广东省东莞沙田实验中学2023—2024学年下学期九年级中考数学一模试卷（含答案）

这是一份广东省东莞沙田实验中学2023—2024学年下学期九年级中考数学一模试卷（含答案），共25页。试卷主要包含了横跨深圳及香港之间的深圳湾大桥，如果2m＝3n，宽与长的比是等内容，欢迎下载使用。
1．四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．横跨深圳及香港之间的深圳湾大桥（ShenzhenBayBridge）是中国唯一倾斜的独塔单索面桥，大桥全长4770米，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．4.77×103B．47.7×102C．477×10D．0.477×104
3．若x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则下列式子成立的是（ ）
A．a+b+c＝0B．a﹣b+c＝0C．a+b﹣c＝0D．﹣a+b+c＝0
4．如果2m＝3n（n≠0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA的值是（ ）
A．B．C．D．2
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′．若∠BAC＝50°，则∠CAB′的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．80°
7．抛物线y＝x2+4x+4与x轴的交点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于B，则△POB的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（ ）
A．πcmB．2πcmC．3πcmD．4πcm
10．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFEB．矩形EFCDC．矩形EFGHD．矩形DCGH
二．填空题（共5小题）
11．在平面直角坐标系中，点（2，﹣3）关于原点的对称点坐标为 ．
12．正八边形每一个外角的度数为 ．
13．分解因式：2m2﹣2n2＝ ．
14．要使代数式有意义，x的取值范围是 ．
15．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于 A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是 ．
三．解答题（共11小题）
16．计算：||+2﹣1﹣cs60°﹣（1﹣）0．
17．如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于D点（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若∠C＝30°，求证：DC＝DB．
18．先化简，再求值：，并从2，-2,-1,1四个数中选一个合适的数作为x的值代入求值．
19．目前我市“校园手机”现象越来越受到社会的关注，针对这种现象，某校初三（3）班数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对“中学生带手机的”的态度（态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成；D．反对）．并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求出图2中扇形C所对的圆心角的度数为 度，并将图1补充完整；
（2）根据抽样调查结果，请你估计该校11000名中学生家长中持反对态度的人数．
20．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边上一点，∠EAB＝∠EBC．
（1）求证：△ABE∽△BEC；
（2）若AB＝4，DE＝3，求BE的长．
21．（已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
22．如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0）交反比例函数的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，连接OP、OQ．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△OPQ面积的最大值．
23．一天中某一时刻太阳光线与水平线的夹角随着季节的变化而变化，夏至时夹角最大，冬至时夹角最小，若今年十二月二十二日（冬至）的某一时刻太阳光线与水平线的最小夹角约为30°．现湖州某小区有两幢居民住宅楼高都为15米，两楼相距20米，如图所示．
（1）在今年冬至的这一时刻，该小区甲楼的影子落在乙楼的底部（即DC）有多高？
（2）若在本小区内继续兴建同样高的住宅楼，两楼相距至少应该多少米，才不影响楼房的采光（前一幢楼房的影子不能落在后一幢楼房上）？
（注：，计算结果精确到0.1米）
24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝12，AC＝16时，求CD和DP的长．
25．如图，抛物线y1＝ax2+bx+与x轴交于点A（﹣3，0），点B，点D是抛物线y1的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线y1所对应的函数解析式；
（2）如图1，点M是抛物线y1上一点，且位于x轴上方，横坐标为m，连接MC，
若∠MCB＝∠DAC，求m的值；
