重庆市第一中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题试卷（Word版附解析）

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命题人：张星宇 审题人：朱海军
一、单选题（每题5分，共计40分）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解出集合，按照集合的交运算进行运算即可.
【详解】因，
，
所以，
故选：B.
2. 已知函数，则的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的定义域的求法列不等式，由此求得的定义域.
【详解】依题意或，
所以的定义域为.
故选：B
3. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值.
【详解】由已知可得，则.
故选：D.
4. 函数的零点所在的区间为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：可以求得，所以函数的零点在区间内．故选C．
考点：零点存在性定理．
5. 为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为5000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是（参考数据：，）（ ）
A. 2024年B. 2025年C. 2026年D. 2027年
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数增长模型列式求解.
【详解】设2020后第x年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元，
则，即，
解得，
则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28亿元的年份是2026．
故选：C．
6. 函数的图象的大致形状是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据解析式的特征,选择特殊值代入即可判断选项.
【详解】函数
当时, ,所以排除C、D选项;
当时, ,所以排除A选项;
所以B图像正确
故选:B
【点睛】本题考查了函数图像的应用,根据解析式判断函数图像可结合奇偶性、单调性、特殊值等方法,属于基础题.
7. 已知函数.若，使得成立，则实数的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据基本不等式及函数的单调性求得，结合题意知，解出即可.
【详解】因为，
当且仅当，且即时等号成立，
所以，
又函数在上单调递增，
所以，
由题意可知，
即，所以，
故选：C.
8. 设函数的定义域为，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心.利用对称中心的上述定义，研究函数，可得到（ ）
A. 0B. 2023C. 4046D. 4047
【答案】D
【解析】
【分析】根据题中定义可知的图象关于点对称，然后根据对称性即可求值.
【详解】因为，
则，
故的图象关于点对称，
所以
，
故选：D.
二、多选题（每题5分，共计20分）
9. 若，则下列命题正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称B. 的图象关于点（0，0）中心对称
C. 没有最小值D. 没有最大值
【答案】AD
【解析】
【分析】由题意得出的奇偶性，从而可判断选项A,B;由，结合对数函数的单调性可判断选项C,D.
【详解】，所以为偶函数. 则选项A正确，选项B不正确.
设，所以（当时取得等号）
当或时，，则，所以没有最大值.
所以选项C不正确，选项D正确.
故选：AD
10. 下列四个函数中过相同定点的函数有（ ）
A. B.
C D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据函数解析式，结合幂指对函数的性质确定各函数所过的定点坐标，即可判断过相同定点的函数.
【详解】A：必过；
B：，由知函数必过；
C：，由知函数必过；
D：，由知函数必过；
∴A、B、C过相同的定点.
故选：ABC.
11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，函数有3个零点
B. 当时，若函数有三个零点，则
C. 若函数恰有2个零点，则
D. 若存在实数m使得函数有3个零点，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，令与，解出方程的根，得到零点个数；B选项，画出与的图象，得到要想有三个零点，则，进而得到，，求出的范围即可；C选项，求出当时，函数零点的个数，即可判断；D选项，要想存在实数m使得函数有3个零点，则要保证对称轴左侧部分存在，从而求出的范围.
【详解】对于A，当时，，
当时，令，解得，
当时，令，解得或，
综上，当时，函数有3个零点，故A正确；
对于B，当时，，
令，则，
如图，画出与的图象如下：
要想有三个零点，则，
不妨设，则，，
故，则，
则，故B正确；
对于C，因为时，，或4时，，
当时，不存在零点，而有两个零点，
此时函数恰有2个零点，
则当时，函数也恰有2个零点，故C错误；
对于D，画出与的图象如下：
要想存实数m使得函数有3个零点，则要保证对称轴左侧部分存在，故，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
12. 定义且.则下列关于函数的四个命题正确的是（ ）
A. 函数的定义域为，值域为
B. 函数是偶函数且在上是增函数：
C. 函数满足：对任意的，都有为常数且成立；
D. 函数有2个不同零点.
【答案】BCD
【解析】
【分析】画出函数的草图，根据函数的图象结合函数的性质逐项判断即可.
【详解】函数的草图如下：
由图象可知：且为偶函数，
则为偶函数，且，
故A错误，B正确；
由图象可知，函数的周期为1,
又为偶函数，，
所以，故C正确；
对于D，为偶函数，
当，有一个零点1，
且，
故在上有唯一零点，
结合函数为偶函数，故共有两个零点，故D正确，
故选：BCD.
三、填空题（每题5分，共计20分）
13. 若幂函数是偶函数，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的定义得，解得或，再结合偶函数性质得.
【详解】解：因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，，为奇函数，不满足，舍；
当时，，为偶函数，满足条件.
所以.
故答案为：
14. 函数的单调递增区间是________
【答案】
【解析】
【分析】先求函数定义域，再根据复合函数单调性确定单调增区间.
【详解】
当时，单调递减，而也单调递减，所以单调递增，
故答案为：
【点睛】本题考查复合函数单调性、对数函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.
