2022-2023学年河北省石家庄二十七中高二（下）段考数学试卷（二）（含解析）

这是一份2022-2023学年河北省石家庄二十七中高二（下）段考数学试卷（二）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)，且P(ξ<4)=0.8，则P(0<ξ<2)等于( )
A. 0.6B. 0.4C. 0.3D. 0.2
2.集合A={x|x2−x−2<0}，B={y|y=x2,x∈A}，则A∩B=( )
A. (1,4)B. [1,4)C. (0,2)D. [0,2)
3.设m，n>0，若随机变量ξ，η的分布列如表：
则下列说法错误的是( )
A. m+n=12B. P(ξ>0)0)
C. E(ξ)4.若不等式|x−1|A. a≥3B. a≤3C. a≥1D. a≤1
5.在下列命题中，是真命题的是( )
A. ∃x∈R，x2+x+3=0
B. ∀x∈R，x2+x+2>0
C. ∀x∈R，x2>|x|
D. 已知A={a|a=2n}，B={b|b=3m}，则对于任意的n，m∈N*，都有A∩B=⌀
6.设(1+x)n=a0+a1x+…+anxn，若a1+a2+…+an=63，则展开式中系数最大的项是( )
A. 15x2B. 35x3C. 21x3D. 20x3
7.(x2−2x−1)(x−2x)6的展开式中x4的系数为( )
A. 72B. 60C. 48D. 36
8.以下说法：
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；
②设有一个回归方程y​=3−5x，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位；
③线性回归直线y​=b​x+a​必过点(x−,y−)；
④设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，那么|r|越接近于0，x，y之间的线性相关程度越高；
⑤在一个2×2列联表中，由计算得K2的值，那么K2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大．
其中错误的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在(1+2x)8的展开式中，下列说法正确的是( )
A. 二项式系数最大的项为1120x4B. 常数项为2
C. 第6项与第7项的系数相等D. 含x2的项的系数为480
10.已知某批零件的质量指标ξ(单位：毫米)服从正态分布N(25.40,σ2)，且P(ξ≥25.45)=0.1，现从该批零件中随机取3件，用X表示这3件产品的质量指标值ξ不位于区间(25.35,25.45)的产品件数，则( )
A. P(25.35<ξ<25.45)=0.8B. E(X)=2.4
C. D(X)=0.48D. P(X≥1)=0.512
11.下列命题正确的是( )
A. ∃a，b∈R，|a−2|+(b+1)2≤0B. aC. ab≠0是a2+b2≠0的充要条件D. 若a≥b>−1，则a1+a≥b1+b
12.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，下列结论正确的是( )
A. 从中任取3个球，恰有1个白球的概率为35
B. 从中有放回地取球6次，每次任取1个球，恰好有2个白球的概率为80243
C. 从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到的是红球条件下，第二次再次取到红球的概率为25
D. 从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则至少有一次取到红球的概率为2627
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为0.6，那么针尖向下的概率为0.4.若连续掷一枚图钉3次，则至少出现2次针尖向上的概率为______．
14.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有______种.
