专题20锐角三角函数的核心知识点精讲-备战2024年中考数学一轮复习考点

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1.通过复习进一步理解锐角三角形函数的概念，能熟练应用sinA，csA，tanA表示直角三角形中两边的比，熟记特殊角30°，45°，60°的三角函数值；
2.理解直角三角形中边角之间的关系，会运用勾股定理，锐角三角函数的有关知识来解某些简单的实际问题，从而进一步把数和形结合起来，培养应用数学知识的意识；
3.会用锐角三角函数的有关知识来解决某些简单的实际问题。
考点1：锐角三角函数的概念
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．

锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作csA，即；
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.
同理；；．
考点2：特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：
考点3：解直角三角形
在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.
设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
③边角之间的关系：
，，，
，，.
④，h为斜边上的高.
注意：
(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.
(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).
(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.
考点4：解直角三角形的应用
（1）坡度坡角
在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：
(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.
（2）仰角俯角问题
仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.

（3）方位角问题
方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.

(2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.
【题型1：锐角三角函数的概念】
【典例1】（2022•荆州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【解答】解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
∵OP∥AB，
∴△OCP∽△BCA，
∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，
∵∠AOC＝∠AQP＝90°，
∴CO∥PQ，
∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，
∵P（1，1），
∴PQ＝OQ＝1，
∴AO＝2，
∴tan∠OAP＝＝＝．
故选：C．
【变式1-1】（2021•云南）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA＝，则AB的长是（ ）
A．B．C．60D．80
【答案】D
【解答】解：在直角三角ABC中，
∵AC＝100，sinA＝，
∴BC＝60，
∴AB＝＝80，
故选：D．
【变式1-2】（2023•陕西）如图，在6×7的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinB的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：连接AD，则∠ADB＝90°，
∵AD＝＝2，AB＝＝，
∴sinB＝＝＝，
故选：A．
【变式1-3】（2022•宜宾）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cs∠ADF的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，
∴∠BDC＝∠DBF，
由折叠的性质可得∠BDC＝∠BDF，
∴∠BDF＝∠DBF，
∴BF＝DF，
设BF＝x，则DF＝x，AF＝5﹣x，
在Rt△ADF中，32+（5﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴cs∠ADF＝，
故选：C．
【题型2：特殊角的三角函数】
【典例2】（2022•天津）tan45°的值等于（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】B
【解答】解：tan45°的值等于1，
故选：B．
【变式2-1】（2022•广东）sin30°＝ ．
【答案】．
【解答】解：sin30°＝．
故答案为：．
【变式2-2】（2022•荆门）计算：+cs60°﹣（﹣2022）0＝ ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：+cs60°﹣（﹣2022）0
＝﹣+﹣1
＝0﹣1
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【变式2-3】（2022•达州）计算：（﹣1）2022+|﹣2|﹣（）0﹣2tan45°．
【答案】0．
【解答】解：原式＝1+2﹣1﹣2×1
