吉林省白山市第三中学、白山市第五中学、白山市第七中学2023-2024学年九年级上学期第三次月考测试数学试卷

这是一份吉林省白山市第三中学、白山市第五中学、白山市第七中学2023-2024学年九年级上学期第三次月考测试数学试卷，共9页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

班级：______ 姓名：______ 时间：120分钟 满分：120分
一、单项选择题(每小题2分，共12分)
1．下列方程，是一元二次方程的有（ ）
①；②；③；④；⑤
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，若∠CAB＝25°，则∠ADC的度数为（ ）
A．65°B．55°C．60°D．75°
4．如图，二次函数的图象与x轴相交于(﹣2，0)和(4，0)两点，当函数值y>0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x<﹣2B．x>4C．x>0D．﹣25．如图，已知正方形ABCD的边长为3，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的处，则的长为（ ）
A．6B．C．18D．
6．小强和小华两人玩“剪刀、石头、布”的游戏，随机出手一次，则两人平局的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题(每小题3分，共24分)
7．若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是______．
8．将二次函数的图象沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线对应的二次函数的表达式为______．
9．已知点P(﹣2，3)关于原点的对称点为M(a，b)，则a＋b＝______．
10．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，点D落在边CB上，若线段AB＝3，则BD＝______．
11．如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于E，AB＝BC＝12，则OC＝_______．
12．如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB＝90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为______．
13．经过某个路口的汽车，它可能继续直行或向右转，若两种可能性大小相同，则两辆汽车经过该路口全部继续直行的概率为______．
14．某企业今年第一月新产品的研发资金为100万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长的百分率都是x，则该厂今年第三月新产品的研发资金y(万元)关于x的函数关系式为y＝______．
三、解答题(每小题5分，共20分)
15．解方程：6x﹣2＝4x(3x﹣1)．
16．若方程是关于x的一元二次方程，求m的值．
17．如图所示，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE＝OF，求证：AB＝CD．
18．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转，使点B落在BC边上的点D处，得到△ADE．若，∠ACB＝40°，求∠DEC的度数．
四、解答题(每小题7分，共28分)
19．某商店原来平均每天可销售某种水果200kg，每千克可赢利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可以多售出20kg．
(1)设每千克水果降价x元，平均每天赢利y元，试写出y关于x的函数表达式；
(2)若要平均每天赢利960元，则每千克应降价多少元?
20．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图．
(1)画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的；
(2)在(1)的条件下，求点C旋转到点所经过的路径长．(结果保留根号和π)
21．如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE．
(1)求证：△BDE≌△BCE；
(2)试判断四边形ABED的形状，并说明理由．
22．如图，两个标有数字的转盘，转动两个转盘各1次，将所转到的数字相加，结果为偶数时，小刚得2分，否则小明得2分．
(1)小刚和小明得分的概率分别是多少?
(2)这个游戏对双方公平吗?如果不公平，请你修改一下规则使之公平．
五、解答题(每小题8分，共16分)
23．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若BF＝2，，求⊙O的半径．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过，两点，其中m为常数．
(1)求b的值，并用含m的代数式表示c；
(2)若抛物线与x轴有公共点，求m的值；
(3)设，是抛物线上1的两点，请比较与0的大小，并说明理由．
六、解答题(每小题10分，共20分)
25．某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．
(1)写出销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，商场销售该品牌童装获得的利润为4000元?
(3)若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少?