15.已知(mx2−4+x2)5的展开式中所有项的系数和为1，则x4的系数为______．
16.已知集合A={x|x2−7x−18=0}，B={x|ax−1=0}.若A∪B=A，则实数a的值组成的集合为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在考查黄烟经过药物处理和发生青花病的关系时，得到如下数据：在试验的470株黄烟中，经过药物处理的黄烟有25株发生青花病，60株没有发生青花病；未经过药物处理的有185株发生青花病，200株没有发生青花病，试推断药物处理跟发生青花病是否有关系．
18.(本小题12分)
第24届冬奥会于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行，此项赛事大大激发了国人冰雪运动的热情.某滑雪场在冬奥会期间开业，下表统计了该滑雪场开业第x天的滑雪人数y(单位：百人)的数据．
经过测算，若一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，请建立y关于x的回归方程，并预测该滑雪场开业的第几天开始盈利．
参考公式：线性回归方程y​=b​x+a​的斜率和截距的最小二乘法估计分别为b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2,a =y−−b x−．
19.(本小题12分)
为了让人民群众过一个欢乐祥和的新春佳节，某地疫情防控指挥部根据当地疫情防控工作部署，安排4名干部和三个部门(A,B,C)的16名职工到该地的四个高速路口担任疫情防控志愿者，其中16名职工分别是A部门8人，B部门4人，C部门4人．
(1)若从这16名职工中选出4人作为组长，求至少有2个组长来自A部门的概率；
(2)若将这4名干部随机安排到四个高速路口(假设每名干部安排到各高速路口是等可能的，且各位干部的选择是相互独立的)，记安排到第一个高速路口的干部人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
20.(本小题12分)
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜．投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束．设甲每次投篮命中的概率为25，乙每次投篮命中的概率为23，且各次投篮互不影响．现由甲先投．
(1)求甲获胜的概率；
(2)求投篮结束时甲的投篮次数X的分布列与期望．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=1+lnxx−a(a∈R)．
(1)若a=0，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≤0在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围．
22.(本小题12分)
已知f(x)=lnx+kx(k∈R)．
(1)求f(x)的最值；
(2)若f(x)有两个零点，求k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查正态分布的概率，属于基础题．
看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到P(0<ξ<2)=12P(0<ξ<4)，即可得到结果．
【解答】
解：∵随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)，
μ=2，得对称轴是x=2，
P(ξ<4)=0.8，
∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2，
∴P(0<ξ<4)=0.6，
∴P(0<ξ<2)=0.3，
故选：C．
2.【答案】D
【解析】解：集合A={x|x2−x−2<0}={x|−1B={y|y=x2,x∈A}={y|0≤y<4}，
则A∩B=[0,2)．
故选：D．
求出集合A，B，利用交集定义能求出A∩B．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：对于A，由分布列的性质可知，m+12+n=1，则m+n=12，故选项A正确；
对于B，P(ξ>0)=P(ξ=2)=n，P(η>0)=P(η=12)+P(η=132)=12+n，
因为m，n>0，所以12+n>n，故选项B正确；
对于C，E(ξ)=−1×m+0×12+2×n=2n−m，
E(η)=−52×m+12×12+132×n=−52m+132n+14，
因为E(ξ)−E(η)=2n−m−(−52m+132n+14)=6m−52，
因为0则E(ξ)与E(η)的大小不能确定，故选项C错误；
对于D，D(ξ)=m(−m+2n+1)2+12(−m+2n−0)2+n(−m+2n−2)2=m3−3m2n−32m2+6mn−6n2+4n3+4n，
D(η)=m(6m−52+52)2+12(6m−52−12)2+n(6m−52−132)2=36m3+18m2−18m+36m2n−108mn+81n+92，
又m+n=12，
所以D(ξ)−D(η)=−35m3−292m2+4n3−6n2−77n−39m2n+114mn−92
=70m3−153m2+137m−44，
令h(m)=70m3−153m2+137m−44，
则h′(m)=210m2−306m+137，因为Δ<0，
所以h′(m)>0，
则h(m)在(0,12)上单调递增，
所以h(m)所以D(ξ)故选：C．
利用离散型随机变量分布列的性质以及随机变量的数学期望和公差的计算公式，对四个选项逐一分析判断即可．
