3.3　反比例函数 习题精练+知识讲解 2024年河北版中考数学一轮复习课件

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2.反比例函数的图象与性质
易错提醒　在同一象限内,才能利用反比例函数的增减性比较函数值的大小.
2.在反比例函数y=- 的图象上有三点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),若x1>x2>0>x3,则 (    A    )A.y3>y1>y2　    B.y3>y2>y1C.y1>y2>y3　    D.y1>y3>y2
3.已知反比例函数y=- 的图象经过点(4,a),则a的值为　-     .
4.已知反比例函数y= (k≠0)的图象位于第二、四象限,则实数k的值可以是　-1(答案不唯一,只要k<0即可)    .(只需写出一个符合条件的实数)
考点2　反比例函数与一次函数的综合应用利用函数图象确定不等式ax+b> 或ax+b< (a≠0,k≠0)的解集如图,过交点A、B分别作x轴的垂线,它们连同y轴把平面分为四部分,分别标为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ.从图象可以看出,在Ⅰ、Ⅲ部分,反比例函数图象位于一次函数图象的上方,所以不等式ax+b< 的解集为x 的解集为xBxA    .
解题策略　关于反比例函数图象与一次函数图象的交点问题常联立两函数的解析式建立方程组 解决.反比例函数值与一次函数值的大小比较问题,常利用两函数图象解决.
5.如图,已知反比例函数y= (k1≠0)与一次函数y=k2x+b(k2≠0)的图象交于点A(1,8),B(-4,m)两点.(1)求k1,k2,b的值;(2)请直接写出不等式 ≤k2x+b的解集. 
解析    (1)k1=8,k2=2,b=6.(2)-4≤x<0或x≥1.
考点3　反比例函数与几何知识的综合应用
知识拓展　在同一直角坐标系中,若正比例函数与反比例函数图象有交点,则这两个交点关于原点 对称.
6.如图,在平面直角坐标系中,等腰三角形OAB的顶点A在反比例函数y= (k≠0)的图象上.若OA=AB=5,点B的坐标为(6,0),求反比例函数y= (k≠0)的表达式. 
考点4　反比例函数的实际应用
1.用反比例函数解决实际问题的一般步骤(1)根据实际问题建立反比例函数模型;(2)利用待定系数法确定函数解析式;(3)根据反比例函数的图象与性质解决实际问题.
2.常见的与反比例函数有关的数量关系
7.已知一艘轮船上装有100吨货物,轮船到达目的地后开始卸货,设平均卸货速度为v(单位:吨/时), 卸完这批货物所需的时间为t(单位:小时).(1)求v关于t的函数表达式; (2)若要求不超过5小时卸完船上的这批货物,则平均每小时至少要卸货多少吨?
一、反比例函数的图象与性质的应用例1    (2021山西)已知反比例函数y= ,则下列描述不正确的是 (　    )A.图象位于第一、三象限B.图象必经过点 C.图象不可能与坐标轴相交D.y随x的增大而减小答案    D解析    因为k=6>0,所以反比例函数的图象位于第一、三象限,故A中描述正确;
把 代入y= 成立,故B中描述正确;反比例函数的图象无限接近x轴,y轴,但不与坐标轴相交,故C中描述正确;对于反比例函数y= ,在每个象限内,y随x的增大而减小,故D中描述错误.故选D.
易错提醒　反比例函数中,y随x的大小变化的情况,应分x>0与x<0两种情况讨论,而不能笼统地说 成“k>0时,y随x的增大而减小”.
变式1(2021湖南郴州)在反比例函数y= 的图象的每一支曲线上,函数值y随自变量x的增大而增大,则m的取值范围是    m<3    .
解析　由题意得m-3<0,∴m<3.
二、应用反比例函数y= (k≠0)中k的几何意义解题的方法
方法归纳　在解决反比例函数图象与矩形面积(或直角三角形面积)的关系问题时,一定要注意y=  (k为常数,k≠0)的本质特征是两个变量y与x的乘积是一个常数k,x,y又与矩形的面积(或直角三角形的面积)有联系.
变式2(2022黑龙江齐齐哈尔)如图,点A是反比例函数y= (k<0,x<0)图象上一点,过点A作AB⊥y轴,交y轴于点D,且点D为线段AB的中点.若C为x轴上任意一点,且△ABC的面积为4,则k=　-4    . 
