：是等腰三角形．
【答案】证明见解析
【分析】首先根据全等三角形的判定定理，即可证得，可得，再根据等角对等边，即可证得结论．
【详解】证明：在和中，，
，
，
，
是等腰三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，证得是解决本题的关键．
12．（2021春·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期中）如图，，是上的一点，且，．
(1)与全等吗？并说明理由．
(2)若，求的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)．
【分析】（1）根据证明和全等解答即可；
（2）根据全等三角形的性质及平角的定义证明是等腰直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：，
证明：∵，
∴，
∵，
在和中，，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴是等腰直角三角形．
∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，根据证明是解题的关键．
提升篇
一、填空题
1．（2022秋·湖南株洲·八年级校考期中）等腰三角形一条腰上的高与另一条腰所成的角为25°，那么这个等腰三角形顶角的度数为_____．
【答案】65°或115°
【分析】分类讨论：①当该等腰三角形为锐角三角形时，②当该等腰三角形为钝角三角形时，结合题意，即可求出其顶角的大小．
【详解】解：分类讨论：①如图，当该等腰三角形为锐角三角形时，
由题意可知，，
；
②如图，当该等腰三角形为钝角三角形时，
由题意可知，，
．
故答案为：或
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，注意掌握分类讨论思想和数形结合思想的应用是解题的关键．
2．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，在中，，点在边上，过点作，垂足为点，如果，且，那么的度数是________．
【答案】##36度
【分析】根据证明，可得，，根据求出，进而可求出的度数．
【详解】解：，
∴．
在和中
，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，四边形内角和等知识，证明是解答本题的关键．
3．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第十六中学校考期末）如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接，，，若，则___________．
【答案】
【分析】根据已知条件可以判断，根据三角形外角定理可得到：，同理，
，在等腰三角形中，已知顶角，即可求出底角的度数．
【详解】∵，
∴，
∴，,
在中，，
同理可得到：，
，
在等腰三角形中，；
故答案是．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线定理和三角形外角定理的运用，掌握基本定理是解题的关键．
4．（2022秋·广东阳江·八年级统考期中）如图，在中，，D为的中点，，点P为边上的动点，点E为边上的动点，则的最小值为 _____．
【答案】
【分析】根据勾股定理的逆定理得到，得到点B，点C关于直线对称，当交于P时的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】连接,
∵，
∴，
∴，
∵D为的中点，，
∴垂直平分，，
∴点B，点C关于直线对称，
∴
∴当点C、P、E三点共线时，最小
当时，最小，即的值最小，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的逆定理，两点这间线段最短，线段垂直平分线的性质，三角形的面积公式，利用两点之间线段最短来解答本题．
5．（2022秋·四川资阳·七年级统考期末）如图，在长方形中，E点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠压平，如图，若图中，则的度数为___________．
【答案】
【分析】求的大小只需根据折叠规律、平角知识和角的和差求出大小即可．
【详解】解：折叠后的图形如下：
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题综合考查了两角互余的性质，图形的折叠特性、平角及角的和等知识为背景的角的计算，同时也可以用平角建立等量关系，方程的思想求解更简单．
二、解答题
6．（2022秋·北京东城·七年级景山学校校考期末）如图，已知、是的边、上的高，P是上的一点，且，Q是的延长线上的一点，且，求证：且．
【答案】见解析
【分析】先利用定理证出，再根据全等三角形的性质可得，，然后根据直角三角形的两个锐角互余、等量代换即可得．
【详解】证明：、是的边、上的高，
，，
，
．
在和中，
，
．
，．
又，
，
，即，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余，正确找出两个全等三角形是解题关键．
7．（2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期中）如图，在中，，，为的中线，D在上，，垂足为H，连接．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先证，又得，从而即可证明；
（2）作交延长线于点F，先证得，再证得，从而即可得证．
【详解】（1）证明：∵，垂足为H，
∴，
∴，
又
∴，
∴．
（2）证明：作交延长线于点F，
∴，
又
∴
在和中，

∴，
∴，
又为的中线，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
在和中，
∴，
∴，
又，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、中线定义以及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
8．（2022秋·河南驻马店·八年级校联考期中）在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
(1)问是否为从村庄到河边的最近路？请通过计算加以说明；
(2)求的长．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)千米
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）是，理由如下：
在中，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴是从村庄到河边的最近路
（2）设，则，
∴，
在Rt中
，
∴，
解得：
即的长为千米．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理和勾股定理逆定理的内容是解题的关键．