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安徽省卓越县中联盟2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（附参考答案）
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这是一份安徽省卓越县中联盟2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（附参考答案），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题(共8题；共40分)
1．（5分）已知集合A={x∣−31}，则(∁RA)∩B=（ ）
A．(−∞，−3]∪[2，+∞)B．(−∞，−3)∪[2，+∞)
C．(−∞，−3)∪[1，+∞)D．[2，+∞)
2．（5分）3+ii−(1−2i)=（ ）
A．−iB．5iC．1−4iD．1+i
3．（5分）若“0lg2a”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．(1，8)B．(0，1)C．(0，1]D．(0，+∞)
4．（5分）打糍粑流行于中国南方地区，如图为一种打糍粑用的石臼，其可看成从正方体的一面挖去一个半球后形成的几何体.若该正方体的棱长为a，半球的半径为R，石臼的体积为34a3，则aR=（ ）
A．232π3B．23π3C．1233πD．23π9
5．（5分）已知某圆柱的轴截面的斜二测画法直观图如图所示，AO′，BC分别对应圆柱两底面的直径，AO′=2，CO′=22，∠AO′C=45∘，则该圆柱的表面积为（ ）
A．6πB．4πC．3πD．2π
6．（5分）已知A，B是半径为1的圆O上的两个动点，|OA+OB|=|OA⋅OB|，则OA，OB的夹角的余弦值为（ ）
A．3−12B．1−32C．1−3D．−12
7．（5分）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω为正整数，0<φ<π)在区间(π4，π)上单调，且f(π)=f(3π2)，则φ=（ ）
A．π6B．π4C．π3D．2π3
8．（5分）已知奇函数f(x)的定义域为R，且对任意的x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2，都有x1−x2与x2f(x1)−x1f(x2)同号，若a=2f(0.5e0.5)e0.5，b=f(2−e)2−e，c=−f(−20.5)20.5，则（ ）
A．a二、多选题(共4题；共20分)
9．（5分）用一个平面去截棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1，则下列结论中正确的是（ ）
A．若该平面过点A，C，B1，则截面的周长为6
B．若该平面过点A，C，B1，则截得的两个几何体的外接球体积相等
C．若该平面过点A，D，B1，则截得的两个几何体的表面积均为3+2
D．若该平面过点D，B1，则其截正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球所得的截面面积不是定值
10．（5分）已知向量a=(1，−2)，b=(1，3)，则（ ）
A．a∥(a+b)
B．a，b的夹角为3π4
C．与a共线的单位向量e=(55，−255)
D．a在b上的投影向量为(−12，−32)
11．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4sinA−3csAa=sinBb，a=2，则使得c=2的条件可以为（ ）
A．sinB=3sinCB．b=4sinA
C．B+C=2AD．CB⋅CA|CA|=3
12．（5分）已知函数f(x)=sinπ2x2x2−4x+3，则下列结论中正确的是（ ）
A．f(x)的一个周期为1
B．f(x)的图象是轴对称图形
C．若f(x)≤m恒成立，则实数m的取值范围为[1，+∞)
D．直线y=−1与f(x)的图象没有公共点
三、填空题(共4题；共20分)
13．（5分）已知复数z=m+(2m−1)i的模是10且其虚部大于0，则实数m= .
14．（5分）若平面上不共线的四点O，A，B，C满足OA+3OC=4OB，且|BC|=2，则|AB|= .
15．（5分）已知函数f(x)=e|lnx−a|(a∈R)，记关于x的方程f(x)=e的所有实数根的乘积为g(a)，若g(m2−2m−3)<1，则实数m的取值范围是 .
16．（5分）已知在等腰△ABC中，csA=−18，BC=3，点F为边AC的中点，则FB在FA上的投影向量的长度为 .
四、解答题(共6题；共70分)
17．（10分）油纸伞是世界上最早的雨伞，是中国古人智慧的结晶.它以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面.伞面可近似看成圆锥形.若某种油纸伞的伞面下边沿所在圆的半径为90cm，顶点到下边沿上任一点的长度为100cm.
（1）（5分）若将该伞的伞面沿一条母线剪开，展开后所得扇形的圆心角为多少弧度？
（2）（5分）若伞面的内外表面需要各刷1次桐油，每平方米需要刷桐油π30kg，则刷一个这样的油纸伞需要多少千克桐油？（参考数据：π2≈9.9）
18．（12分）已知在复平面内表示复数z=(m2−m−2)+(m2+3m−4)i的点为Z.
（1）（6分）若点Z在函数y=−2x−6的图象上，求实数m的值；
（2）（6分）若O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，且向量OZ与OA的夹角为钝角，求实数m的取值范围.
19．（12分）已知△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinCcs(B+π3)=csCsin(B+4π3).
（1）（6分）求A；
（2）（6分）若bc=16，求△ABC的周长的最小值.
20．（12分）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|<π2)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且f(x)的图象经过点(3π2，22).
（1）（6分）求f(x)的解析式；
（2）（6分）设函数g(x)=f(x)+2cs2x−2sin2x，若g(x)在区间[−π8，m]上的取值范围是[0，1]，求实数m的取值范围.
21．（12分）如图，在四边形OABC中，OA=2CB，BM=13BA，CP=xCB(0≤x≤1)，BA⋅BC+BO2=(BA+BC)⋅BO
（1）（6分）证明：OA⊥OC；
（2）（6分）设OM=λCA+μOP，求λ⋅μ的最大值，并求λ⋅μ取得最大值时x的值为多少.
22．（12分）已知函数f(x)=lg2(4x+a)−x是偶函数.
（1）（4分）求实数a的值；
（2）（4分）求方程f(x)−x=1的实根的个数；
（3）（4分）若函数g(x)=2f(x)与ℎ(x)=(n−1)2x−n的图象有且只有一个公共点，求实数n的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】由A={x∣−3所以(∁RA)∩B={x∣x<−3或x≥2}.
