专题34功 功率 车船的两种启动方式-2023届高三物理一轮复习重难点逐个突破

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考点二 功率
考点三 车船的两种启动方式
考点一 功
1.W＝Flcsα (1) 该公式只适用于恒力做功． (2) α是力与位移方向之间的夹角，l为力在物体上的作用点相对大地的位移
2.功的正负: 功是标量,功的正负表示动力做功还是阻力做功，不表示大小和方向
(1)若物体做直线运动，依据力与位移的夹角来判断功的正负:0≤α<90°，力对物体做正功．90°<α≤180°，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功．α＝90°，力对物体不做功．
(2)若物体做曲线运动，依据F与v的方向夹角来判断功的正负。当0°≤α<90°，力对物体做正功；90°<α≤180°，力对物体做负功；α＝90°，力对物体不做功。
3.功的计算方法
(1)公式法：W＝Flcs_α（恒力做功）
(2)动能定理：W＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,2)－eq \f(1,2)mveq \\al(2,1).
(3)功率法：当变力的功率P一定时，可用W＝Pt求功，如机车恒定功率启动时．
(4)当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功等于力和路程(不是位移)的乘积．如滑动摩擦力做功、空气阻力做功等．
(5)平均力法：若力F随位移x线性变化，力可用平均值eq \x\t(F)＝eq \f(F1＋F2,2)表示，然后代入功的公式求功．
(6)图像法：若已知F－x图像和P－t图像，则图像与x轴或t轴所围的面积表示功，如图甲所示，在位移x0内力F做的功W＝eq \f(F0,2)x0.在图乙中，0～t0时间内做功W＝eq \f(P1＋P2,2)·t0.
(7)总功的计算：①先求物体所受的合外力，再求合外力的功；②先求每个力做的功，再求各功的代数和．
1．（2023·全国·高三课时练习）如图所示，物块A、B在外力F的作用下一起沿水平地面做匀速直线运动，下列关于A对地面的滑动摩擦力做功和B对A的静摩擦力做功的说法正确的是（ ）
A．B对A的静摩擦力做正功，A对地面的滑动摩擦力做负功
B．B对A的静摩擦力不做功，A对地面的滑动摩擦力做负功
C．B对A的静摩擦力做正功，A对地面的滑动摩擦力不做功
D．B对A的静摩擦力做负功，A对地面的滑动摩擦力做正功
【答案】C
【解析】A对地面虽然有摩擦力，但在力的作用下地面没有发生位移，所以A对地面的滑动摩擦力不做功，B对A的静摩擦力的方向向右，A的位移也向右，所以B对A的静摩擦力做正功。故选C。
2．在加速向左运动的车厢中，一个人用力向前推车厢，如图所示。人相对车厢未移动，则下列说法正确的是（ ）
A．人对车厢不做功B．人对车厢做正功
C．人对车厢做负功D．车厢对人做负功
【答案】C
【解析】对人进行受力分析如图所示
由于人车向左加速运动，则加速度方向向左，则f−F0=ma
则车厢底部对人的静摩擦力大于车厢竖直面对人的作用力，即车厢对人的作用力为f与F0的合力方向水平向左，车厢向左运动，位移方向向左，根据W=Fx
可知，车厢对人做正功，根据牛顿第三定律，可知，人对车厢的作用力为f与F0的反作用力的合力，方向水平向右，车厢向左运动，位移方向向左，根据W=Fx
可知，人对车厢做负功，ABD错误，C正确。
3.如图所示，用电梯将两箱相同的货物从一楼运送到二楼，其中图甲是用台阶式电梯运送，图乙是用履带式自动电梯运送，假设两种情况下电梯都是匀速地运送货物，下列说法正确的是( )
A．两种情况下电梯对货物的支持力都对货物做正功
B．图乙中电梯对货物的支持力对货物做正功
C．图甲中电梯对货物的支持力对货物不做功
D．图乙中电梯对货物的支持力对货物不做功
【答案】D
【解析】在题图甲中，货物随电梯匀速上升时，货物受到的支持力竖直向上，与货物位移方向的夹角小于90°，故此种情况下支持力对货物做正功，选项C错误；题图乙中，货物受到的支持力与电梯接触面垂直，此时货物受到的支持力与货物位移方向垂直，故此种情况下支持力对货物不做功，故选项A、B错误，D正确。
4．(多选)力F对物体所做的功可由公式W=F⋅Scsα求得。但用这个公式求功是有条件的，即力F必须是恒力。而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功。那么，用这个公式不能直接求变力的功，我们就需要通过其他的一些方法来求解力F所做的功。如图，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是（ ）
