中考数学一轮复习满分突破考点题型专练专题34 锐角三角函数（2份打包，原卷版+解析版）

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【知识要点】
知识点一 锐角三角函数
锐角三角函数：如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角
三角函数为(∠A可换成∠B)
【正弦和余弦注意事项】
1)sinA、csA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。
2)sinA、csA是一个比值（数值，无单位）。
3)sinA、csA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
【0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值】
锐角三角函数的关系：
1）sin A = cs（90°-A）,即一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值。
cs A = sin（90°-A）,即一个锐角的余弦值等于它余角的正切值。
3) tan A = ct(90°-A), 即一个锐角的正切值等于它余角的余切值。
4) ct A= tan(90°-A), 即一个锐角的余切值等于它余角的正切值。
正弦、余弦的增减性：当0°≤ SKIPIF 1 < 0 ≤90°时，sinα随α的增大而增大，csα随α的增大而减小。
正切的增减性：当0°< SKIPIF 1 < 0 0，
∴a2+(a+1)2=5，其中a>0，
解得：a1=1，a2=-2(不符合题意，舍去)，
SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 =2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．
变式3-2．（2022·福建·统考中考真题）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC， SKIPIF 1 < 0 ，BC＝44cm，则高AD约为（ ）（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
A．9.90cmB．11.22cmC．19.58cmD．22.44cm
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质及BC＝44cm，可得 SKIPIF 1 < 0 cm，根据等腰三角形的性质及 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 ，求得AD的长度．
【详解】解：∵等腰三角形ABC，AB＝AC，AD为BC边上的高，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵BC＝44cm，
∴ SKIPIF 1 < 0 cm．
∵等腰三角形ABC，AB＝AC， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵AD为BC边上的高， SKIPIF 1 < 0 ，
∴在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 cm，
∴ SKIPIF 1 < 0 cm．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键．
变式3-3．（2022·湖北荆州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上， SKIPIF 1 < 0 ，连接AC，过点O作 SKIPIF 1 < 0 交AC的延长线于P．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
【答案】C
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 可知，OP与x轴的夹角为45°，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角形，设OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他线段进而求解．
【详解】∵P点坐标为（1，1），
则OP与x轴正方向的夹角为45°，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
则∠BAO=45°， SKIPIF 1 < 0 为等腰直角形，
∴OA=OB，
设OC=x，则OB=2OC=2x，
则OB=OA=3x，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解，根据P点坐标推出特殊角是解题的关键．
变式3-4．（2022·湖北黄冈·统考中考真题）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物 SKIPIF 1 < 0 点处测得乙建筑物 SKIPIF 1 < 0 点的俯角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点的俯角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，则甲建筑物的高度 SKIPIF 1 < 0 为________ SKIPIF 1 < 0 ．（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结果保留整数）．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】过 SKIPIF 1 < 0 点作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得出答案．
【详解】解：如图，过 SKIPIF 1 < 0 点作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
根据题意可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
∵从甲建筑物 SKIPIF 1 < 0 点处测得乙建筑物 SKIPIF 1 < 0 点的俯角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点的俯角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为两座建筑物的水平距离，乙建筑物的高度 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
经检验 SKIPIF 1 < 0 是原分式方程的解且符合题意，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，涉及到锐角三角函数，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，分式方程等知识．熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
变式3-5．（2022·四川凉山·统考中考真题）如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】如图（见解析），先根据平行线的判定与性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据相似三角形的判定证出 SKIPIF 1 < 0 ，根据相似三角形的性质可得 SKIPIF 1 < 0 的长，然后根据正切的定义即可得．
【详解】解：如图，由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
经检验， SKIPIF 1 < 0 是所列分式方程的解，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正切等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键．
变式3-6．（2022·山东济宁·统考中考真题）如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝ SKIPIF 1 < 0 ，则AD的长是___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直径， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，证明 SKIPIF 1 < 0 ，根据相似三角形的性质以及正切的定义，分别表示出 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，勾股定理求得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 即可求解．