本题考查了离散型随机变量及其分布列的应用，解题的关键是正确利用离散型随机变量的数学期望与方差，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
4.【答案】A
【解析】解：∵不等式|x−1|设不等式的解集为A，则(0,4)⫋A
当a≤0时，A=⌀，不满足要求；
当a>0时，A=(1−a,1+a)
若(0,4)⫋A
则1−a≤01+a≥4
解得a≥3
故选：A．
由已知中不等式|x−1|本题考查的知识点是很必要条件，充分条件与充要条件的判断与定义，其中根据充要条件的集合判断法，由已知中不等式|x−1|5.【答案】B
【解析】解：选项A，∃x∈R，x2+x+3=0，即x2+x+3=0有实数解，因为Δ=1−12=−11<0，显然此方程无实数解，故错误；
选项B，∀x∈R，x2+x+2=(x+12)2+74>0，，故正确；
选项C，∀x∈R，x2>|x|，而当x=0时不成立，故错误；
选项D，A={a|a=2n}，B={b|b=3m}，当n，m∈N*时，当a，b取得6的正整数倍时，A∩B≠⌀，所以错误．
故选：B．
可通过分别判断选项正确和错误，来进行选择．
本题考查了对特称命题及全称命题的判断，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：在(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn中，
令x=0，得a0=1，
令x=1，得2n=a0+a1+a2+…+an=1+63=64，
∴n=6；
∴展开式中系数最大的项为C63x3=20x3．
故选：D．
利用二项展开式的基本定理确定n的数值，再求展开式中系数最大的项．
本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了赋值法求二项式的次数的应用问题．
7.【答案】A
【解析】解：根据二项式(x−2x)6的展开式Tr+1=C6r⋅(−2)r⋅x6−2r(r=0,1,2,3,4,5,6)；
当与x2配对时，r=2，所以x4的系数为C62⋅(−2)2=60；
当与−2x配对时，不存在x4的系数；
当与−1配对时，r=1，故x4的系数为−C61⋅(−2)1=12，
故展开式中x4的系数为60+12=72．
故选：A．
直接利用二项式的展开式，组合数的应用求出结果．
本题考查的知识要点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：对①，根据方差的性质可知，①正确；
对②，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位，②错误；
对③，线性回归直线必过样本点中心，③正确；
对④，|r|越接近于1，x，y之间的线性相关程度越高，④错误；
对⑤，K2的值越大，判断两个变量有关系的犯错概率越小，即两个变量间有关联的把握就越大，⑤正确．
故选：C．
根据各命题对应的知识即可判断各命题的真假．
本题主要考查统计中有关概念，性质，方法的理解和应用，属于基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于选项A，根据(1+2x)8的展开式中二项式系数最大的项为C84⋅(2x)4=1120x4，故A正确；
对于选项B，由于(1+2x)8的展开式的通项为C8r⋅(2x)r=2r⋅C8r⋅xr，令r=0，可得常数项为1，故B错误；
对于选项C，根据B选项的分析可知第6项的系数为25⋅C85=1792，又第7项的系数为26⋅C86=1792，所以第6项与第7项的系数相等，故C正确；
对于选项D，根据B的分析可知含x3的项的系数为23⋅C83=448，故D错误．
故选：AC．
根据二项式系数及项的系数的概念，二项展开式的通项即可求解．
本题考查二项式系数及项的系数的概念，二项展开式的通项的应用，属基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：∵ξ服从正态分布N(25.40,σ2)，
∴P(ξ≥25.45)=P(ξ≤25.35)=0.1，
∴P(25.35<ξ<25.45)=1−P(ξ≥25.45)−P(ξ≤25.35)=1−0.1−0.1=0.8，故A选项正确，
∵X表示这3件产品的质量指标值ξ不位于区间(25.35,25.45)的产品件数，即X～B(3,0.2)，
∴E(X)=3×0.2=0.6，D(X)=3×0.2×(1−0.2)=0.48，故B选项错误，C选项正确，
P(X≥1)=1−P(X=0)=1−(0.8)3=0.488，故D选项错误．
故选：AC．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及期望和方差公式，即可求解．
本题主要考查了正态分布的对称性，以及期望和方差公式，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：A：当a=2，b=−时，不等式成立，所以A正确．
B：当aC：当a=0，b≠0时，a2+b2≠0成立，此时ab=0，由a2+b2≠0推不出ab≠0.所以C不正确．
D：由a1+a−b1+b=a(1+b)−b(1+a)(1+a)(1+b)=a−b(1+a)(1+b)，因为a≥b>−1，则a1+a≥b1+b，所以D正确．
故选：ABD．
利用特殊值判断A真假，利用充要条件的判定方法判断B与C的真假，用作差法判断D的真假．
本题主要考查充分条件和必要条件，属于中档题．
12.【答案】AD
【解析】解：一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，