故答案为：B.
【分析】根据补集的定义可得∁RA，再根据交集的定义进行运算可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题可知3+ii−(1−2i)=−3i+1−1+2i=−i.
故答案为：A.
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简可得答案.
3．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为“0lg2a”的充分不必要条件，
所以(0，3)⊆(lg2a，+∞)，
所以lg2a≤0=lg21，解得0故即实数a的取值范围是(0，1].
故答案为：C.
【分析】利用对数函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义可求出实数a的取值范围.
4．【答案】B
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】由题可知正方体的体积为a3，挖去的半球的体积为23πR3，
所以a3−23πR3=34a3，即14a3=23πR3，
所以aR=23π3.
故答案为：B.
【分析】 由题意，石臼的体积等于正方体的体积减去半球的体积，利用正方体的体积公式和球的体积公式可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】作出圆柱的轴截面的原图形，如图，
由题可知圆柱的底面半径为12OA=22，高为OC=2，
所以该圆柱的表面积为2π×(22)2+π×2×2=3π.
故答案为：C.
【分析】 根据斜二测画法的规则还原圆柱轴截面，找出圆柱的底面半径r和高h，再由圆柱的表面积公式S=2πrh+2πr2求其表面积即可 .
6．【答案】C
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】由题可知，|OA|=|OB|=1，设OA，OB的夹角为θ.
因为|OA+OB|=|OA⋅OB|
所以OA2+OB2+2OB⋅OA=cs2θ，即cs2θ−2csθ−2=0，
解得csθ=1−3或1+3（舍去），即OA，OB的夹角的余弦值为1−3.
故答案为：C
【分析】 根据题意，设OA，OB的夹角为θ，进而得出|OA+OB|=|OA⋅OB|两边平方，建立关于csθ的等式解得csθ ，即可得 OA，OB的夹角的余弦值 .
7．【答案】B
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的周期性
【解析】【解答】设f(x)的最小正周期为T.由题可得T=2πω≥2(π−π4)=3π2，故ω≤43，又ω为正整数，所以ω=1.因为f(π)=f(3π2)，所以f(x)的图象的一条对称轴为直线x=π+3π22=5π4.所以5π4+φ=π2+kπ，k∈Z，解得φ=kπ−3π4，k∈Z.又0<φ<π，所以φ=π4.
故答案为：B
【分析】由题意利用正弦型函数图象与性质可得f(x)的图象的一条对称轴为直线x=π+3π22=5π4，求解出φ=kπ−3π4，k∈Z.又0<φ<π，即可求出 φ的值.
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为对任意的x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2，都有x1−x2与x2f(x1)−x1f(x2)同号，
即x1−x2与x2f(x1)−x1f(x2)x1x2即f(x1)x1−f(x2)x2同号.
令ℎ(x)=f(x)x，x≠0，所以，当x>0时，ℎ(x)为增函数.
由题可知f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)，
因为ℎ(−x)=f(−x)−x=−f(x)−x=ℎ(x)，所以ℎ(x)为偶函数，
由于a=2f(0.5e0.5)e0.5=f(0.5e0.5)ℎ(0.5e0.5)，b=f(2−e)2−e=ℎ(2−e)=ℎ(e−2)，c=f(−20.5)−20.5=ℎ(−20.5)=ℎ(20.5)，
因为<42=1，>>e−2，20.5>1，即20.5>0.5e0.5>e−2，
所以b故答案为：D.
【分析】 根据题意， 令ℎ(x)=f(x)x，x≠0，分析h (x)的奇偶性和单调性，可得于a=ℎ(0.5e0.5)，b=ℎ(2−e)=ℎ(e−2)，c=ℎ(20.5)，即可判断出a，b，c的大小关系，即可得答案.
9．【答案】B,C
【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】
若该平面过点A，C，B1，则截面为正三角形△ACB1，其边长为2，则截面的周长为32，A错误；
若该平面过点A，C，B1，则截得的两个几何体的外接球均为正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球，
故外接球体积相等，B符合题意；
当该平面过点A，D，B1时，截面为AB1C1D，则截得的两个几何体为相同的三棱柱，
且三棱柱的表面积均为2×12+2×12×12+1×2=3+2，C正确；
若该平面过点D，B1，则其过正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球球心，
所以截面面积是定值，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】根据正方体的结构特征可得截面为正三角形△ACB1，其边长为2，可判断A；截得的两个几何体的外接球均为正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球，可判断B；该平面过点A，D，B1时，截面为AB1C1D，则截得的两个几何体为相同的三棱柱，可判断C；该平面过点D，B1，则其过正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球球心，可判断D.
10．【答案】B,D
【知识点】单位向量；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；向量的投影
【解析】【解答】依题意，a+b=(2，1)，显然1×1−2×(−2)=5≠0，即a与a+b不共线，A不符合题意；
cs〈a，b〉=a⋅b|a||b|=1−65×10=−22，又〈a，b〉∈[0，π]，则a，b的夹角为3π4，B符合题意；
与a共线的单位向量e=±(55，−255)，C不符合题意；
a在b上的投影向量为|a|cs3π4⋅b|b|=5×(−22)×110(1，3)=(−12，−32)，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】根据向量共线的坐标表示可判断A；根据向量夹角公式可判断B； 求出与a共线的单位向量即可判断 C；利用投影向量公式即可判断D.