【详解】解：如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠ACB＝90°
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直径，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 tan∠CBD＝ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 AC＝BC，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了90°圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，正切的定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
变式3-7．（2022·浙江温州·统考中考真题）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 于点D，E，F分别是 SKIPIF 1 < 0 的中点，O是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 的延长线交线段 SKIPIF 1 < 0 于点G，连结 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形．
(2)当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1)见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据E，F分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，得出 SKIPIF 1 < 0 ，根据平行线的性质，得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，结合O是 SKIPIF 1 < 0 的中点，利用“AAS”得出 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可证明 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形；
（2）根据 SKIPIF 1 < 0 ，E是 SKIPIF 1 < 0 中点，得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，得出CD=2，根据勾股定理得出AC的长，即可得出DE，根据平行四边形的性，得出 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）解：（1）∵E，F分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵O是 SKIPIF 1 < 0 的中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形．
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，E是 SKIPIF 1 < 0 中点，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查了平行线四边形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，三角形全等的判定和性质，三角函数的定义，平行线的性质，中位线的性质，根据题意证明
SKIPIF 1 < 0 ，是解题的关键．
变式3-8．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）如图，某学习小组在教学楼 SKIPIF 1 < 0 的顶部观测信号塔 SKIPIF 1 < 0 底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°．已知教学楼 SKIPIF 1 < 0 的高度为20m，求信号塔的高度（计算结果保冒根号）．
【答案】（20 SKIPIF 1 < 0 ＋20）m．
【分析】过点A作AE⊥CD于点E，则四边形ABDE是矩形，DE＝AB＝20m，在Rt△ADE中，求出AE的长，在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，求出CE的长，即可得到CD的长，得到信号塔的高度．
【详解】解：过点A作AE⊥CD于点E，
由题意可知，∠B＝∠BDE＝∠AED＝90°，
∴四边形ABDE是矩形，
∴DE＝AB＝20m，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∠DAE＝30°，DE＝20m，
∵tan∠DAE＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 m，
在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠CAE＝45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 m，
∴CD＝CE＋DE＝（20 SKIPIF 1 < 0 ＋20）m，
∴信号塔的高度为（20 SKIPIF 1 < 0 ＋20）m．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、特殊角的锐角三角函数等知识，借助仰角俯角构造直角三角形与矩形是解题的关键．
考查题型四 与特殊角三角函数值有关的计算题
典例4．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）计算： SKIPIF 1 < 0 4 SKIPIF 1 < 0 °．
【答案】2
【分析】先计算负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，再计算乘法，再合并即可．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的运算，负整数指数幂的含义，二次根式的化简，掌握“运算基础运算”是解本题的关键．
变式4-1．（2022·四川德阳·统考中考真题）计算： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则分别化简后再进行实数的加减法运算．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】此题考查实数的运算法则，正确掌握二次根式的化简，零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及负整数指数幂的运算法则是解题的关键．
变式4-2．（2022·山东滨州·统考中考真题）先化简，再求值： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ，0
【分析】先算括号内的减法，再将除法变成乘法进行计算，然后根据锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质求出a，最后代入计算．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴原式 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．
变式4-3．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）（1）计算： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）先化简，再求值： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）先每项化简，再加减算出最终结果即可；
（2）先因式分解，化除为乘，通分，化简；再带入数值计算即可．
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴原式= SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
