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最新中考数学压轴大题之经典模型 专题18 中点四大模型-【压轴必刷】
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今天整理了初三中考总复习阶段在教学过程中收集的经典题目，一共有31讲，包括原卷版和解析版，供大家学习复习参考。
经典题目1：这是一道非常经典的最值问题，最值模型将军饮马和一箭穿心。
经典题目2：上面三道题是费马点经典问题，旋转转化是费马点问题的关键。
经典题目3：阿氏圆经典题目，这道题目实际包括了隐圆模型，一箭穿心模型等常见几何模型。
经典题目4：这是中考出现频率比较高的胡不归问题，也是经典最值问题。
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题18中点四大模型
解题策略
经典例题
【例1】（2022·江苏·南通市通州区育才中学八年级阶段练习）已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
(1)如图1，求证：AD=CE；
(2)如图2，点O为AB的中点，连接OD，OE．请判断△ODE的形状？并说明理由．
【例2】（2022·重庆市合川中学九年级阶段练习）在△ABC中，∠ABC=45°，D为BC上一动点．
(1)如图1，当∠ADC=75°时，若AB=3+3，求AD的长；
(2)如图2，当AC=AD时，点P为AB的中点，且AB=2CD，求证：AC=PC；
(3)如图3，在（2）的条件下，将△BCP绕点P旋转180°，得到△AC′P，连接DC′，直接写出CC′C′D的值．
【例3】（2022·河南·嵩县教育局基础教育教学研究室一模）如图，Rt△ABC的中，∠BAC=90°，AB=4cm，AC=3cm，点G是边AB上一动点，以AG为直径的⊙O交CG于点D，E是边AC的中点，连接DE．
(1)求证：DE与⊙O相切；
(2)填空：
①当AG=___________cm时，⊙O与直线BC相切；
②当点G在边AB上移动时，△CDE面积的最大值是___________cm2
【例4】（2021·广西·南宁二中八年级期中）在平面直角坐标系中有一等腰三角形ABC，点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴上．
(1)如图1，点C在第一象限，若∠BAC=90°，A、B两点的坐标分别是A(0,4)，B(−2,0)，求C点的坐标；
(2)如图2，点C在x正半轴上，点E、F分别是边BC、AB上的点，若∠AEF=∠ACB=2∠OAE．求证：BF=CE；
(3)如图3，点C与点O重合时点E在第三象限，BE⊥AE，连接OE，求∠BEO的度数．
培优训练
一、解答题
1．（2021·湖北武汉·九年级阶段练习）△ABC中，BC=4，AC=6，∠ACB=m°，将△ABC绕点A顺时针旋转n°得到△AEF，E与B是对应点，如图1．
（1）延长BC、EF，交于点K，求证：∠BKE=n°；
（2）当m=150，n=60时，求四边形CEFA的面积；
（3）如图3．当n=150时，取BE的中点P和CF的中点Q，直接写出PQ2的值．
2．（2022·四川·石室中学八年级期中）已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：
(1)如图1，若点P在线段AB上，且AC=6+2，PA=2，求PB的长度；
(2)在（1）的条件下，猜想PA、PB、PQ三者之间的数量关系并证明；
(3)如图2，若点P在AB的延长线上，求证：PA2+PB2=PQ2．
3．（2022·广东·惠州市惠阳区朝晖学校九年级阶段练习）阅读理解：如图，等腰直角 △ABC 中，∠ABC=90∘，AB=BC，点 A，B 分别在坐标轴上．
(1)如图①，过点 C 作 CG⊥y 轴于点 G，若点 C 的横坐标为 5，求点 B 的坐标．
(2)如图②，将△ABC摆放至x轴恰好平分 ∠BAC，BC交x轴于点 M，过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D，求 CDAM 的值．
(3)如图③，若点A坐标为 (−4,0)，分别以 OB，AB 为直角边在第一、第二象限作等腰 Rt△OBF 与等腰 Rt△ABE，连接 EF 交 y 轴于点 P．当 B 点在 y 轴正半轴上移动时，PB的长度是否会发生改变？若改变，请说明理由，若不改变，请直接写出PB的长度．
4．（2022·河北·八年级期中）如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，AH是△ABC的高，BC=10cm，射线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB的方向以每秒2厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在射线CM上以每秒1厘米的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为tt>0s．
(1)请直接写出CD、CE的长度（用含有t的式子表示）：CD=______cm，CE=______cm；
(2)当点D到点H的距离为2cm时，求t的值；
(3)请直接写出当t=103s时，△ABD与△ACE是否全等？