11．【答案】A,D
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】因为4sinA−3csAa=sinBb，所以由正弦定理可得4sinA−3csAsinA=1，所以3sinA=3csA，可得tanA=33，
因为0由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，可得4=(3c)2+c2−2×3c×c×32，解得c=2，A符合题意；
由b=4sinA，可得b=4sinπ6=2，又因为a=2，所以△ABC是以C为顶角的等腰三角形，
所以A=B=π6，可得C=2π3，由正弦定理asinA=csinC，可得2sinπ6=csin2π3，解得c=23，B不符合题意；
由于B+C=2A，又因为A+B+C=π，所以A=π3，这与A=π6矛盾，则这样的三角形不存在，故C错误；
由于CB⋅CA|CA|=|CB|csC=3，得csC=32，因为C∈(0，π)，所以C=π6，所以a=c=2，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】根据题意结合正弦定理化简得A=π6，进一步根据选项结合正、余弦定理的应用以及向量的数量积，逐项判断可得答案.
12．【答案】B,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【解答】依题意，f(x+1)=sinπ2(x+1)2(x+1)2−4(x+1)+3=csπ2x2x2+1≠f(x)，故1不是f(x)的周期，A不符合题意；
而f(1−x)=sinπ2(1−x)2(1−x)2−4(1−x)+3=csπ2x2x2+1=f(1+x)，故x=1是f(x)图象的一条对称轴，B符合题意；
二次函数y=2x2−4x+3的Δ<0，
故2x2−4x+3>0，且y=2x2−4x+3在x=1处取得最小值1，
而ξ在x=1处取得最大值1，故f(x)≤1，则m≥1，C正确；
因为y=sinπ2x≥−1，且当x=1时，y=sinπ2=1，
又当x≠1时，y=2x2−4x+3>1，所以f(x)>−1，
所以直线y=−1与f(x)的图象没有公共点，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】根据函数的周期性可判断A；由f(1−x)=f(1+x)得x=1是f(x)图象的一条对称轴，可判断B；利用二次函数的性质，可判断C；利用正弦函数和二次函数的性质可判断D.
13．【答案】95
【知识点】复数求模
【解析】【解答】由题可知m2+(2m−1)2=10，m=95或m=−1，
且2m−1>0，
所以m=95.
故答案为：95.
【分析】根据复数模的公式进行计算，可求出m的值.
14．【答案】6
【知识点】向量的三角形法则
【解析】【解答】由已知得(OA−OB)+3(OC−OB)=BA+3BC=0，∴AB=3BC.
又|BC|=2，∴|AB|=3|BC|=6.
故答案为：6.
【分析】根据向量的线性运算，由 OA+3OC=4OB得AB→=3BC→，再根据m→=λn→得m→=λn→，即可求出答案.
15．【答案】(−1，3)
【知识点】函数单调性的性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由f(x)=e，得|lnx−a|=1，所以x=ea+1或ea−1，故g(a)=e2a，
则函数g(a)在R上单调递增，又g(0)=1，
则g(m2−2m−3)<1，即为g(m2−2m−3)所以m2−2m−3<0，解得m的取值范围是(−1，3).
故答案为：(−1，3).
【分析】由f(x)=e，得|lnx−a|=1，可得g(a)=e2a，则函数g(a)在R上单调递增，由g(m2−2m−3)<1，得g(m2−2m−3)16．【答案】54
【知识点】向量的投影；余弦定理
【解析】【解答】如图，
由题可知AB=AC.设AB=AC=x，由余弦定理可得x2+x2−322x2=−18，解得x=2.
作AC边上的高BD，因为cs∠BAC=−18，所以cs∠BAD=18，
所以AD=ABcs∠BAD=2×18=14，
由投影向量的几何意义可知，投影向量的长度为DF=AF+AD=1+14=54.
故答案为：54.
【分析】利用余弦定理求AC，作AC边上的高BD，由三角函数定义可得AD，然后根据投影向量的几何意义可求出答案.
17．【答案】（1）解：由题可知圆锥的底面周长为2π×90=180π(cm)，
所以展开后所得扇形的圆心角为180π100=9π5(rad)；
（2）解：由题可知圆锥的侧面积S=12×2π×90×100=9000π(cm2)，
所以刷一个这样的油纸伞需要2×9000π×10−4×π30=0.06π2≈0.06×9.9=0.594(kg)桐油.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；扇形的弧长与面积
【解析】【分析】（1）利用扇形的弧长公式l=rθ(l为扇形的弧长，r为半径，θ为圆心角，θ>0)，可求出展开后所得扇形的圆心角；
（2）利用圆锥的侧面积公式S=πRl ( R为圆锥底面圆的半径， l为圆锥的母线)，可求出刷一个这样的油纸伞需要桐油量.
18．【答案】（1）解：由题可知，复数z在复平面内对应的点的坐标为(m2−m−2，m2+3m−4).
又该点位于函数y=−2x−6的图象上，
所以m2+3m−4=−2(m2−m−2)−6，
即3m2+m−2=0，
解得m=−1或m=23.
（2）解：由题可知，点Z在第二象限或第三象限，
所以m2−m−2<0且m2+3m−4≠0，
即−1所以m的取值范围为(−1，1)∪(1，2).
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】(1)由点z的坐标满足直线的方程求出实数m的值；
(2) 由题可知，点Z在第二象限或第三象限， 得 m2−m−2<0且m2+3m−4≠0， 求解可得实数m的取值范围.
19．【答案】（1）解：∵sinCcs(B+π3)=csCsin(B+4π3)，
∴sinCcs(B+π3)+csCsin(B+π3)=0，
∴sin(B+C+π3)=0.
∵0∴π3∴B+C+π3=π，即B+C=2π3.
∴A=π3.
（2）解：∵bc=16，
∴由余弦定理，可得a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−bc=b2+c2−16，
∴a=(b+c)2−2bc−16=(b+c)2−48.
∴a+b+c=(b+c)2−48+b+c
≥(2bc)2−48+2bc
=(2×4)2−48+8=12，
当且仅当b=c=4时，等号成立.
