中考数学总复习专题16全等三角形(10个高频考点)(强化训练)(全国版)(原卷版+解析)

这是一份中考数学总复习专题16全等三角形(10个高频考点)(强化训练)(全国版)(原卷版+解析)，共82页。


【考点1 全等三角形的概念及其性质】
1．（2022·江苏盐城·校考三模）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转后得到△A′B′C′．若∠A=40°，∠B′=110°，则∠BCA的度数是（ ）
A．90°B．80°C．50°D．30°
2．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．所有的等边三角形是全等形
B．面积相等的三角形是全等三角形
C．到三角形三边距离相等的点是三边中线的交点
D．到三角形三个顶点距离相等的是三边中垂线的交点
3．（2022·河南·模拟预测）如图所示，两个三角形全等，则∠α等于( )
A．72°B．60°C．58°D．50°
4．（2022·上海静安·统考二模）下列说法中，不正确的是（ ）
A．周长相等的两个等边三角形一定能够重合B．面积相等的两个圆一定能够重合
C．面积相等的两个正方形一定能够重合D．周长相等的两个菱形一定能够重合
5.（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC＝DEB．∠BAD＝∠CAEC．AB＝AED．∠ABC＝∠AED
【考点2 一次证明全等三角形】
6．（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，B是线段AC的中点，AD∥BE,BD∥CE，求证：△ABD≌△BCE．
7．（2022·浙江衢州·统考中考真题）已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AB=AD．
8．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．
求证：
(1)△DOF≌△BOE；
(2)DE=BF．
9.（2022·山东青岛·山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）（1）如图1，∠B=∠D=90°，E是BD的中点，AE平分∠BAC，求证：CE平分∠ACD．
（2）如图2，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分线并于点E，过点E作BD⊥AM，分别交AM、CN于B、D，请猜想AB、CD、AC三者之间的数量关系，请直接写出结论，不要求证明．
（3）如图3，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分线交于点E，过点E作不垂直于AM的线段BD，分别交AM、CN于B、D点，且B、D两点都在AC的同侧，（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
10.（2022·江苏徐州·校考二模）如图1，把等腰直角三角板AMN放在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为0,4，∠MAN=90°，AM=AN．三角板AMN绕点A逆时针旋转，AM、AN与x轴分别交于点D、E．∠AOE、∠AOD的角平分线OG、OH分别交AN、AM于点B、C．点P为BC的中点．
(1)求证：AB=AC；
(2)如图2，若点D的坐标为−3,0，求线段BC的长度；
(3)在旋转过程中，若点D的坐标从−8,0变化到−2,0，则点P的运动路径长为___________（直接写出结果）
【考点3 多次证明全等三角形】
11．（2022·辽宁大连·统考二模）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC．AD，BC交于点O．求证：OC＝OD．
12．（2022·二模）已知：如图， BD 为 ΔABC 的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点， BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．求证：
(1)ΔABD≅ΔEBC；
(2)AE=CE；
(3)BA+BC=2BF．
13．（2022·山东济南·模拟预测）如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上，AH⊥BD于点H，以AH为边在AH右侧作等边△AEH，EH交BC于点F，求证：点F是BC的中点．
14.（2022·河南·模拟预测）如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB．
（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；
（2）求证：CF＝EF．
15.（2022·福建福州·校考模拟预测）如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC．
（1）求C点的坐标.
（2）如图2，OA=2,P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰作等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP－DE的值.
（3）如图3，点F坐标为（－4，－4），点G（0，m）在y轴负半轴，点H（n，0）在x轴的正半轴，且FH⊥FG，求m+n的值.
【考点4 网格中的全等三角形】
16.（2022·浙江宁波·统考一模）如图，△ABC是正方形网格图中的格点三角形（顶点在格点上），请分别在图1，图2的正方形网格内按下列要求画一个格点三角形．
（1）在图1中，以AB为边画直角三角形△ABD（D与C不重合），使它与△ABC全等．
（2）在图2中，以AB为边画直角三角形△ABE，使它的一个锐角等于∠B，且与△ABC不全等．
17.（2022·河北·模拟预测）如图是一个4×4的正方形网格，图中所标示的7个角的角度之和等于()
A．585°B．540°C．270°D．315°
18.（2022·河北·模拟预测）如图，在5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ）．
A．2B．3C．4D．5
19.（2022·北京海淀·统考一模）如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点．请画出一个△DEF，使得△DEF与△ABC全等______．
20.（2022·北京·北京市第一六一中学校考模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAC+∠ACD＝_____°．
【考点5 尺规作图与全等三角形】
21．（2022·吉林白山·统考二模）仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据图形全等的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）
A．SASB．SSSC．ASAD．AAS
22.（2022·甘肃武威·校考二模）已知：AC是▱ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线，与AD相交于点E，连接CE．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AB=3,BC=5，求△DCE的周长．
23.（2022·广东广州·校考二模）如图，四边形ABCD是正方形，E是BC上一点，DF⊥AE于点F．
(1)过点B作AE的垂线交AE于点P（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）中作图，若BP=3，PF=1，求AB的长．
24.（2022·江西吉安·校考一模）尺规作图之旅
下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形．
尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．
【作图原理】在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的 画×．
（1）过一点作一条直线．( )
（2）过两点作一条直线．( )
（3）画一条长为3㎝的线段．( )
（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．( )
【回顾思考】还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程．
已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′使∠A′O′B′=∠AOB
作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，____________________；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．
说理：由作法得已知：OC=O′C′,OD=O′D′,CD=C′D′
求证：∠A′O′B′=∠AOB
证明：∵OC=O′C′OD=O′D′CD=C′D′
∴ΔOCD≅ΔO′C′D′( )
所以∠A′O′B′=∠AOB( )
【小试牛刀】请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l与直线外一点A．
求作：过点A的直线l′，使得l//l′．
【创新应用】现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图．
25.（2022·河北唐山·统考一模）【提出问题】课间，一位同学拿着方格本遇人便问：“如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点，如何证明点A、B、C在同一直线上呢？”
【分析问题】一时间，大家议论开了. 同学甲说：“可以利用代数方法，建立平面直角坐标系，利用函数的知识解决”，同学乙说：“也可以利用几何方法…”同学丙说：“我还有其他的几何证法”……
【解决问题】请你用两种方法解决问题
方法一（用代数方法）：

方法二（用几何方法）：

【考点6 利用倍长中线模型证明全等三角形】
26.（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，△ABC中，AB=8，AC=6，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是_________．
27.（2022·安徽·模拟预测）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是（ ）．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
(2)AD的取值范围是（ ）．
A．6(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
28.（2022·山西·统考一模）阅读材料，解答下列问题．
如图1，已知△ABC中，AD 为中线．延长AD至点E，使 DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，进一步可得到AC=BE，AC//BE等结论．
在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．
解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF．
29.（2022·浙江宁波·统考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，M，N分别为边BC，CD的中点，且∠MAN＝∠ABC，则AMAB的值是______．
30.（2022·广东深圳·统考三模）如图，矩形ABCD中，AE＝13AD，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF＝FD＝3，则BC的长为_____．
【考点7 利用垂线模型证明全等三角形】
31．（2022·贵州黔东南·校考一模）如图，在平面直角坐标系中A0,4、C6,0，BC⊥x轴，存在第一象限的一点Pa,2a−5使得△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则点P的坐标（ ）．
A．3,1或3,3B．5,5C．3,1或5,5D．3,3
32．（2022·浙江湖州·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy，四边形OABC为正方形，若点B（1，4），则点A的坐标为（ ）
A．（3，1）B．52,32C．−32,52D．（4，1）
33．（2022·浙江温州·校考一模）如图，在△ABC中以AC，BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，连结DF，并过C点作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，则MD的长为（ ）
A．72B．2C．32D．3
34．（2022·辽宁沈阳·统考二模）如图，点P、D落在正方形ABCD边AB的两侧，连接PA、PD、PB．AP＝3，PB＝5，∠APB＝45°，则PD的长为______．
35．（2022·宁夏吴忠·统考一模）如图，在正方形ABCD中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且B2,0，以AB为边构造菱形ABEF（点E在x轴正半轴上），将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第27次旋转结束时，点F27的坐标为________．
【考点8 利用旋转模型证明全等三角形】
36．（2022·山东济南·统考二模）已知AD是等边△ABC的高，AC=2，点O为直线AD上的动点(不与点A重合)，连接BO，将线段BO绕点O顺时针旋转60°，得到线段OE，连接CE、BE．
(1)问题发现：
如图1，当点O在线段AD上时，线段AO与CE的数量关系为 ，∠ACE的度数是 ．
(2)问题探究：
如图2，当点O在线段AD的延长线上时，(1)中结论是否还成立？请说明理由．
(3)问题解决：
当∠AEC=30°时，求出线段BO的长
37．（2022·河南新乡·模拟预测）问题发现：
如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=60° ，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，则：
(1)①∠ACE的度数是 ；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是 ．
拓展探究：
(2)如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间得数量关系，并说明理由；
解决问题：
(3)如图3，在Rt△DBC中，DB＝3，DC=5，∠BDC＝90°，若点A满足AB＝AC，∠BAC＝90°，请直接写出线段AD的长度．
38．（2022·重庆·模拟预测）如图1，在等腰Rt△ABC中，AB=BC，D是BC的中点，E为边AC上任意一点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF，交AB于点G．
(1)若AB=6，AE=2，求ED的长；
(2)如图2，点G恰好是EF的中点，连接BF，求证：CD=2BF；
(3)如图3，将△BDF沿DF翻折，使得点B落在点P处，连接AP、EP，若AB=6，当AP+DP最小时，直接写出△AEP的面积．
39．（2022·广东梅州·一模）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D为AB边上一动点，连接CD，并将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE、DE，点F为DE中点，连接BF．
（1）求证：△ACD≅△BCE；
（2）如图2所示，在点D的运动过程中，当ADBD=n时（n＞1），分别延长AC、BF相交于G：
①当n=32时，求CG与AB的数量关系；
②当ADBD＝n时（n＞1），ABCG＝ ．
（3）当点D运动时，在线段CD上存在一点M，使得AM+BM+CM的值最小，若CM＝2，则BE＝ ．
40．（2022·黑龙江佳木斯·统考模拟预测）已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，将△ABC绕着点C旋转，连接BD，AE，M是BD的中点．
(1)如图①，当CA与CD重合，CB与CE重合时，线段AE，CM的数量关系是 ；
(2)当△ABC的位置如图②和图③时，线段AE，CM又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择图②或图③其中一种情况进行证明．
【考点9 连接两点作辅助线证明全等三角形】
41．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，在△ABC和△DBE中，AB=BC，DB=EB，∠ABC=∠DBE=50°．若∠BDC=25°，AD=4，DE=13，则CD的长为（ ）
A．2B．3C．132D．2
42．（2022春·江苏南通·模拟预测）如图，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，下列结论：(1)△DEF是等腰直角三角形；(2)四边形CDFE不可能为正方形，（3）DE长度的最小值为4；（4）连接CF，CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分，则CE= 13或143其中正确的结论个数是( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
43．（2022·湖南邵阳·统考模拟预测）如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，点C在⊙O上，CD∥AO，求证：AC是⊙O的切线．
44．（2022秋·河北·模拟预测）如图，已知：AB=AC，BD=CD，∠A=60°，∠D=140°，则∠B=（ ）
A．50∘B．40∘C．40∘或70∘D．30∘
45．（2022春·四川广安·四川省岳池县第一中学校模拟预测）如图：△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE＝3，AC＝6，则AD的长为（ ）
A．37B．6C．9D．47
【考点10 全等三角形的实际应用】
46．（2022·甘肃陇南·模拟预测）某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳，图②是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得CB的长度为_____.
