第一次月考选择题压轴题十四大题型专练-2023-2024学年高一数学下学期常考考点精讲精练（人教A版必修第二册）

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题型1
相等向量与共线向量
1．（2023下·河南·高三校联考阶段练习）已知四边形ABCD，下列说法正确的是（ ）
A．若AB=DC，则四边形ABCD为平行四边形
B．若|AC|=|BD|，则四边形ABCD为矩形
C．若AD∥BC，且|AC|=|BD|，则四边形ABCD为矩形
D．若|AB|=|CD|，且AD∥BC，则四边形ABCD为梯形
2．（2023上·辽宁大连·高一统考期末）已知平面上的非零向量a，b，c，下列说法中正确的是（ ）
①若a//b，b//c，则a//c；
②若|a|=2|b|，则a=±2b；
③若xa+yb=2a+3b，则x=2，y=3；
④若a//b，则一定存在唯一的实数λ，使得a=λb.
A．①③B．①④C．②③D．②④
3．（2023下·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）下列命题：①若a=b，则a=b；
②若a=b，b=c，则a=c；
③a=b的充要条件是a=b且a//b；
④若a//b，b//c，则a//c；
⑤若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．（2022下·湖北襄阳·高一校联考阶段练习）有下列说法其中正确的说法为（ ）
A．若a∥b,b∥c，则a∥c
B．若a∥b，则存在唯一实数λ使得a=λb
C．两个非零向量a,b，若|a−b|=|a|+|b|，则a与b共线且反向
D．若2OA+OB+3OC=0,S△AOC,S△ABC分别表示△AOC,△ABC的面积，则S△AOC:S△ABC=1:6
题型2
向量线性运算的几何应用
5．（2023上·河南·高三校联考阶段练习）在△ABC中，点D是线段BC上靠近点C的三等分点，点E在线段AD上，AE:ED=3:5，则EB+EC=（ ）
A．12AB+34ACB．34AB+12AC
C．14AB+23ACD．34AB+32AC
6．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）在△ABC中，点P满足2BP=PC，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若AM=xAB，AN=yAC(x>0,y>0)，则2x+y的最小值为（ ）
A．3B．32C．1D．13
7．（2023下·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知△ABC中，AB=3，AC=4，∠BAC=π3，I是∠BAC的平分线上一点，且AI=3.若△ABC内（不包含边界）的一点D满足ID=xAB+12AC，则实数x的取值范围是
A．−13,−112B．−12,−16C．−14,12D．0,14
8．（2023下·江苏宿迁·高一统考期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段DC上，且满足CE=2DE，则下列结论中正确的有（ ）
A．AB=DCB．AD+AB=AC
C．AB−AD=BDD．AE=AD+13AB
题型3
向量的数量积问题
9．（2023·天津红桥·统考二模）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E在边BC上，BC=3BE，若G为线段DC上的动点，则AG⋅AE的最大值为（ ）
A．2B．83
C．103D．4
10．（2023·天津津南·天津校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且AB=2，MC=MD=CD=1．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则NA⋅NB的取值范围是（ ）
A．−14,0B．0，34C．14,1D．−34,0
11．（2022·湖南长沙·雅礼中学校联考二模）P､Q､R是等腰直角三角形ABC（∠A=π2）内的点，且满足∠APB=∠BPC=∠CPA，∠ACQ=∠CBQ=∠BAQ，sinARA+sinBRB+sinCRC=0，则下列说法正确的是（ ）
A．PA⋅PB>QA⋅QB>RA⋅RB
B．QA⋅QB>PA⋅PB>RA⋅RB
C．RA⋅RB>PA⋅PB>QA⋅QB
D．RA⋅RB>QA⋅QB>PA⋅PB
12．（2022下·江苏南京·高一校考期中）相交弦定理是平面几何中关于圆的一个重要定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知点P是直径为22m的圆O内的定点，且OP＝m（m＞0，m∈R），弦AC、BD均过点P．则下列说法正确的是（ ）
A．-m≤OA⋅OC≤0
B．PB⋅PD=−m2
C．当AC⊥BD时，AB⋅CD=−2m2
D．当AC过点O且AB＝BC时，AC⋅BD=−423m2
题型4
向量的夹角（夹角的余弦值）问题
13．（2023下·浙江·高一湖州中学校联考期中）在平面中，已知单位向量e1、e2的夹角为60∘，向量a=xe1+ye2，且1≤x2≤4，1≤y2≤4，设向量a与e1的夹角为α，则csα的最大值为（ ）
A．64B．63
C．5714D．277
14．（2022上·江西·高三校联考阶段练习）已知平面向量a=OA，b=OB，c=OC，满足4OC⋅AC=1−OA2，4OB⋅CB=1−OC2，则向量a−4b与c−2b所成夹角的最大值是（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