考查题型五 解直角三角形
典例5．（2022·浙江杭州·统考中考真题）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】要使△ABC的面积S= SKIPIF 1 < 0 BC•h的最大，则h要最大，当高经过圆心时最大．
【详解】解：当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大，
如图所示，
∵A'D⊥BC，
∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，
在Rt△BOD中，
sinθ= SKIPIF 1 < 0 ，csθ= SKIPIF 1 < 0 ，
∴BD=sinθ，OD=csθ，
∴BC=2BD=2sinθ，
A'D=A'O+OD=1+csθ，
∴S△A'BC= SKIPIF 1 < 0 AD•BC= SKIPIF 1 < 0 •2sinθ（1+csθ）=sinθ（1+csθ）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的应用与三角形面积的求法．
变式5-1．（2022·浙江杭州·统考中考真题）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，∠ACE=30°．
(1)求证：CE=CM．
(2)若AB=4，求线段FC的长．
【答案】(1)见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据直角三角形的性质可得MC=MA=MB，根据外角的性质可得∠MEC=∠A+∠ACE，∠EMC=∠B+∠MCB，根据等角对等边即可得证；
（2）根据CE=CM先求出CE的长，再解直角三角形即可求出FC的长．
【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，点M为边AB的中点，
∴MC=MA=MB，
∴∠MCA=∠A，∠MCB=∠B，
∵∠A=50°，
∴∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°，
∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°，
∵∠ACE=30°，
∴∠MEC=∠A+∠ACE=80°，
∴∠MEC=∠EMC，
∴CE=CM；
（2）解：∵AB=4，
∴CE=CM= SKIPIF 1 < 0 AB=2，
∵EF⊥AC，∠ACE=30°，
∴FC=CE•cs30°= SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，解直角三角形等，熟练掌握并灵活运用直角三角形的性质是解题的关键．
变式5-2．（2022·湖北黄冈·统考中考真题）问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造相似三角形来证明 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．
(1)尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图2证明 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ；
(2)应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点．连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；
②若BC＝m，∠AED＝ SKIPIF 1 < 0 ，求DE的长（用含m， SKIPIF 1 < 0 的式子表示）．
【答案】(1)详见解析
(2)①DE= SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）利用AB∥CE，可证得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由AD平分∠BAC，可知AC=EC，即可证得结果；
（2）利用（1）中的结论进行求解表示即可．
【详解】（1）解：∵AB∥CE，
∴∠BAD=∠DEC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠DEC，
∴AC=EC，
∵∠BDA=∠CDE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①由折叠可知，AD平分∠BAC，CD=DE，
由（1）得， SKIPIF 1 < 0 ，
∵AC＝1，AB＝2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得：CD= SKIPIF 1 < 0 ，
∴DE= CD= SKIPIF 1 < 0 ；
②由折叠可知∠AED＝∠C= SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由①可知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形的综合运用，灵活转化比例关系是解题的关键．
变式5-3．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中，以AB为直径作 SKIPIF 1 < 0 交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作 SKIPIF 1 < 0 于点G，交BA的延长线于点H．
(1)求证：直线HG是 SKIPIF 1 < 0 的切线；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求CG的长．
【答案】(1)见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）连接OD，利用三角形中位线的定义和性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用平行线的性质即可证明；
（2）先通过平行线的性质得出 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，再通过解直角三角形求出半径长度，再利用三角形中位线定理和相似三角形的判定和性质分别求出BC，BG的长度，即可求解．
【详解】（1）连接OD，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵D是AC的中点，AB为直径，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线HG是 SKIPIF 1 < 0 的切线；
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵D是AC的中点，AB为直径，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键．
变式5-4．（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为直径作⊙ SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 边于点 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上取一点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，作射线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 边于点 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 的长．
【答案】(1)见解析
(2)BF=5， SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，得到∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，根据 SKIPIF 1 < 0 ，得到∠B=∠BCF，推出∠A=∠ACF；
（2）根据∠B=∠BCF，∠A=∠ACF，得到AF=CF，BF=CF，推出AF=BF= SKIPIF 1 < 0 AB，根据 SKIPIF 1 < 0 ，AC=8，得到AB=10，得到BF=5，根据 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，连接CD，根据BC是⊙O的直径，得到∠BDC=90°，推出∠B+∠BCD=90°，推出∠A=∠BCD，得到 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，得到∠FDE=∠B，推出DE∥BC，得到△FDE∽△FBC，推出 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）解：∵ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠B=∠BCF，