＝1+2﹣1﹣2
＝0．
【题型3：解直角三角形】
【典例3】（2023•常州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在边AB上，连接CD．若BD＝CD，＝，则tanB＝ ．
【答案】．
【解答】解：设AD＝t，
∵BD＝CD，＝，
∴BD＝CD＝3t，
∴AC＝＝2t，AB＝AD+BD＝4t，
∴tanB＝＝＝，
故答案为：．
【变式3-1】（2023•牡丹江）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm，若按相同的方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为 （2+2） cm．
【答案】（2+2）．
【解答】解：∵∠AOB＝45°，∠AOC＝22.5°，
∴∠BOC＝∠AOC，
∵BC∥OA，
∴∠BCO＝∠AOC，
∴∠BCO＝∠BOC，
∴BC＝OB，
∵△ODB是等腰直角三角形，
∴OB＝BD＝2cm，
∴CD＝BC+BD＝（2+2）cm．
∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为（2+2）cm．
故答案为：（2+2）．
【变式3-2】（2023•宿迁）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C三点都在格点上，则sin∠ABC＝ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，连接AC，
由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，
则BC2+AC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴sin∠ABC＝＝＝，
故答案为：．
【变式3-3】（2022•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，点D是AC上一点，连结BD．若tan∠A＝，tan∠ABD＝，则CD的长为（ ）
A．2B．3C．D．2
【答案】C
【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，
∵tan∠A＝＝，tan∠ABD＝＝，
∴AE＝2DE，BE＝3DE，
∴2DE+3DE＝5DE＝AB，
在Rt△ABC中，tan∠A＝，BC＝，
∴，
解得AC＝，
∴AB＝，
∴DE＝1，
∴AE＝2，
∴AD＝，
∴CD＝AC﹣AD＝，
故选：C．
【题型4：解直角三角形的应用】
【典例4】（2022•绍兴）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．
（1）求∠BAD的度数．
（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈，tan84°≈）
【答案】（1）47°；
（2）3.3米．
【解答】解：（1）∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠ABC＝47°，
答：∠BAD的度数是47°．
（2）在Rt△ABC中，，
∴．
在Rt△ADC中，，
∵BD＝4，
∴，
∴，
∴AC≈3.3（米），
答：表AC的长是3.3米．
【变式4-1】（2023•盐城）如图1，位于市区的“铁军”雕塑“大铜马”是盐城市标志性文化名片，如图2，线段AB表示“铁军”雕塑的高，点B，C，D在同一条直线上，且∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，CD＝17.5m，则线段AB的长约为 15 m．（计算结果保留整数，参考数据：≈1.7）
【答案】15．
【解答】解：∵∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，∠ACB＝∠ADB+∠CAD，
∴∠ADB＝∠CAD＝30°，
∴AC＝CD＝17.5m，
∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，
∴AB＝AC•sin∠ACB＝AC≈15m，
故答案为：15．
【变式4-2】（2023•贵州）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上）
（1）求索道AB的长（结果精确到1m）；
（2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）．
（参考数据：sin15°≈0.25，cs15°≈0.96，tan15°≈0.26，）
【答案】（1）600m；
（2）1049m．
【解答】解：（1）在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠A＝15°，AE＝576m，
∴AB＝（m），
即AB的长约为600m；
（2）延长BC交DF于G，
∵BC∥AE，
∴∠CBE＝90°，
∵DF⊥AF，
∴∠AFD＝90°，
∴四边形BEFG为矩形，
∴EF＝BG，∠CGD＝∠BGF＝90°，
∵CD＝AB＝600m，∠DCG＝45°，
∴CG＝CD•cs∠DCG＝600×cs45°＝600×＝（m），
∴AF＝AE+EF＝AE+BG＝AE+BC+CG＝576+50+≈1049（m），
即AF的长为1049m．
【变式4-3】（2023•成都）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．
如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cs16°≈0.96，tan16°≈0.29）
【答案】阴影CD的长约为2.2米．
