6.2　图形的变换 习题精练+知识讲解 2024年河北版中考数学一轮复习课件

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解析　连接AD,图略,由题意可得,∠DAB=∠EAB,∠DAC=∠FAC,∠BAC=180°-67°-56°=57°,则∠EAF=∠EAB+∠DAB+∠DAC+∠FAC=2∠DAB+2∠DAC=2(∠DAB+∠DAC)=2∠BAC=2×57°=114°.故选D.
2.(2023河北衡水二模)三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放,现添加一个大小相同的等边三 角形,使四个等边三角形组成一个中心对称图形(如图2),则添加的等边三角形所放置的位置是 (    D    ) A.①　    B.②　     C.③　    D.④
3.(2023河北衡水模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(3,3),将线段AO经过平移后得 到线段BC,其中点A与点B对应,点O与点C对应,点B的坐标为(4,0).若D为线段OA上一点,平移后的 对应点为D',则点D移动到D'的路程为 (    B    ) A.5　    B. 　    C.4　    D. 
解析　∵点A的坐标为(3,3),平移后点B与点A对应,点B的坐标为(4,0),∴点A与点B的距离为 = ,∴点D移动到D'的路程为 .
4.(2023河北秦皇岛二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,等边△OAB的顶点B的坐标为(2,0),点A在 第一象限内,将△OAB沿直线OA的方向平移至△O'A'B'的位置,此时点A'的横坐标为3,则点B'的坐 标为 (    A    ) A.(4,2 )　    B.(3,3)C.(4,3)　    D.(3,2)
解析　过点A作AD⊥OB于点D,图略,∵△OAB是等边三角形,B的坐标是(2,0),AD⊥OB,∴OB=OA=2,OD=1,∴AD= ,∴A的坐标是(1, ),设直线OA的解析式为y=kx(k≠0),把(1, )代入得k= ,∴直线OA的解析式为y= x,∴A'的坐标为(3,3 ),∴点A向右平移2个单位,向上平移2 个单位得到A',∴B'的坐标为(4,2 ).
5.(2023河北衡水二模)如图,在△ABC中,点D在BC边上,沿AD将△ABC折叠,使点C与BC边上的点C' 重合,展开后得到折痕a.(1)折痕a是△ABC的　高    ;(填“角平分线”“中线”或“高”)(2)连接AC',若∠BAC'=15°,则∠C比∠B的度数大    15°    . 
解析    (1)∵沿AD将△ABC折叠,使点C与BC边上的点C'重合,展开后得到折痕a.∴∠ADC=∠ADC'=90°,∴折痕a是△ABC的高.(2)∵沿AD将△ABC折叠,使点C与BC边上的点C'重合,展开后得到折痕a,∴AC=AC',∴∠C=∠AC'C,∵∠AC'C=∠B+∠BAC',∴∠BAC'=∠AC'C-∠B=∠C-∠B,∵∠BAC'=15°,∴∠C-∠B=15°,∴∠C比∠B的度数大15°.
6.(2023河北廊坊一模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,BC= ,将△ABC绕点A逆时针旋转角α(0°<α<180°)得到△AB'C',并使点C'落在AB边上.(1)旋转角α的度数是    60°    ;(2)线段AB所扫过部分的面积是         .(结果保留π) 
解析    (1)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,∴∠BAC=60°,∵将△ABC绕点A逆时针旋转角α(0°<α<180°)得到△AB'C',并使点C'落在AB边上,∴∠BAB'=∠CAB=60°,∴旋转角α的度数是60°.(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,BC= ,∴cs∠ABC= = ,∴AB=2,由(1)知,∠BAB'=∠CAB=60°,∴线段AB所扫过部分的面积是 = .
7.(2023河北石家庄一模)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为线段BC上一点,连接AD,将线段 AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,作射线CE.(1)求证:△BAD≌△CAE,并求∠BCE的度数;(2)若F为DE中点,连接AF,连接CF并延长,交射线BA于点G.当BD=2,DC=1时,①求AF的长;②直接写出CG的长. 