解析　连接OA,OB,∵AB∥x轴,∴S△ABC=S△AOB,∵△ABC的面积为4,∴S△AOB=4.∵点D为线段AB的中 点,∴S△AOD=S△BOD= S△AOB=2.根据反比例函数的比例系数k的几何意义可得k=-4. 
三、反比例函数与一次函数的综合应用例3    (2022重庆A卷)已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y= 的图象相交于点A(1,m),B(n,-2).(1)求一次函数的表达式,并在图中画出这个一次函数的图象;(2)根据函数图象,直接写出不等式kx+b> 的解集;(3)若点C是点B关于y轴的对称点,连接AC,BC,求△ABC的面积.
解析    (1)将A(1,m),B(n,-2)代入y= 中,得m= ,-2= ,解得m=4,n=-2,∴A(1,4),B(-2,-2).
 (2)-21.(3)∵点C是点B(-2,-2)关于y轴的对称点,∴C(2,-2),∴BC=2-(-2)=4.
过点A作AH⊥BC于点H.∵A(1,4),∴AH=4-(-2)=6.∴S△ABC= BC·AH= ×4×6=12.
题型解读　解决反比例函数与一次函数综合题的一般思路(1)利用待定系数法求得函数的解析式;(2)观察图象,判断两函数图象在交点左、右两侧的上、下位置关系(若图象不全,则先将图象补充 完整),再根据题中的不等式求自变量的取值范围;(3)求三角形的面积时,通常采用同底等高法、等底等高法或割补法进行求解.
变式3(2022江苏无锡)一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y= (m≠0)的图象交于点A、B,其中点A、B的坐标分别为A - ,-2m 、B(m,1),则△OAB的面积是 (    D    )A.3　    B. 　    C. 　    D. 
考点1　反比例函数的图象与性质
2.(2017河北,15,2分)如图,若抛物线y=-x2+3与x轴围成封闭区域内(边界除外)整点(点的横、纵坐标 都是整数)的个数为k,则反比例函数y= (x>0)的图象是(    D    )  
解析　对于y=-x2+3,当y=0时,x=± ;当x=±1时,y=2;当x=0时,y=3,
考点2　反比例函数与一次函数的综合应用1.(2021河北,19,4分)用绘图软件绘制双曲线m:y= 与动直线l:y=a,且交于一点,图1为a=8时的视窗情形. 图1 图2
(1)当a=15时,l与m的交点坐标为    (4,15)    .(2)视窗的大小不变,但其可视范围可以变化,且变化前后原点O始终在视窗中心.例如,为在视窗中看到(1)中的交点,可将图1中坐标系的单位长度变为原来的 ,其可视范围就由-15≤x≤15及-10≤y≤10变成了-30≤x≤30及-20≤y≤20(如图2).
解析    (1)当a=15时,令15= ,解得x=4,所以l与m的交点坐标为(4,15).(2)当a=-1.2时,-1.2= ,解得x=-50,点A的坐标为(-50,-1.2);当a=-1.5时,-1.5= ,解得x=-40,点B的坐标为(-40,-1.5),若将题图1中坐标系的单位长度变为原来的 ,其可视范围就由-15≤x≤15及-10≤y≤10变成了-45≤x≤45及-30≤y≤30,此时显然看不到点A;若将题图1中坐标系的单位长度变为原来的 ,其可视范围就由-15≤x≤15及-10≤y≤10变成了-60≤x≤60及-40≤y≤40,此时能看到m在A和B之间的一整段图象,所以k=4.
考点3　反比例函数与几何知识的综合应用1.(2023河北,17,2分)如图,已知点A(3,3),B(3,1),反比例函数y= (k≠0)图象的一支与线段AB有交点,写出一个符合条件的k的数值:    5(答案不唯一)    . 
解析　若反比例函数图象经过A(3,3),则k=9;若反比例函数图象经过B(3,1),则k=3.∴3≤k≤9,满足此条件的任意k值均符合题意.
2.(2020河北,19,6分)8个台阶的示意图如图所示,每个台阶的高和宽分别是1和2,每个台阶凸出的角 的顶点记作Tm(m为1~8的整数).函数y= (x<0)的图象为曲线L. (1)若L过点T1,则k=　-16    ;(2)若L过点T4,则它必定还过另一点Tm,则m=    5    ;(3)若曲线L使得T1~T8这些点分布在它的两侧,每侧各4个点,则k的整数值有    7    个.