47．（2022秋·陕西渭南·模拟预测）如图为秋千摇摆的示意图，秋千绳长OA=OB=OC，当秋千位于OB位置时，过点B作BD⊥OA于点D，测得OD=3m，当秋千位于OC位置时，OB与OC恰好垂直，求此时秋千到OA的水平距离CE的长CE⊥OA．
48．（2022秋·陕西西安·模拟预测）如图：小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转90°向正南方向直行，当小刚看到电线塔B、树C与自己现处的位置E在一条直线时，他从D到E走了80步．
(1)根据题意，画出示意图；
(2)如果小刚一步大约0.5米，估计小刚在点A处时他与B处电线塔的距离，并说明理由．
49．（2022秋·山东淄博·模拟预测）为了测量一个池塘旁两棵树A，B之间的距离（如图），小刚利用数学课中学到的知识进行了如下的测量：先站在B树处，正面对准A树；然后向右转90°，并向正前方走了6米，标上记号C后，继续向前又走了6米到点D，再向右转90°又向前走，当又走了15米时，发现所处的位置E与A，C在一条直线上．
(1)画出小刚所走路线的示意图，并用字母标出小刚行走过程中的关键位置；
(2)树A与树B之间的距离是多少？并请说明理由．
50．（2022秋·江西赣州·模拟预测）数学兴趣小组打算测量教室内花瓶的内壁厚度，经过搜索资料，发现了一个可以使用的工具－－卡钳，卡钳示意图如下，AD=BC，O是线段AD和BC的中点．
利用卡钳测量内径的步骤为：
①将卡钳A、B两端伸入在被测物内；
②打开卡钳，使得A、B两端卡在内壁；
③测量出点C与点D间的距离，即为内径的长度．
(1)请写出第③步的理由；
(2)小组成员利用上述方法测得CD=12cm，同时测得外径为16cm，请求出花瓶内壁厚度x．
专题16 全等三角形（10个高频考点）（强化训练）
【考点1 全等三角形的概念及其性质】
1．（2022·江苏盐城·校考三模）如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转后得到△A′B′C′．若∠A=40°，∠B′=110°，则∠BCA的度数是（ ）
A．90°B．80°C．50°D．30°
【答案】D
【分析】旋转前后的图形全等，根据三角形的内角等于180°即可算出∠BCA的度数．
【详解】由题意可得△ABC≌△A′B′C
∴∠B=∠B′=110°
∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−40°−110°=30°
故选：D
【点睛】本题考查了旋转的性质和三角形的内角和，理解和熟记相应的知识，仔细理解题意是解决本题的关键．
2．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．所有的等边三角形是全等形
B．面积相等的三角形是全等三角形
C．到三角形三边距离相等的点是三边中线的交点
D．到三角形三个顶点距离相等的是三边中垂线的交点
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定知两个等边三角形不一定全等即可判定A错误；面积相等的三角形不一定是全等三角形可判定B错误； 根据到三角形三边距离相等的点是内角平分线的交点，可判定C错误； 根据到三角形三个顶点距离相等的点是三边中垂线的交点即可判定D正确．
【详解】解：A、两个等边三角形不一定全等，故此选项不符合题意；
B、面相等的三角形不一定是全等三角形，故此选项不符合题意；
C、到三角形三边距离相等的点是内角平分线的交点， 故此选项不符合题意；
D、到三个顶点距离相等的是三边中垂线的交点，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定的判定定理，等边三角形的性质，三角形三边垂直平分线的交点的性质，三角形内角平分线的交点性质是解题的关键．
3．（2022·河南·模拟预测）如图所示，两个三角形全等，则∠α等于( )
A．72°B．60°C．58°D．50°
【答案】D
【分析】根据图形得出DE=AB=a，DF=AC=c，根据全等三角形的性质得出∠D=∠A=50°，即可得出选项．
【详解】解：∵DE=AB=a，DF=AC=c，
又∵△ABC和△DEF全等，
∴∠D=∠A=50°，
∴∠α=50°，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
4．（2022·上海静安·统考二模）下列说法中，不正确的是（ ）
A．周长相等的两个等边三角形一定能够重合B．面积相等的两个圆一定能够重合
C．面积相等的两个正方形一定能够重合D．周长相等的两个菱形一定能够重合
【答案】D
【分析】利用全等图形的定义，以及等边三角形的性质，圆的性质，正方形的性质，菱形的性质分析选项即可．
【详解】解：由题意可知：
A. 周长相等的两个等边三角形一定能够重合，周长相等说明等边三角形的边长相等，且等边三角形的每一个角都为60°，故说法正确，不符合题意；
B. 面积相等的两个圆一定能够重合，面积相等说明圆的直径相等，故说法正确，不符合题意；
C. 面积相等的两个正方形一定能够重合，面积相等说明正方形的边长相等，且正方形的每个角都为90°，故说法正确，不符合题意；
D. 周长相等的两个菱形一定能够重合，周长相等虽然可以说明菱形的边长相等，但是不能保证菱形的每个角对应相等，故说法不正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查全等图形的定义，等边三角形的性质，圆的性质，正方形的性质，菱形的性质，解题的关键是掌握性质，并进行分析．
5.（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC＝DEB．∠BAD＝∠CAEC．AB＝AED．∠ABC＝∠AED
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE．
故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【考点2 一次证明全等三角形】
6．（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，B是线段AC的中点，AD∥BE,BD∥CE，求证：△ABD≌△BCE．
【答案】证明过程见详解
【分析】运行平行线的性质可证∠A=∠EBC，∠DBA=∠C，结论即可得证．
【详解】证明∵B是AC中点，
∴AB=BC，
∵AD∥BE，
∴∠A=∠EBC，
∵BD∥EC，
∴∠DBA=∠C，
在△ABD和△BCE中，
∠A=∠EBCAB=BC∠DBA=∠C，
∴△ABD≌△BCE(ASA)．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等的知识是解答本题的关键．
7．（2022·浙江衢州·统考中考真题）已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AB=AD．
【答案】见解析
【分析】由∠3=∠4可得∠ACB=∠ACD，然后即可根据ASA证明△ACB≌△ACD，再根据全等三角形的性质即得结论．
【详解】解：∵∠3=∠4，∠ACB+∠3=180°，∠ACD+∠4=180°，
∴∠ACB=∠ACD，
∵∠1=∠2AC=AC∠ACB=∠ACD ，
∴△ACB≌△ACD，
∴AB=AD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ACB≌△ACD是解本题的关键．
8．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．
求证：
(1)△DOF≌△BOE；
(2)DE=BF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，利用ASA即可证明△DOF≌△BOE；
（2）证明四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，
∴AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF．
在△BOE和△DOF中，∠OBE=∠ODFOB=OD∠BOE=∠DOF，
∴△BOE≌△DOF（ASA）；
（2）证明：∵△BOE≌△DOF，
∴EO=FO，
∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴DE=BF．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，证明三角形全等是解决问的关键．
9.（2022·山东青岛·山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）（1）如图1，∠B=∠D=90°，E是BD的中点，AE平分∠BAC，求证：CE平分∠ACD．
（2）如图2，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分线并于点E，过点E作BD⊥AM，分别交AM、CN于B、D，请猜想AB、CD、AC三者之间的数量关系，请直接写出结论，不要求证明．
（3）如图3，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分线交于点E，过点E作不垂直于AM的线段BD，分别交AM、CN于B、D点，且B、D两点都在AC的同侧，（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）AC=AB+CD；（3）成立，理由见解析
【分析】（1）过E作EF⊥AC于F，根据角平分线的性质可得EF=BE，从而求出EF=DE，然后根据角平分线的判定证明即可；
（2）过E作EF⊥AC于F，根据平行线的性质得到BD⊥CD，由角平分线的性质得到BE=EF，证得Rt△AEF≌Rt△ABE，根据全等三角形的性质得到AF=AB，同理CF=CD，等量代换得到结论；
（3）成立，在AC上截取AF=AB，根据角平分线定义得到∠BAE=∠FAE，推出△ABE≌△AFE，根据角平分线的性质得到∠ABE+∠CDE=180°，求得∠CFE=∠CDE，证得△CEF≌△CDE，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）如图1，过E作EF⊥AC于F，
∵∠B=90°，AE平分∠BAC，
∴EF=BE，
∵E是BD的中点，
∴BE=DE，
∴EF=DE，
∵∠D=90°，
∴CE平分∠ACD；
（2）如图2，过E作EF⊥AC于F，
∵AM∥CN，BD⊥AM，
∴BD⊥CD，
∵AE平分∠BAC，
∴BE=EF，
在Rt△AEF与Rt△ABE中，
BE=EFAE=AE，
∴Rt△AEF≌Rt△ABE，
∴AF=AB，
同理CF=CD，
∵AC=AF+CF，
∴AC=AB+CD；
（3）成立，如图3，在AC上截取AF=AB，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠FAE，
在△ABE与△AFE中，