15. 已知函数在区间上的最大值是7，则__________.
【答案】或
【解析】
【分析】设，把函数化为关于的一元二次函数，分离讨论的范围，根据函数最大值建立方程，解出即可.
【详解】设，又，
若，则，
函数，
对称轴为，
则，即时，，
解得或（舍）；
若时，，
函数，
对称轴为，
则，即时，，
解得或（舍）；
故答案为：或.
16. 已知函数，若、、、、满足，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】设，作出函数的图象，可得，利用对称性可得，由可求得，进而可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】作出函数的图象如下图所示：
设，
当时，，
由图象可知，当时，直线与函数的图象有五个交点，
且点、关于直线对称，可得，同理可得，
由，可求得，
所以，
.
因此，的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
四、解答题（共70分）
17. 设集合.
（1）若时，求.
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；或.
（2）
【解析】
【分析】（1）解出集合,按照集合的运算法则进行运算即可；
（2）由题意得，分和两种情况讨论，列出不等式组，解出即可.
【小问1详解】
因为，
当时，,
所以，或，
故或.
【小问2详解】
因为，所以,
当时，，解得；
当时，，解得，
综上知，的取值范围为.
18. 已知且.
（1）求的值；
（2）若，解关于的不等式：（其中）.
【答案】（1）12 （2）当t=0时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当不等式的解集为.
【解析】
【分析】（1）先把对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．
（2）根据对数的运算性质可求出a的值，再对t分情况讨论，分别求出不等式的解集．
【小问1详解】
且，
【小问2详解】
∴不等式可化为
当t=0时，不等式为，解得，
当不等式的解集为，
当不等式的解集为，
当不等式的解集为
综上所述，当t=0时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当不等式的解集为.
19. 已知定义在上的奇函数．在时，．
（1）试求的表达式；
（2）若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，再设，根据奇偶性及上的函数解析式，计算可得；
（2）依题意参变分离可得，令，，根据指数函数的性质求出函数的单调性，即可求出函数最小值，从而得解；
【小问1详解】
解：是定义在上的奇函数，，
因为在时，，
设，则，
则，
故 .
【小问2详解】
解：由题意，可化为
化简可得，
令，，
因为在定义域上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，
，
故．
20. 中国茶文化博大精深，小南在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感时的水温不同．为了方便控制水温，小南联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度为，环境温度是，则经过时间（单位：分钟）后物体温度（单位：）满足公式：，其中是一个随着物体与空气接触状况而定的正的常数．小南与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到200毫升初始温度为的水，在室温中温度下降到温度所需时间约为分钟．
（1）请根据小南的实验结果求出的值（精确到），并依照牛顿冷却模型写出冷却时间（单位：分）与冷却后水温（单位：）的函数关系．
（2）小南了解到“永川秀芽”用左右的水冲泡口感最佳．在（1）的条件下，毫升水煮沸后（水温）在室温下为获得最佳口感大约需要冷却多少分钟再冲泡？（结果保留整数）
参考数据：，，，
【答案】（1），；
（2）5分钟.
【解析】
【分析】（1）运用代入法，结合对数的定义、题中所给的数据进行求解即可；
（2）运用代入法，结合题中所给的数据进行求解即可.
【小问1详解】
由题意可知，，解得：，即；
.
由题意：，即，
解得：；
【小问2详解】
当时，.
大概需要5分钟冷却再冲泡.
21. 设函数的定义域为，若存在，使得，则称为函数的“旺点”.
（1）求函数在上的“旺点”；
（2）若函数在上存在“旺点”，求正实数的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）利用题中定义，列方程求解即可
（2）根据题意将问题转化为方程在上有解，化简可得，讨论二次项系数使方程在上有解即可.
【详解】（1）由题意，有，化简得，
∴为所求“旺点”.
（2）方程在上有解，
化简得，
记，，
①当，即时，在上无根，故舍去；
②当，即时，的对称轴为，，
∴对一切恒成立，故舍去；
③当，即时，的对称轴为，
故只需，即，解得；
综上所述，正实数的取值范围为.
【点睛】本题是一道函数的新定义题目，考查了方程的根以及含参数的一元二次方程的根，考查了学生对新定义题目的理解能力，属于中档题.
22. 设函数.
（1）已知在区间上单调递增，求的取值范围；
（2）是否存在正整数，使得在上恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在满足条件，理由见解析
【解析】
【分析】（1），分，结合函数单调性讨论即可求解；
（2）根据题意可知，理由对称轴和的关系进行讨论，分别研究即可求解.
【小问1详解】
由题可知，
当时，在上单调递增，从而在，符合题意；
当时，由对勾函数的性质可知：在上单调递减，在上单调递增，故，即，
综上可知，的取值范围为.
【小问2详解】
因为，其对称轴为，
由题知，
当时，在上恒成立，等价于，
当，即时，在上单调递减，
所以，
因为，所以，
所以，与矛盾；
当，即时，则有，
由可得，结合可得，由为正整数得，
又，由可得，，即，则，
所以，结合得，此时，符合条件，
故存在满足条件.