新教材同步备课2024春高中数学第6章计数原理6.2排列与组合6.2.3组合6.2.4组合数第1课时组合与组合数公式教师用书新人教A版选择性必修第三册

6.2.3　组合6.2.4　组合数第1课时　组合与组合数公式高考不分文理科后，思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6大科目是选考的，如果考生可以从中任选3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种可能的情况呢？如果用{思想政治，历史，地理}表示其中一种选考的组合，你能用类似的方法表示出所有的组合方式吗？你有更简单的表示方法吗？知识点1　组合的概念一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．1．怎样理解组合，它与排列有何区别？[提示]　(1)组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．(2)取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的特点．(3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则就是组合问题．知识点2　组合数及组合数公式1．组合数的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示．2．组合数公式乘积式：＝(n，m∈N*，并且mn)．阶乘式：＝(n，m∈N*，并且mn)．规定：＝1．2．“组合”与“组合数”是同一概念吗？它们有什么区别？[提示]　“组合”与“组合数”是两个不同的概念，组合是指“从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素作为一组”，它不是一个数，而是具体的一组对象；组合数是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．1．(多选)下列选项是组合问题的是(　　)A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学去参加两个社区的人口普查，有多少种不同的选法B．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学，有多少种不同的选法C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法D．4本相同的书分给4名同学，每人一本，有多少种分配方法BD　[AC与顺序有关，是排列问题，BD与顺序无关，是组合问题．]．＝________；－＝________．(1)15　(2)9　[＝15．－＝12－3＝9．]3．已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为________．ab，ac，ad，bc，bd，cd　[可按a→b→c→d顺序写出，即所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd．] 类型1　组合的概念【例1】　判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？[解]　(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．(4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题．　判断一个问题是不是组合问题的方法技巧区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，与顺序有关即为排列问题，与顺序无关为组合问题．[跟进训练]1．判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？(3)2023年元旦期间，某班10名同学互送贺年卡，表示新年的祝福，贺年卡共有多少张？[解]　(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．(3)甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题． 类型2　列举具体问题的组合【例2】　(源自湘教版教材)平面上有5个不同的点A，B，C，D，E，以其中两个点为端点的线段共有多少条？[解]　如图所示，以A为端点，到其余四点的线段有4条：AB，AC，AD，AE．A不是端点，以B为端点之一，到其余三点的线段有3条：BC，BD，BE；A，B都不是端点，C为端点之一，到其余两点的线段有2条：CD，CE；A，B，C都不是端点，剩下两点D，E为端点的线段只有1条：DE．共有4＋3＋2＋1＝10(条)不同的线段．　写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照“顺序后移法”或“树形图法”逐个将各个组合表示出来．[跟进训练]2．已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合．[解]　可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE． 类型3　利用组合数公式化简、求值与证明　利用组合数公式化简、求值【例3】　计算：＋；－；(3)已知，求．[解]　＋＝35＋35＝70．－×1－1＝252－1＝251．(3)由，∴1－，即n2－23n＋42＝0，解得n＝2或n＝21，又0≤n≤5，∴n＝2，∴＝＝28．　利用组合数公式证明【例4】　求证：．[证明]　因为右边＝＝＝左边，所以原等式成立．　(1)两个组合数公式在使用中的用途有所区别．(2)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即中的n为正整数，m为自然数，且n≥m．因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，将不符合的解舍去．[跟进训练]3．计算：－．[解]　－＝720－120＝600．4．求证：．证明：因为＝＝n·，所以原等式成立． 类型4　简单的组合问题【例5】　现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？