AB=AF∠BAE=∠FAEAE=AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴∠AFE=∠ABE，
∵AM∥CN，
∴∠ABE+∠CDE=180°，
∵∠AFE+∠EFC=180°，
∴∠CFE=∠CDE，
∵CE平分∠ACD，
∴∠FCE=∠DCE，
在△CEF与△CDE中，
∠CFE=∠CDE∠FCE=∠DCECE=CE，
∴△CEF≌△CDE，
∴CF=CD，
∵AC=AF+CF，
∴AC=AB+CD．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10.（2022·江苏徐州·校考二模）如图1，把等腰直角三角板AMN放在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为0,4，∠MAN=90°，AM=AN．三角板AMN绕点A逆时针旋转，AM、AN与x轴分别交于点D、E．∠AOE、∠AOD的角平分线OG、OH分别交AN、AM于点B、C．点P为BC的中点．
(1)求证：AB=AC；
(2)如图2，若点D的坐标为−3,0，求线段BC的长度；
(3)在旋转过程中，若点D的坐标从−8,0变化到−2,0，则点P的运动路径长为___________（直接写出结果）
【答案】(1)见解析
(2)2027
(3)43
【分析】（1）直接根据角平分线作出辅助线构造全等三角形即可证明．
（2）首先根据坐标求出直线AD的表达式y=43x+4，然后由垂直得出直线AN的表达式y=−34x+4，最后联立直线方程求出B、C两点的坐标即可得出答案．
（3）设直线AM的表达式为y=mx+4，根据垂直得出AN的表达式为y=−1mx+4，联立直线方程得出点C的坐标为(−4m+1,4m+1)，点B的坐标为(4mm+1,4mm+1)，再根据中点坐标公式求得点P的坐标为(2m−2m+1,2)，得出点P的运动路径在y=2这条直线上，最后根据条件即可求出答案
（1）
过点A作AF垂直OH于点F，AT垂直OG于点T，
∵ OG，OH分别平分∠AOE，∠AOD，
∴∠COA=∠BOA=45°，
∴AF=AT，
∵∠CAB=∠COB=90°，
∴∠ACO+∠ABO=180°，
∵ACO+∠ACF=180°，
∴∠ACF=∠ABO，
在RtΔACF和RtΔABT中，有
∠ACF=∠ABT∠AFC=∠ATBAF=AT，
∴ΔAFC≅ATB，
∴AC=AB．
（2）
由题意得可知：lOH:y=−x，lOG:y=x，
设lAD:y=kx+b，
∵D(−3,0)，A(0,4)，
∴b=4−3k+b=0⇒b=4k=43，
∴ lAD:y=43x+4，
∵ AN⊥AM，
∴ lAN:y=−34x+4，
联立y=43x+4y=−x，解得x=−127y=127，
∴点C的坐标为(−127,127)，
同理可得点B的坐标为(167,167)，
∴ BC=(167+127)2+(167−127)2=2027．
（3）
设直线AM的表达式为y=mx+4，则AN的表达式为y=−1mx+4，
联立y=−xy=mx+4，解得x=−4m+1y=4m+1，
∴点C的坐标为(−4m+1,4m+1)，
同理可得点B的坐标为(4mm+1,4mm+1)，
设点P的坐标为(xp,yp)，
∵ P为BC中点，
∴ xP=4mm+1−4m+12=2m−2m+1yP=4m+1+4mm+12=2，
∴点P的坐标为(2m−2m+1,2)，
即点P始终在直线y=2上运动，
由此可知P点的运动路径长度为起始横坐标之差，
当D的坐标为(−8,0)时，代入y=mx+4，得m=12，
此时点P的坐标为(−23,2)，
当D的坐标为(−2,0)时，代入y=mx+4，得m=2，
此时点P的坐标为(23,2)，
∴点P的运动路径长为23−（−23）=43．
【点睛】本题属于一次函数与几何综合，内容涉及广泛，包括证明全等，求点的坐标以及路径长度，解题的难点在于求路径的长度，而关键在于求出点的路径轨迹，根据轨迹去求长度，本题难度较大，属于压轴题．
【考点3 多次证明全等三角形】
11．（2022·辽宁大连·统考二模）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC．AD，BC交于点O．求证：OC＝OD．
【答案】见解析
【分析】根据HL证明Rt△ABD和Rt△BAC全等，进而利用AAS证明△AOC和△BOD全等解答即可．
【详解】证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠C＝∠D＝90°．
在Rt△ABD和Rt△BAC中，
AD=BC,AB=BA,，
∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），
∴BD＝AC，
在△AOC和△BOD中，
∠C=∠D,∠AOC=∠BOD,AC=BD,，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴OC＝OD．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL证明Rt△ABD和Rt△BAC全等．
12．（2022·二模）已知：如图， BD 为 ΔABC 的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点， BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．求证：
(1)ΔABD≅ΔEBC；
(2)AE=CE；
(3)BA+BC=2BF．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由角平分线得出∠ABD=∠EBC，利用全等三角形的判定证明即可；
（2）由（1）中结论得出∠BCE=∠BDA，ΔBCD和ΔBEA为等腰三角形，结合条件可得出∠DCE=∠DAE，由等角对等边即可证明；
（3）过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G，利用角平分线的性质可得EF=EG，根据直角三角形的判定得出RtΔBFE≅RtΔBGE，RtΔAFE≅RtΔCGE，FA=CG，结合图形，利用线段间的数量关系即可证明．
【详解】（1）∵BD为ΔABC的角平分线，
∴∠ABD=∠EBC，
在ΔABD与ΔEBC中，
AB=EB∠ABD=∠EBDBD=BC，
∴ΔABD≅ΔEBC(SAS)；
（2）∵ΔABD≅ΔEBC，
∴∠BCE=∠BDA，
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，
∴∠BCD+∠DCE=∠DAE+∠BEA，
∵BD=BC，BE=BA，
∴ΔBCD和ΔBEA为等腰三角形，
∵∠ABD=∠EBC，
∴∠BCD=∠BEA，
∴∠DCE=∠DAE，
∴AE=EC；
（3）如图，过点E作EG⊥BC交BC的延长线于点G，
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EG⊥BG，
∴EF=EG，
在RtΔBFE与RtΔBGE中，
EF=EGBE=BE，
∴RtΔBFE≅RtΔBGE(HL)，
∴BF=BG，
在RtΔAFE与RtΔCGE中，
EF=EGEA=EC，
∴RtΔAFE≅RtΔCGE(HL)，
∴FA=CG，
∴BA+BC=BF+FA+BG−CG=BF+BG=2BF．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等角对等边及角平分线的性质等，理解题意，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键．
13．（2022·山东济南·模拟预测）如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上，AH⊥BD于点H，以AH为边在AH右侧作等边△AEH，EH交BC于点F，求证：点F是BC的中点．
【答案】见解析
【分析】利用SAS证明△BAH≌△CAE，得∠AHB=∠AEC，从而得出∠FEC=30°，作GB∥CE，交EF的延长线于G，说明∠G=∠BHG=30°，得BG=BH，由△BAH≌△CAE可得，BH=CE，则BG=CE，再利用AAS证明△BGF≌△CEF，得BF=CF．
【详解】证明：∵△ABC、△AEH是等边三角形，
∴AB=AC，AH=AE，∠BAC=∠HAE，
∴∠BAH=∠CAE，
在△BAH和△CAE中，
AB=AC∠BAH=∠CAEAH=AE，
∴△BAH≌△CAESAS，
∴∠AHB=∠AEC，
∵AH⊥BD，
∴∠AHB=90°，
∴∠AEC=90°，
∵∠AEH=60°，
∴∠FEC=30°；
作GB∥CE，交EF的延长线于G，
∴∠G=∠FEC=30°，
∵∠AHE=60°，∠AHB=90°，
∴∠BHG=30°，
∴∠G=∠BHG，
∴BG=BH，
∵△BAH≌△CAE
∴BH=CE，
∴BG=CE，
在△BGF和△CEF中，
∠BFG=∠EFC∠G=∠CEFBG=CE，
∴△BGF≌△CEFAAS，
∴BF=CF，
∴点F为BC的中点．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．
14.（2022·河南·模拟预测）如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB．
（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；
（2）求证：CF＝EF．
【答案】(1) △ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF；(2)证明见解析.
【分析】（1）根据Rt△ABC≌Rt△ADE，得出AC=AE，BC=DE，AB=AD，∠ACB=∠AED，∠BAC=∠DAE，从而推出∠CAD=∠EAB，△ACD≌△AEB，△CDF≌△EBF；
（2）先证得△CDF≌△EBF，进而得到CF=EF．
【详解】（1）图中其它的全等三角形为：△ACD≌△AEB，△DCF≌△BEF；
（2）∵Rt△ABC≌Rt△ADE，
∴AC=AE，AD=AB，∠CAB=∠EAD，
∴∠CAB-∠DAB=∠EAD-∠DAB．
即∠CAD=∠EAB．
∴△CAD≌△EAB，
∴CD=EB，∠ADC=∠ABE．
又∵∠ADE=∠ABC，
∴∠CDF=∠EBF．
又∵∠DFC=∠BFE，
∴△CDF≌△EBF．
∴CF=EF．
15.（2022·福建福州·校考模拟预测）如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC．
（1）求C点的坐标.
（2）如图2，OA=2,P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰作等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP－DE的值.
（3）如图3，点F坐标为（－4，－4），点G（0，m）在y轴负半轴，点H（n，0）在x轴的正半轴，且FH⊥FG，求m+n的值.
【答案】答案见解析.