5．（2022·江苏徐州·八年级期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是斜边AB的中点，点E、F分别在边AC、BC上，且DE⊥DF，垂足为D．
(1)如图1，当DE⊥AC时，DE、DF的大小关系是______；
(2)如图2，将∠EDF绕点D点旋转，（1）中的关系还成立吗？请说明理由；
(3)如图3，连接EF，试探究AE、BF、EF之间的数量关系，并证明你的结论．
6．（2022·湖北·武汉市黄陂区教学研究室八年级期中）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE．
(1)如图1，求证：BD=CE；
(2)如图2，当AD=CD时，过点C作CM⊥AD于点M，如果DM=2，求CD−BD的值．
7．（2022·浙江·杭州市大关中学九年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=30°,AB=10，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接CP,OP．
(1)求证：点D为BC的中点；
(2)求AP的长度．
8．（2022·湖北黄石·九年级期中）如图，△ABC中，AB=AC，AH⊥BC于H，BD⊥AC于D，AH，BD相交于点O，以O为圆心、OD为半径的⊙O交BC于点E、F，已知AD=6，BD=8．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)求⊙O的半径；
(3)求弦EF的长．
9．（2022·江苏·泰州中学附属初中八年级阶段练习）按要求作图．
(1)如图（1），在平行四边形ABCD中，AC为对角线，AC=BC,AE是△ABC的中线．
①在AD取一点F使得EF∥CD；（仅使用无刻度的直尺画图）．
②画出△ABC的高CH．（仅使用无刻度的直尺画图）．
(2)如图（2），四边形ABCD是平行四边形，在线段CD找一点E，使得BE平分∠AEC．（仅使用圆规画图）
10．（2022·湖南长沙·九年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O，与AB边相交于点D，与BC边相交于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)求证：点E是CD的中点；
(3)若⊙O的直径为18，BC=12，求AD的长．
11．（2022·广东·广州市白云区白云实验学校八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
(1)如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；
(2)点M是AC边上一个动点（不与点D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交射线DE于点G．请画出完整图形，探究MD，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．
12．（2022·福建·上杭县教师进修学校八年级期中）数学活动课上老师出示如下问题，供同学们探究讨论：如图，在△DEF中，DE=DF，点B在EF边上，且∠EBD=60°，C是线段BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在线段BE上截取BA=BC，连接AC ．试探究线段AE,BF,CD之间的数量关系．
小敏与同桌小聪经过深入的思考讨论后，进行了如下探究：
特殊入手，探索结论：
(1)①如图，若点C与点D重合，即线段CD=0，观察此时线段AE,BF之间的数量关系是AE=BF，即有：AE=BF+CD，请你说明AE=BF的理由；
特例启发，猜测结论：
②若点C不与点D重合，猜测线段AE,BF,CD之间的数量关系是___________，并给予证明；
完成上面的问题后，老师继续提出下列问题，请同学们探究讨论：
深入探究，拓展结论：
(2)在上面的问题中，若把“点C是线段BD上的一个动点”改为“点C是射线BD上的一个动点，其它条件都不变．”，则当点C在线段BD的延长线上时，请你用等式表示线段AE,BF,CD之间的数量关系（自行画图探究，直接写出结果，不需要证明）．
13．（2022·江苏常州·八年级期中）如图，△ABC中，AB=AC, AD、CE是高，连接DE．
(1)求证：DE=BD；
(2)若∠BAC=50°，求∠BED的度数．
14．（2022·广东·丰顺县第一中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，D为BC上任一点，DE⊥AB，垂足为E，M，N分别为AD，CE的中点．求证：MN⊥CE．
15．（2021·广西大学附属中学九年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与AC、BC分别交于点M、N，与AB的另一个交点为E，过点N作NF⊥AB，垂足为F．
(1)求证：NF是⊙O的切线；
(2)若NF=2，DF=1，求⊙O的半径和弦ED的长．
16．（2022·四川省成都市七中育才学校八年级期中）如图，四边形OABC是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点O与坐标原点重合，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为3,4，D的坐标为2,4，现将纸片沿过D点的直线折叠，使顶点C落在线段AB上的点F处，折痕与y轴的交点记为E．