∴∠A=∠ACF；
（2）∵∠B=∠BCF，∠A=∠ACF
∴AF=CF，BF=CF，
∴AF=BF= SKIPIF 1 < 0 AB，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，AC=8，
∴AB=10，
∴BF=5，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
连接CD，∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，
∴∠FDE=∠B，
∴DE∥BC，
∴△FDE∽△FBC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理及推论，运用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性质．
变式5-5．（2022·湖南·统考中考真题）阅读下列材料：
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ．
证明：如图1，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则：
在 SKIPIF 1 < 0 中， CD=asinB
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
根据上面的材料解决下列问题：
(1)如图2，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【答案】(1)见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）作BC边上的高，利用三角函数表示AD后，即可建立关联并求解；
（2）作BC边上的高，利用三角函数分别求出AE和BC，即可求解．
【详解】（1）证明：如图2，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：如图3，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提．
考查题型六 与解直角三角形有关的计算题
典例6．（2022·广西·统考中考真题）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则高BC是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 米B． SKIPIF 1 < 0 米C． SKIPIF 1 < 0 米D． SKIPIF 1 < 0 米
【答案】A
【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα= SKIPIF 1 < 0 ，代入AB值即可求解．
【详解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴sinα= SKIPIF 1 < 0 ，
∴BC= sinα SKIPIF 1 < 0 AB=12 sinα（米），
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．
变式6-1．（2022·广西贵港·中考真题）如图，某数学兴趣小组测量一棵树 SKIPIF 1 < 0 的高度，在点A处测得树顶C的仰角为 SKIPIF 1 < 0 ，在点B处测得树顶C的仰角为 SKIPIF 1 < 0 ，且A，B，D三点在同一直线上，若 SKIPIF 1 < 0 ，则这棵树 SKIPIF 1 < 0 的高度是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函数值即可求解．
【详解】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD=x，
∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选A．
【点睛】本题考查三角函数，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键．
变式6-2．（2022·浙江金华·统考中考真题）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则房顶A离地面 SKIPIF 1 < 0 的高度为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据轴对称图形得性质即可得BD=CD，从而利用锐角三角函数正切值即可求得答案．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
∵它是一个轴对称图形，
∴ SKIPIF 1 < 0 m，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 房顶A离地面 SKIPIF 1 < 0 的高度为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握利用正切值及一条直角边求另一条直角边是解题的关键．
变式6-3．（2022·山东济南·统考中考真题）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（ ）（精确到1m．参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
A．28mB．34mC．37mD．46m
【答案】C
【分析】在Rt△ABD中，解直角三角形求出 SKIPIF 1 < 0 ，在Rt△ABC中，解直角三角形可求出AB．
【详解】解：在Rt△ABD中，tan∠ADB＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 m，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切函数的定义是解题的关键．
变式6-4．（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】应充分利用所给的α和45°在树的位置构造直角三角形，进而利用三角函数求解．
【详解】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，
∴∠BCD=α，∠ACD=45°．
在Rt△CDB中，CD=mcsα，BD=msinα，
在Rt△CDA中，
AD=CD×tan45°
=m×csα×tan45°
=mcsα，
∴AB=AD-BD
=（mcsα-msinα）
=m（csα-sinα）．
故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数的应用．需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法，另外，利用三角函数时要注意各边相对．
变式6-5（2022·广西玉林·统考中考真题）如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根据俯角的定义可直接得出结果．
【详解】解：根据俯角的定义，朝下看时，视线与水平面的夹角为俯角，
∴∠DAC为对应的俯角，
故选D．
【点睛】题目主要考查对俯角定义的理解，深刻理解俯角的定义是解题关键．
变式6-6．（2022·山东泰安·统考中考真题）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角 SKIPIF 1 < 0 ，已知窗户的高度 SKIPIF 1 < 0 ，窗台的高度 SKIPIF 1 < 0 ，窗外水平遮阳篷的宽 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长度为______（结果精确到 SKIPIF 1 < 0 ）．
【答案】4.4m##4.4米
【分析】根据题意可得AD∥CP，从而得到∠ADB=30°，利用锐角三角函数可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到BC=AF+CF-AB=2.54m，即可求解．
【详解】解：根据题意得：AD∥CP，
∵∠DPC=30°，