【分析】（1）作CD⊥AD，易证∠ACD=∠OAB，即可求证△ACD≌△BAO，可得AD=OB，CD=OA即可解题；
（2）作DF⊥OP，易证∠APO=∠PDF，即可证明△AOP≌△PFD，可得AO=PF，DE=OF，即可解题；
（3）作FD⊥HD，FE⊥OG，易证∠EFG=∠DFH，即可证明△EFG≌△DFH，可得EG=DH，即-m-4=n+4，即可解题．
【详解】解：如图，
（1）过点C作CD⊥AD，
∵∠CAD+∠ACD=90°，∠CAD+∠OAB=90°，
∴∠ACD=∠OAB，
在△ACD和△BAO中，
∠ADC=∠AOB∠ACD=∠OABAC=AB
∴△ACD≌△BAO，（AAS）
∴AD=OB，CD=OA，
∴点C坐标为（-6，-2）；
(2)作DF⊥OP，
∵∠APO+∠DPF=90°，∠PDF+∠DPF=90°，
∴∠APO=∠PDF，
在△AOP和△PFD中，
∴△AOP≌△PFD，（AAS）
∴AO=PF，DE=OF，
∴OP-DE=OP-OF=FP=AO=2；
(3)作FD⊥HD，FE⊥OG，则FE=FD=4，
∵∠EFG+∠OFE=90°，∠OFE+∠DFH=90°，
∴∠EFG=∠DFH，
在△EFG和△DFH中，∠EFG=∠DFHEF=DF∠FDH=∠FEG ，
∴△EFG≌△DFH，（ASA）
∴EG=DH，即-m-4=n+4，
∴m+n=-8．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACD≌△BAO，△AOP≌△PFD，△EFG≌△DFH是解题的关键．
【考点4 网格中的全等三角形】
16.（2022·浙江宁波·统考一模）如图，△ABC是正方形网格图中的格点三角形（顶点在格点上），请分别在图1，图2的正方形网格内按下列要求画一个格点三角形．
（1）在图1中，以AB为边画直角三角形△ABD（D与C不重合），使它与△ABC全等．
（2）在图2中，以AB为边画直角三角形△ABE，使它的一个锐角等于∠B，且与△ABC不全等．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】（1）如图1，根据三边对应相等的两三角形全等作图即可；
（2）根据三组对应边成比例的两个三角形相似作图．
【详解】解：（1）如图1，
∴△ACD为所求；
（2）如图2，
∴△ABD为所求．
【点睛】本题考查了作图﹣应用与设计作图：应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．此题灵活应用相似三角形的判定与性质．
17.（2022·河北·模拟预测）如图是一个4×4的正方形网格，图中所标示的7个角的角度之和等于()
A．585°B．540°C．270°D．315°
【答案】A
【分析】观察图形，可知△ABC≅△AZV，根据全等三角形的性质可知∠1=∠AZV，进而有∠1+∠7=180°，同理可得∠2+∠6=180°,∠3+∠5=180°，∠4=45°然后即可得出答案.
【详解】
在△ABC和△AZV中，AB=AZ∠B=∠ZBC=ZV
△ABC≅△AZV(SAS)
∴∠1=∠AZV
∴∠1+∠7=180°
同理可得
∠2+∠6=180°,∠3+∠5=180°，
∵∠4=45°
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=180°×3+45°=585°
故选A
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
18.（2022·河北·模拟预测）如图，在5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），那么与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ）．
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】以BC为公共边时有3个三角形，以AC为公共边时有1个三角形与△ABC全等．
【详解】解析：画出符合题意要求的三角形如图所示
以BC为公共边的三角形有8个，分别是△BCD，△BCE，△BCF
以AB为公共边的三角形有0个
以AC为公共边的三角形有1个，为△ACG
共3+0+1=4个
故选：C
【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，找出符合条件的所有三角形是解此题的关键．解题时考虑要全面，不要漏解．
19.（2022·北京海淀·统考一模）如图，在4×4的正方形网格中，A，B，C，D，E是网格线交点．请画出一个△DEF，使得△DEF与△ABC全等______．
【答案】见解析（只要画出一种即可）
【分析】根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等进行作图即可．
【详解】解：∵DE=AB，
∴分两种情况：∠DEF=∠ABC=135°或∠EDF=∠ABC=135°，找出点F的位置，连接DF、EF，
BC=EF或FD=CB，
∴△ABC≌△DEF（SAS）或△ABC≌△EDF（SAS），
即为要求作的△DEF，如图所示：
故答案为：见解析（只要画出其中一种即可）
【点睛】本题主要考查了在方格纸中作一个三角形与已知三角形全等，解题的关键是确定点F的位置．
20.（2022·北京·北京市第一六一中学校考模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAC+∠ACD＝_____°．
【答案】90
【分析】先证明△DCE≌△ABD（SAS），得∠CDE=∠DAB，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论．
【详解】在△DCE和△ABD中，
∵CE=BD=1∠E=∠ADB=90°DE=AD=3，
∴△DCE≌△ABD（SAS），
∴∠CDE＝∠DAB，
∴∠CDE+∠ADC＝∠ADC+∠DAB＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝90°，
故答案为90．
【点睛】本题网格型问题，考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，本题构建全等三角形是关键．
【考点5 尺规作图与全等三角形】
21．（2022·吉林白山·统考二模）仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′等于已知角∠AOB的示意图，请你根据图形全等的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（ ）
A．SASB．SSSC．ASAD．AAS
【答案】B
【分析】根据作图过程可知O′C′=OC，C′D′=CD，O′D′=OD，所以运用的是三边对应相等，两三角形全等作为依据．
【详解】解：根据作图过程可知O′C′=OC，C′D′=CD，O′D′=OD，
在△OCD和△O′C′D′中，
O′C′=OCO′D′=ODC′D′=CD，
∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)，
∴∠A′O′B′=∠AOB，
故选：B．
【点睛】本题考查基本作图—作一个角等于已知角，其理论依据是三角形全等的判定“SSS”，解题的关键是熟练掌握相关的判定定理．
22.（2022·甘肃武威·校考二模）已知：AC是▱ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作出线段AC的垂直平分线，与AD相交于点E，连接CE．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AB=3,BC=5，求△DCE的周长．
【答案】(1)见解析；（2）8
【分析】（1）以A、C为圆心，以大于12AC的长为半径画弧，两弧交于两点，连接两点即可；
（2）由（1）可得OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，再由平行线的性质可得∠AEO=∠CFO，根据AAS即可证明全等．
【详解】解：（1）如图，CE为所作；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC=5,CD=AB=3，
∵点E在线段AC的垂直平分线上，
∴EA=EC，
∴ △DCE的周长=CE+DE+CD=EA+DE+CD=AD+CD=5+3=8．
【点睛】本题考查作图，熟练掌握基本作图是解题关键
23.（2022·广东广州·校考二模）如图，四边形ABCD是正方形，E是BC上一点，DF⊥AE于点F．
(1)过点B作AE的垂线交AE于点P（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）中作图，若BP=3，PF=1，求AB的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）根据过直线外一点作垂线的方法即可求解．
（2）根据正方形的性质可证明△ADF≅△BAP,从而得到AF=BP=3,进而可得AP=4,利用勾股定理即可计算出AB的长．
（1）
如图所示，
点P即为所求．
（2）
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD,∠BAD=90°，
∵DF⊥AE,BP⊥AE,
∴∠DFA=∠APB=90°，
∴∠BAP+∠DAP=∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠ADF=∠BAP，
在△ADF和△BAP中，
∵∠DFA=∠APB∠ADF=∠BAPAD=BA,
∴△ADF≅△BAP（AAS），
∴AF=BP=3，
∵PF=1，
∴AP=4，
∴AB=AP2+BP2=42+32=5,
∴AB的长为5．
【点睛】本题主要考查了尺规作图，勾股定理．正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作图，证明全等三角形．
24.（2022·江西吉安·校考一模）尺规作图之旅
下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形．
尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．
【作图原理】在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的 画×．
（1）过一点作一条直线．( )
（2）过两点作一条直线．( )
（3）画一条长为3㎝的线段．( )
（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．( )
【回顾思考】还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程．
已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′使∠A′O′B′=∠AOB
作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，____________________；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．
说理：由作法得已知：OC=O′C′,OD=O′D′,CD=C′D′
求证：∠A′O′B′=∠AOB
证明：∵OC=O′C′OD=O′D′CD=C′D′
∴ΔOCD≅ΔO′C′D′( )
所以∠A′O′B′=∠AOB( )
【小试牛刀】请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线l与直线外一点A．
求作：过点A的直线l′，使得l//l′．
【创新应用】现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图．
【答案】【作图原理】（1）√；（2）√；（3）×；（4）√；【回顾思考】作法：以点C′为圆心，以CD为半径画弧，与第二步中所画的弧相交于D′；说理：SSS，全等三角形对应角相等；【小试牛刀】答案见解析；【创新应用】答案见解析．
【分析】[作图原理]根据五种基本作图判断即可；
[回顾思考]利用全等三角形的判定解决问题即可；
[小试牛刀]利用同位角相等两直线平行解决问题即可；
[创新应用]答案不唯一，画出图形，说明设计意图即可．
【详解】解：[作图原理]：（1）过一点作一条直线．可以求作；
（2）过两点作一条直线．可以求作；
（3）画一条长为3cm的线段．不可以求作；
（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．可以求作；
故答案为：√，√，×，√；
[回顾思考]：作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；
（3）以点C'为圆心，以C′为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′；
（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB．
说理：由作法得已知：OC＝O'C'，OD＝O'D'，CD＝C'D'，
求证：∠A'O'B'＝∠AOB．
证明：在△OCD和△O'C'D'中{OC＝O′C′OD＝O′D′CD＝C′D′，
∴△OCD≌△O'C'D'（SSS），
∴∠A'O'B'＝∠AOB（全等三角形的对应角相等），
故答案为：以C′为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的弧交于点D′，SSS，全等三角形的对应角相等；
[小试牛刀]：如图，直线l′即为所求（方法不唯一），
；
[创新应用]：如图所示（答案不唯一），设计意图：书架中隐藏着无限宝藏，
．
【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25.（2022·河北唐山·统考一模）【提出问题】课间，一位同学拿着方格本遇人便问：“如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点，如何证明点A、B、C在同一直线上呢？”
【分析问题】一时间，大家议论开了. 同学甲说：“可以利用代数方法，建立平面直角坐标系，利用函数的知识解决”，同学乙说：“也可以利用几何方法…”同学丙说：“我还有其他的几何证法”……
【解决问题】请你用两种方法解决问题
方法一（用代数方法）：

方法二（用几何方法）：

【答案】（1）见详解；（2）见详解.