【解答】解：过A作AT⊥BC于T，AK⊥CE于K，如图：
在Rt△ABT中，
BT＝AB•sin∠BAT＝5×sin16°≈1.4（米），AT＝AB•cs∠BAT＝5×cs16°≈4.8（米），
∵∠ATC＝∠C＝∠CKA＝90°，
∴四边形ATCK是矩形，
∴CK＝AT＝4.8米，AK＝CT＝BC﹣BT＝4﹣1.4＝2.6（米），
在Rt△AKD中，
∵∠ADK＝45°，
∴DK＝AK＝2.6米，
∴CD＝CK﹣DK＝4.8﹣2.6＝2.2（米），
∴阴影CD的长约为2.2米．
一．选择题（共10小题）
1．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，那么∠A的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴sinA＝＝，
故选：D．
2．2sin45°的值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【解答】解：2sin45°＝2×＝．
故选：A．
3．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则sin∠AOC的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：连接BC，
由题意可得：OB＝OC＝BC，
则△OBC是等边三角形，
故sin∠AOC＝sin60°＝．
故选：D．
4．为测楼房BC的高，在距楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α，则楼房BC的高为（ ）
A．30tanα米B．米C．30sinα米D．米
【答案】A
【解答】解：在Rt△ABC中，有∠BAC＝α，AC＝30．
∴BC＝30tanα．
故选：A．
5．如图，AD是△ABC的高，若BD＝2CD＝6，sin，则边AB的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：∵sin∠DAC＝，
∴tan∠DAC＝，
∴＝，
∵BD＝6，CD＝3，
∴AD＝6，
由勾股定理可知：AB2＝BD2+AD2，
∴AB＝6，
故选：D．
6．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝10，CD＝8，则∠OCE的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：∵AB＝10，
∴OC＝AB＝5，
∵AB⊥CD，且AB为⊙O的直径，CD＝8，
∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝CD＝4，
∴cs∠OCE＝＝，
故选：B．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，连接CD，若，BC＝8，则△ABC的面积为（ ）
A．5B．8C．10•D．16
【答案】D
【解答】解：过点E作EF⊥CD于点F，连接AE，
在Rt△CEF中，，
∴设EF＝3k，则DF＝4k，
由勾股定理得：，
∵DE垂直平分AB，
∴∠BDE＝90°，BE＝AE，
在Rt△BDE中，，
在Rt△CEF中，，
∵点D为AB的中点，∠ACB＝90°，
∴CD＝BD＝AD，
∴∠B＝∠BCD，
∴sin∠B＝sin∠BCD，
即：，
∴，
∴，
即：，
又∵BC＝8，
∴CE＝3，
∴BE＝BC﹣CE＝5，
∴AE＝BE＝5，
在Rt△ACE中，CE＝3，AE＝5，
由勾股定理得：，
∴．
故选：D．
8．某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形．若∠ACB＝130°，AC＝BC＝1.2m，CD与地面垂直且CD＝3m，则灯顶A到地面的高度为（ ）
A．3+1.2cs25°B．3+1.2sin25°
C．D．
【答案】B
【解答】解：连接AB，延长DC交AB于点E，
由题意可知：∠ACE＝∠ACB＝65°，
在Rt△ACD中，
cs∠ACE＝cs65°＝，
∴CE＝1.2cs65°（m），
∴点A到地面的高度为：CE+CD＝（1.2cs65°+3）m，
∵cs65°＝sin25°，
∴CE+CD＝（1.2sin25°+3）m，
故选：B．
9．某地区准备修建一座高AB＝6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的余弦值为，则坡面AC的长度为（ ）
A．8B．9C．10D．12
【答案】C
【解答】解：由在Rt△ABC中，cs∠ACB＝＝，
设BC＝4x，AC＝5x，
则AB＝3x，
则sin∠ACB＝＝；
又∵AB＝6m，
∴AC＝10m．
故选：C．
10．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10米．则标识牌CD的高度是（ ）米．
A．15﹣5B．20﹣10C．10﹣5D．5﹣5
【答案】A
【解答】解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．
在Rt△ABM中，AB＝10米，∠BAM＝30°，
∴AM＝AB•cs∠BAM＝5米，BM＝AB•sin∠BAM＝5米．
在Rt△ADE中，AE＝10米，∠DAE＝60°，
∴DE＝AE•tan∠DAE＝10米．
在Rt△BCN中，BN＝AE+AM＝（10+5）米，∠CBN＝45°，
∴CN＝BN•tan∠CBN＝（10+5）米，
∴CD＝CN+EN﹣DE＝10+5+5﹣10＝（15﹣5）米．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．cs30°＝ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：cs30°＝．