解析    (1)证明:∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAD=∠CAE,又∵AB=AC,AD=AE,∴△BAD≌△CAE(SAS).∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC=∠ACB=45°,∵△BAD≌△CAE,∴∠ABC=∠ACE=45°,∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=45°+45°=90°.(2)①在Rt△DCE中,∵EC=DB=2,DC=1,∴DE= ,∵F为DE中点,
∴AF= DE= .②CG= .提示:在Rt△DCE中,F为DE的中点,∴CF= DE= ,∴CF=AF,∴∠FAC=∠FCA,∵∠BAC=90°,∴∠GAC=90°,∴∠FAC+∠FAG=∠AGC+∠FCA=90°,∴∠FAG=∠AGC,∴AF=GF,∴CG=2AF= .
8.(2023河北秦皇岛二模)如图1,在△ABC中,∠B=∠BCA,D,E是BC边上的点,连接AD、AE,将△ ADE沿直线AE折叠,点D与点F对应,连接CF,若∠BAC=∠DAF.(1)求证:△ABD≌△ACF;(2)求证:CA平分∠BCF;(3)如图2,若∠B=45°,BD=8,CE=6,求AB的长. 
图1 图2
解析    (1)证明:由折叠知,AD=AF,∵∠BAC=∠DAF,∴∠BAD+∠CAD=∠CAD+∠CAF,∴∠BAD=∠CAF,∵∠B=∠BCA,∴AB=AC,∴△ABD≌△ACF(SAS).(2)证明:由(1)知,△ABD≌△ACF,∴∠B=∠ACF,∵∠B=∠BCA,∴∠BCA=∠ACF,∴CA平分∠BCF.(3)∵∠B=∠BCA,∠B=45°,∴∠BCA=45°,∴∠BAC=90°,由(2)知,∠BCA=∠ACF,
∴∠ACF=45°,∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°,由(1)知,△ABD≌△ACF,∴CF=BD=8,在Rt△ECF中,根据勾股定理得,EF= =10,由折叠知,DE=EF=10,∴BC=BD+DE+EC=24,在Rt△ABC中,AB= BC=12 .
1.(2023河北邯郸武安一模)如图,Rt△ABC中,∠A=90°,∠C=30°,AB=1,AC= ,动点P在边AB上(不与A、B重合),点P关于BC所在直线,AC所在直线的对称点分别为点E,F,连接EF,交AC,BC分别于点 M,N.甲:我发现线段EF的最大值为2,最小值为 ;乙:我连接PM,PN,发现△PMN一定为钝角三角形.下列判断正确的是 (    C    ) 
A.甲对、乙对　    B.甲对、乙错 C.甲错、乙对　    D.甲错、乙错
解析　如图,连接CP,CE,CF,PM,PN, ∵点P关于BC所在直线,AC所在直线的对称点分别为点E,F,∴CP=CE,CP=CF,∠PCN=∠ECN,∠PCM=∠FCM,∴∠ECF=2∠ACB=60°,CE=CF,∴△ECF是等边三角形,∴EF=CE=CF,由于点P不与A、B重合,所以CP不存在最大值与最小值,
∵CF=CE=CP,∴EF不存在最大值与最小值,故甲错误;由对称性知,∠E=∠CPN=60°,∠F=∠CPM=60°,∴∠MPN=120°,∴△PMN是钝角三角形,故乙正确.故选C.
