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适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第11章计数原理概率随机变量及其分布第6节离散型随机变量及其分布列数字特征课件新人教A版
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这是一份适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第11章计数原理概率随机变量及其分布第6节离散型随机变量及其分布列数字特征课件新人教A版，共37页。PPT课件主要包含了强基础固本增分，研考点精准突破，目录索引，一一列举，aEX+b，a2DX，2首先列表为，所以X的分布列为等内容，欢迎下载使用。
1.了解离散型随机变量的概念.2.理解并会求离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差).
1.随机变量的有关概念(1)随机变量一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.通常用大写英文字母表示,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.
分两类:离散型随机变量和连续型随机变量
(2)离散型随机变量:可能取值为有限个或可以 的随机变量.
微点拨离散型随机变量X的每一个可能取值为实数,其实质代表的是“事件”,即事件是用一个反映结果的实数表示的.
2.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的 为X的概率分布列,简称分布列.(2)离散型随机变量分布列的性质①pi 0,i=1,2,…,n; ② =1.
有表格、图形和解析式三种形式
概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n
p1+p2+…+pn
3.离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量X的分布列为
(1)均值称E(X)= = 为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.
反映了离散型随机变量取值的平均水平
x1p1+x2p2+…+xnpn
(2)方差称D(X)= 为随机变量X的方差,并称 为随机变量X的标准差,记为σ(X).
用来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度
微思考随机变量的均值、方差与样本的均值、方差有何关系?
提示 随机变量的均值、方差是一个常数,样本的均值、方差是一个随机变量,随观测次数的增加或样本容量的增加,样本的均值、方差趋于随机变量的均值、方差.
4.均值与方差的性质(1)E(aX+b)= .(a,b为常数) (2)D(aX+b)= .(a,b为常数)
常用结论1.E(k)=k,D(k)=0,其中k是常数.2.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).3.D(X)=E(X2)-[E(X)]2.4.若X1,X2相互独立,则E(X1X2)=E(X1)E(X2).
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.随机试验的结果与随机变量是对应关系,即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.( )2.均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.( )3.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.( )
题组二回源教材4.(人教A版选择性必修第三册7.3.1节练习第1题改编)已知X的分布列为
设Y=2X+3,则E(Y)的值为( )
5.(人教A版选择性必修第三册7.3.2节练习第1题改编)已知随机变量X的分布列为
则D(X)= .
解析 由题意知E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=2.4,所以D(X)=(1-2.4)2×0.2+(2-2.4)2×0.3+(3-2.4)2×0.4+(4-2.4)2×0.1=0.84.
题组三连线高考6.(2014·浙江,文11)随机变量ξ的取值为0,1,2,若P(ξ=0)= ,E(ξ)=1,则D(ξ)= .
7.(2020·浙江,16)盒子里有4个球,其中1个红球,1个绿球,2个黄球,从盒中随机取球,每次取1个,不放回,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)= ;E(ξ)= .
考点一 离散型随机变量分布列的性质
[对点训练1]设离散型随机变量X的分布列为
(1)求随机变量Y=2X+1的分布列;(2)求随机变量η=|X-1|的分布列.
解 (1)由分布列的性质知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3.首先列表为
从而Y=2X+1的分布列为
所以P(η=0)=P(X=1)=0.1,P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,P(η=2)=P(X=3)=0.3,P(η=3)=P(X=4)=0.3.故η=|X-1|的分布列为
考点二 离散型随机变量的分布列及数字特征
例2(2024·福建宁德模拟)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军,已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率;(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.(3)设用Y表示甲学校的总得分,比较D(X)和D(Y)的大小.
解 (1)甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表:
甲学校要想获得冠军,需要在3场比赛中至少获胜2场,①甲学校3场比赛全胜,概率为P1=0.5×0.4×0.8=0.16,②甲学校3场比赛获胜2场败1场,概率为P2=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44,所以甲学校获得冠军的概率为P=P1+P2=0.6.
(2)乙学校的总得分X的可能取值为0,10,20,30,其概率分别为P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44,P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34,P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06,则X的分布列为
X的期望E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.