故答案为：．
12．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，则sinA＝ ．
【答案】．
【解答】解：sinA＝＝．
故答案为：．
13．在如图所示的网格中，小正方形网格的边长为1，△ABC的三个顶点均在格点上．则tan∠A的值为 ．
【答案】．
【解答】解：设AB边上靠近点B的格点为D，连接CD，如图：
∵网格中小正方形的边长为1，
∴，，
∵BD，CD为小正方形的对角线，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ACD中，，，
∴．
故答案为：．
14．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，则支架BC的长为 49 cm．（结果精确到1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
【答案】49．
【解答】解：如图2，过C作CD⊥MN于D，
则∠CDB＝90°，
∵∠CAD＝60°，AC＝40（cm），
∴CD＝AC•sin∠CAD＝40×sin60°＝40×＝20（cm），
∵∠ACB＝15°，
∴∠CBD＝∠CAD﹣∠ACB＝60°﹣15°＝45°，
∴BC＝CD＝×20＝20≈20×2.449≈49（cm），
故答案为49．
15．某仓储中心有一斜坡AB，其坡比i＝1：2，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平面上．则斜坡AB的水平宽度BC为 8 米．
【答案】8．
【解答】解：∵坡度为i＝1：2，AC＝4米，
∴BC＝4×2＝8（米），
故答案为：8．
三．解答题（共5小题）
16．计算：3tan30°+tan45°﹣2sin60°．
【答案】1．
【解答】解：3tan30°+tan45°﹣2sin60°
＝3×+1﹣2×
＝+1﹣
＝1．
17．为保证车辆行驶安全，现在公路旁设立一检测点A观测行驶的汽车是否超速．如图，检测点A到公路的距离是24米，在公路上取两点B、C，使得∠ACB＝30°，∠ABC＝120°．
（1）求BC的长（结果保留根号）；
（2）已知该路段限速为45千米/小时，若测得某汽车从B到C用时2秒，这辆汽车是否超速？说明理由．（参考数据：≈1.7，≈1.4）
【答案】（1）16；
（2）超速．
【解答】解：（1）过点A作BC的垂线，垂足即为点D．
由题意得，AD＝24m，
在Rt△ADC中，，
解得．
在Rt△ABD中，，
解得，
所以BC＝CD﹣BD＝（米）；
（2）汽车从B到C用时2秒，所以速度为（米/秒），
因为13.6米/秒＝48.96千米/小时＞45千米/小时，
（或因为45千米/小时＝12.5米/秒＜13.6米/秒），
所以此汽车超速．
18．小琪要测量某建筑物的高度．如图，小琪在点A处测得该建筑物的最高点C的仰角为31°，再往该建筑物方向前进30m至点B处测得最高点C的仰角为45°．根据测得的数据，计算该建筑物的高度CD（结果取整数）．
参考数据：sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60．
【答案】该建筑物的高度CD是45米．
【解答】解：设BD＝x m，
∵∠CBD＝45°，∠CDB＝90°，
∴BD＝CD＝x m，
在Rt△ACD中，∠CAD＝31°，
∴tan31°＝＝，
解得：x≈45m，
答：该建筑物的高度CD是45m．
19．如图，一气球到达离地面高度为12米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°．气球要竖直上升到与楼顶同一水平高度，应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，）
【答案】气球应至少再上升5.2米．
【解答】解：过A作AD⊥BC，垂足为点D，过A作AE⊥EC，垂足为点E，
∴四边形AECD是矩形，
∴CD＝AE，
由题意可知：CD＝AE＝12，∠CAD＝60°，∠BAD＝37°，
在Rt△ADC中，
∴，
在Rt△ADB中，
∴BD＝AD×tan37°＝6.94×0.75＝5.205≈5.2（米）．
答：气球应至少再上升5.2米．
20．贵州省遵义市凤凰楼，位于凤凰山主峰，该楼为一幢七层六角型仿古景观建筑，游客登上楼顶后，可以将遵义城区风景一览无余，是当地识别性很高的地标建筑．在一次综合实践活动中，某小组对凤凰楼的楼高进行了如下测量．如图，将测角仪放在楼前平坝C处测得该楼顶端B的仰角为60°，沿平坝向后退50m（CD＝50m）到D处有一棵树，将测角仪放在距地面2m（DE＝2m）的树枝上的E处，测得B的仰角为30°．请你帮助该小组计算凤凰楼的高度AB．（结果精确到1m，参考数据：
【答案】46米．
【解答】解：设BF＝x m，
在Rt△BEF中，tan30°＝，
∴EF＝＝x（m），
∵EF∥AD，ED∥AF，∠BAD＝90°，
∴四边形EFAD是矩形，
∴AD＝EF＝x（m），ED＝AF＝2m，
∴AB＝（x+2）m，
在Rt△ABC中，AC＝＝（m），
∴＝50+，
解得x＝25+1，
∴AB＝x+2＝25+1+2＝25+3≈46（m），
答：凤凰楼的高度AB约为46米．
一．选择题（共10小题）
1．如图，一把梯子AB斜靠在墙上，端点A离地面的高度AC长为1m时，∠ABC＝45°．当梯子底端点B水平向左移动到点B'，端点A沿墙竖直向上移动到点A'，设∠A'B'C＝α，则AA'的长可以表示为（ ）m．
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：由题意得：∠ACB＝90°，AB＝A′B′，
在Rt△ACB中，AC＝1m，∠ABC＝45°，
∴AB＝＝＝（m），
∴AB＝A′B′＝m，
在Rt△A′CB′中，∠A′B′C＝α，
