备战中考数学《重难点解读•专项训练》专题12 两之间线段最短求最值（四大类型含将军饮马）（知识解读）

这是一份备战中考数学《重难点解读•专项训练》专题12 两之间线段最短求最值（四大类型含将军饮马）（知识解读），共29页。试卷主要包含了复习方法，复习难点等内容，欢迎下载使用。

一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
专题12 两之间线段最短求最值（四大类型含将军饮马）
（知识解读）
【专题说明】
“两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应用。
【方法技巧】
模型一 “一线两点”型(一动＋两定)
类型一 异侧线段和最小值问题
问题： 两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．
【解题思路】根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l 于点P，点P即为所求．

类型二 同侧线段和最小值问题(将军饮马模型)
问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．
【解题思路】将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决．作点B关于l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点即为点P.

类型三 同侧差最大值问题
问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．
【解题思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.

类型四 异侧差最大值问题
问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．
【解题思路】将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决．

模型二 “一点两线”型(两动＋一定)
问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小．
【解题思路】要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．


模型三 “两点两线”型(两动＋两定)
问题：点P，Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形PQNM周长最小．
【解题思路】要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ的最小值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点．
【典例分析】
【典例1-1】基本模型
问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l同侧试确定点P的位置，使AP+BP的值最小．
解题思路：
一找：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB′，与直线l交于点P；
二证：验证当A，P，B'三点共线时，AP+BP取得最小值．
三计算．
请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程．
【典例1-2】模型演变
问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l同侧，在直线l上确定点P的位置，使|PA﹣PB|的值最大．
解题思路：
一找：连接AB并延长，交直线l于点P；
二证：验证当A，B，P三点共线时，|PA﹣PB|取得最大值．
三计算．
请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．
【典例1-3】模型演变
问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使AP+BP的值最小．
解题思路：
一找：连接AB交直线l于点P；
二证：验证当A，P，B三点共线时，AP+BP取得最小值．
三计算．
请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．
【典例1-4】模型演变
问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使|PA﹣PB|的值最大．
解题思路：
一找：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'并延长，交直线于点P；
二证：验证当A，B'，P三点共线时，|PA﹣PB|取得最大值．
三计算．
请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．
【变式1-1】如图，已知菱形ABCD的边长为 4，∠ABC＝60°，点N为BC的中点，点M是对角线AC上一点，则MB+MN的最小值为 ．
【变式1-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点O是对角线BD的中点，E是AB边上一点，且AE＝1，P是CD边上一点，则|PE﹣PO|的最大值为 ．
【变式1-3】如图，在菱形ABCD中，AB＝12，∠DAB＝60°，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在BD，AB上，且BF＝DE＝4．点P为AC上一点，则|PF﹣PE|的最大值为 ．
【变式1-4】结论：如图，抛物线y＝ax2﹣bx﹣4与x轴交于，A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y 轴交于点C，直线l为该抛物线的对称轴，点M为直线l上的一点，则MA+MC的最小值为 ．
【典例2】模型分析
问题：点P是∠AOB内的一定点，点M，N分别为OA，OB上的动点，试确定点M，N的位置，使△PMN的周长最小．
解题思路：
一找：分别作点P关于OA，OB的对称点P′，P“，连接P'P“，分别交OA，OB于点M，N；
二证：验证当P′，M，N，P″四点共线时，△PMN的周长最小．
三计算．
注：当三个点均为动点时，先假定一个点为定点，再将其特化为“一定两动“问题
请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．
【变式2-1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，点M、N分别在BC、CD上，
（1）当∠MAN＝∠C时，∠AMN+∠ANM＝ °；
（2）当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM＝ °．
【变式2-2】如图，在边长为2的等边△ABC中，点P，M，N分别是BC，AB，AC上的动点，则△PMN周长的最小值为 ．
【典例3】模型分析
问题：点P，Q是∠AOB内部的两定点，点M，N分别是OA，OB上的动点，试确定点M，N的位置，使四边形PMNQ的周长最小．
解题思路：
一找：作点P关于OA的对称点P'，点Q关于OB的对称点Q′，连接P′Q′，分别交OA，OB于点M，N；
二证：验证当P′，M，N，Q′四点共线时，四边形PQNM的周长最小．
三计算．
请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．
【变式3-1】如图，已知正方形ABCD的边长为5，AE＝2DF＝2，点G，H分别在CD，BC边上，则四边形EFGH周长的最小值为 ．
【变式3-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E是AB的中点，若点P，Q分别是边BC，CD上的动点，则四边形AEPQ周长的最小值为 ．
【典例4-1】基本模型
问题：
如图，点A，B为直线l同侧两定点，M，N为直线l上的动点，且MN的长度为定值，试确定点M，N 的位置，使AM+MN+BN的值最小．
解题思路：
一找：以AM，MN为邻边．构造▱AMNA′，作点A′关于直线l的对称点A“，连接A“B，交直线l于点N，再确定点M；
二证：验证当A“，N，B三点共线时，AM+MN+BN的值最小．
三计算．
请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程．
【典例4-2】模型演变
问题：如图，直线a∥b，定点A，B分别位于直线a的上方和直线b的下方，M，N分别为直线a，b上的动点，且MN⊥a，试确定点M，N的位置，使AM+MN+BN的值最小．
解题思路：
一找：以AM，MN为邻边构造▱AMNA′，连接A'B；
二证：验证当A'，N，B三点共线时，AM+MN+BN的值最小．
三计算．
请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．
【变式4-1】如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则AM+CN的最小值为 ．
【变式4-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ABD沿射线DB方向平移得到△A'B'D'，连接B'C，D'C，求B'C+D'C的最小值．
专题12 两之间线段最短求最值（四大类型含将军饮马）
（知识解读）
【专题说明】
“两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应用。
【方法技巧】
模型一 “一线两点”型(一动＋两定)
类型一 异侧线段和最小值问题
问题： 两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．
【解题思路】根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l 于点P，点P即为所求．