15．（2023·高一课时练习）已知向量a=1,1，b=1,m，其中m为实数，O为坐标原点，当两向量夹角在0,π12变动时，m的取值范围是
A．0,1B．33,3C．33,1∪1,3D．1,3
16．（2023下·湖北武汉·高一校考期中）给出下列命题，其中错误的选项有（ ）
A．非零向量a,b，满足a>b且a与b同向，则a>b
B．已知a=1,2,b=1,1且a与a+λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是−53,+∞
C．若单位向量e1,e2的夹角为60∘，则当2e1+te2t∈R取最小值时，t=1
D．在△ABC中，若ABAB+ACAC⋅BC=0，则△ABC为等腰三角形
题型5
平面向量基本定理的应用
17．（2023·广东肇庆·统考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AE=13AD，BF=14BC，CE与DF交于点O.设AB=a，AD=b，若AO=λa+μb，则λ+μ=（ ）
A．817B．1917C．317D．1117
18．（2023上·河南驻马店·高三统考期末）点O在ΔABC所在的平面内，OA=OB=OC，AB=2，AC=1，AO=λAB+μAC λ,μ∈R，且4λ−μ=2μ≠0，则BC=（ ）
A．73B．72C．7D．7
19．（2023下·安徽黄山·高一校联考期中）点O是平面α上一定点，A，B，C是平面α上△ABC的三个顶点，∠B，∠C分别是边AC，AB的对角.有以下五个命题：
①动点P满足OP=OA+PB+PC，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|(λ>0)，则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足OP=OA+λAB|AB|sinB+AC|AC|sinC(λ>0)，则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足OP=OA+λAB|AB|csB+AC|AC|csC(λ>0)，则，△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
20．（2023下·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）在平行四边形ABCD中，点E为边CD中点，点F为边BC上靠近点B的三等分点，连接AF，BE交于点M，连接AC，点N为AC上靠近点C的三等分点，记AB=a，AD=b，则下列说法正确的是（ ）
A．点M，N，E三点共线
B．若AM=λa+μb，则λ+μ=97
C．BN=73BM
D．S△ABM=17S，S为平行四边形ABCD的面积
题型6
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
21．（2023·全国·高三校联考阶段练习）在直角梯形ABCD中AB⋅AD=0,∠B=30∘，AB=23,BC=2，点E为BC边上一点，且AE=xAB+yAD，则xy的取值范围是（ ）
A．−∞，12B．0,12C．0,302D．12,23
22．（2023上·福建泉州·高三校联考期中）在矩形ABCD中，AB=1，AD=3，P为矩形内一点，且AP=32.若AP=λAB+μAD(λ,μ∈R)，则λ+3μ的最大值为( )
A．32B．62C．3+34D．6+324
23．（2023下·河北邢台·高一校考阶段练习）如图所示，△ABC中AC=AB，AC,AB=π3，AD=2DC，以AD为直径作半圆，O为圆心，半圆上的动点P满足BP=λBA+μBC，则（ ）
A．BD=13BA+23BC；λ+μ≤1+77B．BD=13BA+23BC；λ+μ≤1+239
C．BD=23BA+13BC；λ+μ≤1+77D．BD=23BA+13BC；λ+μ≤1+239
24．（2023上·辽宁营口·高一校联考期末）在边长为4的正方形ABCD中，P在正方形（含边）内，满足AP=xAB+yAD，则下列结论正确的是（ ）
A．若点P在BD上时，则x+y=1
B．x+y的取值范围为1,4
C．若点P在BD上时，AP+AC=2xAB+2yAD
D．当P在线段BD上时，x2+y23的最小值为16
题型7
向量坐标运算的几何应用
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
25．（2023下·甘肃兰州·高一兰州一中校考期末）在等腰直角△ABC中，P为平面ABC内的一点，斜边AB=4,则PC⋅PA+PB的最小值是（ ）
A．−89B．−1C．−2D．−169
26．（2023·江西赣州·校联考一模）已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）一动点，则MA⋅MB的取值范围是（ ）
A．−1,0B．−1,2C．−1,3D．−1,4
27．（2023上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）在ΔABC中，已知AB⋅AC=9，sinB=csA⋅sinC，SΔABC=6，P为线段AB上的一点，且CP=x⋅CACA+y⋅CBCB，则1x+1y的最小值为（ ）
A．7+2312B．7+3212C．7+2612D．7+4312
28．（2023下·河北邢台·高一校考阶段练习）平行四边形ABCD中，AB=32，AD=1，∠A=π3.动点P满足AP=λAB+μAD，λ,μ∈0,1，下列选项中正确的有（ ）
