（十二）平面向量-湖南省长沙市长郡中学2023年高一数学暑假自主学习作业本

这是一份（十二）平面向量-湖南省长沙市长郡中学2023年高一数学暑假自主学习作业本，共10页。

【知识梳理】
1．向量的有关概念
2.向量的线性运算
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
4．平面向量基本定理
如果e1和e2是一个平面内的两个__________向量，那么对于该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
5．平面向量坐标运算
6.两向量平行和垂直的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a∥bx1y2－y1x2＝0，
a⊥bx1x2＋y1y2＝0.
7．向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量__________________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ.
规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
8．平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
9.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
【专题训练】
一、单选题
1．(★)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记CA→＝m，CD→＝n，则CB→＝( )

A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
2．(★★)设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则( )
A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝12
3．(★★)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝( )
A．－6 B．－5 C．5 D．6
4．(★★)已知函数f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则(BD→＋BE→)·(BE→－CE→)的值为( )
A．－1 B．－12 C.12 D．2
二、多选题
5．(★)对于向量a，b，c和实数λ，有( )
A．a·b＝b·a
B．(a·b)·c＝a·(b·c)
C．(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)
D．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
6．(★★)已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为△ABC所在平面内一点，则PA→·(PB→＋PC→)的值可能为( )
A．－8 B．－6 C．－4 D．－2
7．(★★★)已知O为坐标原点，点P1(cs α，sin α)，P2(cs β，－sin β)，P3(cs(α＋β)，sin(α＋β))，A(1，0)，则( )
A．|OP1→|＝|OP2→|
B．|AP1→|＝|AP2→|
C.OA→·OP3→＝OP1→·OP2→
D.OA→·OP1→＝OP2→·OP3→
三、填空题
8．(★)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b则，λ＝________．
9．(★)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝________．
10．(★★)在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2BE→＋DF→|的值为________；(DE→＋DF→)·DA→的最小值为________．
四、解答题
11．(★)已知点A(－2，4)，B(3，－1)，C(m，－4)，其中m∈R.
(1)当m＝－3时，求向量AB→与BC→夹角的余弦值；
(2)若A，B，C三点构成以A为直角顶点的直角三角形，求m的值．
12．(★★)已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1.
(1)若(a＋2b)·(a－b)＝1，求a·b的值；
(2)设向量a，b的夹角为θ，若存在t∈R，使得|a＋tb|＝1，求cs θ的取值范围．
(★★)已知向量a＝(2，2)，向量b与向量a的夹角为3π4，且a·b＝－2.
(1)求向量b；
(2)若t＝(1，0)，且b⊥t，c＝csA,2cs2C2，其中A，B，C是△ABC的内角，且B＝π3，试求|b＋c|的取值范围．
高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
参考答案
【知识梳理】
1．大小 长度 模 0 1个单位长度 平行 相等 相同 相等 相反
2．三角形 平行四边形 b＋a 三角形 相同 相反
4．不共线
5．(x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1)
(x2－x1，y2－y1)
7．|a||b|cs θ
8.x12+y12 x1x2+y1y2x12+y12x22+y22
【专题训练】
1．B 【解析】因为点D在边AB上，BD＝2DA，
所以BD→＝2DA→，即CD→－CB→＝2CA→−CD→，
所以CB→＝3CD→－2CA→＝3n－2m＝－2m＋3n.故选：B.
2．D 【解析】由共线向量定理可知存在实数λ，使m＝λn，
即－e1＋ke2＝λe2−2e1＝λe2－2λe1，
又e1与e2是两个不共线的向量，
所以−1=−2λ,k=λ,解得k=12,λ=12.故选：D.
3．C 【解析】由c＝3+t,4，cs〈a，c〉＝cs〈b，c〉，
得9+3t+165c＝3+tc，解得t＝5.故选：C.
4．D 【解析】(BD→＋BE→)·(BE→－CE→)＝(BD→＋BE→)·BC→＝
2|BC→|2，显然|BC→|的长度为半个周期，周期T＝2ππ＝2，
∴|BC→|＝1，所求值为2.
5．ACD
6．BCD 【解析】以BC中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则A(0，23)，B(－2，0)，C(2，0)，
设P(x，y)，则PA→＝(－x，23－y)，PB→＝(－2－x，－y)，
PC→＝(2－x，－y)，
所以PA→·(PB→＋PC→)＝－x·(－2x)＋(23－y)·(－2y)＝2x2－43y＋2y2＝2[x2＋(y－3)2－3]≥－6，当x＝0，y＝3时，取得最小值为2×(－3)＝－6，故选：BCD.