2.(2023河北保定一模)如图,在菱形ABCD中,AB=6 cm,∠B=120°,P为对角线AC上的一个动点,过点 P作AC的垂线,交AD或DC于点E,交AB或BC于点F,点P从点A出发以  cm/s的速度向点C运动,设运动时间为t(s),以EF为折线将菱形ABCD向右折叠,若重合部分面积为4  cm2,求t的值,对于其答案,甲答:t=2,乙答:t=3,丙答:t=4,正确的是 (    C    ) A.只有甲答的对B.甲、乙答案合在一起才完整
C.甲、丙答案合在一起才完整 D.三人答案合在一起才完整
解析    连接BD交AC于点G,图略,∵四边形ABCD为菱形,∴AD=CD=BC=AB=6 cm,BD⊥AC,∠ADC=∠ABC=120°,∴∠DAC= (180°-∠ADC)=30°,在Rt△AGD中,DG= AD=3 cm,∴AG= DG=3  cm,∵AD=CD,BD⊥AC,∴AC=2AG=6  cm,
由题意可知,AP= t cm(0≤t≤6),如图1,重合部分的面积S△EFA'=S△EFA=4  cm2,  图1在Rt△APE中,EF⊥AC,∠DAC=30°,∴EP= =t cm,∵∠DAB=180°-∠B=60°,
EF⊥AC,∴△EFA为等边三角形,∴EF=2EP=2t cm,∴S△EFA=S△EFA'= EF·AP= ×2t× t= t2 cm2,∴ t2=4 ,∴t=2,如图2,重合部分的面积S△EFC=4  cm2,
  图2在Rt△CPE中,EF⊥AC,∠DCA=30°,CP=AC-AP=(6 - t)cm,∴EP= =(6-t)cm,∵∠DCB=180°-∠B=60°,EF⊥AC,∴△EFC为等边三角形,∴EF=2EP=12-2t,
∴S△EFC= EF·CP= (12-2t)×(6 - t)=( t2-12 t+36 )cm2,∴ t2-12 t+36 =4 ,∴t=4.综上,t=4或t=2,即甲、丙答案合在一起才完整.故选C.
3.(2023河北邢台一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC= ,过点B作直线l∥AC,将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C,直线CA',CB'与直线l不平行时分别交l于点D,E.下列结论中,判断正 确的是 (    A    )结论Ⅰ:当点A'与点D重合时,∠ACA'=60°;结论Ⅱ:线段DE长度的最小值是2 . A.Ⅰ和Ⅱ都对　     B.Ⅰ和Ⅱ都不对
C.Ⅰ不对、Ⅱ对　    D.Ⅰ对、Ⅱ不对
解析　如图1,  图1∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C,∴AC=A'C=2,∵l∥AC,∠ACB=90°,∴∠A'BC=90°,
∴cs∠A'CB= = ,∴∠A'CB的度数为30°,∴∠ACA'=90°-∠A'CB=60°,故结论Ⅰ正确;取DE中点F,连接CF,如图2,  图2
∵点F是Rt△CDE斜边DE的中点,∴CF= DE,即CF的值最小时,DE有最小值,∵当点F与点B重合时,CF的值最小,∴DE的最小值为2 ,∴结论Ⅱ正确.故选A.
4.(2023河北邯郸一模)如图,将△ABC绕点C顺时针旋转110°,得到△A'B'C,且点A',C,B恰好在同一条 直线l上.(1)∠A+∠B的度数为    110°    ;(2)若△ABC的内心O旋转到O',则OO'所在直线与直线l的位置关系为　平行    . 
解析    (1)略.(2)如图所示,连接OO',OC,CO', ∵∠ACA'=110°,∴∠ACB=∠A'CB'=70°,∵点O是△ABC的内心,
∴∠BCO=∠ACO= ∠ACB=35°,∠A'CO'=∠B'CO'= ∠A'CB'=35°,∴∠OCO'=180°-∠BCO-∠A'CO'=110°,∵OC=O'C,∴∠COO'=∠CO'O= ×(180°-∠OCO')=35°,∴∠COO'=∠BCO=35°,∴OO'∥BA',∴OO'所在直线与直线l的位置关系为平行.
5.(2023河北邯郸模拟)如图1所示,已知甲、乙为两把不同刻度的直尺,且同一把直尺上的刻度之间 的距离相等,小研将这两把直尺紧贴,并将两直尺上的刻度0彼此对准后,发现甲尺的刻度36会对准 乙尺的刻度48.  图1 图2 图3
(1)如图2所示,若将甲尺向右平移且平移过程中两把直尺维持紧贴,使得甲尺的刻度0对准乙尺的 刻度4,则此时甲尺的刻度21会对准乙尺的刻度    32    ;(2)如图3所示,若将甲尺向右平移且平移过程中两把直尺维持紧贴,使得甲尺的刻度0对准乙尺的 刻度m,则此时甲尺的刻度n会对准乙尺的刻度     n+m    .(用含m,n的式子表示)
解析    (1)设甲尺的刻度21会对准乙尺的刻度a,根据题意得,36(a-4)=21×48,解得a=32,∴此时甲尺的刻度21会对准乙尺的刻度32.(2)设此时甲尺的刻度n会对准乙尺的刻度x,根据题意得,36(x-m)=n×48,解得x= n+m,∴此时甲尺的刻度n会对准乙尺的刻度 n+m.