类型二 同侧线段和最小值问题(将军饮马模型)
问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．
【解题思路】将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决．作点B关于l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点即为点P.

类型三 同侧差最大值问题
问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．
【解题思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当A，B，P三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段AB的长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.

类型四 异侧差最大值问题
问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．
【解题思路】将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决．

模型二 “一点两线”型(两动＋一定)
问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN周长最小．
【解题思路】要使△PMN周长最小，即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可．


模型三 “两点两线”型(两动＋两定)
问题：点P，Q是∠AOB的内部两定点，在OA上找点M，在OB上找点N，使得四边形PQNM周长最小．
【解题思路】要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM＋MN＋NQ的最小值即可，需将线段PM，MN，NQ三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对称点．
【典例分析】
【典例1-1】基本模型
问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l同侧试确定点P的位置，使AP+BP的值最小．
解题思路：
一找：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB′，与直线l交于点P；
二证：验证当A，P，B'三点共线时，AP+BP取得最小值．
三计算．
请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程．
【解答】解：如图，∵点B与点B′关于直线l对称，
∴PB＝PB′，
∴PA+PB＝PA+PB′＝AB′，
∴此时PA+PB的值最小．
【典例1-2】模型演变
问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l同侧，在直线l上确定点P的位置，使|PA﹣PB|的值最大．
解题思路：
一找：连接AB并延长，交直线l于点P；
二证：验证当A，B，P三点共线时，|PA﹣PB|取得最大值．
三计算．
请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．
【解答】证明：如图，P'为l上异于P的一点，连接P'A、P'B，
在△ABP'中，由三角形的三边关系得：|P'A﹣P'B|＜AB，
∵PA﹣PB＝AB，
∴|P'A﹣P'B|＜|PA＝PB|，
∴当A、B、P三点共线时，|PA﹣PB|的值最大．
【典例1-3】模型演变
问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使AP+BP的值最小．
解题思路：
一找：连接AB交直线l于点P；
二证：验证当A，P，B三点共线时，AP+BP取得最小值．
三计算．
请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．
【解答】解：图形如图所示：
理由：在直线l上任意取一点P′，连接P′A，P′B．
∵P′A+P′B≥AB，AB＝PA+PB，
∴P′A+P′B≥PA+PB，
∴AP+PB的值最小．
【典例1-4】模型演变