(3)甲学校的总得分Y的可能取值为0,10,20,30,其概率分别为P(Y=0)=P(X=30)=0.06,P(Y=10)=P(X=20)=0.34,P(Y=20)=P(X=10)=0.44,P(Y=30)=P(X=0)=0.16,则Y的分布列为
Y的期望E(Y)=0×0.06+10×0.34+20×0.44+30×0.16=17;故D(Y)=(0-17)2×0.06+(10-17)2×0.34+(20-17)2×0.44+(30-17)2×0.16=65,由(2)可得D(X)=(0-13)2×0.16+(10-13)2×0.44+(20-13)2×0.34+(30-13)2 ×0.06=65,故D(X)=D(Y).
[对点训练2](2024·四川内江模拟)甲、乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛,计分规则如下:在一轮比赛中,如果甲赢而乙输,则甲得1分;如果甲输而乙赢,则甲得-1分;如果甲和乙同时赢或同时输,则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.7,乙赢机器人的概率为0.6.求:(1)在一轮比赛中,甲的得分ξ的分布列;(2)在两轮比赛中,甲的得分η的期望和方差.
解 (1)由题意可知,ξ的可能取值为-1,0,1,P(ξ=-1)=0.3×0.6=0.18, P(ξ=0)=0.7×0.6+0.3×0.4=0.54,P(ξ=1)=0.7×0.4=0.28,所以ξ的分布列为
(2)由题意可知,η的可能取值为-2,-1,0,1,2,P(η=-2)=0.18×0.18=0.032 4, P(η=-1)=2×0.18×0.54=0.194 4,P(η=0)=2×0.18×0.28+0.54×0.54=0.392 4,P(η=1)=2×0.54×0.28=0.302 4,P(η=2)=0.28×0.28=0.078 4.所以η的分布列为
所以E(η)=(-2)×0.032 4+(-1)×0.194 4+0×0.392 4+1×0.302 4+2×0.078 4=0.2,D(η)=(-2-0.2)2×0.032 4+(-1-0.2)2×0.194 4+(0-0.2)2×0.392 4+(1-0.2)2 ×0.302 4+(2-0.2)2×0.078 4=0.9.
考点三 均值与方差中的决策问题
例3(2021·新高考Ⅰ,18)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.
(2)若小明先回答A类问题,期望为E(X).
若小明先回答B类问题,Y为小明的累计得分,Y=0,80,100,
因为E(X)
解 (1)若投资项目一,设获利为ξ1万元,则ξ1的分布列为
1.了解离散型随机变量的概念.2.理解并会求离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差).
1.随机变量的有关概念(1)随机变量一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.通常用大写英文字母表示,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.
分两类:离散型随机变量和连续型随机变量
(2)离散型随机变量:可能取值为有限个或可以 的随机变量.
微点拨离散型随机变量X的每一个可能取值为实数,其实质代表的是“事件”,即事件是用一个反映结果的实数表示的.
2.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的 为X的概率分布列,简称分布列.(2)离散型随机变量分布列的性质①pi 0,i=1,2,…,n; ② =1.
有表格、图形和解析式三种形式
概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n
p1+p2+…+pn
3.离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量X的分布列为
(1)均值称E(X)= = 为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.
反映了离散型随机变量取值的平均水平
x1p1+x2p2+…+xnpn
(2)方差称D(X)= 为随机变量X的方差,并称 为随机变量X的标准差,记为σ(X).
用来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度
微思考随机变量的均值、方差与样本的均值、方差有何关系?
提示 随机变量的均值、方差是一个常数,样本的均值、方差是一个随机变量,随观测次数的增加或样本容量的增加,样本的均值、方差趋于随机变量的均值、方差.
4.均值与方差的性质(1)E(aX+b)= .(a,b为常数) (2)D(aX+b)= .(a,b为常数)
常用结论1.E(k)=k,D(k)=0,其中k是常数.2.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).3.D(X)=E(X2)-[E(X)]2.4.若X1,X2相互独立,则E(X1X2)=E(X1)E(X2).
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.随机试验的结果与随机变量是对应关系,即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应.( )2.均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.( )3.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.( )
题组二回源教材4.(人教A版选择性必修第三册7.3.1节练习第1题改编)已知X的分布列为
设Y=2X+3,则E(Y)的值为( )
5.(人教A版选择性必修第三册7.3.2节练习第1题改编)已知随机变量X的分布列为
则D(X)= .