A．AP⋅AB=218时，动点P形成的轨迹的长为34
B．λ=1时，CP的取值范围是72,32
C．μ=1时，存在P使得AP⋅BD=0
D．λ=13且AP最大时，AP在AB上的投影向量为23AB
题型8
用向量解决夹角、线段的长度问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
29．（2023下·福建三明·高一统考期末）△ABC中，若AB=AC=5，BC=6，点E满足CE=215CA+15CB，直线CE与直线AB相交于点D，则cs∠ADE=（ ）
A．1010B．31010C．−1010D．−31010
30．（2023上·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期末）已知|OA|=1,|OB|=2,OP=(1−t)OA,OQ=tOB,0≤t≤1.|PQ|在t0时取得最小值，问当0A．π3,2π3B．π6,π3C．π2,2π3D．π3,2π3
31．（2023下·山东枣庄·高一枣庄市第三中学校考期末）在ΔABC中，AB=5,AC=10,AB⋅AC=25，点P是ΔABC内（包括边界）的一动点，且AP=35AB+λAC(λ∈R)，则|AP|的最大值是（ ）
A．332B．37C．39D．41
32．（2023下·江苏镇江·高一统考期中）下列说法中正确的是（ ）
A．在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，若a⋅b>0，则△ABC为锐角三角形
B．非零向量a和b满足a=1，b=a+b=2，则a−b=6
C．已知a=1,2，b=1,1，且a与a+λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是−53,+∞
D．在△ABC中，若2OA+3OB+5OC=0，则△AOC与△AOB的面积之比为35
题型9
向量与几何最值（范围）问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
33．（2023上·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆O的半径2，点P是圆O内的定点，且OP=2，弦AC,BD均过点P，则下列说法错误的是（ ）

A．PA⋅PC为定值
B．当AC⊥BD时，AB⋅CD为定值
C．OA⋅OC的取值范围是−4,0
D．AC⋅BD的最大值为12
34．（2023下·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校考阶段练习）已知△ABC中，AB=8，AC=2，且|λ2AB+(2−2λ)AC| λ∈R的最小值为23，若P为边AB上任意一点，则PB⋅PC的最小值是（ ）
A．−514B．−494C．−916D．−2516
35．（2023下·四川成都·高一树德中学校考阶段练习）如图，在△ABC中，E，F分别为边AB，AC上的点，且AB=3AE，AC=3AF，P为EF上任意一点，实数x，y满足PA+xPB+yPC=0，设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记S1S=λ1，S2S=λ2，S3S=λ3，则当λ2⋅λ3取最大值时，3x−y的值为（ ）
A．−52B．−32C．14D．12
36．（2023下·江苏南通·高一统考期中）剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏．某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了2022年北京冬奥会的节目《雪花》之后，被舞台上漂亮的“雪花”图案（如图1）所吸引，决定用作品“雪花”参加剪纸比赛．小明的参赛作品“雪花”，它的平面图可简化为图2的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中，六边形ABCDEF为正六边形，CD=4CK=4JK=4 ，CK⊥JK，△HIJ为等边三角形，P为该平面图形上的一个动点（含边界），则（ ）

A．CI=1+3B．JH⋅JK=21+3
C．若FP=λFA+μFE，则λ＋μ的最大值为9+32D．AP⋅AB的取值范围是−12−43,28+43
题型10
三角形（四边形）的面积问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
37．（2023上·安徽马鞍山·高三马鞍山二中校考阶段练习）如图，四边形ABCD中3AB=2CD，AC∩BD=O，若AC+2DO=4AB，且BA⋅BD=9，则△ACD面积的最大值为（ ）

A．32B．26C．43D．63
38．（2022下·四川南充·高一校考阶段练习）已知在△ABC中，AB=3，AC=5.O为△ABC所在平面内一点，且满足OA=OB=OC，且AO=2λ3AB+3−2λ6ACλ≠0，则△ABC的面积为（ ）
A．6B．152C．5114D．3914
39．（2022上·四川成都·高二校联考开学考试）为了优化某绿地（记为△OAB）的行走路径，现需要在OA，OB上分别选取两点M，N修建一条直路MN，使得MN平分△OAB的周长，已知OA=OB=3，AB=2．则S四边形MNBAS△OMN的最小值为（ ）
A．23B．45C．32D．54
40．（2022下·江苏连云港·高一统考期末）在平面四边形ABCD中，AB=1，BC=3，CD=DA=2，则（ ）
A．当C=π3时，A，B，C，D四点共圆