问题：如图，定点A，B位于动点P所在直线l的两侧，试确定点P的位置，使|PA﹣PB|的值最大．
解题思路：
一找：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'并延长，交直线于点P；
二证：验证当A，B'，P三点共线时，|PA﹣PB|取得最大值．
三计算．
请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．
【解答】解：如图，在直线L上任意取一点P′，连接P′B′，
∵|P′A﹣P′B|≤AB′，
∴当A，B′，P′共线时，|P′A﹣P′B|的值最大，最大值为AB′的长．
【变式1-1】如图，已知菱形ABCD的边长为 4，∠ABC＝60°，点N为BC的中点，点M是对角线AC上一点，则MB+MN的最小值为 ．
【答案】2
【解答】解：如图，连接DN，DM，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∴B，D关于AC对称，
∴MB＝MD，
∴MB+MN＝MD+MN≥DN，
∵AB∥CD，
∴∠DCH＝60°，
∵DH⊥CH，
∴CH＝CD•cs60°＝2，DH＝2，
∵BN＝CN＝2，CD＝4，
∴NH＝CN+CH＝4，
∴DN＝＝＝2，
∴MB+MN≥2，
∴MB+MN的最小值为2．
故答案为：2．
【变式1-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点O是对角线BD的中点，E是AB边上一点，且AE＝1，P是CD边上一点，则|PE﹣PO|的最大值为 ．
【答案】
【解答】解：如图，连接OE，过点O作OH⊥AB于点H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠OHB＝90°，
∴OH∥AD，
∵OB＝OD，
∴AH＝HB＝2，
∴OH＝AD＝3，
∵AE＝1，
∴EH＝AH﹣AE＝1．
∴OE＝＝＝，
∴|PE﹣OP|≤EO＝，
∴|PE﹣OP|的最大值为．
故答案为：．
【变式1-3】如图，在菱形ABCD中，AB＝12，∠DAB＝60°，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在BD，AB上，且BF＝DE＝4．点P为AC上一点，则|PF﹣PE|的最大值为 ．
【答案】2
【解答】解：在OB上取一点E′，使得OE′＝OE，中点E'，作射线FE'交AC于点P'．
则PE＝PE'，
∴|PF﹣PE|＝PF﹣PE'≤FE'，
当P与P'重合，P'、E'、F三点在同一直线上时，|PF﹣PE'|有最大值，即为FE'的长，
在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠ABD＝60°，∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
∴AB＝BD＝AD＝12．
∴OD＝OB＝6．
∵BF＝DE＝4，
∴OE＝OE′＝2，
∴BE′＝OB﹣OE′＝4，
∴BF＝BE′
∵∠ABD＝60°，
∴△BE'F为等边三角形，
∴E'F＝FB＝2．
故|PF﹣PE|的最大值为2．
故答案为：2．
【变式1-4】结论：如图，抛物线y＝ax2﹣bx﹣4与x轴交于，A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y 轴交于点C，直线l为该抛物线的对称轴，点M为直线l上的一点，则MA+MC的最小值为 ．
【答案】4．
【解答】解：连接BC交直线l于M′点，连接M′A，如图，
当x＝0时，y＝ax2﹣bx﹣4＝﹣4，则C（0，﹣4），
∵抛物线y＝ax2﹣bx﹣4与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，
∴A、B点关于直线l对称，
∴M′B＝M′A，
∴M′A+M′C＝M′B+M′C＝BC，
∴此时M′A+M′C的值最小，
∵BC＝＝4，
∴M′A+M′C的最小值为4，
当M点运动到M′点时，MA+MC有最小值，最小值为4．
故答案为：4．
【典例2】模型分析
问题：点P是∠AOB内的一定点，点M，N分别为OA，OB上的动点，试确定点M，N的位置，使△PMN的周长最小．
解题思路：
一找：分别作点P关于OA，OB的对称点P′，P“，连接P'P“，分别交OA，OB于点M，N；