【分析】（1）以点B为原点建立平面直角坐标系，则点C为（1，2），利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后判断点A是否在直线BC上即可；
（2）在格点中构造两个三角形，证明△ABD≌△BCE，得到∠ABD=∠BCE，利用平角的定义，得到∠ABC=180°，即可得到点A、B、C在同一条直线上.
【详解】解：（1）如图，以点B为原点建立平面直角坐标系，
则点C坐标为（1，2），
设直线BC的解析式为：y=kx，
解得：k=2，
∴直线BC的解析式为：y=2x；
当x=−1时，y=2×(−1)=−2，
∴点A（−1，−2）在直线BC上，
∴A、B、C三点在同一条直线上；
（2）如图，在网格中构造两个三角形，△ABD和△BCE；
∵网格的边长为1，
∴AD=BE=1，BD=CE=2，∠D=∠E=90°，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠ABD=∠BCE，
∵∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBE+∠CBE=90°+90°=180°，
∴A、B、C三点在同一条直线上.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，以及平角的定义，解题的关键是掌握证明全等三角形的方法和利用待定系数法求一次函数的解析式.
【考点6 利用倍长中线模型证明全等三角形】
26.（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，△ABC中，AB=8，AC=6，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是_________．
【答案】1【分析】延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，得到AC=BE=6，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB−BE【详解】解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，如下图：
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD
在△ADC和△EDB中
AD=DE∠ADC=∠EDBDC=BD
∴△ADC≌△EDB(SAS)
∴AC=BE=6
在△ABE中，AB−BE＜AE＜AB+BE
∴8−6<2AD<8+6
∴1故答案为1【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
27.（2022·安徽·模拟预测）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是（ ）．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
(2)AD的取值范围是（ ）．
A．6(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【答案】(1)B
(2)C
(3)见解析
【分析】（1）根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延长AD到M，使AD=DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，根据AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根据等腰三角形的性质求出即可．
【详解】（1）∵在△ADC和△EDB中
AD＝DE∠ADC＝∠BDEBD＝CD，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选B；
（2）∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE=AC=6，AE=2AD，
∵在△ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故选：C．
（3）延长AD到点M，使AD＝DM，连接BM．
∵AD是△ABC中线
∴CD＝BD
∵在△ADC和△MDB中
DC=DB∠ADC=∠MDBDA=DM
∴△ADC≌△MDBSAS
∴BM＝AC（全等三角形的对应边相等）
∠CAD＝∠M（全等三角形的对应角相等）
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE（等边对等角）
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠M，
∴BF＝BM（等角对等边）
又∵BM＝AC，
∴AC＝BF．
【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
28.（2022·山西·统考一模）阅读材料，解答下列问题．
如图1，已知△ABC中，AD 为中线．延长AD至点E，使 DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，进一步可得到AC=BE，AC//BE等结论．
在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．
解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF．
【答案】详见解析
【分析】延长AD到M，使DM=AD，连接BM，根据SAS推出△BDM≌△CDA，根据全等三角形的性质得出BM=AC，∠CAD=∠M，根据BF=AC可得BF=BM，推出∠BFM=∠M，求出∠AFE=∠EAF即可．
【详解】如图，延长AD至点M，使得MD=AD，并连结BM，
∵AD是三角形的中线，
∴BD=CD，
在△MDB和△ADC中，
BD=CD,∠BDM=∠CDA,DM=DA,
∴△MDB≌△ADC，
∴AC=MB，∠BMD=∠CAD，
∵BF=AC，
∴BF=BM，
∴∠BMD=∠BFD，
∵∠BFD=∠EFA，∠BMD=∠CAD，
∴∠EFA=∠EAF，即AE=EF．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形．
29.（2022·浙江宁波·统考模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，M，N分别为边BC，CD的中点，且∠MAN＝∠ABC，则AMAB的值是______．
【答案】32
【分析】延长AM与DC的延长线交于点E，先证明△ABM≌△ECM，得AM与AE的关系，AB与EN和ED的关系，再证明△EAN∽△EDA，由相似三角形比例线段便可得结论．
【详解】解：延长AM与DC的延长线交于点E，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB//CD，∠B＝∠D，
∵∠B＝∠MAN，
∴∠ECM＝∠B＝∠MAN＝∠D，
∵M是BC的中点，N是CD的中点，
∴BM＝CM，CN＝DN＝12CD，
在△ABM和△ECM中，
∠B=∠ECMBH=CM∠AHB=∠EMC，
∴△ABM≌△ECM（ASA），
∴AB＝CE，AM＝EM，
∴AE＝2AM，EN＝32AB，ED＝2AB，
∵∠EAN＝∠D，∠E＝∠E，
∴△EAN∽△EDA，
∴EAED=ENEA，即EA2＝ED•EN，
∴(2AM)2=2AB⋅32AB，
∴AM2AB2=34，
∴AMAB=32．
故答案为：32．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，关键是构造全等三角形与相似三角形，已知中点，往往倍长中线作为辅助线．
30.（2022·广东深圳·统考三模）如图，矩形ABCD中，AE＝13AD，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF＝FD＝3，则BC的长为_____．
【答案】66
【分析】延长BF交AD的延长线于点H，证明△BCF≌△HDF（AAS），由全等三角形的性质得出BC＝DH，由折叠的性质得出∠A＝∠BGE＝90°，AE＝EG，设AE＝EG＝x，则AD＝BC＝DH＝3x，得出EH＝5x，由锐角三角函数的定义及勾股定理可得出答案．
【详解】解：延长BF交AD的延长线于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠A＝∠BCF＝90°，
∴∠H＝∠CBF，
在△BCF和△HDF中，
∠CBF=∠H∠BCF=∠FDHCF=DF，
∴△BCF≌△HDF（AAS），
∴BC＝DH，
∵将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴∠A＝∠BGE＝90°，AE＝EG，
∴∠EGH＝90°，
∵AE＝13AD，
∴设AE＝EG＝x，则AD＝BC＝DH＝3x，
∴ED＝2x，
∴EH＝ED+DH＝5x，
在Rt△EGH中，sin∠H＝EGEH=x5x=15，
∴sin∠CBF＝CFBF=15，
∴3BF=15，
∴BF＝15，
∴BC＝BF2−CF2=152−32=66，
故答案为：66．
【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定及性质，要注意折叠的图形中的相等的角和相等的线段，解题关键是利用倍长中线法正确作出辅助线证△BCF≌△HDF．
【考点7 利用垂线模型证明全等三角形】
31．（2022·贵州黔东南·校考一模）如图，在平面直角坐标系中A0,4、C6,0，BC⊥x轴，存在第一象限的一点Pa,2a−5使得△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则点P的坐标（ ）．
A．3,1或3,3B．5,5C．3,1或5,5D．3,3
【答案】C
【分析】分点P在AB的上方和点P在AB的下方，根据全等三角形的判定与性质进行讨论求解即可．
【详解】解：当点P在AB的上方时，过P作x轴的平行线交y轴于E，交CB延长线于F，如图1，
则∠AEP=∠PFB=∠APB=90°，E(0，2a﹣5)，F(6，2a﹣5)，
∴PE=a，PF=6﹣a，AE=2a﹣9，
∵∠EAP+∠EPA=90°，∠EPA+∠BPF=90°，
∴∠EAP=∠BPF，又∠AEP=∠PFB，PA=PB，
∴△AEP≌△PFB(AAS)，
∴AE=PF，
∴6﹣a=2a﹣9，解得：a=5，
∴P(5，5)；
当点P在AB的下方时，同样过P作x轴的平行线交y轴于E，交CB于F，如图2，
则∠AEP=∠PFB=∠APB=90°，E(0，2a﹣5)，F(6，2a﹣5)，
∴PE=a，PF=6﹣a，AE=9﹣2a，
∵∠EAP+∠EPA=90°，∠EPA+∠BPF=90°，
∴∠EAP=∠BPF，又∠AEP=∠PFB，PA=PB，
∴△AEP≌△PFB(AAS)，
∴AE=PF，
∴9﹣2a=6﹣a，解得：a=3，
∴P（3，1），
综上，点P的坐标为（3，1）或（5，5），
故选：C．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、坐标与图形性质、解一元一次方程等知识，过已知点向坐标轴作平行线或垂线，然后求出相关线段的长是解决此类问题的基本方法．
32．（2022·浙江湖州·统考二模）如图，在平面直角坐标系xOy，四边形OABC为正方形，若点B（1，4），则点A的坐标为（ ）
A．（3，1）B．52,32C．−32,52D．（4，1）
【答案】B
【分析】过点B作BD⊥y轴于点D，过点A作AE⊥x轴点E，DB与EA的延长线交于点F，通过证明△BFA≌△AEO可得AF＝OE，BF＝AE；利用B（1，4），可得BD＝1，EF＝4；通过说明四边形ODFE为矩形，可得DF＝OE．计算出线段OE，AE的长即可求得结论．
【详解】解：过点B作BD⊥y轴于点D，过点A作AE⊥x轴点E，DB与EA的延长线交于点F，如图，
∵BD⊥y轴，AE⊥x轴，OD⊥OE，
∴四边形ODFE为矩形，
∴EF＝OD，DF＝OE，
∵点B（1，4），
∴OD＝4，BD＝1，
∵四边形OABC为正方形，
∴OA＝AB，∠BAO＝90°，
∴∠OAE+∠BAF＝90°，
∵AE⊥x轴，
∴∠OAE+∠AOE＝90°，
∴∠BAF＝∠AOE，
在△BAF和△AOE中，
∠F=∠AEO=90°∠BAF=∠AOEBA=AO，
∴△BAF≌△AOE（AAS），
∴BF＝AE，AF＝OE，
∴DF＝AF＝OE，
∴OE+AE＝EF＝4，OE﹣AE＝BD＝1，
∴OE＝52，AE＝32，
∴A（52，32）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质以及坐标与图形，能利用“一线三垂直”构造三角形全等是解题的关键．
33．（2022·浙江温州·校考一模）如图，在△ABC中以AC，BC为边向外作正方形ACFG与正方形BCDE，连结DF，并过C点作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，则MD的长为（ ）
A．72B．2C．32D．3
【答案】A
【分析】过D作DN⊥CF于点N，作DP⊥HM于点P，过点F作FQ⊥HM，交HM的延长线于点Q，依据勾股定理即可求得DF的长，再根据全等三角形的对应边相等得到FQ=DP，进而证明