故△ABC的周长的最小值为12.
【知识点】基本不等式；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据两角和差的正、余弦公式化简得到 sin(B+C+π3)=0，即可求出 B+C=2π3，进而得 A的值；
(2)根据余弦定理求出a、b、c的关系式，然后再根据基本不等式即可求出周长最小值.
20．【答案】（1）解：由题可知f(x)的最小正周期T=2×π2=π，则ω=2，
因为f(x)的图象经过点(3π2，22)，
所以f(3π2)=sin(2×3π2+φ)=22，即sinφ=−22，
因为|ϕ|<π2，所以φ=−π4，
所以f(x)=sin(2x−π4)；
（2）解：g(x)=f(x)+2cs2x−2sin2x
=sin(2x−π4)+2cs2x
=22sin2x−22cs2x+2cs2x
=22sin2x+22cs2x
=sin(2x+π4)，
由x∈[−π8，m]，可得2x+π4∈[0，2m+π4]，
若g(x)在区间[−π8，m]上的取值范围是[0，1]，
则π2≤2m+π4≤π，
解得π8≤m≤3π8，
所以实数m的取值范围是[π8，3π8].
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）由f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，可求出 ω=2， 把
点(3π2，22)代入f(x)可求出 sinφ=−22， 即可求出 φ=−π4， 可得 f(x)的解析式；
（2）利用三角函数恒等变型可得 gx=sin(2x+π4)，再根据正弦函数的性质可求出实数m的取值范围.
21．【答案】（1）证明：∵BA⋅BC+BO2=(BA+BC)⋅BO，∴BA⋅BC−BC⋅BO+BO2−BA⋅BO=0
即BC⋅(BA−BO)−BO⋅(BA−BO)=0，
得BC⋅OA−BO⋅OA=0，(BC−BO)⋅OA=0，
得OC⋅OA=0，∴OA⊥OC.
（2）解：依题意CB=12OA，AM=23AB，
∴AM=23(OB−OA)=23(OC+CB)−23OA=23OC+13OA−23OA=23OC−13OA，
由题可知OM=OA+AM=OA+23OC−13OA=23OA+23OC.
∵OA=2CB，CP=xCB(0≤x≤1)，∴CP=x2OA.
∴OM=λCA+μOP=λ(OA−OC)+μ(OC+CP)=(λ+μx2)OA+(μ−λ)OC，
又OA，OC不共线，∴λ+μx2=23，μ−λ=23，即μ=83(x+2)，λ=μ−23.
∴λ⋅μ=μ(μ−23)=(μ−13)2−19，
∵0≤x≤1，∴89≤μ≤43.
∴当μ=43时，λ⋅μ取得最大值，且最大值为89，此时x=0.
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量数量积的运算
【解析】【分析】（1）根据向量数量积的运算可得 (BC−BO)⋅OA=0， 可证得 OA⊥OC；
（2）依题意CB=12OA，AM=23AB ， 由题可知OM=OA+AM=OA+23OC−13OA=23OA+23OC ，利用向量线性运算可得 OM→=(λ+μx2)OA→+(μ−λ)OC→，得 μ=83(x+2)，λ=μ−23. ， λ⋅μ=μ(μ−23)=(μ−13)2−19， 利用二次函数的性质求出 λ⋅μ取得最大值时x的值 .
22．【答案】（1）解：因为函数f(x)=lg2(4x+a)−x是偶函数，
所以f(x)=f(−x)，即lg2(4x+a)−x=lg2(4−x+a)+x，
也即lg2(4x+a)−x=lg2(a⋅4x+1)−lg24x+x，
lg2(4x+a)=lg2(a⋅4x+1)，
4x+a=a⋅4x+1，(1−a)(4x−1)=0.
因为对定义域内的任意x上式恒成立，所以a=1.
（2）解：由（1）可知f(x)的解析式为f(x)=lg2(4x+1)−x=lg2(2x+12x).
所以f(x)−x=lg2(2x+12x)−x=lg2(1+14x).
因为函数y=lg2(1+14x)在R上单调递减，
又14x>0，所以函数y=lg2(1+14x)在R上的值域为(0，+∞).
所以方程f(x)−x=1的实根的个数为1.
（3）解：由题可知g(x)=2x+12x.
由ℎ(x)=g(x)，可得(n−1)2x−n=2x+12x.
令t=2x，则t∈(0，+∞).
所以(n−1)2x−n=2x+12x可化为(n−2)t2−nt−1=0.
令函数s(t)=(n−2)t2−nt−1.
当n−2=0，即n=2时，−2t−1=0，t=−12，舍去.
当n−2>0，即n>2时，s(t)的图象开口向上，
因为s(0)=−1<0，所以s(t)一定存在唯一的正根，符合题意.
当n−2<0，即n<2时，s(t)的图象开口向下，
因为s(0)=−1<0，
令Δ=n2+4(n−2)=0，解得n=−2±23.
又t>0，所以对称轴t=n2(n−2)>0，所以n>2（舍去）或n<0.
所以n=−2−23.
综上，实数n的取值范围是{n∣n>2}∪{−2−23}.
【知识点】复合函数的单调性；函数奇偶性的性质；二次函数的图象；二次函数的性质
【解析】【分析】（1）由函数f(x)=lg2(4x+a)−x是偶函数得f(x)=f(−x) 列方程整理可得 lg2(4x+a)=lg2(a⋅4x+1)， 求解可得实数a的值；
（2） 由（1）可得函数f(x)−x=lg2(1+14x). 分析函数f(x)−x单调性与值域范围得出方程f(x)−x=1的实根的个数；
（3）由(1)得g(x)=2x+12x，联立两函数建立方程，令t=2x，则t∈(0，+∞)，可得 (n−2)t2−nt−1=0， 构造函数s(t)=(n−2)t2−nt−1，分 n−2=0 ， n−2>0 ， n−2<0 三种情况结合二次函数的性质可求出实数n的取值范围.
