邵阳市第二中学2024届高三下学期入学考试数学试卷(含答案)

这是一份邵阳市第二中学2024届高三下学期入学考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2．对于两条不同的直线m,n和两个不同的平面,,以下结论中正确的是( )
A.若,,m,n是异面直线,则,相交
B.若,,,则
C.,,m,n共面于,则
D.若,,,不平行,则m,n为异面直线
3．已知,则( )
A.B.C.D.3
4．在1859年的时候,德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题,也就是著名的黎曼猜想.在此之前,著名数学家欧拉也曾研究过这个问题,并得到小于数字的素数个数可以表示为的结论.若根据欧拉得出的结论,估计以内的素数的个数为( )(素数即质数,,计算结果取整数)
A.2172B.4343C.869D.8686
5．已知函数,若a,b,c均不相等,且,则abc取值范围是( )
A.B.C.D.
6．在中,已知,,D为BC的中点,则线段AD长度的最大值为( )
A.1B.C.D.2
7．下列结论正确的有( )
A.若随机变量,则
B.若随机变量,,则
C.96,90,92,92,93,93,94,95,99,100的第80百分位数为96
D.将总体划分为2层,通过分层随机抽样,得到两层的样本平均数和样本方差分别为,和,,若,则总体方差
8．在中,,则下列说法一定正确的是( )
A.若,则是锐角三角形B.若,则是钝角三角形
C.若,则是锐角三角形D.若,则是钝角三角形
二、多项选择题
9．阿基米德(公元前287年——公元前212年)是古希腊伟大物理学家,数学家,天文学家,不仅在物理学方面贡献巨大,还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点A,B处的切线交于点P,称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为F,过A,B两点的直线的方程为,关于“阿基米德三角形”,下列结论正确的是( )
A.B.
C.点P的坐标为D.
10．如图,在正三棱柱中,,D为棱BC的中点,点E,F分别在棱,上,当取得最小值时,则下列说法正确的是( )
A.B.EF与平面ABC所成角的正切值为
C.直线AD与EF所成角为D.
11．已知函数,的定义域均为R,它们的导函数分别为,,且,,若是偶函数,则下列正确的是( ).
A.
B.的最小正周期为4
C.是奇函数
D.,则
三、填空题
12．某公司员工小明上班选择自驾,坐公交车,骑共享单车概率分别为,,,而他自驾,坐公交车,骑共享单车迟到的概率分别为,,,结果今天他迟到了,在此条件下,他自驾去上班的概率为________.
13．已知常数b,,若函数为偶函数,则___________.
14．如图,已知双曲线的左､右焦点分别为,,过的直线与C分别在第一､二象限交于A,B两点,内切圆半径为r,若,则C的离心率为__________.
四、解答题
15．一动圆经过点且与直线相切,设该动圆圆心的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程;
（2）若直线l与C交于A,B两点,且线段AB的中点坐标为,求直线l的方程.
16．如图,斜三棱柱中,底面是边长为a的正三角形,侧面为菱形,且.
（1）求证:;
（2）若,三棱柱的体积为24,求直线与平面所成角的正弦值.
17．当前,新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起,以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展,现收集某地近5年区块链企业总数量相关数据,如下表
（1）根据表中数据判断,与(其中…为自然对数的底数),哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量?,并根据你的判断结果求y关于x的回归方程;
（2）为了促进公司间的合作与发展,区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛,邀请甲,乙,丙三家区块链公司参赛.比赛规则如下:①每场比赛有两个公司参加,并决出胜负;②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛;③在比赛中,若有一个公司首先获胜两场,则本次比赛结束,该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”.已知在每场比赛中,甲胜乙的概率为,甲胜丙的概率为,乙胜丙的概率为,若首场由甲乙比赛,求甲公司获得“优胜公司”的概率.
参考数据:,,,（其中）.
附:样本的最小二乘法估计公式为,.
18．已知函数.
（1）若,求的单调区间;
（2）若时恒成立,求实数a的取值范围.
（3）定义函数,对于数列,,若,,则称为函数的“生成数列”,为函数的一个“源数列”.
①已知,为函数“源数列”,求证:对任意正整数n,均有;
②已知,为函数的“生成数列”,为函数的“源数列”,与的公共项按从小到大的顺序构成数列,试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由.
19．设是一个关于复数z的表达式,若(其中x,y,,,i为虚数单位),就称f将点“f对应”到点.例如将点“f对应”到点.
（1）若点“f对应”到点,点“f对应”到点,求点,的坐标;
（2）设常数k,,若直线,,是否存在一个有序实数对,使得直线l上的任意一点“对应”到点后,点Q仍在直线l上?若存在,试求出所有的有序实数对;若不存在,请说明理由;
（3）设常数a,,集合且和且,若满足:①对于集合D中的任意一个元素z,都有;
②对于集合A中的任意一个元素,都存在集合D中的元素z使得.请写出满足条件的一个有序实数对,并论证此时的满足条件.
参考答案
1．答案：A
解析：因为,所以,此时;
因为,所以或;
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
2．答案：C
解析：
3．答案：C
解析：由得,
即,解得.
4．答案：D
解析：由题意可知:,
故选:D.
5．答案：C
解析：不妨设,
作出的图象,如图所示:
由图象可知,由得,即
,则,
,
所以,abc的取值范围是.
故选:C.
6．答案：C
解析：由余弦定理得,
即,即,
所以,
,当且仅当时等号成立.
因为,
所以,
,
故选:C.
7．答案：B
解析：
8．答案：D
解析：在中,设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,
则由,
可得,
即,
当,时,A,B,C均为锐角;
当,时,A为钝角,B,C为锐角;
当,时,C为钝角,A,B为锐角;
当,时,B为钝角,A,C为锐角;
综上,选项D正确.