（3）如图2，将抛物线y1平移后得到顶点为B的抛物线y2．点P为抛物线y1上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线y2于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线y2于点R．当以点P，Q，R为顶点的三角形与△ACD全等时，请直接写出点P的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可．
【解答】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．该图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．横跨深圳及香港之间的深圳湾大桥（ShenzhenBayBridge）是中国唯一倾斜的独塔单索面桥，大桥全长4770米，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．4.77×103B．47.7×102C．477×10D．0.477×104
【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n，n为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【解答】解：4770＝4.77×103．
故选：A．
【点评】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n是正整数，正确确定a的值和n的值是解题的关键．
3．若x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则下列式子成立的是（ ）
A．a+b+c＝0B．a﹣b+c＝0C．a+b﹣c＝0D．﹣a+b+c＝0
【分析】将x＝﹣1代人方程后即可得到正确的选项．
【解答】解：∵x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
∴a﹣b+c＝0，
故选：B．
【点评】考查了一元二次方程的解的知识，解题的关键是了解方程的解能使得方程左右两边相等，难度不大．
4．如果2m＝3n（n≠0），那么下列比例式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】内项之积等于外项之积，依据比例的基本性质进行判断即可．
【解答】解：A．由，可得2m＝3n，符合题意；
B．由，可得mn＝6，不符合题意；
C．由，可得3m＝2n，不符合题意；
D．由，可得mn＝6，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了比例的基本性质，解决问题的关键是掌握：内项之积等于外项之积．
5．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA的值是（ ）
A．B．C．D．2
【分析】如图连接格点BD、CD．在Rt△ABD中求出∠A的正切值．
【解答】解：如图，连接格点BD、CD．
在Rt△ABD中，
tanA＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形，连接BD构造直角三角形是解决本题的关键．
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′．若∠BAC＝50°，则∠CAB′的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．80°
【分析】根据旋转的性质找到对应点、对应角、对应线段作答．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′，
∴∠BAB′＝80°，∠BAC＝50°，
∴∠CAB′＝∠BAB′﹣∠BAC＝30°．
故选：A．
【点评】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
7．抛物线y＝x2+4x+4与x轴的交点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】令函数值为0，得到一元二次方程，再根据根的判别式判断有几个解就是与x轴有几个交点．
【解答】解：令y＝0，即x2+4x+4=0，
∵Δ＝b2﹣4ac＝（4）2﹣4×1×4＝0，
∴方程x2+4x+4=0有两个相等的实数根，
∴抛物线y＝x2+4x+4与x轴有一个交点，
故选：B．
【点评】此题主要考查抛物线与x轴的交点，解题关键是将抛物线与x轴交点的个数问题转化为一元二次方程根的问题．
8．如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于B，则△POB的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义得到S△POA＝×4＝2，S△BOA＝×2＝1，然后利用S△POB＝S△POA﹣S△BOA进行计算即可．
【解答】解：∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，
∴S△POA＝×4＝2，S△BOA＝×2＝1，
∴S△POB＝2﹣1＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．
9．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（ ）
A．πcmB．2πcmC．3πcmD．4πcm
【分析】连接OC，OD，求出圆心角∠COD的度数，然后根据弧长公式求出弧长即可．
【解答】解：连接OC，OD，
∵AC、BD分别与⊙O相切于点C、D，
∴∠OCP＝∠ODP＝90°，
由四边形内角和为360°可得，
∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠CPD＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∴的长＝＝2π（cm）．
故选：B．
【点评】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
10．宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFEB．矩形EFCDC．矩形EFGHD．矩形DCGH
【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF＝GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形．
【解答】解：设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1
在直角三角形DCF中，DF＝＝
∴FG＝
∴CG＝﹣1
∴＝
∴矩形DCGH为黄金矩形
故选：D．
【点评】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念．解题时注意，宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形ABGH也为黄金矩形．
二．填空题（共5小题）
11．在平面直角坐标系中，点（2，﹣3）关于原点的对称点坐标为 （﹣2，3） ．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点（2，﹣3）关于原点的对称点坐标为（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．
12．正八边形每一个外角的度数为 45° ．
【分析】根据正八边形中心角的定义，即可求解
【解答】解：
∵多边形的外角和为360°，
∴每个外角度数为：360°÷8＝45°，
故答案为：45°．
【点评】主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°，是解题的基础．
13．分解因式：2m2﹣2n2＝ 2（m+n）（m﹣n） ．
【分析】先提公因式2，然后根据平方差公式因式分解即可求解．
【解答】解：2m2﹣2n2＝ 2（m+n）（m﹣n） ，
故答案为：2（m+n）（m﹣n）．
【点评】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
14．要使代数式有意义，x的取值范围是 x≥0且x≠1 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x≥0，根据分式有意义的条件可得x﹣1≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x≥0，且x﹣1≠0，
解得：x≥0且x≠1，
故答案为：x≥0且x≠1．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
15．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于 A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是 ．
【分析】连接BP，如图，先解方程x2﹣4＝0得A（﹣4，0），B（4，0），再判断OQ为△ABP的中位线得到OQ＝BP，利用点与圆的位置关系，连接BC交圆于P时，PB最小，然后计算出BP的最小值即可得到线段OQ的最小值．
【解答】解：连接BP，如图，
当y＝0时，x2﹣4＝0，解得x1＝4，x2＝﹣4，则A（﹣4，0），B（4，0），
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ＝BP，
当BP最小时，OQ最小，
连接BC交圆于P时，PB最小，
∵BC＝＝5，
∴BP的最小值＝5﹣2＝3，
∴线段OQ的最小值为．
故答案为．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了三角形中位线．
三．解答题（共11小题）
16．计算：||+2﹣1﹣cs60°﹣（1﹣）0．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2﹣+﹣﹣1＝1﹣．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于D点（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若∠C＝30°，求证：DC＝DB．
【分析】（1）根据角平分线的作法求出角平分线BD；
（2）想办法证明∠C＝∠CBD即可；
【解答】（1）解：射线BD即为所求；
（2）∵∠A＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝30°，
∴∠C＝∠CBD＝30°，
∴DC＝DB．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，等腰三角形的判断等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
18．先化简，再求值：，并从2，-2,-1,1四个数中选一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】先根据分式的混合运算法则化简原式，再利用分式有意义的条件得出符合分式的x的值，代入计算可得．
【解答】解：原式＝
＝
＝·
=
为使分式有意义，则有x+2≠0，x﹣1≠0，x﹣2≠0，
x≠﹣2，x≠1，x≠2，
此时，取x＝-1，
当x＝-1时，原式＝1，
