吉林省梅河口市第五中学2023-2024学年高三上学期开学考数学试题

高三上数学开学考

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.

2．答题时请按要求用笔.

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集U＝R，A＝{x|0＜x≤3}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

A. {x|1≤x＜3} B. {x|1＜x≤3} C. {x|1＜x＜3} D. {x|1≤x≤3}

2. 已知（为虚数单位）是纯虚数，则（    ）

A.  B. 0 C. 1 D. 2

3. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，若都是直角圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ）

A.  B.

C.  D.

6. 已知集合A＝{x∈N|x2＜8x}，B＝{2，3，6}，C＝{2，3，7}，则＝（    ）

A {2，3，4，5} B. {2，3，4，5，6}

C. {1，2，3，4，5，6} D. {1，3，4，5，6，7}

7. 已知复数z，则复数z的虚部为（    ）

A.  B.  C. i D. i

8. 已知集合A＝{y|y}，B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}，则∁R（A∩B）＝（    ）

A. [0，） B. （﹣∞，0）∪[，+∞）

C. （0，） D. （﹣∞，0]∪[，+∞）

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

9. 近年来､新冠疫情波及到千家万户，人们的生活方式和习惯不得不发生转变，短视频成了观众空闲时娱乐活动的首选．某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效样本4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（    ）

A. 图中

B. 在4000份有效样本中，短视频观众年龄在10~20岁的有1320人

C. 估计短视频观众的平均年龄为32岁

D. 估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁

10. 已知函数的图像关于直线对称，则（    ）

A. 满足

B. 将函数的图像向左平移个单位长度后与图像重合

C. 若，则的最小值为

D. 若在上单调递减，那么的最大值是

11. 已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则有（    ）

A. 长度的最小值为

B. 不存在点使得为

C. 当最小时，直线的方程为

D. 若圆与轴交点为，则的最小值为28

12. 已知直三棱柱中，是的中点，为的中点．点是上的动点，则下列说法正确的是（    ）

A. 无论点在上怎么运动，都有

B. 当直线与平面所成的角最大时，三棱锥的外接球表面积为

C. 若三棱柱，内放有一球，则球的最大体积为

D. 周长的最小值

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 《易经》是中国传统文化中精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（""表示一根阳线，""表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______.

14. 设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于两点，为的实轴长的2倍，则双曲线的离心率为________.

15. 已知椭圆的离心率是，若以为圆心且与椭圆C有公共点的圆的最大半径为，此时椭圆C的方程是______________.

16. 已知函数，若对于任意正实数，均存在以为三边边长的三角形，则实数k的取值范围是_______.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 设等差数列的前n项和为，已知，各项均为正数的等比数列满足．

（1）求数列与的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

18. 已知数列中，，是公差为等差数列.

（1）求通项公式；

（2）若，为数列的前项和，证明：.

19. 已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数，使得，证明：.

20. 在中，内角的边长分别为，且．

（1）若，，求的值；

（2）若，且的面积，求和的值．

21. 已知函数.

（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）当时，要使恒成立，求实数的取值范围.

22. 某公园有一块边长为3百米的正三角形空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道将分成面积之比为的两部分（点D，E分别在边，上）；再取的中点M，建造直道（如图）.设，，（单位：百米）.

（1）分别求，关于x的函数关系式；

（2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.

1-5 DADCB  5-8 CBD   9 CD     10 ABC    11 BD   12 ABD

【13题答案】

【答案】

【14题答案】

【答案】

【15题答案】

【答案】

【16题答案】

【答案】

17

【答案】（1），   

（2）

【18题答案】

【答案】（1）   

【19题答案】

【答案】（1）当时，在上递增，在上递减；

当时，在上递增，在上递减，在上递增；

当时，上递增；

当时，在上递增，在上递减，在上递增；

（2）证明见解析

【20题答案】

【答案】（1）；（2）

【21题答案】

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【22题答案】

【答案】（1），.，.

（2）当百米时，两条直道的长度之和取得最小值百米.