故选:D.
9．答案：ABD
解析：由,消去x得,,,
解得,,
可得,故A正确;
由,得,,则,,
,故,故B正确;直线PA的方程为,直线PB的方程为,联立方程可得交点,故C错误;,,,故,故D正确.故选:ABD.
10．答案：ACD
解析：在正三棱柱中,其侧面展开图如图:
当取得最小值时,在侧面展开图中连接,分别为交,于点E,F,
由相似可知,点E,F分别为,的三等分点,
对于A:如图所示,
过点E作交于点H,
由勾股定理得,,
因为,,
所以,A正确;
对于B,且,
所以四边形FHBE为平行四边形,
所以,
所以EF与平面ABC所成的角即为BH与平面ABC所成的角,
因为平面ABC,
所以为BH与平面ABC所成的角.
又因为且H为三等分点,
所以,B错误;
对于C:在正三棱柱中,平面ABC,
因为平面ABC,
所以,
又因为且点D为中点,
所以,
因为,平面,
平面,
所以平面,
而平面,
所以,
所以直线AD与EF所成角为,C正确;
对于D:,,
取的中点,
连接,
则,,
所以点F到平面的距离为CD,点E到平面的距离为BD,
因为,
所以,
即,
D正确.
故选:ACD.
11．答案：ABD
解析：A选项,为偶函数,故,两边求导得,,令得,解得,A正确;
B选项,因为,,所以①,因为,所以②,则①②相减得,③,又④,则③④相减得,即,
又,故的最小正周期为4,B正确;
C选项,假如为奇函数,则,当时,可得,但,当可得,
显然不满足要求,故不是奇函数,C错误;
D选项,因为,所以,
又,故,
由B选项得,故,解得,且,
由B选项知的一个周期为4,故,
所以,
则,D正确.
故选:ABD.
12．答案：
解析：设小明迟到为事件A,小明自驾为事件B,
则,
,
则在小明迟到的条件下,他自驾去上班的概率为,
故答案为:.
13．答案：
解析：根据题意,若函数为偶函数,则,
即,
变形可得:,
则有,解可得:,;
则,
故答案为:.
14．答案：
解析：如图,
设,内切圆圆心为I,内切圆在,,AB上的切点分别为U,V,W,则,,,
由及双曲线的定义可知,
,,,
故四边形是正方形,得,于是,
故,得,
于是,
在中,由余弦定理可得:,
从而,.
15．答案：（1）
（2）.
解析：（1）设动圆半径为r,圆心为P,
则,点P到直线的距离为.
又点不在直线上,
所以动圆圆心P的轨迹是以为焦点,
为准线的抛物线,
所以曲线C的方程为.
（2）设,,则,
两式相减得,即,
因为线段AB的中点坐标为,
所以,则,即直线l的斜率为,
所以直线l的方程为,即.
16．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明:取AB中点O,连接,CO,由题知为正三角形,又也是正三角形,,,又,平面,,
平面,又平面,平面,
;
（2）,,
由余弦定理得,,
,又,
,,
又AB,平面ABC,,
,
平面ABC,,CO,AB两两垂直,
以O为原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
因为三棱柱的体积为,则,
则,,,,,
,,
设平面的法向量为,由,
令,则,,即,
直线与平面所成的角为,
则,
直线与平面所成角的正弦值为.
17．答案：（1）适宜;
（2）
解析：（1）根据表中数据适宜预测未来几年我国区块容企业总数量,
,
,
令,则,
,
,
由公式计算可知,
,
,即.
（2）设事件“甲公司获得“优胜公司”",事件“在一场比赛中,甲胜乙",
事件“在一场比赛中,甲胜丙”,事件“在一场比賽中,乙胜丙”,
则,,,,
因为A,B,C,,,,两两独立,AB,,两两互斥,
由概率的加法公式与乘法公式得
所以甲公司获得“优胜公司”的概率为.
18．答案：（1）单调递增区间为和,单调递减区间为.
（2）
（3）①证明见解析;②假设不成立,即不存在连续三项构成等比数列,理由见解析.
解析：（1）当时,,,令,则,解得或,
当时,;
当时,;
所以的单调递增区间为和,单调递減区间为.
（2）,
令,依题意,当时,恒成立,
由,得,,
又因为,所以,
当时,,所以在单调递增,
,不合题意;
当时,令,解得,
当时,;当时,;
所以在单调递增,在单调递减.
若要使恒成立,则需,解得,
故此时;
当时,,
所以在单调递减,
所以,符合题意;
综上,实数a的取值范围为.
（3）①,,故,
构造函数,,则,
函数在上单调递增,,故在恒成立,
单调递增,故,即,,
当时,,
综上所述:恒成立,即.
②,则,.
设,即,则,
设函数,函数单调递增,对于任意,有唯一的与之对应,
即数列中每一项,都有中的项与之相等,单调递增,
故,
假设数列中存在连续三项构成等比数列,,,,
故,整理得到,无正整数解.
故假设不成立,即不存在连续三项构成等比数列.
19．答案：（1）,
（2）
（3）,证明见解析
解析：（1）由知,则,故,设,则,
由知,,则,,即;
（2）直线l上的任意一点“对应”到点,
所以,,且,
所以,,即,
由题意,点仍在直线l上,
则,又,
则,
展开整理得,
则,
所以,所求的有序实数对为;
（3）满足条件的一个有序实数对为,
即,,,证明如下:
证明:设,x,且,
则,
,
因为,
所以,,
即,满足条件①;
设,m,且,即,得,
由得,
则
,
则,满足条件②,
综上,满足条件的一个有序实数对为.
年份
2017
2018
2019
2020
2021
编号x
1
2
3
4
5
企业总数量y(单位:千个)
2.156
3727
8.305
24.279
36.224