A．甲图中若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的为W=FOA−OC
B．乙图中，全过程中F做的总功为72J
C．丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功W=12πRf
D．图丁中，F始终保持水平，无论是F缓慢将小球从P拉到Q，还是F为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是W=Flsinθ
【答案】AB
【解析】A．因沿着同一根绳做功的功率相等，则力对绳做的功等于绳对物体做的功，则物块从A到C过程中力F做的为W=FOA−OC故A正确；
B．乙图F−x的面积代表功，则全过程中F做的总功为W=15×6J+(−3)×6=72J故B正确；
C．丙图中，绳长为R，空气阻力f大小不变，
小球从A运动到B过程中空气阻力做的功为W=−f⋅2πR4=−12πRf故C错误；
D．图丁中，F始终保持水平，当F为恒力时将小球从P拉到Q，F做的功是W=Flsinθ
而F缓慢将小球从P拉到Q，F为水平方向的变力，F做的功不能用力乘以位移计算，故D错误。
5．（2022·全国·高三课时练习）用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度为（ ）
A．（3-1）dB．（2-1）dC．(5−1)d2D．22 d
【答案】B
【解析】铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功，由于阻力与深度成正比，可用阻力的平均值求功，据题意可得W=F1d=kd2d，W=F2d′=kd+kd+d′2d′
联立解得d′=2−1d
故ACD错误，B正确。
6．如图为一物体在水平力F作用下沿水平面运动位移10m的F−s图象，则该水平力在这段位移内对物体所做的功的大小为（ ）
A．800JB．1200JC．1600JD．无法计算
【答案】B
【解析】该过程水平力F的平均值为F=80+1602N=120N
水平力F所做的功为W=Fs=1200J故选B。
7．某弹簧的弹力（F）—伸长量（x）的关系图像如图所示，弹簧由被拉长4cm到恢复原长的过程中，弹力做功为（ ）
A．0.4JB．-0.4JC．0.8JD．-0.8J
【答案】A
【解析】由图可知拉长4cm时弹力为F1=20N，恢复原长时，弹力F2=0。又因为弹簧的弹力是随位移（即形变量x）均匀变化的，故弹力做的功大小为W=Fx=F1+F22x=0+202×0.04J=0.4J
A正确BCD错误。
故选A。
8．（2022·全国·高三课时练习）水平桌面上，长R=5 m的轻绳一端固定于O点，如图所示（俯视图），另一端系一质量m=2.0 kg的小球，现对小球施加一个大小不变的力F=10 N，F拉着物体从M点运动到N点，方向始终与小球的运动方向成37°角。已知小球与桌面间的动摩擦因数μ=0.2，不计空气阻力，取g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cs 37°=0.8，则拉力F做的功与克服摩擦力做的功之比为（ ）
A．2∶1B．3∶1C．2∶1D．3∶1
【答案】C
【解析】因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，
W=Fcs 37°·π3R=40π3J
同理可得小球克服摩擦力做的功
Wf=μmg·π3R=20π3J
拉力F做的功与小球克服摩擦力做的功之比为2∶1。
故选C。
9．一辆质量为m的汽车，从静止开始运动，其阻力为车重的λ倍，其牵引力的大小F=kx+f，其中k为比例系数，x为车前进的距离，f为车所受的阻力，则当车前进的距离为s时牵引力做的功为（ ）
A．λmgsB．12ks2C．12ks2+λmgsD．12ks2+λmgs
【答案】C
【解析】由题意可知汽车受到的阻力大小为f=λmg
当x=0时，牵引力大小为F1=f
当x=s时，牵引力大小为F2=ks+f
由于牵引力随位移线性变化，所以整个过程的平均牵引力大小为F=F1+F22=12ks+λmg
牵引力做功为W=Fs=12ks2+λmgs故选C。
考点二 功率
P＝eq \f(W,t) 是功率的定义式只能计算平均功率.
P＝Fvcsα是功率的计算式，可以计算平均功率(v是平均速度)和瞬时功率(v是瞬时速度),α是F和v的夹角.