∴∠ADB=30°，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵AF=2m，CF=1m，
∴BC=AF+CF-AB=2.54m，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的长度为4.4m．
故答案为：4.4m.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形、平行线的性质，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
变式6-7．（2022·湖南衡阳·统考中考真题）回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首．王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”．峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽．某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．已知测角仪 SKIPIF 1 < 0 的高度为 SKIPIF 1 < 0 ，则大雁雕塑 SKIPIF 1 < 0 的高度约为_________ SKIPIF 1 < 0 ．（结果精确到 SKIPIF 1 < 0 ．参考数据： SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】10.2
【分析】先根据三角形外角求得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据三角形的等角对等边得出BF=DF=AE=10m，再解直角三角形求得BG即可求解．
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质、等腰三角形的判定、解直角三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的判定和解直角三角形的解题方法是解答的关键．
变式6-8．（2022·广西柳州·统考中考真题）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝ SKIPIF 1 < 0 ，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为 ____m．
【答案】50
【分析】直接利用坡角的定义结合锐角三角函数关系得出答案．
【详解】解：根据题意得：∠ACB=90°，sinα＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵BC＝30m，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得：AB=50m，
即迎水坡面AB的长度为50m．
故答案为：50
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
变式6-9．（2022·贵州黔西·统考中考真题）如图，我海军舰艇在某海域C岛附近巡航，计划从A岛向北偏东80°方向的B岛直线行驶．测得C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西40°方向．A，B之间的距离为80nmile，则C岛到航线AB的最短距离是_____nmile．（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】34
【分析】作 SKIPIF 1 < 0 与点F，则CF为C岛到航线AB的最短距离，设 SKIPIF 1 < 0 ，表示出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】解：作 SKIPIF 1 < 0 与点F，则CF为C岛到航线AB的最短距离，
由图可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ．
∴C岛到航线AB的最短距离是34 nmile．
故答案为：34
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解CF为C岛到航线AB的最短距离，求出 SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 求解．
变式6-10．（2022·湖北黄石·统考中考真题）某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为________m．（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ，结果按四舍五八保留一位小数）
【答案】12.7
【分析】设旗杆底部为点C，顶部为点D，过点D作DE⊥AB，交直线AB于点E．设DE=x m，在Rt△BDE中， SKIPIF 1 < 0 ，进而求得 SKIPIF 1 < 0 ，在Rt△ADE中， SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，根据CD=CE-DE可得出答案．
【详解】解：设旗杆底部为点C，顶部为点D，延长CD交直线AB于点E，依题意则DE⊥AB，
则CE=30m，AB=20m，∠EAD=30°，∠EBD=60°，
设DE=x m，
在Rt△BDE中， SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 m，
在Rt△ADE中， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 m，
∴CD=CE-DE SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为：12.7．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
变式6-11．（2022·天津·统考中考真题）如图，某座山 SKIPIF 1 < 0 的项部有一座通讯塔 SKIPIF 1 < 0 ，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为 SKIPIF 1 < 0 ，测得塔底B的仰角为 SKIPIF 1 < 0 ．已知通讯塔 SKIPIF 1 < 0 的高度为 SKIPIF 1 < 0 ，求这座山 SKIPIF 1 < 0 的高度（结果取整数）．参考数据： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】这座山 SKIPIF 1 < 0 的高度约为 SKIPIF 1 < 0
【分析】在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，利用 SKIPIF 1 < 0 ，即可列出等式求解．
【详解】解：如图，根据题意， SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
答：这座山 SKIPIF 1 < 0 的高度约为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查三角函数测高，解题的关键在运用三角函数的定义表示出未知边，列出方程．
变式6-12．（2022·河北·统考中考真题）如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线 SKIPIF 1 < 0 ． 嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m．
(1)求∠C的大小及AB的长；
(2)请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据： SKIPIF 1 < 0 取4， SKIPIF 1 < 0 取4.1）
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2)见详解，约 SKIPIF 1 < 0 米
【分析】（1）由水面截线 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用锐角三角形的正切值即可求解．
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，水面截线 SKIPIF 1 < 0 ，即可得DH即为所求，由圆周角定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用相似三角形的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理即可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，从而可求解．