26．在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，一直角边靠在两坐标轴上，且有点A(0，2)，点C(﹣1，0)，如图所示，抛物线经过点B．
(1)求点B的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B 2．B 3．A 4．D 5．B 6．B
7．m≠1 8． 9．﹣1 10．3 11． 12． 13． 14．
15．，
16．解：∵方程是关于x的一元二次方程，∴解得m＝﹣1．
17．证明：∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴AE＝BE，CF＝DF．
在Rt△OBE与Rt△ODF中，
∴Rt△OBE≌Rt△ODF(HL)，∴BE＝DF，2BE＝2DF，即AB＝CD．
18．解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，
∴∠ADE＝∠B，AB＝AD，AC＝AE，∠AED＝∠ACB＝40°，
∵，∴∠ADE＝∠BAD，
∴∠B＝∠BAD，∴BD＝AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，∴∠CAE＝60°，
∴△ACE是等边三角形，∴∠AEC＝60°，∴∠DEC＝60°﹣40°＝20°．
19．解：(1)根据题意，得
．
(2)令中y＝960，
则有，
即，解得x＝﹣6(舍去)或x＝2．
答：若要平均每天赢利960元，则每千克应降价2元．
20．解：(1)如图．(2)
21．解：(1)证明：∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，
∴DB＝CB，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝60°．
∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠DBE＝∠CBE＝30°．
在△BDE和△BCE中∴△BDE≌△BCE．
(2)四边形ABED为菱形．
由(1)，得△BDE≌△BCE．
∵△BAD是由△BEC旋转而得，
∴△BAD≌△BEC，∴BA＝BE，AD＝EC＝ED．
又∵BE＝CE，∴四边形ABED为菱形．
22．解：(1)画树状图如图．
和
∵共有12种等可能的结果，所转到的数字相加结果为偶数的有5种情况，
∴P(小刚得分，P(小明得分．
(2)∵小刚得2分，小明得2分，且P(小刚得分)≠P(小明得分)，∴这个游戏对双方不公平．
新规则：将所转到的数字相加结果为偶数时，小刚得7分，否则小明得5分．
23．解：(1)证明：连接DF，∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，，∠DAB＝∠C，
∵BF＝BE，∴AB﹣BF＝BC﹣BE，即AF＝CE，
∴△DAF≌△DCE(SAS)，∴∠DFA＝∠DEC，
∵AD是⊙O的直径，∴∠DFA＝90°，
∴∠DEC＝90°，∵，∴∠ADE＝∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．
(2)解：连接AH，∵AD是⊙O的直径，∴∠AHD＝∠DFA＝90°，
∴∠DFB＝90°，∵AD＝AB，，
∴，
在Rt△ADF和Rt△BDF中，
∵，
∴，
∴，
∴AD＝5，∴⊙O的半径为．
24．解：(1)∵抛物线经过，两点，
∴ ∴
即b＝2，．
(2)由(1)，得．
令y＝0，得．
∵抛物线与x轴有公共点，
∴，∴．
∵，∴m＋1＝0，∴m＝﹣1．
(3)由(1)，得．
∵，是抛物线上的两点，
∴，，
∴，
当a＋2≥0，即a≥﹣2时，，
当a＋2<0，即a<﹣2时，．
25．解：(1)根据题意，知y＝200＋20(80﹣x)＝﹣20x＋1800．
(2)由题意，可列方程(x﹣60)(﹣20x＋1800)＝4000，解得x＝70或x＝80．
即当销售单价为70元或80元时，商场销售该品牌童装获得的利润为4000元．
(3)设商场销售该品牌童装获得的利润为W，
则，
当x>75时，W随x的增大而减小，
故当x＝76时，W取最大值，最大值为4480元．
26．解：(1)如图，过点B作BD⊥x轴，垂足为D．
∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠CAO＝90°，
∴∠BCD＝∠CAO．
又∵∠BDC＝∠COA＝90°，CB＝AC，
∴△BCD≌△CAO，∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，
∴点B的坐标为(﹣3，1)．
(2)∵抛物线的经过点B(﹣3，1)，
∴1＝9a﹣3a﹣2，解得．
∴抛物线的解析式为．
(3)假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形(如图所示)．
①若以点C为直角顶点，则延长BC至点，使得，得到等腰直角三角开，
过点作轴于点M，∵，，，
∴，∴CM＝CD＝2，，可求得点的坐标为(1，﹣1)；
②若以点A为直角顶点，则过点A作，且使得，得到等腰直角三角形，
过点作轴于点N，同理可证，∴，AN＝OC＝1，
可求得点的坐标为(2，1)．经检验，点与点都在抛物线上．