福建省厦门市2024届高三下学期第二次质量检测数学试卷（附参考解答与评分标准）

这是一份福建省厦门市2024届高三下学期第二次质量检测数学试卷（附参考解答与评分标准），文件包含福建省厦门市2024届高三下学期第二次质量检测数学试题docx、福建省厦门市2024届高三下学期第二次质量检测数学参考解答与评分标准pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
满分：150分 考试时间：120分钟
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知正项等差数列的公差为，前项和为，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．已知为关于的方程的两个虚根，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知样本的平均数等于分位数，则满足条件的实数的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．在平面直角坐标系中，点在直线上．若向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．设分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上一点，且满足，直线与的一条渐近线垂直，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．设集合，，那么集合中满足的元素的个数为（ ）
A．60B．100C．120D．130
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1～6月的GDP数据y（单位：百亿元）建立了一元线性回归模型，根据最小二乘法得到的经验回归方程为，其中解释变量指的是1～6月的编号，其中部分数据如表所示：
（参考数据：，），则（ ）
A．经验回归直线经过点
B．
C．根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.57百亿元
D．第4个样本点的残差为0.103
10．如图1，扇形的弧长为，半径为，线段上有一动点，弧上一点是弧的三等分点，现将该扇形卷成以为顶点的圆锥，使得和重合，则在图2的圆锥中（ ）
（第10题图1） （第10题图2）
A．圆锥的体积为
B．当为中点时，线段在底面的投影长为
C．存在，使得
D．
11．已知都是定义在上的奇函数，且为单调函数，．，（为常数），，则（ ）
A．B．
C．为周期函数D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知抛物线的焦点为，点在上，且，为坐标原点，则的面积为______．
13．已知函数在上单调，，则的可能取值为______．
14．已知函数，若恒成立，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
如图，三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，，，为中点，．
（第15题图）
（1）证明：平面平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
16．（15分）
定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形．如图，的面积为，三个内角所对的边分别为，且．
（第16题图）
（1）证明：是倍角三角形；
（2）若，当取最大值时，求．
17．（15分）
已知，，为平面上的一个动点．设直线的斜率分别为，，且满足．记的轨迹为曲线．
（1）求的轨迹方程；
（2）直线，分别交动直线于点，过点作的垂线交轴于点．是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．
18．（17分）
若，都存在唯一的实数，使得，则称函数存在“源数列”．已知．
（1）证明：存在源数列；
（2）（ⅰ）若恒成立，求的取值范围；
（ⅱ）记的源数列为，证明：前项和．
19．（17分）
小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5．
（1）若小明共投篮4次，在投中2次的条件下，求第二次没有投中的概率；
（2）若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中次，第二组投篮2次，投中次，求；
（3）记表示小明投篮次，恰有2次投中的概率．
在投篮不超过次的情况下，若小明投中2次，则停止投篮；若投篮次后，投中的次数仍不足2次，则不再继续投篮．记表示小明投篮的次数．
证明：．时间
1月
2月
3月
4月
5月
6月
编号
1
2
3
4
5
6
/百亿元
11.107