一、单选题(共8题；共40分)
1．（5分）已知集合A={x∣−3
A．(−∞，−3]∪[2，+∞)B．(−∞，−3)∪[2，+∞)
C．(−∞，−3)∪[1，+∞)D．[2，+∞)
2．（5分）3+ii−(1−2i)=（ ）
A．−iB．5iC．1−4iD．1+i
3．（5分）若“0
A．(1，8)B．(0，1)C．(0，1]D．(0，+∞)
4．（5分）打糍粑流行于中国南方地区，如图为一种打糍粑用的石臼，其可看成从正方体的一面挖去一个半球后形成的几何体.若该正方体的棱长为a，半球的半径为R，石臼的体积为34a3，则aR=（ ）
A．232π3B．23π3C．1233πD．23π9
5．（5分）已知某圆柱的轴截面的斜二测画法直观图如图所示，AO′，BC分别对应圆柱两底面的直径，AO′=2，CO′=22，∠AO′C=45∘，则该圆柱的表面积为（ ）
A．6πB．4πC．3πD．2π
6．（5分）已知A，B是半径为1的圆O上的两个动点，|OA+OB|=|OA⋅OB|，则OA，OB的夹角的余弦值为（ ）
A．3−12B．1−32C．1−3D．−12
7．（5分）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω为正整数，0<φ<π)在区间(π4，π)上单调，且f(π)=f(3π2)，则φ=（ ）
A．π6B．π4C．π3D．2π3
8．（5分）已知奇函数f(x)的定义域为R，且对任意的x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2，都有x1−x2与x2f(x1)−x1f(x2)同号，若a=2f(0.5e0.5)e0.5，b=f(2−e)2−e，c=−f(−20.5)20.5，则（ ）
A．a
9．（5分）用一个平面去截棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1，则下列结论中正确的是（ ）
A．若该平面过点A，C，B1，则截面的周长为6
B．若该平面过点A，C，B1，则截得的两个几何体的外接球体积相等
C．若该平面过点A，D，B1，则截得的两个几何体的表面积均为3+2
D．若该平面过点D，B1，则其截正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球所得的截面面积不是定值
10．（5分）已知向量a=(1，−2)，b=(1，3)，则（ ）
A．a∥(a+b)
B．a，b的夹角为3π4
C．与a共线的单位向量e=(55，−255)
D．a在b上的投影向量为(−12，−32)
11．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且4sinA−3csAa=sinBb，a=2，则使得c=2的条件可以为（ ）
A．sinB=3sinCB．b=4sinA
C．B+C=2AD．CB⋅CA|CA|=3
12．（5分）已知函数f(x)=sinπ2x2x2−4x+3，则下列结论中正确的是（ ）
A．f(x)的一个周期为1
B．f(x)的图象是轴对称图形
C．若f(x)≤m恒成立，则实数m的取值范围为[1，+∞)
D．直线y=−1与f(x)的图象没有公共点
三、填空题(共4题；共20分)
13．（5分）已知复数z=m+(2m−1)i的模是10且其虚部大于0，则实数m= .
14．（5分）若平面上不共线的四点O，A，B，C满足OA+3OC=4OB，且|BC|=2，则|AB|= .
15．（5分）已知函数f(x)=e|lnx−a|(a∈R)，记关于x的方程f(x)=e的所有实数根的乘积为g(a)，若g(m2−2m−3)<1，则实数m的取值范围是 .
16．（5分）已知在等腰△ABC中，csA=−18，BC=3，点F为边AC的中点，则FB在FA上的投影向量的长度为 .
四、解答题(共6题；共70分)
17．（10分）油纸伞是世界上最早的雨伞，是中国古人智慧的结晶.它以手工削制的竹条做伞架，以涂刷天然防水桐油的皮棉纸做伞面.伞面可近似看成圆锥形.若某种油纸伞的伞面下边沿所在圆的半径为90cm，顶点到下边沿上任一点的长度为100cm.
（1）（5分）若将该伞的伞面沿一条母线剪开，展开后所得扇形的圆心角为多少弧度？
（2）（5分）若伞面的内外表面需要各刷1次桐油，每平方米需要刷桐油π30kg，则刷一个这样的油纸伞需要多少千克桐油？（参考数据：π2≈9.9）
18．（12分）已知在复平面内表示复数z=(m2−m−2)+(m2+3m−4)i的点为Z.
（1）（6分）若点Z在函数y=−2x−6的图象上，求实数m的值；
（2）（6分）若O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，且向量OZ与OA的夹角为钝角，求实数m的取值范围.
19．（12分）已知△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinCcs(B+π3)=csCsin(B+4π3).
（1）（6分）求A；
（2）（6分）若bc=16，求△ABC的周长的最小值.
20．（12分）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，|φ|<π2)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且f(x)的图象经过点(3π2，22).
（1）（6分）求f(x)的解析式；
（2）（6分）设函数g(x)=f(x)+2cs2x−2sin2x，若g(x)在区间[−π8，m]上的取值范围是[0，1]，求实数m的取值范围.
21．（12分）如图，在四边形OABC中，OA=2CB，BM=13BA，CP=xCB(0≤x≤1)，BA⋅BC+BO2=(BA+BC)⋅BO
（1）（6分）证明：OA⊥OC；
（2）（6分）设OM=λCA+μOP，求λ⋅μ的最大值，并求λ⋅μ取得最大值时x的值为多少.
22．（12分）已知函数f(x)=lg2(4x+a)−x是偶函数.