10．如图所示，质量相同的两物体从同一高度由静止开始运动，A沿着固定在地面上的光滑斜面下滑，B做自由落体运动。两物体分别到达地面时，下列说法正确的是( )
A．重力的平均功率eq \x\t(P)A>eq \x\t(P)B B．重力的平均功率eq \x\t(P)A＝eq \x\t(P)B
C．重力的瞬时功率PA＝PB D．重力的瞬时功率PA【答案】D
【解析】根据功的定义可知重力对两物体做功相同即WA＝WB，自由落体时间满足h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,B)，斜面下滑时间满足eq \f(h,sinθ)＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,A)sinθ，其中θ为斜面倾角，故tA>tB，由P＝eq \f(W,t)知eq \x\t(P)A11．如图所示，不可伸长的细线一端固定，另一端系一小球，小球从与悬点等高处由静止释放后做圆周运动，不计空气阻力，则小球从释放位置运动到最低点的过程中( )
A．水平方向加速度不断增大
B．竖直方向加速度不断增大
C．重力做功的瞬时功率先增大后减小
D．拉力做功的瞬时功率先增大后减小
【答案】C
【解析】小球在最高点合力方向竖直向下，在最低点合力方向竖直向上，但在中间过程某点拉力却有水平方向的分量，所以小球水平方向的加速度必定先增大后减小，故A错误；小球在开始释放的瞬间的加速度为g且向下，接下来线在竖直方向有向上的分量，所以小球所受的合外力减小，则加速度开始变小，故B错误；重力的瞬时功率为：P=mgvy，小球在开始释放的瞬间速度为零，此时重力的瞬时功率为零，到达最低点时，速度水平向左，竖直分速度为零，所以此时重力的瞬时功率为零，在中间过程竖直分速度不为零，重力的瞬时功率也不为零，所以重力的瞬时功率先增大后减小，故C正确；拉力的方向始终与速度方向垂直，所以拉力瞬时功率为始终零，故D错误．所以C正确，ABD错误．
考点三 车船的两种启动方式
一.启动问题的四个常用关系：
(1)P＝Fv.
(2)F－f＝ma.
(3)v＝at(a恒定)．
(4)Pt－fx＝ΔEk(P恒定)．
二.两种启动方式的比较（以水平路面启动为例且阻力恒定)
1.以恒定功率启动
1)启动过程：P＝F↓v↑⇒F↓－f＝ma↓⇒a＝0 速度达到最大（加速度减小的加速直线运动⇒以vm做匀速直线运动）
2)恒定功率启动的P－t图像与v－t图像

2.以恒定牵引力启动
1)启动过程：F－f＝ma（a不变）⇒P↑＝Fv↑⇒ P额＝F↓v↑⇒F↓－f＝ma↓⇒a＝0速度达到最大
（匀加速直线运动⇒加速度减小的加速运动⇒以vm做匀速直线运动）
2)以恒定牵引力启动的P－t图像与v－t图像

三.(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝eq \f(P,F阻).
(2)机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大（额定功率），但速度不是最大，v＝eq \f(P额,F)(3)机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝Pt.由动能定理得：Pt－fx＝ΔEk.此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小和时间．
12．(多选)中国高铁是中国走向世界的一张亮丽名片。如图所示，一列质量为m的高速列车，初速度为v0，以恒定功率P在平直轨道上运动，经时间t达到该功率下的最大速度vm。设列车行驶过程所受到的阻力f保持不变，则在时间t内（ ）
A．该列车做匀加速直线运动B．该列车牵引力做的功为Pt
C．克服阻力做的功为fvmtD．合力做的功为12mvm2−12mv02
【答案】BD
【解析】A．复兴号以恒定功率运动，根据P=F牵v
知随着速度的增加，牵引力逐渐减小，合力减小，加速度减小，故复兴号动车做加速度逐渐减小的变加速直线运动，A错误；
B．此过程牵引力的功率不变，由W=Pt知牵引力的功可以表示为W牵=Pt B正确；
C．此过程阻力大小不变，但列车不是匀速运动，位移不等于vmt，所以克服阻力做功不等于fvmt，C错误；
D．由动能定理可知此过程合力做的功为W合=12mvm2−12mv02 D正确。
13．质量为m的汽车，启动后沿平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的阻力大小一定，汽车速度能够达到的最大值为v，那么当汽车的车速为eq \f(v,3)时，汽车的瞬时加速度的大小为( )
A．eq \f(P,mv) B．eq \f(2P,mv) C．eq \f(3P,mv) D．eq \f(4P,mv)
