四川省隆昌市第一中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

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1. 设集合，，若集合，则集合的子集个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合交集的定义，结合子集个数公式进行求解即可.
【详解】因为集合，，
所以，
因为集合中只有一个元素，
所以集合的子集个数是，
故选：B
2. 命题“，”的否定形式是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“，”的否定形式是，，
故选：C
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】通过求出的范围，再通过充分性和必要性的概念得答案.
【详解】由得或，
因为可推出或，满足充分性，
或不能推出，不满足必要性.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 函数的零点所在的一个区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据解析式判断单调性，结合零点存在定理确定区间.
【详解】由解析式知在上单调递增，
又，，，
所以零点所在的一个区间为.
故选：C
5. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用对数函数的单调性及中间量和即可求解.
【详解】因为，函数在上单调递增，
所以，即.
又因为函数在上单调递增，
所以，即.
又因为，
所以.
故选：C.
6. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数的部分图象如图所示.则的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由函数的定义域可排除B选项，求特殊函数值可排除AC选项.
【详解】选项A，，则，
但由图象可知，，不满足题意，故A错误；
选项B，，由，解得，
由函数图象可知，函数在处有定义，故B错误；
选项C，，则，理由同A项，故C项也错误；
故的解析式可能是D.
故选：D.
7. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数型函数和分式型函数的单调性进行求解即可.
【详解】当时，函数单调递增，故有，
此时函数的值域为，
当时，函数单调递减，故有，
此时函数的值域为，
要想函数的值域为，
只需，
故选：B
8. 我国某科研机构新研制了一种治疗支原体肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量（单位：）随着时间（单位：）的变化用指数模型描述，假定该药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于时才会对支原体肺炎起疗效，现给某支原体肺炎患者注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（ ）（参考数据：，）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题设有，利用指数函数单调性及指对数关系求解，即可得答案.
【详解】由题意，则小时.
故选：D
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知，则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用不等式的性质判断A，C；举例说明判断B，D作答.
【详解】因，则有，A正确；
因，取，则，B不正确；
，则，即，C正确；
因，取，满足，而，D不正确.
故选：AC
10. 下列式子计算结果为的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意利用诱导公式以及三角恒等变换分析求解.
【详解】对于选项A：，故A错误；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：，故C正确；
对于选项D：，故D正确；
故选：BCD.
11. 下列说法正确的有（ ）
A. 的最小值为2；
B. 已知，则的最小值为5；
C. 若正数、满足，则的最小值为3；
D. 设、为实数，若，则的取值范围为.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由对应函数符号即可判断A；应用基本不等式及其“1”的代换、一元二次不等式解法判断B、C、D，注意取最值条件.
【详解】A：当时，，若存在最小值，不可能为2，错；
B：由，，当且仅当时取等号，
所以的最小值为5，对；
C：由题设，
当且仅当时取等号，所以的最小值为3，对；
D：，可得，
当且仅当时取等号，则，故的取值范围为，对.
故选：BCD
12. 已知函数，若方程有四个不等的实根，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 取值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据解析式画出函数大致图象，数形结合可得，且，结合对数函数、正弦型函数性质可得、，综合运用基本不等式、区间单调性判断各项正误.
【详解】由函数解析式可得函数大致图象如下，
由上图，要使方程有四个不等的实根，，，且，
则，且，，
由，则，A、B对；
所以，又，即等号取不到，
又,
所以，C错；
由图知：在区间、上单调性相同，且，
所以随变化同增减，故取值范围为，D对.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：根据解析式得到图象并确定，且为关键.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．
13. 已知幂函数的图象过点，则的值为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】设，根据函数过点求出，即可得到函数解析式，再代入计算可得.
【详解】解：设，则，所以，
所以，所以.
故答案为：
14. 以角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角终边过点，则__________．
【答案】-3
【解析】
【分析】利用三角函数定义求出角的正切，再利用和角的正切公式计算作答.
【详解】由正切函数定义得：，所以．
故答案为：-3
15. 已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据存在性的性质，结合二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为函数的对称轴为，
所以当时，该二次函数单调递增，所以，
因为存在，使得不等式成立，
所以有，或，
因此实数的取值范围为，
故答案为：
16. 已知函数，则下列命题正确的序号为__________
①的值域为
②点是函数图象的一个对称中心
③在区间上是增函数
④若在区间上是增函数，则a的最大值为
【答案】①②④
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象与性质逐项判断即得.
