中考数学复习指导：运用网格正方形解题举例

这是一份中考数学复习指导：运用网格正方形解题举例，共4页。试卷主要包含了比较大小，设计方案，巧求面积，求值，确定直线，妙求角度等内容，欢迎下载使用。
一、比较大小
例1 比较＋2＋与6的大小．
解析 如图1，由数字6想到可以构造出边长为6的正方形，并分成网格状．
由勾股定理找出线段
根据线段公理“两点之间，线段最短” AB＋BC＋CD＞6，
即＋2＋>6．
点评，从数字的特征（含根号的无理数）联想到与这些数字相关的图形——直角三角形，这样来构造方网格，促使数向形转化．
二、设计方案
例 一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得两条小路将草地分成的四部分面积相等，你有多少种方法？
解析 一般同学都能想到过正方形的对称中心作两条互相垂直的直线．若借用网格正方形，把草地平分成16块均等的小正方形，再作面积等于4的图形，经过旋转或轴对称，便得到形状各异的符合题意的方案（图略）．
点评 用方网格将面积数量化，从定量
的角度快速找出各种各样的方案，可有效防
止思维定势，从而拓展解题思路，如果借用更
密的网格就以得到更多的方案，大家再试试
看．
三、巧求面积
例3 已知△ABC的三边长分别为，，，，求这个三角形的面积．
解析 解题的通法是作高，将三角形分成两个直角三角形，再运用勾股定理构造方程求解，但计算量大，由三角形的三边都是无理数，想到构造正方形网格，画出符合条件的三角形，用割补法解题能起到事半功倍的效果．
如图2，构造正方形网格，每个小正方形边长为1．由勾股定理，知

点评 由“数”建立网格正方形，再通过“形”简捷地解决问题，起到数形结合，互不可分的效果．
四、求值
例4 计算13＋23＋33＋…＋503的值．
解析 直接计算显然不可取，利用数形结合法——构造正方形网格，可使计算简捷
易行．如图3所示的正方形，左上方第一层小网格个数12＝13，左上方第一、二层的小网格总个数为
点评 此处利用网格正方形形象而直观地计算出较为复杂的算式，体现了数与形之间的和谐统一．也印证了德国数学家希尔伯特的一句名言：“算术是写下来的图形，几何是画下来的公式”．
五、确定直线
例5 六个面上分别标有1,1,2,3,3,5六个数字的均匀立方体的表面展开图，如图5所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标．按照这样的规定，每掷一次该小立方体，就得到平面内一个点的坐标．已知小敏前两次掷得的两个点能确定一条直线L，且这条直线L经过点P(4，7)，那么，他第三次掷得点也在直线L上的概率是( )．
（A）（B）（C）（D）
解析 根据图4的表面展开图，想象出
立方体模型．易知相对的三组面的数字对应
为：表面展开图中左边的1与右边的1对应，由上向下第二个3与5对应，顶上的3与2对应．投掷立方体得到平面内点的坐标有6种可能：(1，1)、(1，1)、(3，5)、(5，3)、(3，2)、(2，3)．再看这些点是否在某条直线上，找出直线L是解题的关键．
因为P(4，7)在直线L上，由“两点确定一条直线”，只须再找出另一点即可，建立如图5的网格，把六个点逐一描出，很直观地看出点(1，1)、(2，3)、(3，5)、(4，7)都在同一直线上，即这条直线为L，故第三次掷得的点在直线L上的概率P＝＝，选A．
点评 此处借用网格正方形描点，可直观看出这些点是否在同一条直线上，避免了
繁琐的计算，为准确计算概率扫清了思维障碍．
六、妙求角度
例6 已知α、β均为锐角，且tanα＝，tanβ＝，求α＋β的度数．
解析 如果用初中的三角函数的知识来解决问题，比较困难．由锐角三角函数的定义，构造出∠α,∠β，放置在正方形网格中，并把这两个角集中在一处，找出全等三角形，问题得以解决．
如图6 的正方形网格中，每个小正方形边长都为1，若∠ABF＝α，∠CBF＝β，则tan α＝，tanβ＝，只需求∠4BC的度数即可．
点评 根据锐角三角函数的定义，结合网格正方形的特征，构造出∠α、∠β，利用三角形全等进行解题，显得别致而简洁．