6.(2023河北衡水三模)在数学探究活动中,敏敏进行了如下操作:如图,将四边形纸片ABCD沿过点A 的直线折叠,使得点B落在CD上的点Q处,折痕为AP;再将△PCQ,△ADQ分别沿PQ,AQ折叠,此时点 C,D落在AP上的同一点R处.请完成下列探究.(1)AD与BC所在直线的位置关系为    AD∥BC    ;(2)∠PAQ的度数为    30    °;(3)当四边形APCD是平行四边形时, 的值为         . 
解析    (1)由折叠的性质可得∠B=∠AQP,∠DAQ=∠QAP=∠PAB,∠DQA=∠AQR,∠CQP=∠PQR, ∠D=∠ARQ,∠C=∠QRP,∵∠QRA+∠QRP=180°,∴∠D+∠C=180°,∴AD∥BC,∴AD与BC所在直线的位置关系是AD∥BC.(2)∵AD∥BC,∴∠B+∠DAB=180°,∵∠DQR+∠CQR=180°,∴∠DQA+∠CQP=90°,∴∠AQP=90°,∴∠B=∠AQP=90°,
∴∠DAB=90°,∴∠DAQ=∠QAP=∠PAB=30°.(3)由折叠的性质可得,AD=AR,CP=PR,∵四边形APCD是平行四边形,∴AD=PC,∴AR=PR,∵∠AQP=90°,∴QR= AP,∵∠PAB=30°,∠B=90°,∴AP=2PB,AB= PB,∴PB=QR,∴ = .
7.(2023河北石家庄模拟)如图1,正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A,点G,F分别在AD,AB上,点E 在正方形ABCD的对角线AC上.将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转,旋转角为α(0°≤α≤360°). 图1   图2
解析    (1) .(2)是定值.理由:连接AE,图略,由旋转的性质知∠CAE=∠DAG=α,在Rt△AEG和Rt△ACD中, =cs 45°= , =cs 45°= ,∴ = ,∴△ADG∽△ACE,∴ = = ,∴ = ,∴ 是定值.
(3)①如图: 由(2)的方法知△ADG∽△ACE,∴ = = ,∴DG= CE,∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=BC=2 ,AC= =4,∵四边形AFEG是正方形,∴∠AGE=90°,GE=AG=2,∵C,G,E三点共线,∴CG= =2 ,∴CE=CG-EG=2 -2,∴DG= CE= - ;②如图:
 由(2)的方法知△ADG∽△ACE,∴ = = ,∴DG= CE,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=BC=2 ,AC=4,
∵四边形AFEG是正方形,∴∠AGE=90°,GE=AG=2,∵C,G,E三点共线,∴∠AGC=90°,∴CG= =2 ,∴CE=CG+GE=2 +2,∴DG= CE= + .综上,当C,G,E三点共线时,DG的长度为 - 或 + .
微专题　图形的折叠、裁剪与拼接
1.(2023河北邯郸二模,★☆☆)如图,将△ABC折叠,使点C落在BC边上,展开得到折痕m,则m是△ ABC的 (    D    ) A.中线　     B.中位线C.角平分线　    D.高线
2.(2023河北秦皇岛一模,★☆☆)如图,在正方形纸片ABCD上,E是AD上一点(不与点A,D重合).将纸 片沿BE折叠,使点A落在点A'处,延长EA'交CD于点F,连接BF,则∠EBF= (    B    ) A.40°　    B.45°C.50°　    D.不是定值
解析　∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠A=∠C=90°,由折叠可知,AB=A'B,∠ABE=∠A'BE,∠BA'E=∠A=90°,∴∠BA'F=∠C=90°,A'B=BC,又BF=BF,∴Rt△BA'F≌Rt△BCF(HL),∴∠A'BF=∠CBF,∵∠ABE+∠A'BE+∠A'BF+∠CBF=90°,∴∠EBF=45°,故选B.
