辽宁省鞍山市2024届九年级上学期期末质量检测数学试卷(含答案)

这是一份辽宁省鞍山市2024届九年级上学期期末质量检测数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级数学试卷
（考试时间120分钟，试卷满分120分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．一元二次方程的根的情况（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
3．如图，在中，，，，，则AE的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，把绕点C顺时针旋转某个角度得到，，，则旋转角度数为（ ）
A．70°B．55°C．40°D．30°
6．已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB，如果，且量得，则零件的厚度x为（ ）
A．0.3B．0.5
C．0.7D．1
8．甲、乙两地相距约75km，一辆汽车由甲地向乙地匀速行驶，所用时间与行驶速度之间的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
9．已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，点A，B，C，D在上，，点B是弧AC的中点，则的度数是（ ）
A．66°B．35.5°C．33°D．24°
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．小涵同学家开了一家超市，9月份盈利5000元，11月份盈利达到7200元，每月盈利的平均增长率都相同，设每月盈利的平均增长率为x，则可列方程为______．
12．已知圆弧所在圆的半径为3，它所对的圆心角为30°，这条弧的长为______．
13．如图，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时，CD的长为______．
14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在第二象限，顶点B恰好在x轴正半轴上，AB与y轴交于点E，A，C两点的纵坐标相同，反比例函数的图象经过点C，若菱形ABCD的面积为4，点E为AB中点，则k的值为______．
15．如图，在正方形ABCD中，E，F两点分别在边BC，AB上，连接DE，DF，EF，且，过A作，垂足为G，延长GA与EF延长线交于点H，连接DH，若，，则DH的长为______．
三、计算题（共10分）
16．用适当的方法解方程（每题5分，共10分）
（1）（2）
四、解答题（共8分）
17．如图，在中，，在中，，B，C，D三点在同一直线上，且点C为BD的中点，若，垂足为F，，，求BD的长．
五、解答题（18-20题每小题8分，21题9分，22-23题每小题12分，共57分）
18．如图，将绕点A顺时针旋转60°得到，点E恰好落在BC边上，连接BD，若，，，求的面积．
19．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于和两点，一次函数图象分别与x轴，y轴交于E，D两点，过A作轴，垂足为C，连接OB．
（1）求一次函数解析式和反比例函数解析式；
（2）点P为反比例函数图象上一点，若，求点P的坐标．
20．如图，在中，四边形ABCD为圆内接四边形，过D作交BC延长线于E，．
（1）求证：DE为切线；
（2）若，，求的半径长．
21．某广场计划修建一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上（水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足二次函数关系），以水管下端点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，某方向上抛物线路径的形状如图所示．
（1）经实验测量发现：当OA长为2米时，水流所形成的抛物线路径的最高点距地面3米，距OA所在直线1米，求抛物线的解析式；
（2）计划在小型喷泉周围建一个半径为米的圆形水池，在不改变抛物线路径形状的情况下，仅改变水管OA出水口点A的高度，以保证水流的落地点B不会超出水池边缘，则水管OA最多可以设计为几米？
23．【发现问题】
数学小组在活动中，研究了一道有关相似三角形的问题：
例：如图1，在中，点D是射线AC上一点，连接BD，若，求证．
解：∵，，
∴，
∴，
∴．
小睿同学经过分析、思考后，将这个三角形放在平面直角坐标系中，发现了一些规律．
【提出问题】
如图2，点B恰好与点重合，BA边在x轴上，若点D的纵坐标始终为，，那么随着BA的变化，点C的位置发生变化；小睿同学通过描点、观察，提出猜想；按此方式描出的若干个点C都在某二次函数图象上．
【分析问题】
（1）当时，若，所对应的点C的坐标为______．
【解决问题】
（2）当时，请帮助小睿同学证明他的猜想．
【深度思考】
（3）点C的坐标为，当时，n的最大值为，最小值为，且，求此时t的值．（规定：当点C与点B重合时，依然满足）
22．（1）数学张老师在数学活动课上出示了一道探究题：
如图，在和中，，，B，C，E三点在同一直线上，A，D两点在BE同侧，若，求证：．
张老师分别从问题的条件和结论出发分析这道探究题：
①如图1，从条件出发：过A作交BE于M，过D作交BE于N，依据等腰三角形的性质“三线合一”分析BM与BN之间的关系，可证得结论；
②如图2，从结论出发：过D作交BE于P，依据三角形全等的判定，证明，可证得结论；
请你运用其中一种方法，解决上述问题．
（2）小明同学经过对探究题及张老师分析方法的思考，提出以下问题：
如图3，在中，，在中，，B，C，E三点在同一直线上，A，D两点在BE同侧，且A，D，E三点在同一直线上，若，，的面积为7，求BE的长．
（3）在小明同学的问题得到解决后，张老师针对之前的解题思路提出了下面问题：
如图4，在四边形ABCD中，，，点E为CD中点，连接AE，若，，，求CD的长．
2023—2024学年第一学期期末质量监测
九年数学答案及给分标准
一、选择题：ABADDBBCBC
二、填空题：11、 12、 13、2 14、3 15、
三、解答题：
16、（1）
解：
，
（2）
解：
，
17、证明：∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵C为BD中点
∴
设，
∵，
∴
∴
∴
18、证明：由旋转，得：
∴，
∴，
∴为等边三角形
∴
∴
∵
在中
∴
19、解：（1）反比例函数的图象上
，
∴
∵在反比例函数图象上
∴
∴
∴和两点在一次函数的图象上
∴
∴
∴
（2）过P作轴交于N，过B作轴交于M
当时，
当时，
∴，
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴P的纵坐标为2或
∴当时，
当时，
∴，
20、解：（1）连接OD
∵四边形ABCD为圆内接四边形
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵OD为半径
∴DE为切线
（2）连接BD，延长AD与BE延长线交于点N
∵AB为直径
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
21、解：（1）由题意，得：抛物线顶点为
∵
∴
设抛物线解析式为
∴
∴
∴
（2）∵抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，对称轴为直线
∴设平移后的抛物线为
∴由题意：得：抛物线过点
∴
∴
∴
当时，
∴此时点A坐标为
∴水管OA最多可以设计为米
22、解：（1）解法1：∵，
又∵，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴四边形AMND为矩形
∴
∴
解法2：∵，
∴四边形ACPD为平行四边形
∴，
∵
∴
∵，
∴，，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
（2）过A作交于M，过D作交于N
过D作交AM于P
∵，
又∵，
∴，
∴
∵
∴，
∴，
∴
∴
在中
∴
∴
∵
∴四边形PMND为矩形
∴
∴
设，则
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
解，得：，不合题意，舍去
∴
∴
（3）延长AB与DC延长线交于点F，过A作交于G
过B作交于H
∵
∴
∵
∴
∴，
∵，
∴，
∵点E为CD中点
∴
∵
∴
∵
∴
设，则
∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
在和中
∴
∴
∴
23、解：（1）
（2）设点C坐标为
当A在点B右侧时，
当A在点B左侧时，
∵，
又∵
∴当A在点B右侧时，
当A在点B左侧时，
综上所述
点C在二次函数的图象上
（3）由题意，得：
，，或，
∴
∵
∴
∴二次函数的图象开口向上
对称轴为直线
①当：时
当时
n随m增大而增大
∴当时，
当时，
∵
∴
②当时，即时
当时
n随m增大而减小
∴当时，
当时，
∵
∴
③当，时，即时
∴当时，
当时，
∵
∴
，
都不合题意，舍去
④当，时，即时
∴当时，
当时，
∵，
∴
，
都不合题意，舍去
综上所述：或