∴A′C＝A′B′•sinα＝sinα（m），
∴AA′＝A′C﹣AC＝（sinα﹣1）m，
故选：B．
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，经过点B且半径为5的⊙O与AB交于D，与CB的延长线交于E，则线段DE的长为（ ）
A．6.4B．7C．7.2D．8
【答案】D
【解答】解：如图所示，连接DO并延长交⊙O于F，连接EF，
∵DO是直径，
∴∠DEF＝90°，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，
∴AB＝＝15，
∴sin∠ABC＝＝，
∵四边形BDFE是圆内接四边形，
∴∠F+∠DBE＝180°，
又∵∠ABC+∠DBE＝180°，
∴∠ABC＝∠F，
∴sin∠ABC＝sinF，
在Rt△DEF中，sinF＝＝，
∴DE＝DF＝10×＝8，
故选：D．
3．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为140m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（ ）
A．140mB．C．D．
【答案】B
【解答】解：如图：
∵该金字塔的下底面是一个边长为140m的正方形，
∴BC＝×140＝70（m），
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，
∴AC＝BC•tan60°＝70（m），
∴则金字塔原来高度为70m，
故选：B．
4．在综合实践课上，某班同学测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°，在C处测得树顶D的仰角为37°（点A、B、C在同一条水平主线上），已知测量仪的高度AE＝CF＝1.65米，AC＝28米，则树BD的高度是（ ）【参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75】
A．12米B．12.65米C．13米D．13.65米
【答案】D
【解答】解：连接EF交BD于点M，则EF⊥BD，
AE＝BM＝CF＝1.65米，EF＝AC＝28米．
设DM＝x米，
∵在Rt△DEM中，∠DEM＝45°，
∴EM＝DM＝x米，
∴MF＝（28﹣x）米，
在Rt△DFM中，∠DFM＝37°，
∴，
即：，
解得x＝12，
即DM＝12米．
∴BD＝DM+BM＝12+1.65＝13.65（米）．
∴树BD的高度约为13.65米．
故选：D．
5．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cs∠AOD＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：如图，连接BE、AE．
则：EB＝，AB＝．
∵CD、BE、AE都是正方形的对角线，
∴∠CDE＝∠BEF＝∠AEO＝∠BEO＝45°．
∴CD∥BE，∠AEB＝∠AEO+∠BEO＝90°．
∴∠AOD＝∠ABE，△ABE是直角三角形．
∴cs∠ABE＝＝＝．
故选：D．
6．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积＝（弦×矢+矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则cs∠OAB＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：如图，作OH⊥AB于H．
由题意：AB＝8，OA﹣OH＝3，
∵OH⊥AB，
∴AH＝BH＝4，
∵AH2+OH2＝OA2，
∴42＝（OA+OH）（OA﹣OH），
∴OA+OH＝，
∴OA＝，OH＝，
∴cs∠OAB＝＝＝，
故选：B．
7．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，D是AC上一点，∠CBD＝∠A，则sin∠CDB的值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【解答】解：∵∠CBD＝∠A，CD＝CD，∠C＝90°，
∴△ABC∽△CDB，
∴∠CDB＝∠B，
∴sin∠CDB＝sin∠B，
∵tanA＝＝，
设CD＝1，则AC＝3，
∴AB＝＝＝，
∴sin∠B＝＝＝，
∴sin∠CDB＝．
故选：C．
8．小明喜欢构建几何图形，利用数形结合的思想解决代数问题．在计算tan22.5°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，所以，＝，类比小明的方法，计算tan15°的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB到点D，使BD＝AB，连接AD，
设AC＝1，
∴AB＝2AC＝2，BC＝AC＝，
∵∠ABC是△ABD的一个外角，
∴∠ABC＝∠D+∠BAD＝30°，
∵BA＝BD＝2，
∴∠D＝∠BAD＝15°，
在Rt△ACD中，∠D＝15°，
∴tan15°＝＝＝＝2﹣，
故选：C．
9．如图，大坝的横截面是梯形ABCD，AD∥BC，坝顶宽AD＝4m，坝高AE＝6m，斜坡AB的坡度，斜坡DC的坡角∠C＝45°，那么坝底BC的长度是（ ）m．
A．6B．（6+4）C．10D．（6+10）
【答案】D
【解答】解：如图，过D作DF⊥BC于F，
∵AE⊥BC，AD∥BC，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
又∵∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD为矩形，
∴AE＝DE＝6m，AD＝EF＝4m，
∵斜坡AB的坡度，
∴AE：BE＝，
∴BE＝，