[解]　(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即＝45(种)．(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有种方法；第2类，选出的2名是女教师有种方法．根据分类加法计数原理，共有＋＝15＋6＝21(种)不同的选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有种，从4名女教师中选2名的选法有种．根据分步乘法计数原理，共有不同的选法＝15×6＝90(种)．　解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关；其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．[跟进训练]5．一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练有多少种方法做这件事情？[解]　(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为＝12 376．(2)教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有种选法；第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有种选法．所以教练做这件事情的方法种数为＝136 136．1．以下四个选项，属于组合问题的是(　　)A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地C　[从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．]2．计算：＋＝(　　)A．8　　　B．10　　　C．12　　　D．16B　[＋＋4＝6＋4＝10．]3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有(　　)A．种　　　　B．种　　　　C．种　　　　D．30种B　[三张票没区别，从10人中选3人即可，即．]4．若，则n＝________．3　[由，得2n(2n－1)(2n－2)(2n－3)＝120×，即n2－2n－3＝0，解得n＝－1或n＝3，因为n≥2，所以n＝3．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．你能写出本节课学习的公式吗？[提示]　(n，m∈N*，且m≤n)；②＝；④＋＝．2．区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么？[提示]　关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题．3．写组合时可采取什么方法？[提示]　可采用“顺序后移法”或“树形图法”．把相同物品分给不同对象的分法种数把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，共有多少种不同的分法？由于每个篮球都相同，因此只要指出每人所得篮球的个数即可，比如，甲得2个、乙得3个、丙得3个、丁得0个，就是一种满足条件的分法．可能有人会想到通过列举来求解上述问题，但是，经过简单的尝试之后，你就会发现，这个问题可能比想象中的难．注意到每一种满足条件的分法本质上就是把8个球分为了4堆，为此可借助3块隔板来实现．例如，前述满足条件的分法可以用图1表示，其中第一块隔板前的篮球是分给甲的，第一块和第二块隔板之间的篮球是分给乙的，第二块和第三块隔板之间的篮球是分给丙的，第三块隔板后的篮球是分给丁的．容易知道，任何一种类似图1的排列都对应一种分法，例如，图2对应的分法为：甲得1个，乙得0个，丙得0个，丁得7个．这样一来，问题就转化为8个相同的篮球和3块相同的隔板，可以有多少种不同的排列方法．因为总共有8＋3＝11个位置，而且我们只需要从这11个位置中选出3个放置隔板(其余放置篮球)即可，因此不同的排列方法种数为＝165．也就是说，我们有165种不同的分法．有意思的是，如果设甲、乙、丙、丁4人所得篮球个数分别为x1，x2，x3，x4，则不难看出，我们得到了方程x1＋x2＋x3＋x4＝8的非负整数解(x1，x2，x3，x4)个数为165．类似地，可以得到把n个相同的物品分给r个不同对象的方法数(其中r和n均为正整数)，也就是方程x1＋x2＋…＋xr＝n的非负整数解(x1，x2，…，xr)的个数，请自己尝试一下吧！课时分层作业(六)　组合与组合数公式一、选择题1．已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为(　　)A．3 B．4　　 　C．12　 D．24B　[由于与顺序无关，所以是组合问题，共有4个：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD．]2．下列计算结果为21的是(　　)A．＋　　　B．　　　C．　　　　D．D　[]3．(多选)给出下列问题，属于组合问题的有(　　)A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法B．有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法C．某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种D．从2，3，5，7，11中任选两个数相乘，可以得到多少个不同的积BCD　[对于A，从3名同学中选出2名同学后分配到两个乡镇，涉及顺序，是排列问题；对于B，从7人中选出4人观看不涉及顺序，是组合问题；对于C，射击命中不涉及顺序，是组合问题；对于D，乘法满足交换律，两数相乘的积不涉及顺序，是组合问题．故选BCD．]4．若，则m等于(　　)A．9 B．8C．7 D．6C　[由已知得m(m－1)(m－2)＝6×，解得m＝7．]5．(多选)下列等式正确的有(　　)A．B．C．D．＝AC　[ A是组合数公式，正确；，B错误；由＝，得C正确；D错误．]二、填空题6．不等式＜的解集为________．{5，6，7，8，9，10，11}　[将原不等式化简得，＜，易知x≥5，整理得x2－11x－12