△FQM≌△DPM，得到M是FD的中点，由此可得DM=12DF．
【详解】如图所示，过D作DN⊥CF于点N，作DP⊥HM于点P，过点F作FQ⊥HM，交HM的延长线于点Q，
∵∠ACB＝120°，∠ACF＝∠BCD＝90°，
∴∠DCN＝60°，∠CDN＝30°，
又∵BC＝DC＝2，AC＝FC＝3，
∴CN=12CD＝1，FN＝CF﹣CN＝3﹣1＝2，DN=CD2−CN2=3，
Rt△DFN中，DF=FN2+DN2=22+(3)2=7．
∵四边形BCDE是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
又∵CH⊥AB，
∴∠DCP+∠BCH＝∠CBH+∠BCH＝90°，
∴∠DCP＝∠CBH，
又∵∠DPC＝∠BHC＝90°，
∴△DCP≌△CBH（AAS），
∴DP＝CH，
同理可得△ACH≌△CFQ，
∴FQ＝CH，
∴FQ＝DP，
又∵∠Q＝∠DPM＝90°，∠FMQ＝∠DMP，
∴△FQM≌△DPM（AAS），
∴FM＝DM，即M是FD的中点，
∴DM=12DF=72．
故选：A
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，通过作辅助线构造全等三角形，灵活运用全等三角形的对应边相等是解题的关键．
34．（2022·辽宁沈阳·统考二模）如图，点P、D落在正方形ABCD边AB的两侧，连接PA、PD、PB．AP＝3，PB＝5，∠APB＝45°，则PD的长为______．
【答案】43
【分析】先构造全等三角形求出DN和PN，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：分别过点B和点D作BM⊥AP，DN⊥AP，垂足分别为M和N，
∴∠BMA=∠AND=90°，
∴∠MBA+∠MAB=90°，
∵正方形ABCD，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∴∠NAD+∠MAB=90°，
∴∠MBA=∠NAD，
∴△MBA≌△NAD(AAS)，
∴AM=DN，AN=BM，
∵∠APB=45°，
∴∠PBM=∠APB=45°，
∴PM=BM，
∵PB=5，
∴PM2+BM2=25，
∴PM=BM=522，
∴AM=PM−AP=522−3，
∴DN=522−3，AN=522，
∴PN=AP+AN=3+522，
∴Rt△DPN中，PD=PN2+DN2=(3+522)2+(522−3)2=43，
∴PD的长为43．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等内容，解题关键是能正确做出辅助线构造全等三角形．
35．（2022·宁夏吴忠·统考一模）如图，在正方形ABCD中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且B2,0，以AB为边构造菱形ABEF（点E在x轴正半轴上），将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第27次旋转结束时，点F27的坐标为________．
【答案】（2，-22）
【分析】先求出点F坐标，由题意可得每8次旋转一个循环，即可求解．
【详解】解：∵点B（2，0），
∴OB=2，
∴OA=2，
∴AB=2OA=22，
∵四边形ABEF是菱形，
∴AF=AB=22，
∴点F（22，2），
由题意可得每4次旋转一个循环，
∴27÷4=6…3，
∴点F27的坐标与点F3的坐标一样，在第四象限，如下图，过F3作F3H⊥y轴，
∵F3H⊥y轴，AF⊥y轴，
∴∠OAF=∠F3HO=90°，
∴∠AOF+∠HOF3=90°，
∵OF⊥OF3，
∴∠AOF+∠AFO=90°，
∴∠AFO=∠HOF3，
∴△OAF≌△F3HO，
∴HF3=OA=2，OH=AF=22，
∴F3（2，-22），
∴点F27的坐标（2，-22），
故答案为：（2，-22）
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定及旋转的性质，找到旋转的规律是本题的关键．
【考点8 利用旋转模型证明全等三角形】
36．（2022·山东济南·统考二模）已知AD是等边△ABC的高，AC=2，点O为直线AD上的动点(不与点A重合)，连接BO，将线段BO绕点O顺时针旋转60°，得到线段OE，连接CE、BE．
(1)问题发现：
如图1，当点O在线段AD上时，线段AO与CE的数量关系为 ，∠ACE的度数是 ．
(2)问题探究：
如图2，当点O在线段AD的延长线上时，(1)中结论是否还成立？请说明理由．
(3)问题解决：
当∠AEC=30°时，求出线段BO的长
【答案】(1)AO=CE，∠ACE=90°；
(2)成立，见解析；
(3)BO=2或27
【分析】(1)证明△ABO≌△CBE(SAS)，则AO=CE，∠BAO=∠BCE，进而求解；
(2)和(1)的方法相同；
(3)①当点O1在线段AD的延长线上时，证明点A、B、E1在一条直线上，进而求解；②当点O2在线段DA的延长线上时，通过画图确定BO2为位置，进而求解．
【详解】（1）解：AO=CE，∠ACE=90°，
理由如下：
∵线段BO绕点O顺时针旋转60°，得到线段OE，
∴BO=OE，∠BOE=60°，
∴△BOE为等边三角形，
∴∠OBE=60°，BE=BO，
∴∠OBE=60°=∠OBD+∠DBE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°=∠ABO+∠OBD，AB=AC，
∴∠ABO=∠CBE，
在△ABO和△CBE中，
AB=AC∠ABO=∠CBEBO=BE，
∴△ABO≌△CBE(SAS)，
∴AO=CE，∠BAO=∠BCE，
∵AD是等边三角形ABC的高，
∴∠ACB=60°，AD也是∠BAC的平分线，
∴∠BAO=30°=∠BCE，
∴∠ACE=∠BCE+∠ACB=30°+60°=90°，
故答案为：AO=CE，∠ACE=90°；
（2）解：成立，理由如下：
如图：连接BE．
∵线段BO绕点O顺时针旋转了60°得EO，
∴BO=EO，∠BOE=60°，
∴△BOE是等边三角形，
∴BO=BE，∠OBE=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∴∠ABC+∠OBC=∠OBE+∠OBC，即∠ABO=∠CBE，
在△ABO和△CBE中，
AB=AC∠ABO=∠CBEBO=BE
∴△ABO≌△CBE(SAS)，
∴AO=CE，∠BAO=∠BCE，
∵AD是等边△ABC的高，
∴∠BCE=∠BAO=30°，∠BCA=60°，
∴∠ACE=∠BCE+∠ACB=30°+60°=90°，
∴AO=CE，∠ACE=90°；
（3）解：①当点O1在线段AD的延长线上时，
由(1)和(2)知：△BO1E1是等边三角形，∠ACE1=90°，
∵∠ACE1=90°，∠AE1C=30°，
∴∠E1AC=60°，
∵∠BAC=60°，
∴点A、B、E1在一条直线上，
∵在Rt△ACE1中，AC=2，∠AE1C=30°，
∴A E1=4，
∴BO1=BE1=2；
②当点O2在线段DA的延长线上时，
∵∠ACE2=90°，∠AE2C=30°，AC=2，
∴AE2=4，CE2=AE22−AC2=42−22=23，
∵△ABO2≌△CBE2(SAS)，
∴AO2=CE2=23，
∵AD是等边△ABC的高，AB=AC=2，
∴BD=1，AD=AB2−BD2=22−12=3，
在Rt△O2DB中，BD=1，
而O2D=AO2+AD=23+3=33，
∴BO2=O2D2+BD2=332+12=27；
综上，BO=2或27．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，分类讨论是解决本题的关键．
37．（2022·河南新乡·模拟预测）问题发现：
如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=60° ，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，则：
(1)①∠ACE的度数是 ；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是 ．
拓展探究：
(2)如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间得数量关系，并说明理由；
解决问题：
(3)如图3，在Rt△DBC中，DB＝3，DC=5，∠BDC＝90°，若点A满足AB＝AC，∠BAC＝90°，请直接写出线段AD的长度．
【答案】(1)60°，AC＝DC+EC
(2)∠ACE＝45°，BD2+CD2＝2AD2，见解析
(3)AD＝2或AD＝42
【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；
（2）根据全等三角形的性质得到BD=CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根据勾股定理计算即可；
（3）如图3，作AE⊥CD于E，连接AD，根据勾股定理得到BC=32+25=34，推出点B，C，A，D四点共圆，根据圆周角定理得到∠ADE=45°，求得△ADE是等腰直角三角形，得到AE=DE，根据勾股定理即可得到结论．
（1）
解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=60°，
∴AC=AB=BC，根据旋转性质得：∠B=∠BAC＝∠DAE＝60°，AD=AE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE，
∴BC＝BD+CD＝EC+CD，
∴AC＝BC＝EC+CD；
故答案为：60°，AC＝DC+EC；
（2）
解：BD2+CD2＝2AD2，理由如下：
由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，
∴∠DCE＝90°，
∴CE2+CD2＝ED2，
在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，又AD＝AE，
∴BD2+CD2＝2AD2；
（3）
解：作AE⊥CD于E，连接AD，
∵在Rt△DBC中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°，
∴BC＝9+25=34，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴AB＝AC＝17，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠BDC＝∠BAC＝90°，
∴点B，C，A，D四点共圆，
∴∠ADE＝∠ABC=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝DE，
∴CE＝5﹣DE，
∵AE2+CE2＝AC2，
∴AE2+（5﹣AE）2＝17，
∴AE＝1，或AE＝4，
∴AD＝2或AD＝42．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
38．（2022·重庆·模拟预测）如图1，在等腰Rt△ABC中，AB=BC，D是BC的中点，E为边AC上任意一点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接EF，交AB于点G．
(1)若AB=6，AE=2，求ED的长；
(2)如图2，点G恰好是EF的中点，连接BF，求证：CD=2BF；
(3)如图3，将△BDF沿DF翻折，使得点B落在点P处，连接AP、EP，若AB=6，当AP+DP最小时，直接写出△AEP的面积．
【答案】(1)DE=29
(2)见解析
(3)27−952
【分析】（1）作EH⊥BC交BC于点H，得到∠CHE=90°，在等腰Rt△ABC中，得出BC=6，AC=62，再证明△CHE是等腰直角三角形，得出HD=CH−CD=2，在Rt△DHE中，利用勾股定理求解即可；
（2）过点E作EM∥BF交AB于点M，过点D作DN⊥BC交AC于点N，根据△CDN为等腰直角三角形，推出∠5=∠6，再证明△BFD≌△NED（SAS），△EMG≌△FBG（AAS），得出∠1=∠2，ME=BF，证明出△AEM是等腰直角三角形，AE=ME，再根据DN∥AB，D是BC的中点，得出BF=12CN，在等腰Rt△CDN中即可求解；
（3）P点的运动轨迹为圆，当A、P、D三点共线时，AP+PD的值最小，由折叠的性质知△PDF≌△BDF，延长FD交AC于点J，证明△PDE≌△CDE(SAS)，在Rt△AKP中进行求解．
（1）
解：作EH⊥BC交BC于点H，
∴ ∠CHE=90°．
在等腰Rt△ABC中，
∵ AB=6，
∴ BC=6，AC=62．
∵D是BC的中点，
∴ CD=12BC．
∵ AE=2，
∴ CE=AC−CE=52．
∵ ∠C=45°，
∴ △CHE是等腰直角三角形，
∴ CH=EH=5，
∴ HD=CH−CD=2．
在Rt△DHE中，DE=EH2+HD2=52+22=29．
（2）
证明：过点E作EM∥BF交AB于点M，过点D作DN⊥BC交AC于点N，
∴ △CDN为等腰直角三角形，
∴ CD=ND．
∵ BD=CD，
∴ BD=DN．