解析　因为每个台阶的高和宽分别是1和2,T1的纵坐标为1,T8的横坐标为-2,所以T1的坐标为(-16,1), T4的坐标为(-10,4),T5的坐标为(-8,5).(1)若L过点T1,则k=-16×1=-16.(2)若L过点T4,则k=-10×4=-40,因为-8×5=-40,所以L过点T5,则m=5.(3)当k=-16时,L经过点T1和T8;当k=-40时,L经过点T4和T5.显然若曲线L使得T1~T8这些点分布在它的 两侧,每侧各4个点,一定是点T3,T4,T5,T6在曲线上方,其余四个点在曲线下方.点T3的坐标为(-12,3),若 L过点T3,则k=-12×3=-36;点T2的坐标为(-14,2),若L过点T2,则k=-14×2=-28.所以满足题意的k的取值 范围为-36变式2改变几何图形及问法(2021湖北荆州)如图,过反比例函数y= (k>0,x>0)图象上的四点P1,P2,P3,
解析　若将总工作量看作1,已知每人每天完成的工作量相同,且一个人完成需12天,则每个人每天 的工作量为 .若m个人共同完成需n天,则 ·n=1,∴mn=12.∴选取的6组数对(m,n)为反比例函数图象上点的坐标.故选C.
变式1改变背景(2022江苏扬州)某市举行中学生党史知识竞赛,用四个点分别描述甲、乙、丙、丁 四所学校竞赛成绩的优秀率y(该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值)与该校参加竞赛人数x的 情况,其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上,则这四所学校在这次 党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是 (    C    )A.甲　    B.乙　    C.丙　    D.丁
解析　由题意知xy=该校成绩优秀人数.如图,过甲、丙点向x轴作垂线,分别交反比例函数图象于点A,B.因为点A、点B和乙、丁点在反比 例函数图象上,所以xAyA=xByB=x乙y乙=x丁y丁.观察图象可知x甲y甲xByB,所以丙学校在这次党史 知识竞赛中成绩优秀人数最多,故选C.
2.跨学科·物理(2018河北,26,11分)轮滑场地的截面示意图如图所示,平台AB距x轴(水平)18米,与y轴 交于点B,与滑道y= (x≥1)交于点A,且AB=1米.运动员(看成点)在BA方向获得速度v米/秒后,从A处向右下飞向滑道,点M是下落路线的某位置.忽略空气阻力,实验表明:M,A的竖直距离h(米)与飞出 时间t(秒)的平方成正比,且t=1时h=5;M,A的水平距离是vt米.(1)求k,并用t表示h;(2)设v=5,用t表示点M的横坐标x和纵坐标y,并求y与x的关系式(不写x的取值范围),及y=13时运动员 与正下方滑道的竖直距离;(3)若运动员甲、乙同时从A处飞出,速度分别是5米/秒、v乙米/秒,则当甲距x轴1.8米,且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时,直接写出t的值及v乙的范围.
解析    (1)由题意得点A的坐标为(1,18),代入y= ,得18= ,∴k=18. (2分)设h=at2(a≠0),把t=1,h=5代入,得a=5,∴h=5t2. (4分)(2)∵v=5,AB=1,∴x=5t+1. (5分)∵h=5t2,OB=18,∴y=-5t2+18. (6分)由x=5t+1,得t= (x-1).∴y=- (x-1)2+18 或y=- x2+ x+  . (7分)当y=13时,13=- (x-1)2+18,解得x=6或-4.
∵x≥1,∴只取x=6. (8分)把x=6代入y= ,得y=3.∴运动员与正下方滑道的竖直距离是13-3=10(米). (9分)(3)t=1.8;v乙>7.5. (11分)提示:把y=1.8代入y=-5t2+18,得t2=3.24,∴t=1.8(舍去负值).∴x=10.∴甲的坐标为(10,1.8),恰好落在滑道y= 上,此时乙的坐标为(1+1.8v乙,1.8).由题意,得1+1.8v乙-(1+5×1.8)>4.5,∴v乙>7.5.
教材延伸(人教九下P15练习T2改编)方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地,行驶里程为480千米,设小汽车的行驶时间为t(单位:小 时),行驶速度为v(单位:千米/时),且全程速度限定为不超过120千米/时.(1)求v关于t的函数表达式;(2)方方上午8点驾驶小汽车从A地出发.①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地,求小汽车行驶的速度v的范围;②方方能否在当天11点30分前到达B地?说明理由.