(1)求点F的坐标和∠FDB的大小；
(2)在x轴正半轴上是否存在点Q，满足S△QDE=S△CDE，若存在，求出Q点坐标，若不存在请说明理由；
(3)点P在直线DE上，且△PEF为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
17．（2022·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）八年级期中）如图1，△ACB和△DCE均为等腰三角形，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE．点A，D，E在同一条直线上，连结BE．
(1)求证：AD=BE．
(2)如图2，若∠ACB=60°，求∠AEB的度数．
(3)若∠CEB=135°，CM为△DCE中DE边上的高．猜想线段CM,AE,BE之间存在的数量关系，并证明．
18．（2022·吉林白城·九年级期中）[操作]如图1．△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是其内部的一点，连接CD．将CD绕点（顺时针旋转90°得到CE，连接DE，作直线AD交BE于点F．
(1)求证：△ADC≌△BEC；
(2)求∠AFE的度数；
(3)[探究]如图2，连接图1中的AE，分别取AB、DE、AE的中点M、N、P，作△MNP．若BE=8，则△MNP的周长为
19．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD,DE与⊙O相切交AB的延长线于点E．
(1)求证：∠AED=∠ABC；
(2)点G是弧AB的中点，连接CG，过点B作BH⊥CG于点H，延长BH交AC于点P，求证：AP=2OH；
(3)在（2）的条件下，若BF=2,DF=10，求线段OH的长度．
20．（2022·浙江·杭州市采荷中学八年级期中）如图，△ABC中，BA=BC，CO⊥AB于点O，AO=6，BO=9．
(1)求BC，AC的长；
(2)若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连接OE．
①当点D在线段OB上时，若△AOE是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长；
②设直线DE交直线BC于点F，连接OF，CD，若S△OBF:S△OCF=1:4，则CD的长为______（直接写出结果）．
今天整理了初三中考总复习阶段在教学过程中收集的经典题目，一共有31讲，包括原卷版和解析版，供大家学习复习参考。
经典题目1：这是一道非常经典的最值问题，最值模型将军饮马和一箭穿心。
经典题目2：上面三道题是费马点经典问题，旋转转化是费马点问题的关键。
经典题目3：阿氏圆经典题目，这道题目实际包括了隐圆模型，一箭穿心模型等常见几何模型。
经典题目4：这是中考出现频率比较高的胡不归问题，也是经典最值问题。
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案
专题18中点四大模型
解题策略
经典例题
【例1】（2022·江苏·南通市通州区育才中学八年级阶段练习）已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
(1)如图1，求证：AD=CE；
(2)如图2，点O为AB的中点，连接OD，OE．请判断△ODE的形状？并说明理由．
【例2】（2022·重庆市合川中学九年级阶段练习）在△ABC中，∠ABC=45°，D为BC上一动点．
(1)如图1，当∠ADC=75°时，若AB=3+3，求AD的长；
(2)如图2，当AC=AD时，点P为AB的中点，且AB=2CD，求证：AC=PC；
(3)如图3，在（2）的条件下，将△BCP绕点P旋转180°，得到△AC′P，连接DC′，直接写出CC′C′D的值．
【例3】（2022·河南·嵩县教育局基础教育教学研究室一模）如图，Rt△ABC的中，∠BAC=90°，AB=4cm，AC=3cm，点G是边AB上一动点，以AG为直径的⊙O交CG于点D，E是边AC的中点，连接DE．
(1)求证：DE与⊙O相切；
(2)填空：
①当AG=___________cm时，⊙O与直线BC相切；
②当点G在边AB上移动时，△CDE面积的最大值是___________cm2
【例4】（2021·广西·南宁二中八年级期中）在平面直角坐标系中有一等腰三角形ABC，点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴上．
(1)如图1，点C在第一象限，若∠BAC=90°，A、B两点的坐标分别是A(0,4)，B(−2,0)，求C点的坐标；
(2)如图2，点C在x正半轴上，点E、F分别是边BC、AB上的点，若∠AEF=∠ACB=2∠OAE．求证：BF=CE；
(3)如图3，点C与点O重合时点E在第三象限，BE⊥AE，连接OE，求∠BEO的度数．
培优训练
一、解答题
1．（2021·湖北武汉·九年级阶段练习）△ABC中，BC=4，AC=6，∠ACB=m°，将△ABC绕点A顺时针旋转n°得到△AEF，E与B是对应点，如图1．
