2024年江西省南昌市中考一模数学试题（含答案）

这是一份2024年江西省南昌市中考一模数学试题（含答案），共16页。

1.本试卷满分120分，考试时间为120分钟．
2.请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡的相应位置．错选、多选、未选均不得分．
1.将一元二次方程3x2－8x＝－10化成一般形式是（ ）
A.3x2－8x＋10＝0B.3x2－8x－10＝0C.3x2－8x＝10D.3x2＝8x－10
2.下列图案中属于中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3.如图，已知AB//CD//EF，AD∶AF＝3∶5， BE ＝10，则 BC的长等于（ ）
A.4B.5C.6D.7
4.下列各选项为某同学得出的关于二次函数y＝－x2＋4x＋5的性质的结论，其中不正确的是（ ）
A.开口向下B.顶点坐标为（2，9）
C.方程－x2＋4x＋5＝0的解是D.当－1＜x＜5，函数值小于0
5.物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流I（A）随着电阻R（Ω）的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为1Ω，则该电路能通过的（ ）
图1 图2
A.最大电流是36AB.最大电流是27A
C.最小电流是36AD.最小电流是27A
6.如图，⊙O上依次有点A，C，G，F，E，D，B，已知DE ＝AB， FG ＝AC．数学小组在探究时得到以下结论：①DE ＋FG＝BC；②；③∠DOE＋∠FOG＝∠BOC；④∠DEO＋∠FGO＝∠BAC．你认为结论正确的序号是（ ）
A.①②③④B.②③C.②④D.②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7.已知反比例函数y＝的图象在第二、四象限，则m的取值范围为 ．
8.某实施科技强市的战略，为加强科技基础研究能力，逐步加大了对科研经费的投入．2022年投入科研经费6000万元，2024年投入经费8000万元．设科研经费投入的年平均增长率为x，根据题意可列方程为 ．
9.设是关于x的方程x2－12x＋1＝0的两个根，则 ．
10.如图，这是某市文化生态园中抛物线型拱桥及其示意图，已知抛物线型拱桥的函数表达式为，为了美化拱桥夜景，拟在该拱桥上距水面（AB）6m处安装夜景灯带EF，则夜景灯带EF的长是 m．
11.如图，已知△ABC和△以点C（－1，0）为位似中心，位似比为1∶2的位似图形，若点B的对应点的横坐标为a，则点B的横坐标为 ．
12.如图，已知过点A（－，0）的直线y＝kx＋2与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B（，3），连接OB，将△AOB绕着点O顺时针旋转后，△AOB的顶点依然在该反比例函数的图象上，则旋转的角度为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13.（本题共2小题，每小题3分）
（1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，求∠DAC的度数；
（2）下图是某学校人行过道中的一个以O为圆心的圆形拱门，路面AB的宽为2m，高CD为5m，求圆形拱门所在圆的半径．
14.课堂上，刘老师展示了一位同学用配方法解的过程，如下：
解：原方程可化为，…………………………………第一步
配方，得，……第二步
即，……………………………第三步
直接开平方，得，……………第四步
所以．…………第五步
（1）这位同学的解题过程从第 步开始出现错误；
（2）请你正确求解该方程．
15.数学老师在作业批改中，针对作业出现多处错误的同学设计了“日日清”的A，B，C，D四种过关训练卡片题组，让他们加强练习．这些卡片的背面、大小完全相同．
（1）小明从A，B，C，D四种过关训练卡片题组中任选一种，是A卡片题组的概率是 ；
（2）小明和小红分别从A，B，C，D四种过关训练卡片题组中随机各选一种，请用树状图或列表的方法求两位同学恰好抽到同种过关训练卡片题组的概率．
16.已知关于x的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴是直线x＝1，其最大值是4，经过点A（－1，－4），交y轴于点B，请仅用无刻度直尺按下列要求作图．
（1）在图1中作二次函数图象上的点P（2，2）；
（2）在图2中二次函数图象的对称轴上找一点Q，使△ABQ的周长最短．
图1 图2
17.主题为“安全骑行，从头盔开始”的安全教育活动在某市全面开展．为了解市民骑电动自行车出行自觉佩戴头盔的情况，某数学实践探究小组在某路口进行调查，经过连续6天的同一时段的调查统计，得到数据并整理如下表：
（1）表格中m＝ ；
（2）由此数据可估计，经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为 ；（结果精确到0.01）
