陕西省铜川市2024届高三第二次质量检测数学（文科）试题

这是一份陕西省铜川市2024届高三第二次质量检测数学（文科）试题，共10页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，已知实数满足约束条件，已知函数且满足，则的最小值为等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：高考范围.
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.若集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数，则（ ）
A. B.2 C. D.3
3.从这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的9倍，则它的侧面积扩大为原来的（ ）
A.倍 B.3倍 C.倍 D.9倍
5.已知是上的两个动点，是线段的中点，若6，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A.-2 B.2 C. D.
7.设为抛物线的焦点，点在抛物线上，点在准线上，满足轴.若，则（ ）
A.2 B. C.3 D.
8.已知实数满足约束条件：则的最大值为（ ）
A. B. C.-1 D.
9.在递增等比数列中，其前项和为，且是和的等差中项，则（ ）
A.28 B.20 C.18 D.12
10.已知函数且满足，则的最小值为（ ）
A. B. C.1 D.2
11.已知是双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，若为等边三角形，则（ ）
A. B. C. D.
12.正四棱锥内有一球与各面都相切，球的直径与边的比为，则与平面所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知向量，且，则__________.
14.已知锐角满足，则__________.
15.已知函数在区间上不单调，则的取值范围是__________.
16.如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第个图的化学键和原子的个数之和为__________个.（用含的代数式表示）
三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.（本小题满分12分）
清明节，又称踏青节､行清节､三月节､祭祖节等，是传统的重大春祭节日，扫墓祭祀､缅杯祖先，是中华民族自古以来的优良传统.某社区进行流动人口统计，随机抽取了100人了解他们今年是否回老家祭祖，得到如下不完整的列联表：
（1）根据统计完成以上列联表，并根据表中数据估计该社区流动人口中50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率；
（2）能否有的把握认为回老家祭祖与年龄有关？
参考公式：，其中.
参考数据：
18.（本小题满分12分）
在中，内角的对边分别为.
（1）证明：；
（2）若，当取最大值时，求的面积.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中.侧面底面为等边三角形，四边形为正方形，且.
（1）若为的中点，证明：；
（2）求点到平面的距离.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点.
（1）求椭圆的标准方程：
（2）设椭圆的左焦点为，求的内切圆的半径最大时的值.
21.（本小题满分12分）
已知，函数满足对任意恒成立.
（1）当时，求的极值；
（2）求的值.
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线分别交于两点（异于极点），求线段的长度.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知，函数的最小值为2，证明：
（1）；
（2）.
铜川市2024年高三质量检测卷·数学（文科）
参考答案､提示及评分细则
1.B 由题意知，所以（）.故选B.
2.A ，则.故选A.
3.C 和为质数有，共14种情况，因此概率为.故选C.
4.B 设圆柱的高为，底面半径为，则体积为，体积扩大为原来的9倍，则扩大后的体积为，因为高不变，故体积，即底面半径扩大为原来的3倍，原来侧面积为，扩大后的圆柱侧面积为，故侧面积扩大为原来的3倍.故选B.
5.C 因为中点为，又，所以，点在以为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为.故选C.
6.C 因为函数是定义在上的奇函数，所以.故选C.
7.A 依题意，为等边三角形，.故选A.
8.C 线性区域的端点坐标为，可知当时，的最大值为-1.故选C.
9.A 根据题意得，解得或（舍），则，故选.
10.B 由可知：关于对称，故时，取最小值为.故选B.
11.B 为等边三角形，，
，
，
.故选B.
12.C 设球心为在平面内的射影为为中点，于，
半径为，则.故选C.
13. ，解得.
14. 由均为锐角，得，则.
15. 由题意知，因为在区间上不单调，所以解得，即的取值范围是.
由图，第1个图中有6个化学键和6个原子；
第2个图中有11个化学键和10个原子；
第3个图中有16个化学键和14个原子，
观察可得，后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子，
则第个图有个化学键和个原子，所以总数为.
17.解：（1）补全表格如下：
该社区中50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率为；
（2），
有的把握认为是否回老家祭祖与年龄有关.
18.（1）证明：，
则，
而，
故，
故，
故；
（2）解：，
当且仅当时，取最大值，此时，且，则，
故.
19.（1）证明：取中点，连接，
为等边三角形，，
四边形为正方形，，
又平面，
平面；
（2）解：连接，
由平面，
，
，
设到平面的距离为，即，
解得.
20.解：（1）由题意知右焦点，则.
椭圆的标准方程为；
（2）设的内切圆半径为的周长为.
的面积最大时，其内切圆半径最大.
设，
联立得.
.
令，则.
.
当且仅当，即时等号成立，此时.
21.解：（1）当时，，则，
令，得，令，得，
因此在上单调递减，在上单调递增，
即极小值为，无极大值；
（2）的定义域为.
故在上单调递减，上单调递增，.
又因为对任意，
所以，解得.
另一方面，等价于.
设函数.
所以在上单调递增，上单调递减，.
又因为对任意，所以，即.
设，
当时，，故.
所以只能有，即的值为1.
综上，的值为1.
22.解：（1）曲线（为参数），消去参数得，
将代入，得曲线的极坐标方程为，
由得，
曲线的直角坐标方程为；
（2）易知直线的极坐标方程为，
代入曲线的极坐标方程得，
.
23.解：由于，则，当且仅当取等号，
故的最小值为.
证明：（1），
，
当且仅当时取等号；
（2），
，
当且仅当，即时取等号.回老家
不回老家
总计
50周岁及以下
55
50周岁以上
15
40
总计
100
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
回老家
不回老家
总计
50周岁及以下
5
55
60
50周岁以上
15
25
40
总计
20
80
100