（1）延长BC、EF，交于点K，求证：∠BKE=n°；
（2）当m=150，n=60时，求四边形CEFA的面积；
（3）如图3．当n=150时，取BE的中点P和CF的中点Q，直接写出PQ2的值．
2．（2022·四川·石室中学八年级期中）已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：
(1)如图1，若点P在线段AB上，且AC=6+2，PA=2，求PB的长度；
(2)在（1）的条件下，猜想PA、PB、PQ三者之间的数量关系并证明；
(3)如图2，若点P在AB的延长线上，求证：PA2+PB2=PQ2．
3．（2022·广东·惠州市惠阳区朝晖学校九年级阶段练习）阅读理解：如图，等腰直角 △ABC 中，∠ABC=90∘，AB=BC，点 A，B 分别在坐标轴上．
(1)如图①，过点 C 作 CG⊥y 轴于点 G，若点 C 的横坐标为 5，求点 B 的坐标．
(2)如图②，将△ABC摆放至x轴恰好平分 ∠BAC，BC交x轴于点 M，过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D，求 CDAM 的值．
(3)如图③，若点A坐标为 (−4,0)，分别以 OB，AB 为直角边在第一、第二象限作等腰 Rt△OBF 与等腰 Rt△ABE，连接 EF 交 y 轴于点 P．当 B 点在 y 轴正半轴上移动时，PB的长度是否会发生改变？若改变，请说明理由，若不改变，请直接写出PB的长度．
4．（2022·河北·八年级期中）如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，AH是△ABC的高，BC=10cm，射线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB的方向以每秒2厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在射线CM上以每秒1厘米的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为tt>0s．
(1)请直接写出CD、CE的长度（用含有t的式子表示）：CD=______cm，CE=______cm；
(2)当点D到点H的距离为2cm时，求t的值；
(3)请直接写出当t=103s时，△ABD与△ACE是否全等？
5．（2022·江苏徐州·八年级期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是斜边AB的中点，点E、F分别在边AC、BC上，且DE⊥DF，垂足为D．
(1)如图1，当DE⊥AC时，DE、DF的大小关系是______；
(2)如图2，将∠EDF绕点D点旋转，（1）中的关系还成立吗？请说明理由；
(3)如图3，连接EF，试探究AE、BF、EF之间的数量关系，并证明你的结论．
6．（2022·湖北·武汉市黄陂区教学研究室八年级期中）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE．
(1)如图1，求证：BD=CE；
(2)如图2，当AD=CD时，过点C作CM⊥AD于点M，如果DM=2，求CD−BD的值．
7．（2022·浙江·杭州市大关中学九年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=30°,AB=10，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE，过点B作BP平行于DE，交⊙O于点P，连接CP,OP．
(1)求证：点D为BC的中点；
(2)求AP的长度．
8．（2022·湖北黄石·九年级期中）如图，△ABC中，AB=AC，AH⊥BC于H，BD⊥AC于D，AH，BD相交于点O，以O为圆心、OD为半径的⊙O交BC于点E、F，已知AD=6，BD=8．
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)求⊙O的半径；
(3)求弦EF的长．
9．（2022·江苏·泰州中学附属初中八年级阶段练习）按要求作图．
(1)如图（1），在平行四边形ABCD中，AC为对角线，AC=BC,AE是△ABC的中线．
①在AD取一点F使得EF∥CD；（仅使用无刻度的直尺画图）．
②画出△ABC的高CH．（仅使用无刻度的直尺画图）．
(2)如图（2），四边形ABCD是平行四边形，在线段CD找一点E，使得BE平分∠AEC．（仅使用圆规画图）
10．（2022·湖南长沙·九年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O，与AB边相交于点D，与BC边相交于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)求证：点E是CD的中点；
(3)若⊙O的直径为18，BC=12，求AD的长．
11．（2022·广东·广州市白云区白云实验学校八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
(1)如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；