【详解】（1）解：∵水面截线 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，如图所示：
SKIPIF 1 < 0 水面截线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为最大水深，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 最大水深约为 SKIPIF 1 < 0 米．
【点睛】本题考查了解直角三角形，主要考查了锐角三角函数的正切值、圆周角定理、相似三角形的判定及性质、平行线的性质和勾股定理，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键．
变式6-13．（2022·海南·统考中考真题）无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼 SKIPIF 1 < 0 楼顶D处的俯角为 SKIPIF 1 < 0 ，测得楼 SKIPIF 1 < 0 楼顶A处的俯角为 SKIPIF 1 < 0 ．已知楼 SKIPIF 1 < 0 和楼 SKIPIF 1 < 0 之间的距离 SKIPIF 1 < 0 为100米，楼 SKIPIF 1 < 0 的高度为10米，从楼 SKIPIF 1 < 0 的A处测得楼 SKIPIF 1 < 0 的D处的仰角为 SKIPIF 1 < 0 （点A、B、C、D、P在同一平面内）．
(1)填空： SKIPIF 1 < 0 ___________度， SKIPIF 1 < 0 ___________度；
(2)求楼 SKIPIF 1 < 0 的高度（结果保留根号）；
(3)求此时无人机距离地面 SKIPIF 1 < 0 的高度．
【答案】(1)75；60
(2) SKIPIF 1 < 0 米
(3)110米
【分析】（1）根据平角的定义求 SKIPIF 1 < 0 ，过点A作 SKIPIF 1 < 0 于点E，再利用三角形内角和求 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 求出DE的长度再根据 SKIPIF 1 < 0 计算即可；
（3）作 SKIPIF 1 < 0 于点G，交 SKIPIF 1 < 0 于点F，证明 SKIPIF 1 < 0 即可．
【详解】（1）过点A作 SKIPIF 1 < 0 于点E，
由题意得： SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
（2）由题意得： SKIPIF 1 < 0 米， SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴楼 SKIPIF 1 < 0 的高度为 SKIPIF 1 < 0 米．
（3）作 SKIPIF 1 < 0 于点G，交 SKIPIF 1 < 0 于点F，
则 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 （AAS）．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0
∴无人机距离地面 SKIPIF 1 < 0 的高度为110米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-——仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
变式6-14．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．（结果精确到0.1 SKIPIF 1 < 0 ，参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
(1)连结 SKIPIF 1 < 0 ，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长．
(2)求点A，B之间的距离．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）过点C作 SKIPIF 1 < 0 于点F，根据等腰三角形的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再利用锐角三角函数，即可求解；
（2）连结 SKIPIF 1 < 0 ．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l，可得对称轴l经过点C．从而得到四边形DGCE是矩形，进而得到DE=CG，然后过点D作 SKIPIF 1 < 0 于点G，过点E作EH⊥AB于点H，可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，再利用锐角三角函数，即可求解．
【详解】（1）解：如图2，过点C作 SKIPIF 1 < 0 于点F，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 (cm)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：如图3，连结 SKIPIF 1 < 0 ．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l，
∵纸飞机机尾的横截面示意图是一个轴对称图形，
∴对称轴l经过点C．
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴AB∥DE．
过点D作 SKIPIF 1 < 0 于点G，过点E作EH⊥AB于点H，
∵DG⊥AB，HE⊥AB，
∴∠EDG =∠DGH=∠EHG=90°，
∴四边形DGCE是矩形，
∴DE=HG，
∴DG∥l， EH∥l，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，BE⊥CE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 (cm)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
变式6-15．（2022·浙江宁波·统考中考真题）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
(1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB的长．
(2)如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.3）
【答案】(1)15m
(2)在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处；理由见解析
【分析】（1）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；
（2）根据题意可得DE=BC=2m，从而求出AD=17m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，进行比较即可解答．
【详解】（1）解：在Rt△ABD中，∠ABD=53°，BD=9m，
∴AB= SKIPIF 1 < 0 =15（m），
∴此时云梯AB的长为15m；
（2）解：在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
DE=BC=2m，
∵AE=19m，
∴AD=AE-DE=19-2=17（m），
在Rt△ABD中，BD=9m，
∴AB= SKIPIF 1 < 0 （m），
∵ SKIPIF 1 < 0 m＜20m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
变式6-16．（2022·河南·统考中考真题）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．
(1)求证：∠BOC＋∠BAD＝90°．
(2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离AD最小，测得 SKIPIF 1 < 0 ．已知铁环⊙O的半径为25cm，推杆AB的长为75cm，求此时AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)50 cm