（1）（4分）求实数a的值；
（2）（4分）求方程f(x)−x=1的实根的个数；
（3）（4分）若函数g(x)=2f(x)与ℎ(x)=(n−1)2x−n的图象有且只有一个公共点，求实数n的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】由A={x∣−3
故答案为：B.
【分析】根据补集的定义可得∁RA，再根据交集的定义进行运算可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题可知3+ii−(1−2i)=−3i+1−1+2i=−i.
故答案为：A.
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简可得答案.
3．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】因为“0
所以(0，3)⊆(lg2a，+∞)，
所以lg2a≤0=lg21，解得0
故答案为：C.
【分析】利用对数函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义可求出实数a的取值范围.
4．【答案】B
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】由题可知正方体的体积为a3，挖去的半球的体积为23πR3，
所以a3−23πR3=34a3，即14a3=23πR3，
所以aR=23π3.
故答案为：B.
【分析】 由题意，石臼的体积等于正方体的体积减去半球的体积，利用正方体的体积公式和球的体积公式可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】作出圆柱的轴截面的原图形，如图，
由题可知圆柱的底面半径为12OA=22，高为OC=2，
所以该圆柱的表面积为2π×(22)2+π×2×2=3π.
故答案为：C.
【分析】 根据斜二测画法的规则还原圆柱轴截面，找出圆柱的底面半径r和高h，再由圆柱的表面积公式S=2πrh+2πr2求其表面积即可 .
6．【答案】C
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】由题可知，|OA|=|OB|=1，设OA，OB的夹角为θ.
因为|OA+OB|=|OA⋅OB|
所以OA2+OB2+2OB⋅OA=cs2θ，即cs2θ−2csθ−2=0，
解得csθ=1−3或1+3（舍去），即OA，OB的夹角的余弦值为1−3.
故答案为：C
【分析】 根据题意，设OA，OB的夹角为θ，进而得出|OA+OB|=|OA⋅OB|两边平方，建立关于csθ的等式解得csθ ，即可得 OA，OB的夹角的余弦值 .
7．【答案】B
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的周期性
【解析】【解答】设f(x)的最小正周期为T.由题可得T=2πω≥2(π−π4)=3π2，故ω≤43，又ω为正整数，所以ω=1.因为f(π)=f(3π2)，所以f(x)的图象的一条对称轴为直线x=π+3π22=5π4.所以5π4+φ=π2+kπ，k∈Z，解得φ=kπ−3π4，k∈Z.又0<φ<π，所以φ=π4.
故答案为：B
【分析】由题意利用正弦型函数图象与性质可得f(x)的图象的一条对称轴为直线x=π+3π22=5π4，求解出φ=kπ−3π4，k∈Z.又0<φ<π，即可求出 φ的值.
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为对任意的x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2，都有x1−x2与x2f(x1)−x1f(x2)同号，
即x1−x2与x2f(x1)−x1f(x2)x1x2即f(x1)x1−f(x2)x2同号.
令ℎ(x)=f(x)x，x≠0，所以，当x>0时，ℎ(x)为增函数.
由题可知f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)，
因为ℎ(−x)=f(−x)−x=−f(x)−x=ℎ(x)，所以ℎ(x)为偶函数，
由于a=2f(0.5e0.5)e0.5=f(0.5e0.5)ℎ(0.5e0.5)，b=f(2−e)2−e=ℎ(2−e)=ℎ(e−2)，c=f(−20.5)−20.5=ℎ(−20.5)=ℎ(20.5)，
因为<42=1，>>e−2，20.5>1，即20.5>0.5e0.5>e−2，
所以b
【分析】 根据题意， 令ℎ(x)=f(x)x，x≠0，分析h (x)的奇偶性和单调性，可得于a=ℎ(0.5e0.5)，b=ℎ(2−e)=ℎ(e−2)，c=ℎ(20.5)，即可判断出a，b，c的大小关系，即可得答案.
9．【答案】B,C
【知识点】棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】
若该平面过点A，C，B1，则截面为正三角形△ACB1，其边长为2，则截面的周长为32，A错误；
若该平面过点A，C，B1，则截得的两个几何体的外接球均为正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球，
故外接球体积相等，B符合题意；
当该平面过点A，D，B1时，截面为AB1C1D，则截得的两个几何体为相同的三棱柱，
且三棱柱的表面积均为2×12+2×12×12+1×2=3+2，C正确；
若该平面过点D，B1，则其过正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球球心，
所以截面面积是定值，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】根据正方体的结构特征可得截面为正三角形△ACB1，其边长为2，可判断A；截得的两个几何体的外接球均为正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球，可判断B；该平面过点A，D，B1时，截面为AB1C1D，则截得的两个几何体为相同的三棱柱，可判断C；该平面过点D，B1，则其过正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球球心，可判断D.
10．【答案】B,D
【知识点】单位向量；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；向量的投影
【解析】【解答】依题意，a+b=(2，1)，显然1×1−2×(−2)=5≠0，即a与a+b不共线，A不符合题意；
cs〈a，b〉=a⋅b|a||b|=1−65×10=−22，又〈a，b〉∈[0，π]，则a，b的夹角为3π4，B符合题意；
与a共线的单位向量e=±(55，−255)，C不符合题意；
a在b上的投影向量为|a|cs3π4⋅b|b|=5×(−22)×110(1，3)=(−12，−32)，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】根据向量共线的坐标表示可判断A；根据向量夹角公式可判断B； 求出与a共线的单位向量即可判断 C；利用投影向量公式即可判断D.