3.(2023河北唐山模拟,★☆☆)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边BC和AD上,把该矩形沿EF折 叠,使点B恰好落在边AD的点H处,已知矩形ABCD的面积为16 ,FH=2HD,则折痕EF的长为(    D    ) A.2 　    B.2　    C.4 　    D.4
解析　∵把该矩形沿EF折叠,使点B恰好落在边AD的点H处,∴AF=GF,∠EHG=∠B=∠A=∠G=90°,HG=BA,∠BEF=∠HEF,∵∠BEF+∠FEH+∠HEC=180°,∠HEC=60°,∴∠BEF=∠HEF=60°,∵AD∥BC,∴∠FHE=∠HEC=60°,∴△EFH是等边三角形,∠GHF=30°,∴FG= FH,∵FH=2HD,∴HD=FG=AF,设HD=FG=AF=x,
则AB=HG= x,AD=4x,∵矩形ABCD的面积为16 ,∴ x·4x=16 ,∴x1=2,x2=-2(舍去),∴AB=2 ,过F作FM⊥BC于M,则FM=AB=2 ,∴EF= = FM=4,故选D. 
4.(2022河北石家庄一模,★★☆)如图1所示,一块木板余料由一个边长为6的正方形和一个边长为2 的正方形组成,甲、乙两人打算采用剪拼的办法,把余料拼成一个与它等面积的正方形木板.甲:如图2,沿虚线剪开可以拼接成所需正方形,并求得AM=2.乙:如图3,沿虚线剪开可以拼接成所需正方形,并求得AM= .下列说法正确的是 (    D    )  图1 图2 图3
A.甲的分割方式不正确B.甲的分割方式正确,AM的值求解不正确C.乙的分割方式与所求AM的值都正确D.乙的分割方式正确,AM的值求解不正确
解析　如图,  图1 图2 
∵原来图形的面积=6×6+2×2=40,∴拼接后的正方形的边长为2 ,如图1所示,在Rt△AFM中,AM= = =2,∴甲的分割方式正确,计算也正确,如图2所示,易得△EFT∽△TAM,∴ = ,∴ = ,∴AM= ,∴乙的分割方式正确,计算错误.故选D.
5.(2022河北邯郸模拟,★★☆)如图,将一个等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形,用这四块图 形进行拼接,恰好能拼成一个没有缝隙的正方形(方式①)或长方形(方式②),若a=2,则b=    1+     , 这个等腰三角形纸片的面积是    14+6     . 
解析　由题图可得,拼成的正方形的边长为a+b,剪成的四块图形中梯形3、4的高为b,三角形1、2 较长直角边的长为a+b,由剪拼后图形的面积不变,得(a+b)2=b(b+a+b),∵a=2,∴b2-2b-4=0,∴b=1+ (负值舍去),∴等腰三角形纸片的面积=(a+b)2=14+6 .
6.(2023河北承德一模,★★☆)如图,等腰△ABC中,AB=AC,E是AC边上的点,先将△ABE沿着BE翻 折,翻折后△A'BE的A'B边交EC于点D,∠A'=35°.(1)∠C=    72.5°    ;(2)若∠DBC=52.5°,则AE与A'E是否垂直?　是    .(填“是”或“否”) 
解析    (1)由翻折得∠A=∠A'=35°,∵AB=AC,∴∠C= = =72.5°.(2)由(1)得∠ABC=∠C=72.5°,∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=72.5°-52.5°=20°,由翻折得∠EBA'= ∠ABD=10°,∴∠BEA'=180°-∠EBD-∠A'=180°-10°-35°=135°,∠AEB=∠EBC+∠C=10°+52.5°+72.5°=135°,∴∠AEA'=360°-∠AEB-∠BEA'=360°-135°-135°=90°,∴AE⊥A'E.
7.(2023河北保定一模,★★☆)小颖将图1所示七巧板的其中几块拼成如图2所示的四边形ABCD. 图1     图2(1)∠BCD=    135°    ;
(2)四边形ABCD的最长边长与最短边长的比值为    3∶1    .