7．AC 【解析】A：OP1→＝(cs α，sin α)，OP2→＝(cs β，－sin β)，所以|OP1→|＝cs2α+sin2α＝1，
|OP2→|＝csβ2+−sinβ2＝1，
故|OP1→|＝|OP2→|，A正确；
B：AP1→＝(cs α－1，sin α)，AP2→＝(cs β－1，－sin β)，
则|AP1→|＝csα−12+sin2α＝cs2α−2csα+1+sin2α
＝21−csα＝4sin2α2＝2sinα2，
同理|AP2→|＝csβ−12+sin2β＝2sinβ2，
故|AP1→|，|AP2→|不一定相等，B错误；
C：OA→·OP3→＝1×cs(α＋β)＋0×sin(α＋β)＝cs(α＋β)，
OP1→·OP2→＝cs α·cs β＋sin α·(－sin β)＝cs(α＋β)，C正确；
D：由题意得，OA→·OP1→＝1×cs α＋0×sin α＝cs α，
OP2→·OP3→＝cs β×cs(α＋β)＋(－sin β)×sin(α＋β)
＝cs(α＋2β)，D错误．
故选：AC.
8.35 【解析】因为a－λb＝(1，3)－λ(3，4)＝(1－3λ，3－4λ)，所以由(a－λb)⊥b可得，
3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝0，解得λ＝35.
故答案为：35.
9．－92 【解析】由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b+b·c+c·a＝9＋2a·b+b·c+c·a＝0，
因此a·b＋b·c＋c·a＝－92.故答案为：－92.
10．1；1120 【解析】设BE＝x，x∈0,12，
∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB，
∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝3x，DC＝1－2x，
∵DF∥AB，
∴△DFC为边长为1－2x的等边三角形，DE⊥DF，
∴(2BE→＋DF→)2＝4BE→2＋4BE→·DF→＋DF→2
＝4x2＋4x(1－2x)×cs 0°＋(1－2x)2＝1，
∴|2BE→＋DF→|＝1.
∵(DE→＋DF→)·DA→＝(DE→＋DF→)·(DE→＋EA→)
＝DE→2＋DF→·EA→＝(3x)2＋(1－2x)×(1－x)
＝5x2－3x＋1＝5x−3102＋1120，
所以当x＝310时，(DE→＋DF→)·DA→的最小值为1120.
故答案为：1；1120.
11．【解析】(1)点A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
则AB→＝(5，－5)，BC→＝(－6，－3)，
AB→＝52，BC→＝35，
AB→·BC→＝5×(－6)＋(－5)×(－3)＝－15，
则向量AB→与BC→夹角的余弦值为cs 〈AB→，BC→〉＝AB→·BC→AB→BC→＝−1552×35＝－1010.
(2)A，B，C三点构成以A为直角顶点的直角三角形，
则有AB→⊥AC→，由于AB→＝(5，－5)，AC→＝(m＋2，－8)，
则5(m＋2)＋40＝0，解得m＝－10.
12．【解析】(1)若a+2b·a−b＝1，则a2＋a·b－2b2＝1，
又因为a＝2，b＝1，所以4＋a·b－2＝1，
所以a·b＝－1.
(2)若|a＋tb|＝1，则a2＋2ta·b＋t2b2＝1，
又因为a＝2，b＝1，所以2ta·b＋t2＋3＝0，
即t2＋4tcs θ＋3＝0，
所以Δ＝16cs 2θ－12≥0，解得cs θ≤－32或cs θ≥32，所以cs θ∈−1,−32∪32,1.
13．【解析】 (1)设b＝(x，y)，则a·b＝2x＋2y＝－2，
且|b|＝a·b|a|cs3π4＝1＝x2+y2，
联立方程2x+2y=−2,x2+y2=1,解得x=−1,y=0或x=0,y=−1.
∴b＝(－1，0)或b＝(0，－1)．
(2)由(1)及t＝(1，0)，且b⊥c可得b＝(0，－1)，
∵B＝π3，
∴b＋c＝csA,2cs2C2−1＝(cs A，cs C)，
∴|b＋c|2＝cs2A＋cs2C＝1＋12cs2A+cs2C
＝1＋12cs2A+cs4π3−2A
＝1＋12cs2A−12cs2A−32sin2A
＝1＋12cs2A+π3.
∵A∈0,2π3，∴2A＋π3∈π3,5π3，
∴－1≤cs2A+π3＜12，
∴12≤|b＋c|2＜54，
故22≤|b＋c|＜52.
名称
定义
备注
向量
既有______又有方向的量；向量的大小叫做向量的______(或称____)
平面向量是自由向量
零向量
长度为____的向量；其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于______________的向量
非零向量a的单位向量为±a|a|
共线向量
方向相同或相反的非零向量叫做共线向量(平行向量)
0与任意向量______或共线
相等向量
长度______且方向______的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度______且方向______的向量
0的相反向量为0
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
__________法则
__________法则
交换律：
a＋b＝______________；
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
________法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向______；当λ<0时，λa的方向与a的方向______；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
向量的加减法
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝________________，
a－b＝________________.
实数与向量的积
若a＝(x1，y1)，λ∈R，则λa＝______________.
向量的坐标
若起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则AB→＝________________.
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝a·a
|a|＝__________________
数量积
a·b＝|a||b|cs θ
a·b＝x1x2＋y1y2
夹角
cs θ＝a·b|a||b|
cs θ＝______________
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|
的关系
|a·b|≤|a||b|
(当且仅当a∥b时等号成立)
|x1x2＋y1y2|≤
x12+y12·x22+y22