2024届高考数学考向核心卷 新高考-新结构版(含答案)

这是一份2024届高考数学考向核心卷 新高考-新结构版(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设集合，，则( )
A.B.C.D.
2．投掷6次骰子得到的点数分别为1，2，3，5，6，x，则这6个点数的中位数为4的概率为( )
A.B.C.D.
3．如图，西周琱生簋（guǐ）是贵族琱生为其祖先制作的宗庙祭祀时使用的青铜器.该青铜器可看成由上、下两部分组成，其中上面的部分可看作圆台，下面的部分可看作圆柱，且圆台和圆柱的高之比约为，圆台的上底面与圆柱的底面完全重合，圆台上、下底面直径之比约为，则圆台与圆柱的体积之比约为( )
A.B.C.D.
4．若向量，满足，，且，则向量与夹角的余弦值为( )
A.B.C.D.
5．已知抛物线的焦点为F，M为C上的动点，N为圆上的动点，设点M到y轴的距离为d，则的最小值为( )
A.1B.C.D.2
6．某中学教师节活动分上午和下午两场，且上午和下午的活动均为A，B，C，D，E这5个项目.现安排甲、乙、丙、丁四位教师参加教师节活动，每位教师上午、下午各参加一个项目，每场活动中的每个项目只能有一位老师参加，且每位教师上午和下午参加的项目不同.已知丁必须参加上午的项目E，甲、乙、丙不能参加上午的项目A和下午的项目E，其余项目上午和下午都需要有人参加，则不同的安排方法种数为( )
A.20B.40C.66D.80
7．已知直线与圆交于A，B两点，且劣弧所对的扇形ACB的面积为，则实数m的值为( )
A.-4B.-1C.1D.4
8．设函数，则，，的大小关系是( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A.若，，则m与n相交或异面
B.若，，，则
C.若，，则
D.若，，，则m与n平行或相交或异面
10．若，且，则( )
A.B.C.D.
11．若函数（，，）的部分图象如图所示，则( )
A.
B.函数的最小正周期为
C.函数在上单调递增
D.直线是函数图象的一条对称轴
三、填空题
12．若复数z满足，则______.
13．在等比数列中，，，若，且的前n项和为，则满足的最小正整数n的值为__________.
14．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，过作一条渐近线的垂线，垂足为A，延长与另一条渐近线交于点B，若，O为坐标原点，则的面积为__________.
四、解答题
15．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：.
16．地球上生命体内都存在生物钟，研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体征状况.控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称PER，PER分为PERI（导致早起倾向）和PER（导致晚睡倾向）.某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与GRPE蛋白干预实验.以下是16只实验鼠在光照诱导与GRPE蛋白干预实验中，出现PERI突变的指标：
长期试验发现，若实验鼠指标超过10.00，则认定其体征状况严重.
（1）从实验鼠中随机选取3只，记X为体征状况严重的只数，求X的分布列和数学期望；
（2）若编号1~8的实验鼠为GRPE蛋白干预实验组，编号9~16的为非GRPE蛋白干预对照组，试依据小概率值的独立性检验，分析实验鼠休征状况是否与GRPE蛋白干预有关？
附（其中）.
17．如图，在多面体中，平面平面，四边形是矩形，四边形是平行四边形，，，G，H分别为，的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值
18．已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点，在y轴上，点在E上，长轴长与短轴长之比为.
（1）求椭圆E的方程.
（2）设A为E的下顶点，过点且斜率为k的直线与E相交于C，D两点，且点C在线段BD上.若点M在线段CD上，，证明：.
19．若一个两位正整数m的个位数为4，则称m为“好数”.
（1）求证：对任意“好数”m，一定为20的倍数；
（2）若，且p，q为正整数，则称数对为“友好数对”，规定：，例如，称数对为“友好数对”，则，求小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值.
参考答案
1．答案：B
解析：由题可得，，所以.故选B.
2．答案：B
解析：将6个数由小到大排列，中位数是第3个数和第4个数的平均数.因为，且中位数为4，所以第3个数和第4个数只可能是3，5，x中的较小的两个数，而，故，即x只能取5和6，故所求概率为，故选B.
3．答案：B
解析：不妨令圆台上底面半径为4，下底面半径为5，高为3，圆柱的高为5，则圆台的体积，
圆柱的体积，故，选B.
4．答案：D
解析：因为，且，所以.因为，所以向量与夹角的余弦值为，故选D.
5．答案：D
解析：根据已知得圆，所以，半径为1，，抛物线C的准线方程为.如图，过点M作，垂足为点E，则.由抛物线的定义可得，所以，当且仅当N，M分别为线段与圆A、抛物线C的交点时，两个等号成立，因此的最小值为2.故选D.