（3）若该小组某天调查到经过该路口的电动自行车共有1200辆，请问其中佩戴了头盔的骑行者大约有多少人？
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.已知关于x的二次函数y＝x2－（k＋4）x＋3k．
（1）求证：无论k为何值，该函数的图象与x轴总有两个交点；
（2）若二次函数的顶点P坐标为（x，y），求y与x之间的函数关系及y的最大值．
19.如图，△ABC的各顶点都在反比例函数y＝的图象上，其中A（m－3，－4），B（4－m，6）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若直线AB解析式为y＝ax＋b，求的解集；
（3）若反比例函数图象上的点C的横坐标为－12，将线段BC平移到线段AD，（点B与点A重合）请判断四边形ABCD的形状．
20.小明大学毕业后积极自主创业，在网上创办了一个微店，销售一款乡村太阳能美化路灯，该灯成本是40元/盏．通过调研发现，若按50元/盏销售，一个月可售500盏；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10盏．
（1）月销售量m（盏）与销售单价x（元/盏）之间的函数关系式为 ．
（2）小明若想让太阳能美化路灯的月销售利润达到8000元，则太阳能美化路灯销售单价应定为多少元？
（3）太阳能美化路灯的销售单价定为多少元时，月销售能获得最大利润？最大利润是多少元？
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21.如图，在三角形ABD中， AD＝BD，∠ADB ＝90°，AB//DC，点E是AD上一点，作∠BEC＝45°，CE交DB于点F．
（1）求证：△FBE~△FCD；
（2）求证：∠ABE＝∠DBC；
（3）已知AB＝6，ED＝2AE，求 S△BDC．
22.已知二次函数y＝kx2－6kx ＋5k（k＞0）经过A， B两定点（点A在点B的左侧），顶点为P．
（1）求定点A，B的坐标；
（2）把二次函数y＝kx2－6kx＋5k的图象在直线AB下方的部分向上翻折，将向上翻折得到的部分与原二次函数位于直线AB上方的部分的组合图象记作图象W，求向上翻折部分的函数解析式；
（3）在（2）中，已知△ABP的面积为8．
①当1≤x≤4时，求图象W中y的取值范围；
②若直线y＝m与图象W从左到右依次交于C，D，E，F四点，若CD＝DE＝EP，求m的值．
六、解答题（本大题共12分）
23.如图1，在矩形ABCD中，CD＝BC＝4，点E，G分别是AD，AB上的中点，过点E，G分别作EF⊥AD， FG⊥AB，FG与EF交于点F，连接CF．
特例感知
（1）以下结论中正确的序号有 ；
①四边形AGFE是矩形；②矩形ABCD与四边形AGFE位似；③以ED，CF， BG为边围成的三角形不是直角三角形类比发现
（2）如图2，将图1中的四边形AGFE绕着点A旋转，连接BG，观察CF与BG之间的数量关系和位置关系，并证明你的发现；
拓展应用
（3）连接CE，当CE的长度最大时，
①求BG的长度；
②连接AC，AF， CF，若在△ACF内存在一点P，使 CP＋AP＋PF的值最小，求CP＋AP＋PF的最小值．
图1 图2
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数学参考答案及评分细则
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1A 2.B 3.C 4.D
5.A
【解析】根据电压＝电流×电阻，设，将点（4，9）代入得，解得U＝36，
∴；若该电路的最小电阻值为1，该电路能通过的最大电流是，故选A．
6.D
【解析】连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，BC，如图．
∵AB＋AC＞BC，AB＝DE，FG＝AC，∴DE＋FG＞BC．∴①错误．
∵AB＝DE，FG＝AC，∴，．
∴．
∴．∴②正确．
∵AB＝DE，FG＝AC，∴∠AOB＝∠DOE，∠AOC＝∠FOG．
∴∠AOB＋∠AOC＝∠DOE＋∠FOG，即∠DOE＋∠FOG＝∠BOC．∴③正确．
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝．
同理可得：∠OAC＝90°－∠AOC，∠DEO＝90°－∠DOE，∠FGO＝90°－∠FOG．
∴∠OAB＋∠OAC＝180°－ （∠AOB＋∠AOC）＝180°－∠BOC，∠DEO＋∠FGO＝180°－ （∠DOE＋∠FOG）．
由③知：∠DOE＋∠FOG＝∠BOC，∴∠OAB＋∠OAC＝∠DEO＋∠FGO．即：
∠DEO＋∠FGO＝∠BAC．∴④正确．∴正确的序号为②③④．故选D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7.m＜－2
【解析】∵反比例函数y＝的图象在第二、四象限，∴m＋2＜0，解得m＜－2
8.6000（1＋x）2＝8000
9.11
【解析】根据根与系数的关系可知， ，，则．
10.