对于A：恰有1个白球的概率为P=C42⋅C21C63=6×220=35，故A正确；
对于B：6次试验中取到白球的次数X服从二项分布，即X～B(6,13)，
所以P(X=2)=C62⋅(13)2⋅(1−13)4=80243，故B错误；
对于C：在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为35，故C错误；
对于D：3次试验中取到红球的次数Y服从二项分布，即Y～B(3,23)，
所以P(Y≥1)=1−P(Y=0)=1−(1−23)3=2627，故D正确．
故选：AD．
利用古典概型的概率公式判断A选项，利用二项分布判断B、D选项，利用条件概率判断C选项．
本题考查概率的应用，属于基础题．
13.【答案】0.648
【解析】解：∵投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为0.6，针尖向下的概率为0.4．
∴连续掷一枚图钉3次，
出现2次针尖向上的概率为：C32×0.6×0.6×0.4=0.432，
出现3次针尖向上的概率为：C33×0.6×0.6×0.6=0.216，
故至少出现2次针尖向上的概率P=0.432+0.216=0.648，
故答案为：0.648
至少出现2次针尖向上包括：出现2次针尖向上和出现3次针尖向上，分别求出它们的概率，根据互斥事件概率加法公式，可得答案．
本题考查的知识点是互斥事件概率加法公式，先求出出现2次针尖向上和出现3次针尖向上的概率，是解答的关键．
14.【答案】1320
【解析】解：某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，
其中甲和乙不同去，可以分情况讨论，
①甲去，则乙不去，有C63⋅A44=480种选法；
②甲不去，乙去，有C63⋅A44=480种选法；
③甲、乙都不去，有A64=360种选法；
根据分类计数原理知
共有480+480+360=1320种不同的选派方案．
故答案为：1320．
因为题目中有一个条件甲和乙不同去，因此解题时要针对于甲和乙去不去展开分类，包括三种情况：甲去，则乙不去；甲不去，乙去；甲、乙都不去．根据分类计数原理得到结果．
用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析要完成的“一件事”是什么，可以“分类”还是需要“分步”.特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑．
15.【答案】−960
【解析】解：令x=1，得(m−3)5=1，
所以m=4，
从而(4x2−4+x2)5=(x−2x)10，
所以其通项Tr+1=C10r(2x)10−r⋅(−x)r=(−1)r⋅210−rC10rx2r−10，令2r−10=4，得r=7，
所以当r=7时，T8=(−1)7⋅23⋅C107x4=−960x4，
所以x4的系数为−960，
故答案为：−960．
令x=1，可求得m=4，从而(4x2−4+x2)5=(x−2x)10，利用其通项公式可求得x4的系数．
本题考查二项式定理及其通项公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】{0,−12,19}
【解析】解：A∪B=A，
则B⊆A，
集合A={x|x2−7x−18=0}={−2,9}，
当a=0时，B=⌀，符合题意，
当a≠0时，B={1a}，
则1a=−2或1a=9，解得a=−12或a=19，
综上所述，实数a的值组成的集合为{0,−12,19}.
故答案为：{0,−12,19}.
根据已知条件，推得B⊆A，再分a是否为0，即可求解．
本题主要考查集合的包含关系，考查转化能力，属于基础题．
17.【答案】解：由已知条件得2×2列联表如下：
提出假设H0：经过药物处理跟发生青花病无关系，
根据列联表中的数据，可以求得K2的观测值，
K2=470×(25×200−185×60)2210×260×85×385≈9.788，
因为当H0成立时，K2≥7.879的概率约为0.005，而此时k=9.788>7.879，
所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为药物处理跟发生青花病是有关系的．
【解析】先完成列联表，计算K2的观测值，对照表格数据即可得结论．
本题主要考查了独立性检验的应用，考查计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：由表中数据可知，x−=1+2+3+4+55=3，y−=9+11+14+26+205=16，
则i=15(xi−x−)(yi−y−)=(1−3)(9−16)+(2−3)(11−16)+(3−3)(14−16)+(4−3)×(26−16)
+(5−3)×(20−16)=(−2)×(−7)+(−1)×(−5)+0×(−2)+1×10+2×4=14+5+0+10+8=37，
i=15(xi−x−)2=(1−3)2+(2−3)2+(3−3)2+(4−3)2+(5−3)2=4+1+0+1+4=10，
∴b =i=15(xi−x−)(yi−y−)i=15(xi−x−)2=3710=3.7，a =y−−b x−=16−3.7×3=4.9，
∴y关于x的回归方程为y =3.7x+4.9．
∵一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，
即3.7x+4.9>35，解得x>30.13.7≈8.14，
∴根据回归方程预测，该滑雪场开业的第9天开始盈利．