二证：验证当P′，M，N，P″四点共线时，△PMN的周长最小．
三计算．
注：当三个点均为动点时，先假定一个点为定点，再将其特化为“一定两动“问题
请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P″、P′，连接P′P″，交OA于M，交OB于N，
根据轴对称的性质可得MP＝P″M，PN＝P′N，
∴△PMN的周长的最小值＝P′P″．
【变式2-1】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，点M、N分别在BC、CD上，
（1）当∠MAN＝∠C时，∠AMN+∠ANM＝ °；
（2）当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM＝ °．
【答案】121，118
【解答】解：（1）∵∠BAD＝121°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠C＝180°﹣121°＝59°，
∴∠MAN＝∠C＝59°，
∴AMN+∠ANM＝180°﹣∠MAN＝180°﹣59°＝121°，
故答案为121．
（2）如下图，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，
连接A′A″，交BC于M，交CD于N，
则A′A″即为△AMN的周长最小值．
作DA延长线AH，
∵∠DAB＝121°，
∴∠HAA′＝59°，
∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝59°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，
∠NAD+∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM
＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″
＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×59°＝118°．
故答案为：118．
【变式2-2】如图，在边长为2的等边△ABC中，点P，M，N分别是BC，AB，AC上的动点，则△PMN周长的最小值为 ．
【答案】3
【解答】解：如图，连接AP，作点P关于AB，AC的对称点P′，P″，连接AP′，AP″，P′P″，P′P″分别交AB，AC于点M，N，连接PM，PN，此时△PMN的周长最小，最小值＝P′P″的长．过点A作AH⊥P′P″于点H．
∵AP＝AP′＝AP″，∠PAB＝∠P′AB，∠PAC＝∠P″AC，
∴∠P′AP″＝2∠PAB+2∠PAC＝2（∠PAB+∠PAC）＝120°，
∴∠P′＝∠P″＝30°，
∵AH⊥P′P″，
∴P′H＝P″H＝PA′•cs30°＝PA，
∴P′P″＝PA，
∴PA最小时，P′P″的值最小，
∵当PA⊥BC时，PA的值最小，此时PA＝，
∴P′P″的最小值为3，
∴△PMN的周长的最小值为3，
故答案为：3．
【典例3】模型分析
问题：点P，Q是∠AOB内部的两定点，点M，N分别是OA，OB上的动点，试确定点M，N的位置，使四边形PMNQ的周长最小．
解题思路：
一找：作点P关于OA的对称点P'，点Q关于OB的对称点Q′，连接P′Q′，分别交OA，OB于点M，N；
二证：验证当P′，M，N，Q′四点共线时，四边形PQNM的周长最小．
三计算．
请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．
【解答】解：如图，分别作点P，Q关于OA、OB的对称点P′、Q′，连接P′Q′，交OA于M，交OB于N，
根据轴对称的性质可得MP＝P′M，QN＝Q′N，
∴四边形PQNM周长的最小值＝P′Q′．
【变式3-1】如图，已知正方形ABCD的边长为5，AE＝2DF＝2，点G，H分别在CD，BC边上，则四边形EFGH周长的最小值为 ．
【答案】10+2．
【解答】解：作点E关于BC的对称点E′，作点F关于CD的对称点F′，，连接E′F'交BC、CD于点H、G，则EH＝E'H，GF＝GF'，此时四边形EFGH周长取最小值，
∴EFGH周长＝EF+EH+HG+FG＝EF+E'H+HG+F'G＝EF+E'F'
∵AE＝2DF＝2，
∴DF＝1，AF＝5﹣1＝4，DF'＝1，BE＝5﹣2＝3，
