新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第十二中学2023-2024学年高三下学期2月月考数学试题

这是一份新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第十二中学2023-2024学年高三下学期2月月考数学试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

总分150分 考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数（i为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知集合，，若，则取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为( )
A．9B．18C．27D．36
4．函数的部分图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．直线 与椭圆恒有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．如果函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．在等比数列中，为的前n项和，．．则的值等于（ ）
A．31B．81C．16D．121
二、选择题：本题共4小题，每题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得五分，部分选对的得两分，有选错的得零分。
9．如图所示，是圆锥底面圆的一条直径，点在底面圆周上运动（异于两点），以下说法正确的是（ ）
A．恒为定值
B．三棱锥的体积存在最大值
C．圆锥的侧面积大于底面圆的面积
D．的面积大于的面积
10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点，，都在抛物线上，且，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线方程为B．F是的重心
C．D．
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小值为
B．函数在上单调递增
C．函数为偶函数
D．若方程在上有4个不等实根，则
12．某国产杀毒软件的比赛规则为每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是且各轮考核能否通过互不影响，则（ ）
A．该软件通过考核的概率为
B．该软件在第三轮考核被淘汰的概率为
C．该软件至少能够通过两轮考核的概率为
D．在此次比赛中该软件平均考核了轮
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。
13．平行四边形中，，，，，则的值为
14．若正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，对角线长为9，则该棱台的高为
15．已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：（为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：，则圆C截直线l所得弦长为
16．函数的部分图像如图所示，则= ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。
17．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足．
（1）求；
（2）若的周长为，求的面积．
18．记为正项数列的前项和，且.
(1)证明：；
(2)记数列的前项积为，证明：数列是递增数列.
19．2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京成功举办．某学校根据该校男女生人数比例，使用分层抽样的方法随机调查了200名学生，统计他们观看开幕式的时长（单位：min）情况，样本数据按照，，…，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a；
(2)估计该校学生观看开幕式时长的平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表）和中位数；
(3)已知样本中有的男生观看开幕式时长小于80min，观看开幕式时长不小于80min的男女生人数相等，估计该校男生与女生的人数之比．
20．如图所示等腰梯形ABCD中，，，，点E为CD的中点，沿AE将△DAE折起，使得点D到达F位置.
(1)当时，求证：平面AFC；
(2)当时，求二面角B-EF-C的余弦值.
21．已知椭圆的离心率为，且经过点，为椭圆C的左右焦点，为平面内一个动点，其中，记直线与椭圆C在x轴上方的交点为，直线与椭圆C在x轴上方的交点为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)①若，证明：；
②若，探究之间关系．
22．已知函数，，其中e是自然对数的底数．
（1）若曲线在处的切线与曲线也相切．
①求实数a的值；
②求函数的单调区间；
（2）设，求证：当时，恰好有2个零点．
数学月考答案：
1．B 2．C 3．B 4．D 5．A 6．D 7．B 8．A
9．ABC 10．BCD 11．ACD 12．ABD
13．16 14．3 15．. 16．/
17．（1）；（2）.
18．（1）证明：当时，，因为，所以，
当时，由，得
，
所以，
因为，所以，
所以，
当时，满足上式，
所以；
（2）由（1）得，则，
当时，，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以数列是以1为公差，1为首项的等差数列，
所以，，
令，
所以
，
所以
，
所以，
所以数列是递增数列.
19．(1)
(2)平均数和中位数分别为78.4，77.5
(3)
20．(1)证明：设，连接OF
由于四边形ABCD是等腰梯形，E是CD的中点，，
所以，，所以四边形ABCE是平行四边形，
由于，所以四边形ABCE是菱形，
所以，
由于，O是BE的中点，
所以，
由于，平 面AFC.,
所以平面AFC.
(2)
21．(1)
(2)①由(1)知，，
，
，
即，
又，
即，
，即；
②
（1）①，②函数的单调减区间为，单调增区间为；
（2）由，得．
令，，当时，，
故在上单调递增．
又因为，且，
所以在上有唯一解，从而在上有唯一解．
不妨设为，则．
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增．
故是的唯一极值点．
令，则当时，，所以在上单调递减，
从而当时，，即，
所以，
又因为，所以在上有唯一零点．
又因为在上有唯一零点，为1，
所以在上恰好有2个零点．