11．【答案】A,D
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】因为4sinA−3csAa=sinBb，所以由正弦定理可得4sinA−3csAsinA=1，所以3sinA=3csA，可得tanA=33，
因为0
由b=4sinA，可得b=4sinπ6=2，又因为a=2，所以△ABC是以C为顶角的等腰三角形，
所以A=B=π6，可得C=2π3，由正弦定理asinA=csinC，可得2sinπ6=csin2π3，解得c=23，B不符合题意；
由于B+C=2A，又因为A+B+C=π，所以A=π3，这与A=π6矛盾，则这样的三角形不存在，故C错误；
由于CB⋅CA|CA|=|CB|csC=3，得csC=32，因为C∈(0，π)，所以C=π6，所以a=c=2，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】根据题意结合正弦定理化简得A=π6，进一步根据选项结合正、余弦定理的应用以及向量的数量积，逐项判断可得答案.
12．【答案】B,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【解答】依题意，f(x+1)=sinπ2(x+1)2(x+1)2−4(x+1)+3=csπ2x2x2+1≠f(x)，故1不是f(x)的周期，A不符合题意；
而f(1−x)=sinπ2(1−x)2(1−x)2−4(1−x)+3=csπ2x2x2+1=f(1+x)，故x=1是f(x)图象的一条对称轴，B符合题意；
二次函数y=2x2−4x+3的Δ<0，
故2x2−4x+3>0，且y=2x2−4x+3在x=1处取得最小值1，
而ξ在x=1处取得最大值1，故f(x)≤1，则m≥1，C正确；
因为y=sinπ2x≥−1，且当x=1时，y=sinπ2=1，
又当x≠1时，y=2x2−4x+3>1，所以f(x)>−1，
所以直线y=−1与f(x)的图象没有公共点，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】根据函数的周期性可判断A；由f(1−x)=f(1+x)得x=1是f(x)图象的一条对称轴，可判断B；利用二次函数的性质，可判断C；利用正弦函数和二次函数的性质可判断D.
13．【答案】95
【知识点】复数求模
【解析】【解答】由题可知m2+(2m−1)2=10，m=95或m=−1，
且2m−1>0，
所以m=95.
故答案为：95.
【分析】根据复数模的公式进行计算，可求出m的值.
14．【答案】6
【知识点】向量的三角形法则
【解析】【解答】由已知得(OA−OB)+3(OC−OB)=BA+3BC=0，∴AB=3BC.
又|BC|=2，∴|AB|=3|BC|=6.
故答案为：6.
【分析】根据向量的线性运算，由 OA+3OC=4OB得AB→=3BC→，再根据m→=λn→得m→=λn→，即可求出答案.
15．【答案】(−1，3)
【知识点】函数单调性的性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由f(x)=e，得|lnx−a|=1，所以x=ea+1或ea−1，故g(a)=e2a，
则函数g(a)在R上单调递增，又g(0)=1，
则g(m2−2m−3)<1，即为g(m2−2m−3)
故答案为：(−1，3).
【分析】由f(x)=e，得|lnx−a|=1，可得g(a)=e2a，则函数g(a)在R上单调递增，由g(m2−2m−3)<1，得g(m2−2m−3)
【知识点】向量的投影；余弦定理
【解析】【解答】如图，
由题可知AB=AC.设AB=AC=x，由余弦定理可得x2+x2−322x2=−18，解得x=2.
作AC边上的高BD，因为cs∠BAC=−18，所以cs∠BAD=18，
所以AD=ABcs∠BAD=2×18=14，
由投影向量的几何意义可知，投影向量的长度为DF=AF+AD=1+14=54.
故答案为：54.
【分析】利用余弦定理求AC，作AC边上的高BD，由三角函数定义可得AD，然后根据投影向量的几何意义可求出答案.
17．【答案】（1）解：由题可知圆锥的底面周长为2π×90=180π(cm)，
所以展开后所得扇形的圆心角为180π100=9π5(rad)；
（2）解：由题可知圆锥的侧面积S=12×2π×90×100=9000π(cm2)，
所以刷一个这样的油纸伞需要2×9000π×10−4×π30=0.06π2≈0.06×9.9=0.594(kg)桐油.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；扇形的弧长与面积
【解析】【分析】（1）利用扇形的弧长公式l=rθ(l为扇形的弧长，r为半径，θ为圆心角，θ>0)，可求出展开后所得扇形的圆心角；
（2）利用圆锥的侧面积公式S=πRl ( R为圆锥底面圆的半径， l为圆锥的母线)，可求出刷一个这样的油纸伞需要桐油量.
18．【答案】（1）解：由题可知，复数z在复平面内对应的点的坐标为(m2−m−2，m2+3m−4).
又该点位于函数y=−2x−6的图象上，
所以m2+3m−4=−2(m2−m−2)−6，
即3m2+m−2=0，
解得m=−1或m=23.
（2）解：由题可知，点Z在第二象限或第三象限，
所以m2−m−2<0且m2+3m−4≠0，
即−1
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义
【解析】【分析】(1)由点z的坐标满足直线的方程求出实数m的值；
(2) 由题可知，点Z在第二象限或第三象限， 得 m2−m−2<0且m2+3m−4≠0， 求解可得实数m的取值范围.
19．【答案】（1）解：∵sinCcs(B+π3)=csCsin(B+4π3)，
∴sinCcs(B+π3)+csCsin(B+π3)=0，
∴sin(B+C+π3)=0.
∵0
∴A=π3.
（2）解：∵bc=16，
∴由余弦定理，可得a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2−bc=b2+c2−16，
∴a=(b+c)2−2bc−16=(b+c)2−48.
∴a+b+c=(b+c)2−48+b+c
≥(2bc)2−48+2bc
=(2×4)2−48+8=12，
当且仅当b=c=4时，等号成立.
故△ABC的周长的最小值为12.
【知识点】基本不等式；余弦定理
【解析】【分析】(1)根据两角和差的正、余弦公式化简得到 sin(B+C+π3)=0，即可求出 B+C=2π3，进而得 A的值；
(2)根据余弦定理求出a、b、c的关系式，然后再根据基本不等式即可求出周长最小值.