∵ ∠5+∠BDE=∠6+∠BDE，
∴ ∠5=∠6．
在△BFD和△NED中，BD=DN∠5=∠6DF=DE，
∴ △BFD≌△NED（SAS），
∴ BF=EN，∠3=∠4．
∵ ∠1=∠2∠MGE=∠BGFGF=GE,
∴△EMG≌△FBG（AAS），
∴ ∠1=∠2，ME=BF，
∴ ME=EN．
∵ ∠2+∠3=45°，
∴ ∠1+∠4=45°，
∴ ∠MEN=∠1+∠4+∠FED=90°，
∴ ∠AEM=90°，
∴ △AEM是等腰直角三角形，AE=ME，
∴ AE=ME=BF=EN，
∴ BF=12AN．
∵ DN∥AB，D是BC的中点，
∴ CN=AN，
∴ BF=12CN．
在等腰Rt△CDN中，CD=22CN，
∴ CD=2BF．
（3）
解：如图，
点P是以DB为半径，D为圆心的圆作为轨迹，
当A、P、D三点共线时，AP+PD的值最小．
由折叠的性质知 △PDF≌△BDF，
延长FD交AC于点J，
∵∠EDF=90°，
∴∠EDJ=90°，
∵∠FDB=∠CDJ，
∴∠EDC=∠EDP，
∴DC=DPDE=DE∠EDC=∠EDP，
∴△PDE≌△CDE(SAS)，
∴ ∠DPE=∠C=45°，
∴ ∠BAD+∠PAE=∠AEP+∠PAE，
∴ tan∠AEP=tan∠BAD=BDAB=12，
∵ tan∠EAP=13，
过点P作AC的垂线交于点K，
在Rt△AKP中，设PK=x，
由勾股定理得：AP=10x，
∵ AP=35−3，
∴ 10x=35−3，
∴ x=152−31010，
∴ △APE的面积：S=12AE⋅PK=52x2=27−952．
【点睛】本题考查了图形的旋转，圆、翻折、三角形的全等的判定及性质、锐角三角函数问题、等腰直角三角形、勾股定理、平行线的性质、对顶角，知识点涉及较多，综合性较强，解题的关键是掌握相应的性质定理，做到灵活运用．
39．（2022·广东梅州·一模）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D为AB边上一动点，连接CD，并将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE、DE，点F为DE中点，连接BF．
（1）求证：△ACD≅△BCE；
（2）如图2所示，在点D的运动过程中，当ADBD=n时（n＞1），分别延长AC、BF相交于G：
①当n=32时，求CG与AB的数量关系；
②当ADBD＝n时（n＞1），ABCG＝ ．
（3）当点D运动时，在线段CD上存在一点M，使得AM+BM+CM的值最小，若CM＝2，则BE＝ ．
【答案】（1）见详解；（2）①ABCG=52，②2(n+1)n−1；（3）3+3
【分析】（1）利用SAS可直接证明；
（2）①先证明∠DBE=90°，过点G作GH⊥AB，可得tan∠FDB=tan∠FBD，AHBH=32，此时，H、D重合，设AD=3x，BD=2x，则AB=5x，AC=BC=5x÷2=522x，进而即可得到答案；②设AD=nx，BD=x，则AB=(n+1)x，AC=BC=(n+1)x÷2=n+122x，类似①的方法即可求解；
（3）把△ABM绕点A顺时针旋转60°，得到△AHG，可得AM+BM+CM= HG+MG+CM，当点C、M、G、H四点共线时，AM+BM+CM的值最小，此时CH垂直平分AB，即CD垂直平分AB，进而即可求解．
【详解】（1）证明：∵把CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，
∴CD=CE，∠DCE=∠DCB+∠ECB=90°．
又∵∠ACB=90°=∠ACD+∠DCB，
∴∠ACD=∠ECB，
在△ACD和△BCE中，
AC＝BC∠ACD=∠ECBCD＝CE
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）①∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠A=∠CBA=45°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠A=∠CBE=45°，
∴∠DBE=90°，
∵ADBD=n=32，
过点G作GH⊥AB，
∵点F为DE中点，
∴DF=FB=12DE，
∴∠FDB=∠FBD，
∴tan∠FDB=tan∠FBD，
∴BEBD=GHBH=32，
∵∠A=45°，
∴△GAH是等腰直角三角形，
∴GH=AH，
∴AHBH=32，此时，H、D重合，
∴设AD=3x，BD=2x，则AB=5x，AC=BC=5x÷2=522x，
∴GH=AH=3x，AG=32x
∴CG=32x-522x=22x，
∴ABCG=5x22x=52
②当ADBD＝n时（n＞1），
设AD=nx，BD=x，则AB=(n+1)x，AC=BC=(n+1)x÷2=n+122x，
同理：GH=AH=nx，AG=2nx
∴CG=2nx-n+122x=2nx−2x2，
∴ABCG=2(n+1)n−1，
故答案是：2(n+1)n−1；
（3）如图，把△ABM绕点A顺时针旋转60°，得到△AHG，
∴AM=AG，BM=HG，∠MAG=60°，
∴△AGM是等边三角形，
∴MA=MG，
∴AM+BM+CM= HG+MG+CM，当点C、M、G、H四点共线时，AM+BM+CM的值最小，
连接BH，
∵把△ABM绕点A顺时针旋转60°，得到△AHG，
∴AM=AG，AB=AH，∠MAG=60°，
∴△AGM是等边三角形，△ABH是等边三角形，
∴∠AMG=∠AGM=60°，AH=BH，
∵AC=BC，
∴CH垂直平分AB，即CD垂直平分AB，
∴∠MAD=30°，
设AD=a，则MD=33a，
∵CM=2，AD=CD，
∴33a+2=a，解得：a=3+3，
∴BE=AD=3+3．
故答案是：3+3．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，画出图形，添加合适的辅助线是解题的关键．
40．（2022·黑龙江佳木斯·统考模拟预测）已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，将△ABC绕着点C旋转，连接BD，AE，M是BD的中点．
(1)如图①，当CA与CD重合，CB与CE重合时，线段AE，CM的数量关系是 ；
(2)当△ABC的位置如图②和图③时，线段AE，CM又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择图②或图③其中一种情况进行证明．
【答案】(1)CM=12AE
(2)CM=12AE，证明见解析
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC＝BC，DC＝EC，∠ADE＝∠BED＝45°，求得AD＝BE，根据全等三角形的性质得到BD＝AE，等量代换得到CM=12AE；
（2 ）如图②，证明：如图2中，延长CM到N使得CM＝MN．如图③中，延长CM到N使得CM＝MN．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
(1)
解：CM＝12AE；
理由：∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ADE＝∠BED＝45°，
∴CD﹣AC＝CE﹣BC，
即AD＝BE，
在△ADE与△BED中，
AD=BE∠ADE=∠BEDDE=ED ，
∴△ADE≌△BED（SAS），
∴BD＝AE，
∵M是BD的中点，
∴CM＝12BD，
∴CM＝12AE；
故答案为：CM＝12AE；
(2)
解：CM＝12AE；
理由：如图④，证明：如图④中，延长CM到N使得CM＝MN．
∵BM＝DM，∠CMB＝∠DMN，
∴△CMB≌△NMD（SAS），
∴BC＝DN＝CA，∠CBM＝∠NDM，
∴DN∥BC，
∴∠CDN+∠DCB＝180°，
∵∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠DCB＝180°，
∴∠ACE＝∠CDN，
∵DC＝EC，AC＝DN，
∴△CDN≌△ECA（SAS），
∴CN＝EA，
∴AE＝2CM
∴CM＝12AE
如图⑤，证明：如图⑤中，延长CM到N使得CM＝MN．
∵BM＝DM，∠CMB＝∠DMN，
∴△CMB≌△NMD（SAS），
∴BC＝DN＝CA，∠CBM＝∠NDM，
∴DN∥BC，
∴∠CDN+∠DCB＝180°，
∵∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠DCB＝180°，
∴∠ACE＝∠CDN，
∵DC＝EC，AC＝DN，
∴△CDN≌△ECA（SAS），
∴CN＝EA，
∴AE＝2CM．
∴CM＝12AE
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【考点9 连接两点作辅助线证明全等三角形】
41．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，在△ABC和△DBE中，AB=BC，DB=EB，∠ABC=∠DBE=50°．若∠BDC=25°，AD=4，DE=13，则CD的长为（ ）
A．2B．3C．132D．2
【答案】B
【分析】连接CE，根据已知和全等三角形的判定可证得△ABD≌△CBE，则CE=AD=4，由等腰三角形的性质可求得∠BDE=65°，进而求得∠CDE=90°，由勾股定理即可求得CD的长．
【详解】解：连接CE，
∵∠ABC=∠DBE，
∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，
即∠ABD=∠CBE，
又∵AB=BC，DB=EB，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴CE=AD=4，
∵DB=EB，∠ABC=∠DBE=50°，
∴∠BDE=180∘−50∘2=65°，又∠BDC=25°，
∴∠CDE=65°+25°=90°，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
CD=CE2−DE2=42−(13)2=3，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，连接CE证得∠CDE=90°是解答的关键．
42．（2022春·江苏南通·模拟预测）如图，在等腰△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，下列结论：(1)△DEF是等腰直角三角形；(2)四边形CDFE不可能为正方形，（3）DE长度的最小值为4；（4）连接CF，CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分，则CE= 13或143其中正确的结论个数是( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】连接CF，证明△ADF≌△CEF，根据全等三角形的性质判断①，根据正方形的判定定理判断②，根据勾股定理判断③，根据面积判断④．
【详解】
连接CF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45∘，CF=AF=FB；
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF(SAS)；
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD；
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
又∵EF=DF
∴△EDF是等腰直角三角形(故(1)正确)．
当D．E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形(故(2)错误)．
由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小；
即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=12BC=4．
∴DE=2DF=42(故(3)错误)．
∵△ADF≌△CEF，
∴S△CEF=S△ADF
∴S四边形CDFE=S△AFC，
∵CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分
∴S△CEF：S△CDF=1∶2或S△CEF：S△CDF=2∶1
即S△ADF：S△CDF=1∶2或S△ADF：S△CDF=2∶1
当S△ADF：S△CDF=1∶2时，S△ADF=13S△ACF=13×12×8×4=163
又∵S△ADF=12×AD×4=2AD
∴2AD=163
∴AD=83(故(4)错误)．
故选A．
【点睛】本题考查了全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理，掌握全等三角形，等腰直角三角形，以及勾股定理是解题的关键．
43．（2022·湖南邵阳·统考模拟预测）如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，点C在⊙O上，CD∥AO，求证：AC是⊙O的切线．
【答案】证明见解析．
【分析】连接OC，先根据题意得出∠ABO=90°，然后再证明△AOB≌△AOC即可
【详解】如图：连接OC.