B．当A，B，C，D四点共圆时，AC=577
C．当B+D=23π时，四边形ABCD的面积为3
D．四边形ABCD面积的最大值为23
题型11
求三角形中的边长或周长的最值或范围
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
41．（2023下·河南·高三校联考开学考试）在△ABC中，若内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC的平分线交AC于点D，BD=1且b=2，则△ABC周长的最小值为（ ）
A．7B．22C．2+22D．4
42．（2024·全国·模拟预测）已知△ABC是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．若a2−b2=bc，则ba+c的取值范围是（ ）
A．33,22B．2−3,1C．2−3,2−1D．2+1,3+2
43．（2023下·江苏连云港·高一连云港高中校考期中）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acsB−bcs2A=c且△ABC外接圆半径为2，则△ABC周长的取值范围是（ ）
A．(43，63]B．(43，63)C．(6+23，63]D．(6+23，63)
44．（2023下·黑龙江双鸭山·高一双鸭山一中校考阶段练习）已知△ABC三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且∠C=π3，c =2．则下列结论正确的是（ ）
A．△ABC的周长最大值为6
B．AC⋅AB的最大值为2+433
C．bcsA+acsB=2
D．csBcsA的取值范围为−∞,32∪3,+∞
题型12
复数的模的几何意义
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
45．（2023下·上海徐汇·高一上海中学校考期末）已知k+2个两两互不相等的复数z1,z2,⋯,zk,w1,w2，满足w1−w2=4w1−w2，且wj−za∈1,3，其中j=1,2；a=1,2,⋯,k，则k的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
46．（2023下·河南郑州·高一校联考期中）已知复数z满足z+3i=z−i，则z+1+2i的最小值为（ ）
A．1B．3C．3D．5
47．（2023·山西太原·太原五中校考一模）复平面内复数z满足z−2=1，则z−i的最小值为（ ）
A．1B．5−1C．5+1D．3
48．（2022下·浙江台州·高一校联考期中）已知复数z1，z2满足z1−4i=z1−5i，z2−1+2i=2（i为虚数单位），则下列结论正确的是（ ）
A．z1>z2B．z1z1=1
C．z2−z1的最小值为12D．z2−z1的最小值为4
题型13
根据复数的四则运算结果求复数特征
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
49．（2023·高一课时练习）已知i为虚数单位，复数z=3+2i2−i，则以下命题为真命题的是（ ）
A．z的共轭复数为75−4i5B．z的虚部为−75
C．z=3D．z在复平面内对应的点在第一象限
50．（2023·全国·高三专题练习）如图，若向量OZ对应的复数为z，则z+4z表示的复数为（ ）
A．1＋3iB．－3－i
C．3－iD．3＋i
51．（2023·高一课时练习）已知复数z1的实部为2，复数z2的虚部为−1，且z1z2为纯虚数，z1⋅z2为实数，若z1+z2在复平面内对应的点不在第一象限，则z1−z2对应的点在（ ）
A．第一象限B．第三象限C．第二象限D．第四象限
52．（2023·全国·模拟预测）已知a，b∈R，a−1i−b=3−2i，z=1+ia−b，则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部是2iB．z=2
C．z=−2iD．z对应的点在第二象限
题型14
复数范围内方程的根的问题
平面向量线性运算的坐标表示
平面向量线性运算的坐标表示
53．（2023上·上海·高二上海交大附中校考期末）设fx=ax2+bx+c（a、b、c∈R）.已知关于x的方程fx=x有纯虚数根，则关于x的方程ffx=x的解的情况，下列描述正确的是（ ）
A．方程只有虚根解，其中两个是纯虚根
B．可能方程有四个实数根的解
C．可能有两个实数根，两个纯虚数根
D．可能方程没有纯虚数根的解
54．（2024上·安徽·高三校联考阶段练习）若−12+32i是关于x的实系数方程ax2+bx+1=0的一个复数根，且z=a+bi，则z1+z=（ ）
A．15−35iB．15+35iC．35−15iD．35+15i
55．（2023·上海宝山·统考一模）已知z是复数，z是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （ ）
A．z2=z2B．若z=1，则z−1−i的最大值为2+1
C．若z=1−2i2，则复平面内z对应的点位于第一象限D．若1−3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则q=−8
56．（2023下·江苏南京·高二统考期中）已知方程x2+2(1+i)x+(a−b)i+2ab=0(a,b∈R)，则下列说法正确的是（ ）
A．若方程有一根为0，则a=0且b=0
B．方程可能有两个实数根
C．ab<12时，方程可能有纯虚数根
D．若方程存在实数根x0，则x0≤0或x0≥2