6．答案：C
解析：因为丁必须参加上午的项目E，甲、乙、丙不能参加上午的项目A，所以上午甲、乙、丙参加B，C，D这3个项目，共有种不同的安排方法.
易知甲、乙、丙、丁四人下午参加的项目为A，B，C，D，
分2类：①丁参加项目A，共有2种不同的安排方法；
②丁参加B，C，D这3个项目中的1个，从甲、乙、丙中选1人参加项目A，剩下两人参加剩下的2个项目，共有种不同安排方法.
综上，共有种不同的安排方法.故选C.
7．答案：A
解析：因为圆C的标准方程为，所以半径.由点到直线的距离公式，得圆心到弦AB的距离.设（为锐角），则.由扇形的面积公式，得.将代入，得.整理，得.设函数，则，所以在区间上单调递增.又，所以，所以，所以，解得.故选A.
8．答案：B
解析：，易知是偶函数.当时，，当时，显然；当时，，，所以，所以在上单调递增.设函数，则，当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减.故，则，所以，即，故，故.故选B.
9．答案：ABD
解析：选项A：若，，则m与n相交或异面，A正确.
选项B：若，，则，又，，是两个不同的平面，所以，B正确.
选项C：若，，则或，故C错误.
选项D：若，，，则m与n平行或相交或异面，故D正确.
10．答案：ABD
解析：由，可得，当且仅当时等号成立，故A正确；
，
，，
，故B正确；
，当且仅当时等号成立，故C错误；因为，所以，所以，即，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选ABD.
11．答案：AC
解析：选项A：由图可知，，，所以，结合图象可得，
A正确.
选项B：将代入，得，由五点作图法可知，，解得，所以，其最小正周期，B错误.
选项C：令，，解得，，令，得函数在上单调递增，C正确.
选项D：令，，解得，，由，，解得，所以直线不是函数图象的一条对称轴，（另解：，所以直线不是函数图象的一条对称轴）
D错误.
12．答案：
解析：由复数z满足可得，
所以，
故答案为：.
13．答案：6
解析：由可得，
故，设的公比为q，则，即，故，则.
由于时，，故随着n的增大而增大，而，，故满足的最小正整数n的值为6.
14．答案：
解析：由E的离心率为可得，故，则E的渐近线方程为，则，则.
点到一条渐近线的距离为，
故，因为，所以，
得，.
易知的面积等于的面积，
故.
15．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由已知得，，则，曲线在点处的切线方程为.
（2）证明：要证明，即证明，即证明.
解法一：设，则，
令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
，
，，即得证.
解法二：令，则在上恒成立，
在上单调递增，即在上单调递增.
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
，即，
，即得证.
16．答案：（1）见解析
（2）实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预无关
解析：（1）由题意得，16只实验鼠中，有7只体征状况严重，则X的所有可能取值为0，1，2，3，
则，，
，.
所以X的分布列为
所以X的数学期望.
（2）由题中所给数据，得到列联表：
零假设：实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预没有关系.
利用列联表中的数据得，，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可认为成立，即认为实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预无关.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：在中，，，，
由余弦定理得，
，.
，.
在矩形中，，又，，平面，
平面.
在矩形中，G，H分别为，的中点，
，平面.
（2）平面平面，平面平面，，平面.又平面，，，两两垂直.以D为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
则，，，，，
，，.
设平面的法向量为，
则
则，令，则，则.
设平面的法向量为，
则
则，令，则，则.
由图可知二面角的平面角为锐角，
，
二面角的平面角的余弦值为.
18．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）设椭圆E的方程为.
由题意可知解得
故椭圆E的方程为.
（2）证明：由（1）可知.
设，，，直线CD的方程为.
由得，
则，
，，所以.
由，得，
所以，则，
所以点M在线段AB的垂直平分线上，即.
易知.
设，则，
则.①
又点在直线CD上，所以，
则，
所以，则.
整理，得.②
由①②，得.
所以，则，
所以，
故.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：设，且t为整数，
，
，且t为整数，是正整数，
一定是20的倍数.
（2），且p，q为正整数，，
当时，，没有满足条件的p，q，
当时，，
满足条件的有或，
解得或，或，
当时，，没有满足条件的p，q，
当时，，
满足条件的有，解得，，
当时，，没有满足条件的p，q，
当时，，
满足条件的有或，
解得或，或，
小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值为.
实验鼠编号
1
2
3
4
5
6
7
8
Sd指标
9.95
9.99
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
实验鼠编号
9
10
11
12
13
14
15
16
Sd指标
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
X
0
1
2
3
P
GRPE蛋白干预
非GRPE蛋白干预
总计
体征状况严重
2
5
7
体征状况不严重
6
3
9
总计
8
8
16