∴AF'＝5+1＝6，AE'＝5+3＝8，
∴E'F'＝10，
∴EF＝＝＝2．
∴EFGH周长最小值为：10+2．
【变式3-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，点E是AB的中点，若点P，Q分别是边BC，CD上的动点，则四边形AEPQ周长的最小值为 ．
【答案】3+3
【解答】解：如图所示，作出点A关于CD的对称点A′，作出点E关于BC的对称点E′，连接A′E′，分别交CD、BC于点Q、P，
∴AQ＝A′Q，EP＝E′P，
∴四边形AEPQ的周长＝A′Q+PQ+E′P+AE＝A′E′+AE，此时周长最小，
∵AB＝6，BC＝3，点E是AB的中点，
∴AD＝3，AE＝BE＝3，
∵AD＝AD′＝3，AE＝BE＝BE′＝3，
∵AA′＝6，AE′＝9，
∴A′E′＝＝＝3，
∴四边形AEPQ的周长＝3+3，
故答案为：3+3．
【典例4-1】基本模型
问题：
如图，点A，B为直线l同侧两定点，M，N为直线l上的动点，且MN的长度为定值，试确定点M，N 的位置，使AM+MN+BN的值最小．
解题思路：
一找：以AM，MN为邻边．构造▱AMNA′，作点A′关于直线l的对称点A“，连接A“B，交直线l于点N，再确定点M；
二证：验证当A“，N，B三点共线时，AM+MN+BN的值最小．
三计算．
请写出【基本模型】中解题思路“二证”的过程．
【解答】解：如图，
∵四边形AMNA′为平行四边形，
∴AA′＝MN，AM＝A′N，
∵点A′与点A″关于直线l对称，
∴NA′＝NA″，
∴AM+BN＝A′N+NB＝BA′，
∴此时AM+BN的值最小，
∴AM+MN+BN的值最小．
【典例4-2】模型演变
问题：如图，直线a∥b，定点A，B分别位于直线a的上方和直线b的下方，M，N分别为直线a，b上的动点，且MN⊥a，试确定点M，N的位置，使AM+MN+BN的值最小．
解题思路：
一找：以AM，MN为邻边构造▱AMNA′，连接A'B；
二证：验证当A'，N，B三点共线时，AM+MN+BN的值最小．
三计算．
请写出【模型演变】中解题思路“二证”的过程．
【解答】解：图形如图所示：
理由：在直线a上任意取一点M′，作M′N′⊥b于点N′，连接AM′BN′，A′N′．
∵四边形AA′NM是平行四边形，
∴AA′＝MN，
∵MN＝M′N′，
∴AA′＝M′N′，AA′∥M′N′，
∴四边形AA′N′M′是平行四边形，
∴AM′＝A′N′，
∴AM′+M′N′+BN′＝A′N′+N′N+M′N′≥A′B+M′N′＝AM+MN+BN，
∴AM+MN+BN的值最小．
【变式4-1】如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则AM+CN的最小值为 ．
【答案】3
【解答】解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为，则BD＝2＝AC，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，
过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，
理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，
则A′N＝CM＝AM，
故AM+CN＝AM+AN＝AA′为最小，
则A′A＝＝3，
则AM+CN的最小值为3，
故答案为：3．
【变式4-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ABD沿射线DB方向平移得到△A'B'D'，连接B'C，D'C，求B'C+D'C的最小值．
【答案】
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝1，∠A＝90°，
∴BD＝，
∵将△ABD沿射线DB平移得到△A'B'D'，
∴B′D′＝BD＝2，
作点C关于BD的对称点G，连接CG交BD于E，连接D′G，
则CD′＝GD′CE⊥BD，CG＝2CE，
∵CE＝
∴CG＝，
以B′D′，GD′为邻边作平行四边形B′D′GH，
则B′H＝D′G＝CD′，
当C，B′，H在同一条直线上时，CB′+B′H最短，
则B'C+D'C的最小值＝CH，
∵四边形B′D′GH是平行四边形，
∴HG＝B′D′＝2，HG∥B′D′，
∴HG⊥CG，
∴CH＝
∴B'C+D'C的最小值．为：