【答案】B
【解析】当汽车匀速行驶时，据P＝Fv知，阻力Ff＝F＝eq \f(P,v)。当汽车的速度为eq \f(v,3)时，根据P＝F′·eq \f(v,3)，得牵引力F′＝eq \f(3P,v)，由牛顿第二定律得加速度a＝eq \f(F′－Ff,m)＝eq \f(\f(3P,v)－\f(P,v),m)＝eq \f(2P,mv)，B正确。
14．质量为m的汽车，其发动机额定功率为P.当它在倾角为θ的斜坡上向上行驶时，受到的阻力为车重力的k倍，则车在此斜坡上的最大速度为( )
A.eq \f(P,mgsin θ) B.eq \f(Pcs θ,mgk＋sin θ)
C.eq \f(Pcs θ,mg) D.eq \f(P,mgk＋sin θ)
【答案】D
【解析】当汽车做匀速运动时速度最大，此时汽车的牵引力大小为F＝mgsin θ＋kmg，由P＝Fvm可得vm＝eq \f(P,mgk＋sin θ)，故选项D正确．
15．(多选)一辆小汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s内做匀加速直线运动，5 s末达到额定功率，之后保持以额定功率运动，其v­t图像如图所示。已知汽车的质量为m＝1×103 kg，汽车受到地面的阻力为车重的0．1倍，取g＝10 m/s2，则以下说法正确的是( )
A．汽车在前5 s内的牵引力为5×103 N
B．汽车速度为25 m/s时的加速度为2 m/s2
C．汽车的额定功率为100 kW
D．汽车的最大速度为80 m/s
【答案】AC
【解析】 由题图知，匀加速运动的加速度大小a＝eq \f(Δv,Δt)＝eq \f(20,5) m/s2＝4 m/s2，根据牛顿第二定律得F－F阻＝ma，其中 F阻＝0．1mg＝1×103 N，解得牵引力F＝F阻＋ma＝1×103 N＋4×103 N＝5×103 N，故A正确；
汽车的额定功率P＝Fv＝5×103 ×20 W＝1×105 W＝100 kW，故C正确；
汽车在25 m/s时的牵引力F′＝eq \f(P,v)＝eq \f(1×105,25) N＝4×103 N，根据牛顿第二定律得，加速度a′＝eq \f(F′－F阻,m)＝eq \f(4×103 －1×103,1×103) m/s2＝3 m/s2，故B错误；
当牵引力等于阻力时，速度最大，则最大速度vm＝eq \f(P,F阻)＝eq \f(1×105,1×103) m/s＝100 m/s，故D错误。
16．(2021·湖南卷·3)“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的．总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶．该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比(F阻＝kv，k为常量)，动车组能达到的最大速度为vm.下列说法正确的是( )
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为eq \f(3,4)vm
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为eq \f(1,2)mvm2－Pt
【答案】C
【解析】解析 对动车组由牛顿第二定律有 F牵－F阻＝ma，
动车组匀加速启动，即加速度a恒定，但F阻＝kv随速度增大而增大，则牵引力也随阻力增大而增大，故A错误；
若四节动力车厢输出功率均为额定值，则总功率为4P，由牛顿第二定律有eq \f(4P,v)－kv＝ma，故可知加速启动的过程，牵引力减小，阻力增大，则加速度逐渐减小，故B错误；
若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，动车组匀速行驶时加速度为零，有eq \f(2.25P,v)＝kv，
而以额定功率匀速行驶时，有eq \f(4P,vm)＝kvm，
联立解得v＝eq \f(3,4)vm，故C正确；
若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，
由动能定理可知4Pt－W克阻＝eq \f(1,2)mvm2－0
可得动车组克服阻力做的功为
W克阻＝4Pt－eq \f(1,2)mvm2，故D错误．
17．（2021·全国·高三专题练习）(多选)比亚迪E-SEED概念车是基于人类未来发展而倾力打造的一款全新型纯电动汽车，其中“E-SEED”五个英文字母分别代表：电动、运动、体验、环保和装置，蕴含着比亚迪绿色环保的设计理念。为了获取该款车的有关数据，某次试车过程中，试车员驾驶汽车从静止开滑平直公路启动，并控制汽车功率按图示规律变化。已知汽车的质量为m，额定功率为P0，汽车在行驶过程中所受阻力恒为车重的K倍，在t2时刻汽车刚好获得最大速度。则下列说法正确的是（ ）