【分析】（1）根据切线的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，根据平行线的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而即可得证；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的平行线，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）得到 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 中，求得 SKIPIF 1 < 0 ,进而求得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 即可求解．
【详解】（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ⊙O与水平地面相切于点C，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 AB与⊙O相切于点B，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即∠BOC＋∠BAD＝90°．
（2）如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的平行线，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （cm)，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 cm，
SKIPIF 1 < 0 (cm)，
SKIPIF 1 < 0 (cm)，
SKIPIF 1 < 0 (cm)，
SKIPIF 1 < 0 cm，
SKIPIF 1 < 0 (cm)．
【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，解直角三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键．
变式6-17．（2022·四川自贡·统考中考真题）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：
(1)探究原理：制作测角仪时，将细线一段固定在量角器圆心 SKIPIF 1 < 0 处，另一端系小重物 SKIPIF 1 < 0 ．测量时，使支杆 SKIPIF 1 < 0 、量角器90°刻度线 SKIPIF 1 < 0 与铅垂线 SKIPIF 1 < 0 相互重合（如图①），绕点 SKIPIF 1 < 0 转动量角器，使观测目标 SKIPIF 1 < 0 与直径两端点 SKIPIF 1 < 0 共线（如图②），此目标 SKIPIF 1 < 0 的仰角 SKIPIF 1 < 0 ．请说明两个角相等的理由．
(2)实地测量：如图③，公园广场上有一棵树，为了测量树高，同学们在观测点 SKIPIF 1 < 0 处测得顶端 SKIPIF 1 < 0 的仰角 SKIPIF 1 < 0 ，观测点与树的距离 SKIPIF 1 < 0 为5米，点 SKIPIF 1 < 0 到地面的距离 SKIPIF 1 < 0 为1.5米；求树高 SKIPIF 1 < 0 ．（ SKIPIF 1 < 0 ，结果精确到0.1米）
(3)拓展探究：公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端 SKIPIF 1 < 0 距离地面高度 SKIPIF 1 < 0 （如图④），同学们讨论，决定先在水平地面上选取观测点 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 在同一直线上），分别测得点 SKIPIF 1 < 0 的仰角 SKIPIF 1 < 0 ，再测得 SKIPIF 1 < 0 间的距离 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到地面的距离 SKIPIF 1 < 0 均为1.5米；求 SKIPIF 1 < 0 （用 SKIPIF 1 < 0 表示）．
【答案】(1)证明见解析
(2)10.2米
(3) SKIPIF 1 < 0 米
【分析】（1）根据图形和同角或等角的余角相等可以证明出结果；
（2）根据锐角三角函数和题意，可以计算出PH的长，注意最后的结果；
（3）根据锐角三角函数和题目中的数据，可以用含 SKIPIF 1 < 0 、m的式子表示出PH．
【详解】（1）证明：∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
（2）由题意得：KH=OQ=5米，OK=QH=1.5米， SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△POQ中
tan∠POQ= SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 （米）
故答案为：10.2米．
（3）由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，
由图得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 米
故答案为： SKIPIF 1 < 0 米
【点睛】本题考查解直角三角形中的仰角、俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
变式6-18．（2022·湖南常德·统考中考真题）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图是其示意图，已知：助滑坡道 SKIPIF 1 < 0 米，弧形跳台的跨度 SKIPIF 1 < 0 米，顶端 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为40米， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求此大跳台最高点 SKIPIF 1 < 0 距地面 SKIPIF 1 < 0 的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】70
【分析】过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，可得 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，求得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，进而求得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 即可求解．
【详解】如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 （米），
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 米
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 顶端 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离为40米，即 SKIPIF 1 < 0 米
SKIPIF 1 < 0 （米）．
SKIPIF 1 < 0 （米）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
定 义
表达式
取值范围
关 系
正弦
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
(∠A为锐角)
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
余弦
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
(∠A为锐角)
正切
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
(∠A为锐角)
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 (倒数)
SKIPIF 1 < 0
余切(选)
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
(∠A为锐角)
三角函数
30°
45°
60°
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
1
SKIPIF 1 < 0