∵斜坡DC的坡角∠C＝45°，
∴△DFC为等腰直角三角形，
∴FC＝DF＝6m，
∴BC＝BE+EF+CF＝6+4+6＝．
故选：D．
10．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，连接DE，若＝，则sinA的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠BEA，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴＝＝，
设AD＝2a，则AC＝5a，
根据勾股定理得到CD＝a，
因而sinA＝＝．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，已知BC＝2m，CD＝5.4m，∠DCF＝30°，则车位所占的宽度EF为 4.4 米．（，结果精确到0.1）
【答案】4.4．
【解答】解：在直角三角形DCF中，
∵CD＝5.4m，∠DCF＝30°，
∴sin∠DCF＝＝＝，
∴DF＝2.7，
∵∠CDF+∠DCF＝90°∠ADE+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠DCF，
∵AD＝BC＝2，
∴cs∠ADE＝＝＝，
∴DE＝，
∴EF＝ED+DF≈2.7+1.73≈4.4（米）．
答：车位所占的宽度EF约为4.4米．
故答案为：4.4．
12．如图是一个水坝的横截面示意图（AD∥BC），迎水坡AB的坡比i＝1：3，坡面长AB＝30米，背水坡CD的坡角∠BCD＝45°，则背水坡坡面CD长是 6 米．（注：坡比是斜坡的铅直高度与水平宽度的比）
【答案】6．
【解答】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F，
∵迎水坡AB的坡比i＝1：3，
∴＝，
∴设AE＝x米，则BE＝3x米，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝x（米），
∵AB＝30米，
∴x＝30，
∴x＝3，
∴AE＝3米，
∵AD∥BC，
∴AE＝DF＝3米，
在Rt△CDF中，∠DCF＝45°，
∴CD＝＝＝6（米），
故答案为：6．
13．如图，小林同学为了测量某世界名楼的高度，他站在G处仰望楼顶C，仰角为45°，走到点F处仰望楼顶C，仰角为60°，眼睛D、B离同一水平地面EG的高度为1.6米，FG＝20米，则楼顶C离地面的高度CE约是 48.9 米（取1.732，取1.414，按四舍五入法将结果精确到0.1）．
【答案】48.9．
【解答】解：在直角△ABC中，∠CBA＝60°，设AB＝x，
∴AC＝AB＝x，
在直角△CDA中，∠CDA＝45°，则CA＝DA＝x，
∴BD＝AD﹣AB＝x﹣x＝20，
解得：x＝10（+1），
∴AC＝x＝30+10，
则CE＝AC+1.6＝30+17.32+1.6＝48.92≈48.9（米）．
答：楼顶C离地面的高度CE约是48.9米．
故答案为：48.9．
14．如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin（α+β）＝ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接DE，如图所示：
在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，
∴∠α＝30°，
同理得：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．
又∵∠AEC＝60°，
∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．
设等边三角形的边长为a，则AE＝2a，DE＝2×sin60°•a＝a，
∴AD＝＝＝a，
∴sin（α+β）＝＝＝．
故答案为：．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，点D、点E、点F分别是AC，AB，BC边的中点，连接DE、EF，得到△AED，它的面积记作S；点D1、点E1、点F1分别是EF，EB，FB边的中点，连接D1E1、E1F1，得到△EE1D1，它的面积记作S1，照此规律作下去，则S2023＝ ×（）2023 ．
【答案】×（）2023．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，
∴BC＝AC•tan60°＝2×＝2，
由题意可得，
S＝＝＝，
S1＝×，
S2＝×（）2，
S3＝×（）3，
…，
∴Sn＝×（）n，
∴S2023＝×（）2023，
故答案为：×（）2023．
三．解答题（共3小题）
16．如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座网络信号塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米到达坡顶，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．
求：（1）坡顶A到地面PO的距离；
（2）网络信号塔BC的高度（结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin76°≈0.97，cs76°≈0.24，tan76°≈4.01）
【答案】（1）10米．
（2）18.7米．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥PO于点H，
由题意得，AP＝26米，
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，
∴＝，
设AH＝5a米，则PH＝12a米，
∴AP＝＝＝26，