【解析】由题意得，，解得：，∴．
11.
【解析】设B点横坐标为x，如图，过B作BM⊥x轴于点M，过作轴 于点N．∴，∴，∴，即，解得，
∴B点横坐标为．
12.30°，120°或150°
【解析】作BD⊥x轴于D，∵B（，3），∴OB＝2＝OA，∠BOD＝60°，∴∠BOA＝120°，根据反比例函数的对称性和图形旋转的性质可知△AOB绕着点O顺时针旋转30°，120°或150°后使△AOB的顶点依然在该反比例函数的图象上．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13.（1）解：在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，由旋转的性质可知，∠EAC＝60°．
∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE＝∠BAC＝30°．
∴∠DAC＝30°．…………3分
（2）解：如图，连接OA，由垂径定理得AD＝AB＝1，设OC＝OA＝r，则OD＝5－r．
由勾股定理得OA2－OD2＝AD2，即r2－（5－r）2＝，解得．
∴圆形拱门所在圆的半径为m．……6分
14.（1）二………2分
（2）配方法：
x2－x－4＝0
x2－x＝4
x2－x＋（）2＝4＋（）2
（x－）＝12
∴x－＝±
解得．…………………6分
公式法：
x2－x－4＝0
a＝1，b＝－，c＝－4，
∴，
∴，
解得．……6分
15.解：（1）小明从A、B、C、D四种过关训练卡片题组中，任选一张是A卡片题组的概率是．………………2分
（2）列出所有可能出现的结果，如下表：
由上表知，小明和小红分别从A、B、C、D四种过关训练卡片题组中随机选一张的等可能结果组合有16种，其中，两位同学恰好抽到同种过关训练卡片题组的结果组合有4种，即（A，A），（B，B），（C，C），（D，D），……4分
∴P（两位同学恰好抽到同种过关训练卡片题组）＝．……………………6分
16.解：（1）如图1，点P即为所作；………………3分
（2）如图2，点Q即为所作．……………6分
图1 图2
17解：（1）0.95……………2分
（2）0.95；提示：根据表格数据可知，随着调查天数的增加，电动自行车骑行者佩戴头盔的频率逐渐稳定在0.95附近，故可估计经过该路口的电动自行车骑行者佩戴了头盔的概率为0.95……………4分
（3）1200×0.95＝1140（人）
答：佩戴了头盔的骑行者大约有1140人．……………6分
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.（1）当y＝0时，x2－（k＋4）x＋3k＝0
∵．
∴该方程总有两个不相等的实数根，
∴无论k为何值，该函数的图象与x轴总有两个交点．……………3分
（2）二次函数y＝x2－（k＋4）x＋3k的顶点坐标为，
设，可得k＝2x－4，将其代入，
整理后得y＝－（x－3）2－3……………………6分
∵顶点的运动轨迹为二次函数y＝－（x－3）2－3的图象，且该图象开口向下，
故当x＝3时，y取得最大值，最大值为－3……………………8分
19.（1）∵A（m－3，－4），B（4－m，6）恰好落到双曲线上，
∴－4（m－3）＝6（4－m），解得m＝6
∴A（3，－4），将A（3，－4）代入y＝，得到k＝－12
∴反比例函数解析式为y＝－．………………2分
（2）由（1）可知A（3，－4），B（－2，6），由得到ax＋b≥，根据图象可知，ax＋b≥的解集为x≤－2或0＜x≤3
故由ax≥－b的解集为x≤－2或0＜x≤3……………4分
（3）四边形ABCD是正方形．……………5分
理由：由点C的横坐标为－12，可得点C（－12，1），线段BC沿BA平移到线段AD位置，可得BC//AD，BC＝AD，所以四边形ABCD是平行四边形．
过点A，C分别作x轴的垂线AG，FH，（即AG⊥x轴，FH⊥x轴）过点B作x轴的平行线FG．
∴AG∥FH，
∴FG⊥CF，FG⊥AG．
∴G（3，6），F（－12，6）．
由坐标可知AG＝BF，BG＝CF，
∴△BCF≌△ABG．∴BC＝AB，∠CBF ＝∠BAG．
∴四边形ABCD是菱形．
∵∠BAG ＋∠ABG＝90°，
∴∠CBF ＋∠ABG＝90°．
∴∠ABC＝90°．
∴四边形ABCD是正方形．…………………………8分
20解：（1）m＝1000－10x…………………………2分
（2）设销售单价为x元/盏
由题意，得8000＝（1000－10x）（x－40）＝－10x2＋1400x－40000，