A．在t1~t2时间内汽车做匀速直线运动
B．在0~t1时间内汽车平均功率为12P0
C．在0~t2时间内汽车发动机所做的功为P012t1+t2
D．在t2时刻汽车的运动速度为P0Kmg
【答案】BD
【解析】根据图象确定汽车做加速度减小的变加速直线运动，当功率达到额定功率将保持不变，最后当牵引力等于阻力时，速度达到最大。
A．由题意并结合图象可知，在t1∼t2时间内汽车做加速度减小的变加速直线运动，选项A错误；
B．在0∼t1时间内P0∝t，
所以汽车的平均功率为P=12P0，选项B正确；
C．在0∼t2时间内，汽车发动机所做的功为W=12P0t1+P0t2−t1 =P0t2−12t1，选项C错误；
D．在t2时刻，汽车达到最大速度，则有汽车的牵引力F=Kmg，
则vm=P0F=P0Kmg，选项D正确；
18.(多选)如图所示为汽车的加速度和车速的倒数eq \f(1,v)的关系图象．若汽车质量为2×103 kg，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，最大车速为30 m/s，则 ( )
A．汽车所受阻力为2×103 N B．汽车匀加速所需时间为5 s
C．汽车匀加速的加速度为3 m/s2 D．汽车在车速为5 m/s时，功率为6×104 W
【答案】AB
【解析】 设汽车所受阻力大小为f ，由汽车的加速度和车速倒数eq \f(1,v)的关系图象可知，汽车从静止开始先做匀加速运动，加速度a＝2 m/s2，直到速度达到v1＝10 m/s，则匀加速阶段所用时间为t＝eq \f(v1,a)＝5 s，此时汽车的牵引力功率达到最大，即Pm＝(f＋ma)v1；接下来做加速度逐渐减小的变加速运动，汽车的牵引力功率保持不变，当速度达到v2＝30 m/s时，加速度为零，此时Pm＝fv2，则解得f＝2×103 N，Pm＝6×104 W，当汽车在车速为5 m/s时，功率为P＝(f＋ma)v＝3×104 W，A、B正确，C、D错误．
19.汽车发动机的额定功率为60 kW，汽车的质量为4吨，当它行驶在坡度为α(sin α＝0.02)的长直公路上时，如图8所示，所受摩擦力为车重力的0.1倍(g取10 m/s2)，求：(结果均保留三位有效数字)
(1)汽车所能达到的最大速度vm；
(2)若汽车从静止开始以0.6 m/s2的加速度做匀加速直线运动，则此过程能维持多长时间；
(3)当汽车从静止开始以0.6 m/s2的加速度匀加速行驶直到速度达到最大值的过程中，汽车做功为多少．
【答案】(1)12.5 m/s (2)13.9 s (3)4.16×105 J
【解析】(1)汽车在坡路上行驶，所受阻力分为两部分，即 F阻＝kmg＋mgsin α＝4 800 N
又因为F＝F阻时，P＝F阻·vm，所以 vm＝eq \f(P,F阻)＝eq \f(6×104,4 800) m/s＝12.5 m/s
(2)汽车从静止开始，以a＝0.6 m/s2的加速度匀加速行驶，有F′－kmg－mgsin α＝ma，所以F′＝ma＋kmg＋mgsin α＝4×103×0.6 N＋4 800 N＝7.2×103 N；保持这一牵引力，汽车可达到匀加速行驶的最大速度vm′，
有 vm′＝eq \f(P,F′)＝eq \f(60×103,7.2×103) m/s≈8.33 m/s
由运动学规律可得 t＝eq \f(vm′,a)＝eq \f(8.33,0.6) s≈13.9 s
(3)汽车在匀加速阶段行驶时做功为 W＝F′·l＝F′·eq \f(vm′2,2a)≈4.16×105 J.
20.如图所示，遥控电动赛车(可视为质点)从A点由静止出发，经过时间t后关闭电动机，赛车继续前进至B点后水平飞出，垂直地撞到倾角为θ＝53°的斜面上C点。已知赛车在水平轨道AB部分运动时受到恒定阻力f＝0.4N，赛车的质量m＝0.4kg，通电后赛车的电动机以额定功率P＝2W工作，轨道AB的长度L＝2m，B、C两点的水平距离S＝1.2m，空气阻力忽略不计，g取10m/s2，sin53°＝0.8，cs53°＝0.6。求：
(1)赛车运动到C点时速度vc的大小；
(2)赛车电动机工作的时间t。
【答案】(1)5m/s (2)2s
【解析】 (1)B→C：S＝v0t vy＝gt
在C处：eq \f(v0,vy)＝tan53° 得：v0＝4m/s
vc＝eq \f(v0,sin53°)＝5m/s
(2)A→B：Pt－fL＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,0) 得：t＝2s