详解】函数，
由于，因此的值域为，①正确；
由，得点是函数图象的一个对称中心，②正确；
当时，，而正弦函数在上不单调，③错误；
函数在上是增函数，依题意，，因此且，
解得，因此a最大值为，④正确,
所以命题正确的序号为①②④.
故答案为：①②④
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17 已知集合，集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数函数的单调性，结合交集的定义进行求解即可；
（2）根据解一元二次不等式的方法，结合集合并集的运算性质进行求解即可.
【小问1详解】
由，或，
即或，
若，所以
【小问2详解】
由，或，
即，
因为，
所以，
即实数的取值范围为.
18. 已知函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求实数，的值；
（2）求关于的不等式的解集.
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）由不等式解集可得是的两个根，利用根与系数关系求参数值；
（2）由题意有，讨论、、求不等式解集.
【小问1详解】
由题设的解集为，即是的两个根，
所以.
【小问2详解】
由题意，
当时，解得或，故解集为；
当时，解得，故解集为；
当时，解得或，故解集为；
19. 已知
（1）化简；
（2）若，，且，，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用诱导公式进行求解即可；
（2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
，因为，所以
所以，
，
因为，，所以，
因为，所以，
于是
所以
.
20. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期以及单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值；
（3）若函数，有两个零点，，求实数a的取值范围与的值．
【答案】（1），单调递增区间为，
（2）在区间上最大值为，最小值为
（3），.
【解析】
【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式即可求解函数的周期；利用整体代入法和正弦函数的性质即可求出函数的单调增区间.
（2）利用整体代入法和正弦函数的性质即可求解；
（3）令，根据题意分析可知与在内有两个交点，结合图象分析求解.
【小问1详解】
由可得：函数的最小正周期为；
令，解得：，
所以的单调递增区间为，．
【小问2详解】
因为，则，
当，即时，在区间上可取得最大值；
当，即时，在区间上可取得最小值；
所以在区间上最大值为，最小值为.
【小问3详解】
因为，令，
则在内的图象如图所示，
令，可得，即，
若函数，有两个零点，，
则与内有两个交点，
结合图象可得：，，即，
所以，.
21. 已知函数，的图像关于点中心对称.
（1）求实数的值：
（2）探究的单调性，并证明你的结论；
（3）解关于的不等式.
【答案】（1）
（2）增函数，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数的平移性质，结合函数的对称性进行求解即可；
（2）根据函数的单调性定义，结合指数函数的单调性进行判断证明即可；
（3）根据函数的对称性和单调性进行求解即可.
【小问1详解】
因为函数，的图像关于点中心对称，
所以该函数向下平行一个单位，得到的函数的图像关于点中心对称，
即函数的图像关于点中心对称，
因此函数是奇函数，
于是有，即，
因为，
所以是奇函数，因此符合题意；
【小问2详解】
因为，所以，
设是任意两个实数，且，
，
因为，所以，因此，
所以函数是增函数；
【小问3详解】
因为函数，的图像关于点中心对称，
所以，即，
所以由，
因为函数是增函数，
所以，或，
解得，或，
因此原不等式的解集为.
22. 已知函数，．
（1）求；
（2）求函数在区间上的最小值；
（3）若函数，且的图象与的图象有3个不同的交点，求实数n的取值范围．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
分析】（1）先计算，再将代入计算即可.
（2）根据已知条件求出，令换元后变为，分类讨论二次函数的对称轴确定最小值；
（3）求出，进而确定，令换元后有化为，化为，问题转化为有两个根，且一个根在内，一个根在内，设，通过限制二次函数根所在区间得出不等式，求解不等式即可解出实数的取值范围.
【小问1详解】
，
【小问2详解】
，所以
，
令，因为，则，
所以变为，函数的对称轴为，
当时，函数在上单调递增，时，函数有最小值；
当时，函数在上单调递增减，函数在上单调递增，
时，函数有最小值；
当时，函数在上单调递减，时，函数有最小值.
【小问3详解】
即，所以，
令，所以化为：，
化为；
令，整理有：；
因为，作出简图如下
注意到，可得：当时，有两个根；当时，有一个根；
因为的图象与的图象有3个不同的交点，
所以有两个根，且一个根在内，一个根在内，
设，
则有：为关于的二次函数，图象开口向上，对称轴为，
根据题意有：，即解得，
或，即 解得
综上所述：.
【点睛】关键点点睛：本题主要涉及换元法以及二次函数根的分布：（2）问先令，再通过讨论二次函数对称轴与区间的关系确定最值；（3）问先令，将题目转化为以及的解的问题，分别讨论不同的解的个数从而确定方程的根的范围，从而求出的范围.