解得：．
答：销售单价应定为60元或80元．………………5分
（3）设月销售利润y元，销售单价x元/盏，可列函数为
y＝（x－40）（1000－10x）＝－10x2＋1400x－40000，
整理得y＝－10（x－70）2＋9000
∵－10＜0，∴当x＝70时，y有最大值，最大值为9000，
∴当销售单价定为70元时获得利润最大，最大利润是9000元．……………8分
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21.（1）证明：∵BD＝AD，∠BDA＝90°，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°
∵DC∥AB，
∴∠ABD＝∠BDC＝45°，
∵∠BEC＝45°，
∴∠BEC＝∠BDC．
∵∠BFE＝∠CFD，
∴△FBE∽△FCD．…………3分
（2）证明：∵△FEB∽△FDC，
∴
∵∠DFE＝∠CFB，
∴△FED∽△FBC．
∴∠CED＝∠DBC．
∵∠DEB＝∠CED＋∠CEB＝∠A＋∠ABE，∠CEB＝45°＝∠A，
∴∠CED＝∠ABE．
∴∠ABE＝∠DBC．……………6分
（3）解：∵AD＝BD，AD⊥DB，AB＝6，
∴AD＝．
∵ED＝2AE，
∴AE＝．
∴点E到AB的距离为1
∴．
∵∠ABE＝∠DBC；∠BDC＝45°＝∠A，
∴△BAE∽△BDC．
，即．
．……………………9分
22.解：（1）原函数可化为y＝k（x－1）（x－5），可得该函数图象恒过两点A（1，0），B（5，0），故定点为A（1，0），B（5，0）．…………………2分
（2）y＝－kx2＋6kx－5k（1≤x≤5）．…………4分
（3）①∵△ABP的面积为8，∴，∴k＝±1
∵k＞0，∴k＝1，∴图象W向上翻折部分的函数解析式为y＝－x2＋6x－5（1≤x≤5）．
∵1≤x≤4，顶点在AB之间的图象上，该段抛物线开口向下，对称轴为直线x＝3，
∴当x＝3时，；当x＝1时，y的最小值为0
∴在图象W中，y的取值范围为0≤y≤4……………………………………6分
②若直线y＝m与图象W从左到右依次交于C，D，E，F四点，则y＝x2－6x＋5图象与直线y＝m交于点C，F，可得x2－6x＋5＝m，则CF＝；y＝－x2＋6x－5与直线y＝m交于点D，E，则－x2＋6x－5＝m，则DE＝．
∵CD＝DE＝EF，
∴CF＝3DE，即，
两边平方解得m＝．……………………9分
六、解答题（本大题共12分）
23.解：（1）①②………2分
（2），直线CF与BG的夹角是30°．………………4分
证明：如图1，连接AC，AF．
∵四边形ABCD为矩形，CD＝BC－4，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，
∴AC＝8，
∴∠BAC＝30°，．
∵．
∴
∴
∴△ACF∽△ABG．
∴．……………………6分
图1 图2
如图2，设直线CF与BG交于点N，AC与BG交于点M．
∵△ACF∽△ABG，
∴∠ABG＝∠ACF．
在△ABM和△CMN中，
∵∠AMB＝∠CMG，∠BAC＝30°，
∴∠BNC＝∠CAB＝30°．……………7分
（3）①如图3.因为AC＋AE≤CE，当C，A，E三点共线时，AC＋AE＝CE，CE的长度最大．
由（2）知BC＝4，AC＝8，AE＝2，EF＝，
∴
∵，
∴．……………………9分
图3 图4
②如图4，将AP绕着点A顺时针旋转30°，且使AK＝AP，连接PK．根据△APK边角关系，可得PK＝AP；同理将AF绕着点A顺时针旋转30°，得到AL，且使AL＝AF，连接LK．根据旋转，可得∠PAF＝∠KAL，根据两边对应成比例且夹角相等可得△APF∽△AKL．
∴KL＝PF．
∵CP＋PK＋KL≥CL，即 CP＋AP＋PF≥CL．
∴当C，P，K，L四点共线时，CL最小，
由题意可知∠LAC＝150°，AF＝4，AC＝8，AL＝4，过点L作LQ垂直CA的延长线于点Q，可得∠LAQ＝30°，
∴QL＝2，AQ＝6
在Rt△CLQ，根据勾股定理得CL＝，
∴ CP＋AP＋PF的最小值为．……12分
经过路口的电动自行车数量/辆
180
230
300
260
240
280
自觉佩戴头盔人数/人
171
216
285
250
228
266
自觉佩戴头盔的频率
0.95
0.94
0.95
0.96
0.95
m
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）