解得a＝2，
∴AH＝10米．
∴坡顶A到地面PO的距离为10米．
（2）延长BC交PO于点D，
由题意得，CD＝AH＝10米，AC＝DH，∠BPD＝45°，∠BAC＝76°，
设BC＝x米，则BD＝（x+10）米，
在Rt△BPD中，∠BPD＝45°，
∴BD＝PD＝（x+10）米，
∵PH＝24米，
∴DH＝AC＝（x+10）﹣24＝（x﹣14）米，
在Rt△ABC中，tan76°＝≈4.01，
解得x≈18.7，
经检验，x≈18.7是原方程的解且符合题意．
∴网络信号塔BC的高度约为18.7米．
17．一架无人机沿水平方向飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为24°．无人机保持飞行方向不变，继续飞行48米到达点Q处，此时测得该建筑物底端B的俯角为66°．已知建筑物AB的高度为36米，求无人机飞行时距离地面的高度．
（参考数据：sin24°≈，cs24°≈，tan24°，sin66，cs66，tan66°）
【答案】72．
【解答】解：过A作AC⊥PQ，交PQ的延长线于C，如图所示：
设AC＝x米，
∵∠APC＝24°，∠BQC＝66°，
∴在Rt△APC中，tan∠APC＝＝tan24°≈，
∴PC＝x（米），
在Rt△BCQ中，tan∠BQC＝＝tan66°≈，
∴QC＝BC＝（AB+AC）＝（36+x）＝（16+x）米，
∵PQ＝48米，
∴PC﹣QC＝PQ＝48米，
∴x﹣（16+x）＝48，
解得：x＝36，
∴BC＝AC+CB＝36+36＝72（米），
答：无人机飞行时距离地面的高度约为72米．
18．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B，P两点之间的距离为20海里．
（1）求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）；
（2）渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西15°的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：≈1.73）
【答案】（1）观测站A，B之间的距离为（10+10）海里；
（2）补给船能在83分钟之内到达C处，理由见解答．
【解答】解：（1）过点P作PD⊥AB于D点，
∴∠BDP＝∠ADP＝90°，
在Rt△PBD中，∠PBD＝90°﹣45°＝45°，BP＝20海里，
∴DP＝BP•sin45°＝20×＝10（海里），
BD＝BP•cs45°＝20×＝10（海里），
在Rt△PAD中，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝＝＝10（海里），
∴AB＝BD+AD＝（10+10）海里，
∴观测站A，B之间的距离为（10+10）海里；
（2）补给船能在83分钟之内到达C处，
理由：过点B作BF⊥AC，垂足为F，
∴∠AFB＝∠CFB＝90°
由题意得：∠ABC＝90°+15°＝105°，∠PAD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠PAD＝45°，
在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，
∴BF＝AB＝（5+5）海里，
在Rt△BCF中，∠C＝45°，
∴BC＝＝＝（10+10）海里，
∴补给船从B到C处的航行时间＝×60＝30+30≈81.9（分钟）＜83分钟，
∴补给船能在83分钟之内到达C处．
1．（2022•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA的值为 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝13，
∴sinA＝．
故答案为：．
2．（2022•扬州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若b2＝ac，则sinA的值为 ． ．
【答案】．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，
∴c2＝a2+b2，
∵b2＝ac，
∴c2＝a2+ac，
等式两边同时除以ac得：
＝+1，
令＝x，则有＝x+1，
∴x2+x﹣1＝0，
解得：x1＝，x2＝（舍去），
当x＝时，x≠0，
∴x＝是原分式方程的解，
∴sinA＝＝．
故答案为：．
3．（2022•齐齐哈尔）在△ABC中，AB＝3，AC＝6，∠B＝45°，则BC＝ 3+3或3﹣3 ．
【答案】3+3或3﹣3．
【解答】解：①当△ABC为锐角三角形时，
过点A作AD⊥BC于点D，如图，
∵AB＝3，∠B＝45°，
∴AD＝BD＝AB•sin45°＝3，
∴CD＝＝3，
∴BC＝BD+CD＝3+3；
②当△ABC为钝角三角形时，
过点A作AD⊥BC交BC延长线于点D，如图，
∵AB＝3，∠B＝45°，
∴AD＝BD＝AB•sin45°＝3，
∴CD＝＝3，
∴BC＝BD﹣CD＝3﹣3；
综上，BC的长为3+3或3﹣3．
4．（2022•河池）如图，把边长为1：2的矩形ABCD沿长边BC，AD的中点E，F对折，得到四边形ABEF，点G，H分别在BE，EF上，且BG＝EH＝BE＝2，AG与BH交于点O，N为AF的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝ ．
【答案】．
【解答】解：∵点E，F分别是BC，AD的中点，
∴AF＝AD，BE＝BC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，AD＝BC，
∴AF＝BE＝AD，
∴四边形ABEF是矩形，
由题意知，AD＝2AB，
∴AF＝AB，
∴矩形ABEF是正方形，