解析 由题意知E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=2.4,所以D(X)=(1-2.4)2×0.2+(2-2.4)2×0.3+(3-2.4)2×0.4+(4-2.4)2×0.1=0.84.
题组三连线高考6.(2014·浙江,文11)随机变量ξ的取值为0,1,2,若P(ξ=0)= ,E(ξ)=1,则D(ξ)= .
7.(2020·浙江,16)盒子里有4个球,其中1个红球,1个绿球,2个黄球,从盒中随机取球,每次取1个,不放回,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)= ;E(ξ)= .
考点一 离散型随机变量分布列的性质
[对点训练1]设离散型随机变量X的分布列为
(1)求随机变量Y=2X+1的分布列;(2)求随机变量η=|X-1|的分布列.
解 (1)由分布列的性质知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3.首先列表为
从而Y=2X+1的分布列为
所以P(η=0)=P(X=1)=0.1,P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,P(η=2)=P(X=3)=0.3,P(η=3)=P(X=4)=0.3.故η=|X-1|的分布列为
考点二 离散型随机变量的分布列及数字特征
例2(2024·福建宁德模拟)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军,已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率;(2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望.(3)设用Y表示甲学校的总得分,比较D(X)和D(Y)的大小.
解 (1)甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表:
甲学校要想获得冠军,需要在3场比赛中至少获胜2场,①甲学校3场比赛全胜,概率为P1=0.5×0.4×0.8=0.16,②甲学校3场比赛获胜2场败1场,概率为P2=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44,所以甲学校获得冠军的概率为P=P1+P2=0.6.
(2)乙学校的总得分X的可能取值为0,10,20,30,其概率分别为P(X=0)=0.5×0.4×0.8=0.16,P(X=10)=0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8=0.44,P(X=20)=0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2=0.34,P(X=30)=0.5×0.6×0.2=0.06,则X的分布列为
X的期望E(X)=0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06=13.
(3)甲学校的总得分Y的可能取值为0,10,20,30,其概率分别为P(Y=0)=P(X=30)=0.06,P(Y=10)=P(X=20)=0.34,P(Y=20)=P(X=10)=0.44,P(Y=30)=P(X=0)=0.16,则Y的分布列为
Y的期望E(Y)=0×0.06+10×0.34+20×0.44+30×0.16=17;故D(Y)=(0-17)2×0.06+(10-17)2×0.34+(20-17)2×0.44+(30-17)2×0.16=65,由(2)可得D(X)=(0-13)2×0.16+(10-13)2×0.44+(20-13)2×0.34+(30-13)2 ×0.06=65,故D(X)=D(Y).
[对点训练2](2024·四川内江模拟)甲、乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛,计分规则如下:在一轮比赛中,如果甲赢而乙输,则甲得1分;如果甲输而乙赢,则甲得-1分;如果甲和乙同时赢或同时输,则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.7,乙赢机器人的概率为0.6.求:(1)在一轮比赛中,甲的得分ξ的分布列;(2)在两轮比赛中,甲的得分η的期望和方差.
解 (1)由题意可知,ξ的可能取值为-1,0,1,P(ξ=-1)=0.3×0.6=0.18, P(ξ=0)=0.7×0.6+0.3×0.4=0.54,P(ξ=1)=0.7×0.4=0.28,所以ξ的分布列为
(2)由题意可知,η的可能取值为-2,-1,0,1,2,P(η=-2)=0.18×0.18=0.032 4, P(η=-1)=2×0.18×0.54=0.194 4,P(η=0)=2×0.18×0.28+0.54×0.54=0.392 4,P(η=1)=2×0.54×0.28=0.302 4,P(η=2)=0.28×0.28=0.078 4.所以η的分布列为
所以E(η)=(-2)×0.032 4+(-1)×0.194 4+0×0.392 4+1×0.302 4+2×0.078 4=0.2,D(η)=(-2-0.2)2×0.032 4+(-1-0.2)2×0.194 4+(0-0.2)2×0.392 4+(1-0.2)2 ×0.302 4+(2-0.2)2×0.078 4=0.9.
考点三 均值与方差中的决策问题
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(2)若小明先回答A类问题,期望为E(X).
若小明先回答B类问题,Y为小明的累计得分,Y=0,80,100,
因为E(X)
解 (1)若投资项目一,设获利为ξ1万元,则ξ1的分布列为
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