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及因式分解的应用，注意取合适的值时，要使分式有意义．
19．目前我市“校园手机”现象越来越受到社会的关注，针对这种现象，某校初三（3）班数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对“中学生带手机的”的态度（态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成；D．反对）．并将调查结果绘制成频数折线统计图1和扇形统计图2（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）求出图2中扇形C所对的圆心角的度数为 18 度，并将图1补充完整；
（2）根据抽样调查结果，请你估计该校11000名中学生家长中持反对态度的人数．
【分析】（1）根据选择B的人数和B所占的百分比，可以求得此次抽样调查中，共调查了多少名中学生家长；根据扇形统计图中的数据和总人数可以得到选择A和C的人数，然后即可计算出图2中扇形C所对的圆心角的度数，并将图1补充完整；
（2）根据扇形统计图中的数据，可以计算出我校11000名中学生家长中有多少名家长持反对态度．
【解答】解：（1）40÷20%＝200（名），
选择A的学生有：200×15%＝30（人），
选择C的学生有：200﹣30﹣40﹣120＝10（人），
图2中扇形C所对的圆心角的度数为：360°×＝18°，
即图2中扇形C所对的圆心角的度数为18°，补充完整的图1如图所示；
（2）11000×60%＝6600（名），
即我校11000名中学生家长中有6600名家长持反对态度．
【点评】本题考查频数分布折线图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边上一点，∠EAB＝∠EBC．
（1）求证：△ABE∽△BEC；
（2）若AB＝4，DE＝3，求BE的长．
【分析】（1）利用平行四边形的性质得到∠EBA＝∠BEC，再判定相似即可．
（2）利用（1）中的相似三角形的性质求线段长度即可．
【解答】（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠EBA＝∠BEC，
又∵∠EAB＝∠EBC，
∴△ABE∽△BEC．
（2）解：∵四边形ABCD平行四边形，
∴AB＝DC＝4，
∵DE＝3，
∴CE＝1，
∵△ABE∽△BEC，
∴，
∴AB•CE＝BE2＝4×1＝4，
∴BE＝2．
【点评】本题主要考查三角形的相似的判定及性质，能够熟练运用判定定理判定三角形相似并利用相似的性质求线段长度是解题关键．
21．（已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
【分析】（1）表示出根的判别式，判断其值大于等于0即可得证；
（2）设方程两个根分别为a，b，则有|a﹣b|＝2，a+b＝4m，ab＝3m2，利用二次根式性质及完全平方公式变形，计算即可求出m的值．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，
∴Δ＝16m2﹣12m2＝4m2≥0，
则该方程总有两个实数根；
（2）解：设方程两个根分别为a，b，则有|a﹣b|＝2，a+b＝4m，ab＝3m2，
∴＝2，即＝2，
两边平方得：（a+b）2﹣4ab＝4，
代入得：16m2﹣12m2＝4，即m2＝1，
∵m＞0，
∴m＝1．
【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
22．如图在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，﹣4）、B（2，0）交反比例函数的图象于点C（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，连接OP、OQ．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△OPQ面积的最大值．
【分析】（1）由A（0，﹣4）、B（2，0）的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点C的坐标，代入，求得反比例函数解析式；
（2）设点，点Q（n，2n﹣4），得出关于PQ与n的关系式，进而根据三角形面积公式求解，根据二次函数的性质即可求得最大值．
【解答】解：（1）把A（0，﹣4）、B（2，0）代入一次函数y＝kx+b得：
，
解得：，
∴一次函数的关系式为y＝2x﹣4，
将点C（3，a）代入y＝2x﹣4，得a＝2×3﹣4＝2，
∴点C（3，2），
将点C（3，2）代入，
得出m＝3×2＝6，
∴；
（2）∵点P在反比例函数的图象上，点Q在一次函数的图象上，0＜n＜3，
设点，点Q（n，2n﹣4），
∴，
∴，
∵﹣1＜0，
∴当n＝1时，S最大＝4，
所以，△OPQ面积的最大值是4．
【点评】本题考查反比例函数、一次函数的解析式，将面积用函数的数学模型表示出来，利用函数的最值求解是解决问题的基本思路．
23．一天中某一时刻太阳光线与水平线的夹角随着季节的变化而变化，夏至时夹角最大，冬至时夹角最小，若今年十二月二十二日（冬至）的某一时刻太阳光线与水平线的最小夹角约为30°．现湖州某小区有两幢居民住宅楼高都为15米，两楼相距20米，如图所示．
（1）在今年冬至的这一时刻，该小区甲楼的影子落在乙楼的底部（即DC）有多高？
（2）若在本小区内继续兴建同样高的住宅楼，两楼相距至少应该多少米，才不影响楼房的采光（前一幢楼房的影子不能落在后一幢楼房上）？
（注：，计算结果精确到0.1米）
【分析】（1）如图，构造直角三角形ADE，则∠ADE＝30°，DE＝BC＝20，在这个三角形中已知一边和一个锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AE的长从而求得CD的长．