【解析】根据表中数据及平均数公式求出a​,b​，从而求出回归方程，然后再根据一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利即可求解．
本题考查线性回归方程，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：(1)至少有2个组长来自A部门共有3种情况：有2个组长来自A部门，有3个组长来自A部门，有4个组长来自A部门．
设事件A表示“至少有2个组长来自A部门”，则P(A)=C82C82+C83C81+C84C164=93130．
(2)由题意可得：X的可能取值为0，1，2，3，4．
P(X=k)=C4k(14)k(34)4−k，k=0，1，2，3，4，则P(X=0)=C40(34)4=81256，P(X=1)=C41×14×(34)3=108256，同理可得P(X=2)=54256，P(X=3)=12256，P(X=4)=1256．
可得X的分布列
E(X)=4×14=1．
【解析】(1)至少有2个组长来自A部门共有3种情况：有2个组长来自A部门，有3个组长来自A部门，有4个组长来自A部门．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可公式即可得出．
(2)由题意可得：X的可能取值为0，1，2，3，4.P(X=k)=C4k(14)k(34)4−k，k=0，1，2，3，4，可得X的分布列及其E(X)．
本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、二项分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意甲获胜的概率：
p=25+35×13×25+35×13×35×13×25=62125．
(2)由题意知投篮结束时甲的投篮次数X的可能取值为1，2，3，
P(X=1)=25+35×23=45，
P(X=2)=35×13×25+35×13×35×23=425，
P(X=3)=35×13×35×13×25+35×13×35×13×35×23+35×13×35×13×35×13=125，
∴X的分布列为：
EX=1×45+2×425+3×125=3125．
【解析】(1)由互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式能求出甲获胜的概率．
(2)由题意知投篮结束时甲的投篮次数X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式的合理运用．
21.【答案】解：(1)若a=0，则f(x)=1+lnxx，
f′(x)=1−(1+lnx)x2=−lnxx2，
x∈(0,1)时，f′(x)>0；x∈(1,+∞)时，f′(x)<0．
∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)．
(2)f(x)≤0在(0,+∞)上恒成立⇔a≥1+lnxx的最大值，
由(1)可知：x=1时，函数y=1+lnxx取得最大值1，
∴a≥1，
∴a的取值范围是[1,+∞)．
【解析】(1)由a=0，可得f(x)=1+lnxx，利用导数运算法则可得f′(x)，进而得出其单调区间．
(2)f(x)≤0在(0,+∞)上恒成立⇔a≥1+lnxx的最大值，利用(1)的结论可得函数y=1+lnxx的最大值．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值、等价转化方法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)f(x)=lnx+kx(k∈R)，x∈(0,+∞)．
f′(x)=1x+k，
k≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在x∈(0,+∞)上单调递增，无最值，不符合题意；
k<0时，f′(x)= k(x−−1k)x，
∴函数f(x)在(0,−1k)上单调递增，在(−1 k,+∞)上单调递减．
∴x=−1k时，函数f(x)取得极大值即最大值，f(−1 k)=ln(−1 k)−1．
无最小值．
(2)若f(x)有两个零点，
由(1)可得，x=−1k时，函数f(x)取得极大值即最大值，则f(−1 k)=ln(−1 k)−1>0，
解得−1e且x→0+时，f(x)→−∞；x→+∞时，f(x)→−∞．
因此满足题意，
∴k的取值范围是(−1e,0)．
【解析】(1)f(x)=lnx+kx(k∈R)，x∈(0,+∞).f′(x)=1x+k，对k分类讨论，利用导数研究函数f(x)的单调性即可得出结论．
(2)若f(x)有两个零点，由(1)可得，x=−1k时，函数f(x)取得极大值即最大值，f(−1 k)>0，且x→0+时，f(x)→−∞；x→+∞时，f(x)→−∞.即可得出k的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、函数的零点问题、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．ξ
−1
0
2
η
−52
12
132
P
m
12
n
α
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
天数代码x
1
2
3
4
5
滑雪人数y(百人)
9
11
14
26
20
药物处理
未经药物处
合计
青花病
25
185
210
无青花病
60
200
260
合计
85
385
470
X
0
1
2
3
4
P
81256
108256
54256
12256
1256
X
1
2
3
P
45
425
125