(2)点M是AC边上一个动点（不与点D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交射线DE于点G．请画出完整图形，探究MD，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．
12．（2022·福建·上杭县教师进修学校八年级期中）数学活动课上老师出示如下问题，供同学们探究讨论：如图，在△DEF中，DE=DF，点B在EF边上，且∠EBD=60°，C是线段BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在线段BE上截取BA=BC，连接AC ．试探究线段AE,BF,CD之间的数量关系．
小敏与同桌小聪经过深入的思考讨论后，进行了如下探究：
特殊入手，探索结论：
(1)①如图，若点C与点D重合，即线段CD=0，观察此时线段AE,BF之间的数量关系是AE=BF，即有：AE=BF+CD，请你说明AE=BF的理由；
特例启发，猜测结论：
②若点C不与点D重合，猜测线段AE,BF,CD之间的数量关系是___________，并给予证明；
完成上面的问题后，老师继续提出下列问题，请同学们探究讨论：
深入探究，拓展结论：
(2)在上面的问题中，若把“点C是线段BD上的一个动点”改为“点C是射线BD上的一个动点，其它条件都不变．”，则当点C在线段BD的延长线上时，请你用等式表示线段AE,BF,CD之间的数量关系（自行画图探究，直接写出结果，不需要证明）．
13．（2022·江苏常州·八年级期中）如图，△ABC中，AB=AC, AD、CE是高，连接DE．
(1)求证：DE=BD；
(2)若∠BAC=50°，求∠BED的度数．
14．（2022·广东·丰顺县第一中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，D为BC上任一点，DE⊥AB，垂足为E，M，N分别为AD，CE的中点．求证：MN⊥CE．
15．（2021·广西大学附属中学九年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与AC、BC分别交于点M、N，与AB的另一个交点为E，过点N作NF⊥AB，垂足为F．
(1)求证：NF是⊙O的切线；
(2)若NF=2，DF=1，求⊙O的半径和弦ED的长．
16．（2022·四川省成都市七中育才学校八年级期中）如图，四边形OABC是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点O与坐标原点重合，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为3,4，D的坐标为2,4，现将纸片沿过D点的直线折叠，使顶点C落在线段AB上的点F处，折痕与y轴的交点记为E．
(1)求点F的坐标和∠FDB的大小；
(2)在x轴正半轴上是否存在点Q，满足S△QDE=S△CDE，若存在，求出Q点坐标，若不存在请说明理由；
(3)点P在直线DE上，且△PEF为等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
17．（2022·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）八年级期中）如图1，△ACB和△DCE均为等腰三角形，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE．点A，D，E在同一条直线上，连结BE．
(1)求证：AD=BE．
(2)如图2，若∠ACB=60°，求∠AEB的度数．
(3)若∠CEB=135°，CM为△DCE中DE边上的高．猜想线段CM,AE,BE之间存在的数量关系，并证明．
18．（2022·吉林白城·九年级期中）[操作]如图1．△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是其内部的一点，连接CD．将CD绕点（顺时针旋转90°得到CE，连接DE，作直线AD交BE于点F．
(1)求证：△ADC≌△BEC；
(2)求∠AFE的度数；
(3)[探究]如图2，连接图1中的AE，分别取AB、DE、AE的中点M、N、P，作△MNP．若BE=8，则△MNP的周长为
19．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校九年级期中）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD,DE与⊙O相切交AB的延长线于点E．
(1)求证：∠AED=∠ABC；
(2)点G是弧AB的中点，连接CG，过点B作BH⊥CG于点H，延长BH交AC于点P，求证：AP=2OH；
(3)在（2）的条件下，若BF=2,DF=10，求线段OH的长度．
20．（2022·浙江·杭州市采荷中学八年级期中）如图，△ABC中，BA=BC，CO⊥AB于点O，AO=6，BO=9．
(1)求BC，AC的长；
(2)若点D是射线OB上的一个动点，作DE⊥AC于点E，连接OE．
①当点D在线段OB上时，若△AOE是以AO为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的OD的长；
②设直线DE交直线BC于点F，连接OF，CD，若S△OBF:S△OCF=1:4，则CD的长为______（直接写出结果）．
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