（2）在△ABC中，由角C的值和AB的高，满足解直角三角形的条件，可求出BC的长．
【解答】解：（1）如图所示，
作DE⊥AB，垂足为E，
由题意可知∠ADE＝30°，DE＝BC＝20，
在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，
AE＝DE•tan∠ADE＝20•tan30°≈11.5，
则DC＝EB＝AB﹣AE＝15﹣11.5＝3.5．
即冬至时甲楼的影子在乙楼上约3.5米高．
（2）若要不影响要房间的采光，如图所示在Rt△ABC中，AB＝15，∠C＝30°，
BC＝≈26.0．
答：楼距至少26.0米，才不影响楼房的采光．
【点评】本题是解直角三角形在生活中的实际应用，做到学数学，用数学，才是学习数学的意义．
24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝12，AC＝16时，求CD、DP的长．
【分析】（1）先判断出∠BAC＝2∠BAD，进而判断出∠BOD＝∠BAC＝90°，得出PD⊥OD即可得出结论；
（2）先判断出∠ADB＝∠P，再判断出∠DCP＝∠ABD，即可得出结论；
（3）先求出BC，再判断出BD＝CD，利用勾股定理求出BD＝CD，最后用△ABD∽△DCP得出比例式求解即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠BAC＝90°，
∵DP∥BC，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
∴PD⊥OD，
∵OD是⊙O半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）∵PD∥BC，
∴∠ACB＝∠P，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠P，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠DCP＝180°，
∴∠DCP＝∠ABD，
∴△ABD∽△DCP，
（3）∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝＝20cm，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BOD＝∠COD，
∴BD＝CD，
在Rt△BCD中，BD2+CD2＝BC2，
∴BD＝CD＝BC＝10，
∵△ABD∽△DCP，
∴，
∴CP＝．
过点C作CE⊥DP,
∵∠CDE=45°∴CE=DE=CD=10,
∵CP=,CE=DE=CD=10
∴根据勾股定理可得PE=,∴DP=
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出△ABD∽△DCP是解本题的关键．
25．如图，抛物线y1＝ax2+bx+与x轴交于点A（﹣3，0），点B，点D是抛物线y1的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线y1所对应的函数解析式；
（2）如图1，点M是抛物线y1上一点，且位于x轴上方，横坐标为m，连接MC，
若∠MCB＝∠DAC，求m的值；
（3）如图2，将抛物线y1平移后得到顶点为B的抛物线y2．点P为抛物线y1上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线y2于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线y2于点R．当以点P，Q，R为顶点的三角形与△ACD全等时，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）根据A、C两点的坐标用待定系数法求出解析式；
（2）如图，当M点在x轴上方时，若∠M1CB＝∠DAC，则DA∥CM1，先求直线AD的解析式，由点C的坐标可求出直线CM1的解析式，联立直线和抛物线方程可求出点M1的坐标，当点M在x轴下方时，由轴对称的性质可求出直线CM2的解析式，同理联立直线和抛物线方程则求出点M的坐标；
（3）先求出y2的解析式，可设出点P坐标，表示Q、R坐标及PQ、QR，根据以P，Q，R为顶点的三角形与△ACD全等，分类讨论对应边相等的可能性即可求P点坐标．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得．
抛物线y1所对应的函数解析式为；
（2）当x＝﹣1时，，
∴D（﹣1，1），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AD的解析式为，
如答图1，当M点在x轴上方时，
∵∠M1CB＝∠DAC，
∴DA∥CM1，
设直线CM1的解析式为，
∵直线经过点C，
∴，
解得：，
∴直线CM1的解析式为，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
综合以上可得m的值为；
（3）∵抛物线y1平移后得到y2，且顶点为B（1，0），
∴，
即．
设，则，
∴，
①如答图2，当P在Q点上方时，
PQ＝1﹣m，QR＝2﹣2m，
∵△PQR与△ACD全等，
∴当PQ＝DC且QR＝AC时，m＝0，
∴，，
当PQ＝AC且QR＝DC时，无解；
②如答图3，当点P在Q点下方时，
同理：PQ＝m﹣1，QR＝2m﹣2，m﹣1＝1，
∴m＝2，
则，．
综合可得P点坐标为或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质、待定系数法求函数的解析式，三角形全等的判定，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．