∵BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B
∴AB丄OB，即∠ABO=90°.
∵CD∥AO，
∴∠AOB=∠CDO，∠DCO=∠AOC.
∵OC=OD，∴∠CDO=∠DCO,
∴∠AOB=∠AOC.
又OA=OA，OB=OC,
∴△AOB≌△AOC,
∴∠ACO=∠ABO=90°
故AC是⊙O的切线.
【点睛】此题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定与性质等知识，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
44．（2022秋·河北·模拟预测）如图，已知：AB=AC，BD=CD，∠A=60°，∠D=140°，则∠B=（ ）
A．50∘B．40∘C．40∘或70∘D．30∘
【答案】B
【分析】连接AD，可证△ABD≌△ACD，根据全等三角形对应角相等可以得到∠BAD=∠CAD=12∠BAC，∠ADB=∠ADC，代入角度即可求出∠BAD和∠ADB的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】连接AD，如图，
在△ABD与△ACD中
AB=ACBD=CDAD=AD，
∴ △ABD≌△ACD SSS，
∴ ∠BAD=∠CAD=12∠BAC，∠ADB=∠ADC，
∵ ∠A=60∘，
∴ ∠BAD=∠CAD=30∘，
∵ ∠D=140∘，
∴ ∠ADB=∠ADC=12360∘−140∘=110∘，
∵ ∠BAD+∠ADB+∠B=180∘，
∴ ∠B=40∘．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键．
45．（2022春·四川广安·四川省岳池县第一中学校模拟预测）如图：△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE＝3，AC＝6，则AD的长为（ ）
A．37B．6C．9D．47
【答案】A
【分析】首先证明△ECA≌△DCB（SAS），再利用勾股定理即可求解．
【详解】如图连接BD，
∵CA＝CB，CE＝CD，∠ECA＝90°﹣∠ACD＝∠DCB，
∴△ECA≌△DCB（SAS），
∴DB＝AE＝3，∠CDB＝∠E＝45°，
∴∠ADB＝ADC+CDB＝90°，
在Rt△ABC中，CA＝CB＝6，
∴AB=62，
在Rt△ADB中，AB=62，BD=3，
∴AD=AB2−BD2=72−9=37．
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角形全等的证明和勾股定理，解题的关键是能通过已知的条件结合三角形全等的判定方法来证明三角形全等，结合垂直关系和边的等量代换运用勾股定理求边长．
【考点10 全等三角形的实际应用】
46．（2022·甘肃陇南·模拟预测）某大学计划为新生配备如图①所示的折叠凳，图②是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，则由以上信息可推得CB的长度为_____.
【答案】30cm
【详解】∵O是AB、CD的中点，
∴OA=OB，OC=OD，
在△AOD和△BOC中，OA=OB∠AOD=∠BOCOC=OD，
∴△AOD≌△BOC(SAS)，
∴CB=AD，
∵AD=30cm，
∴CB=30cm.
故答案为30cm.
47．（2022秋·陕西渭南·模拟预测）如图为秋千摇摆的示意图，秋千绳长OA=OB=OC，当秋千位于OB位置时，过点B作BD⊥OA于点D，测得OD=3m，当秋千位于OC位置时，OB与OC恰好垂直，求此时秋千到OA的水平距离CE的长CE⊥OA．
【答案】3m
【分析】利用AAS证明△COE≌△OBD，得CE=OD=3m．
【详解】解：∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE=90°，
∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO=∠ODB=90°，
∴∠BOD+∠B=90°，
∴∠COE=∠B，
在△COE和△OBD中，
∠COE=∠B∠CEO=∠ODBOC=OB，
∴△COE≅△OBD(AAS)，
∴CE=OD=3m，
∴摆球到OA的水平距离CE的长为3m．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明△COE≌△OBD是解题的关键．
48．（2022秋·陕西西安·模拟预测）如图：小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树C处，接着再向前走了30步到达D处，然后他左转90°向正南方向直行，当小刚看到电线塔B、树C与自己现处的位置E在一条直线时，他从D到E走了80步．
(1)根据题意，画出示意图；
(2)如果小刚一步大约0.5米，估计小刚在点A处时他与B处电线塔的距离，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)40米，理由见解析
【分析】（1）依据题意即可画出示意图；
（2）由题意可得△ABC≌△DEC，得AB=DE，即可求得AB的长．
【详解】（1）解：示意图如图所示．
（2）解：40米，理由如下：
在△ABC和△DEC中，
∠A=∠D=90°AC=DC∠ACB=∠DCE，
∴△ABC≌△DECASA，
∴AB=DE，
又∵小刚走完DE用了80步，一步大约0.5米，
∴DE=80×0.5=40（米）．
答：小刚在点A处时他与B处电线塔的距离为40米．
【点睛】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，关键能把实际问题抽象成数学问题，并应用相关知识解决．
49．（2022秋·山东淄博·模拟预测）为了测量一个池塘旁两棵树A，B之间的距离（如图），小刚利用数学课中学到的知识进行了如下的测量：先站在B树处，正面对准A树；然后向右转90°，并向正前方走了6米，标上记号C后，继续向前又走了6米到点D，再向右转90°又向前走，当又走了15米时，发现所处的位置E与A，C在一条直线上．
(1)画出小刚所走路线的示意图，并用字母标出小刚行走过程中的关键位置；
(2)树A与树B之间的距离是多少？并请说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)15米，理由见解析．
【分析】（1）根据题意画出图形；
（2）根据题意可得∠ABC=90°，∠CDE=90°，BC=CD=6米，DE=15米，然后利用ASA定理证明△ABC≌△EDC，再根据全等三角形的性质可得AB=DE=15米．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）根据题意可得：∠ABC=90°，∠CDE=90°，BC=CD=6米，DE=15米，
在△ABC和△EDC中，
∠ABC=∠DCB=CD∠ACB=∠DCE，
∴△ABC≌△EDC(ASA)，
∴AB=DE=15米．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确利用ASA定理判定△ABC≌△EDC．
50．（2022秋·江西赣州·模拟预测）数学兴趣小组打算测量教室内花瓶的内壁厚度，经过搜索资料，发现了一个可以使用的工具－－卡钳，卡钳示意图如下，AD=BC，O是线段AD和BC的中点．
利用卡钳测量内径的步骤为：
①将卡钳A、B两端伸入在被测物内；
②打开卡钳，使得A、B两端卡在内壁；
③测量出点C与点D间的距离，即为内径的长度．
(1)请写出第③步的理由；
(2)小组成员利用上述方法测得CD=12cm，同时测得外径为16cm，请求出花瓶内壁厚度x．
【答案】(1)见解析
(2)2cm
【分析】（1）利用边角边判定三角形全等即可．
（2）利用三角形全等的性质解题即可．
【详解】（1）解：如图，连接CD， 由题意可得：OA=OD，OB=OC，
在△AOB与△DOC中，
OA=OD∠AOB=∠DOCOB=OC
∴△AOB≌DOC
∴AB=CD．
（2）解：由（1）知，AB=CD=12cm，故花瓶内壁厚度：
x=16−CD÷2=16−12÷2=2cm．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质的应用，能够熟练判定三角形全等是解题关键．∠AOP=∠PFD∠APO=∠PDFAP=PD