∴AB＝BE，∠ABE＝∠BEF＝90°，
∵BG＝EH，
∴△ABG≌△BEH（SAS），
∴∠BAG＝∠EBH，
∴∠BAG+∠ABO＝∠EBH+∠ABO＝∠ABG＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∵BG＝EH＝BE＝2，
∴BE＝5，
∴AF＝5，
∵∠OAB＝∠BAG，∠AOB＝∠ABG，
∴△AOB∽△ABG，
∴，
∴＝＝，
∵OM⊥ON，
∴∠MON＝90°＝∠AOB，
∴∠BOM＝∠AON，
∵∠BAG+∠FAG＝90°，∠ABO+∠EBH＝90°，∠BAG＝∠EBH，
∴∠OBM＝∠OAN，
∴△OBM∽△OAN，
∴，
∵点N是AF的中点，
∴AN＝AF＝，
∴＝，
∴BM＝1，
∴AM＝AB﹣BM＝4，
在Rt△MAN中，tan∠AMN＝＝＝，
故答案为：．
5．（2023•枣庄）如图所示，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆AB＝6米，AO：OB＝2：1，支架OM⊥EF，OM＝3米，AB可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时∠AOM＝45°，此时点B到水平地面EF的距离为 （3+） 米．（结果保留根号）
【答案】（3+）．
【解答】解：过点O作OC⊥BT，垂足为C，
由题意得：BC∥OM，
∴∠AOM＝∠OBC＝45°，
∵AB＝6米，AO：OB＝2：1，
∴AO＝4米，OB＝2米，
在Rt△OBC中，BC＝OB•cs45°＝2×＝（米），
∵OM＝3米，
∴此时点B到水平地面EF的距离＝BC+OM＝（3+）米，
故答案为：（3+）．
6.（2022•金华）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝1﹣2×1+2+3
＝1﹣2+2+3
＝4．
7．（2022•长春）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC．点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E．延长ED至点F，使得DF＝DE，连结AE、AF、CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若＝，则tan∠BCF的值为 ．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∵DF＝DE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵DE⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：∵＝，
∴CE＝4BE，
设BE＝a，则CE＝4a，
由（1）可知，四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE＝4a，AE∥CF，
∴∠BEA＝∠BCF，
∵∠ABC＝90°，
∴AB＝＝＝a，
∴tan∠BCF＝tan∠BEA＝＝＝，
故答案为：．
8．（2022•东营）胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）．
【答案】78m．
【解答】解：在Rt△ADB中，∠ADB＝60°，tan∠ADB＝，
∴BD＝＝，
在Rt△ABC中，∠C＝45°，tan∠C＝，
∴BC＝＝AB，
∵BC﹣BD＝CD＝33m，
∴AB﹣＝33，
∴AB＝≈78（m）．
答：主塔AB的高约为78m．
9．（2023•青海）为了方便观测动物的活动情况，某湿地公园要铺设一段道路．计划从图中A，C两处分别向B处铺设，现测得AB＝1000m，∠BAC＝30°，∠ABC＝136°，求B，C两点间的距离．（结果取整数，参考数据：sin14°≈0.24，cs14°≈0.97，tan14°≈0.25）
【答案】B，C两点间的距离约为2083m．
【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，
∵∠BAC＝30°，∠ABC＝136°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝14°，
在Rt△ABD中，AB＝1000m，
∴BD＝AB＝500（m），
在Rt△BDC中，BC＝≈≈2083（m），
∴B，C两点间的距离约为2083m．
10．（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若CF＝2，sinC＝，求AE的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【解答】（1）证明：连接OE，
方法一：∵AE平分∠BAC交BC于点E，
∴∠BAC＝2∠OAE，
∵∠FOE＝2∠OAE，
∴∠FOE＝∠BAC，
∴OE∥AB，
∵∠B＝90°，
∴OE⊥BC，
又∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
方法二：∵AE平分∠BAC交BC于点E，
∴∠OAE＝∠BAE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠BAE＝∠OEA，
∴OE∥AB，
∵∠B＝90°，
∴OE⊥BC，
又∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接EF，
∵CF＝2，sinC＝，
∴，
∵OE＝OF，
∴OE＝OF＝3，
∵OA＝OF＝3，
∴AC＝OA+OF+CF＝8，
∴AB＝AC•sinC＝8×＝，
∵∠OAE＝∠BAE，
∴cs∠OAE＝cs∠BAE，
即，
∴，锐角
30°
45°
1
60°