20．【答案】（1）解：由题可知f(x)的最小正周期T=2×π2=π，则ω=2，
因为f(x)的图象经过点(3π2，22)，
所以f(3π2)=sin(2×3π2+φ)=22，即sinφ=−22，
因为|ϕ|<π2，所以φ=−π4，
所以f(x)=sin(2x−π4)；
（2）解：g(x)=f(x)+2cs2x−2sin2x
=sin(2x−π4)+2cs2x
=22sin2x−22cs2x+2cs2x
=22sin2x+22cs2x
=sin(2x+π4)，
由x∈[−π8，m]，可得2x+π4∈[0，2m+π4]，
若g(x)在区间[−π8，m]上的取值范围是[0，1]，
则π2≤2m+π4≤π，
解得π8≤m≤3π8，
所以实数m的取值范围是[π8，3π8].
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】（1）由f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，可求出 ω=2， 把
点(3π2，22)代入f(x)可求出 sinφ=−22， 即可求出 φ=−π4， 可得 f(x)的解析式；
（2）利用三角函数恒等变型可得 gx=sin(2x+π4)，再根据正弦函数的性质可求出实数m的取值范围.
21．【答案】（1）证明：∵BA⋅BC+BO2=(BA+BC)⋅BO，∴BA⋅BC−BC⋅BO+BO2−BA⋅BO=0
即BC⋅(BA−BO)−BO⋅(BA−BO)=0，
得BC⋅OA−BO⋅OA=0，(BC−BO)⋅OA=0，
得OC⋅OA=0，∴OA⊥OC.
（2）解：依题意CB=12OA，AM=23AB，
∴AM=23(OB−OA)=23(OC+CB)−23OA=23OC+13OA−23OA=23OC−13OA，
由题可知OM=OA+AM=OA+23OC−13OA=23OA+23OC.
∵OA=2CB，CP=xCB(0≤x≤1)，∴CP=x2OA.
∴OM=λCA+μOP=λ(OA−OC)+μ(OC+CP)=(λ+μx2)OA+(μ−λ)OC，
又OA，OC不共线，∴λ+μx2=23，μ−λ=23，即μ=83(x+2)，λ=μ−23.
∴λ⋅μ=μ(μ−23)=(μ−13)2−19，
∵0≤x≤1，∴89≤μ≤43.
∴当μ=43时，λ⋅μ取得最大值，且最大值为89，此时x=0.
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量数量积的运算
【解析】【分析】（1）根据向量数量积的运算可得 (BC−BO)⋅OA=0， 可证得 OA⊥OC；
（2）依题意CB=12OA，AM=23AB ， 由题可知OM=OA+AM=OA+23OC−13OA=23OA+23OC ，利用向量线性运算可得 OM→=(λ+μx2)OA→+(μ−λ)OC→，得 μ=83(x+2)，λ=μ−23. ， λ⋅μ=μ(μ−23)=(μ−13)2−19， 利用二次函数的性质求出 λ⋅μ取得最大值时x的值 .
22．【答案】（1）解：因为函数f(x)=lg2(4x+a)−x是偶函数，
所以f(x)=f(−x)，即lg2(4x+a)−x=lg2(4−x+a)+x，
也即lg2(4x+a)−x=lg2(a⋅4x+1)−lg24x+x，
lg2(4x+a)=lg2(a⋅4x+1)，
4x+a=a⋅4x+1，(1−a)(4x−1)=0.
因为对定义域内的任意x上式恒成立，所以a=1.
（2）解：由（1）可知f(x)的解析式为f(x)=lg2(4x+1)−x=lg2(2x+12x).
所以f(x)−x=lg2(2x+12x)−x=lg2(1+14x).
因为函数y=lg2(1+14x)在R上单调递减，
又14x>0，所以函数y=lg2(1+14x)在R上的值域为(0，+∞).
所以方程f(x)−x=1的实根的个数为1.
（3）解：由题可知g(x)=2x+12x.
由ℎ(x)=g(x)，可得(n−1)2x−n=2x+12x.
令t=2x，则t∈(0，+∞).
所以(n−1)2x−n=2x+12x可化为(n−2)t2−nt−1=0.
令函数s(t)=(n−2)t2−nt−1.
当n−2=0，即n=2时，−2t−1=0，t=−12，舍去.
当n−2>0，即n>2时，s(t)的图象开口向上，
因为s(0)=−1<0，所以s(t)一定存在唯一的正根，符合题意.
当n−2<0，即n<2时，s(t)的图象开口向下，
因为s(0)=−1<0，
令Δ=n2+4(n−2)=0，解得n=−2±23.
又t>0，所以对称轴t=n2(n−2)>0，所以n>2（舍去）或n<0.
所以n=−2−23.
综上，实数n的取值范围是{n∣n>2}∪{−2−23}.
【知识点】复合函数的单调性；函数奇偶性的性质；二次函数的图象；二次函数的性质
【解析】【分析】（1）由函数f(x)=lg2(4x+a)−x是偶函数得f(x)=f(−x) 列方程整理可得 lg2(4x+a)=lg2(a⋅4x+1)， 求解可得实数a的值；
（2） 由（1）可得函数f(x)−x=lg2(1+14x). 分析函数f(x)−x单调性与值域范围得出方程f(x)−x=1的实根的个数；
（3）由(1)得g(x)=2x+12x，联立两函数建立方程，令t=2x，则t∈(0，+∞)，可得 (n−2)t2−nt−1=0， 构造函数s(t)=(n−2)t2−nt−1，分 n−2=0 ， n−2>0 ， n−2<0 三种情况结合二次函数的性质可求出实数n的取值范围.
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