长郡中学高一数学暑假自主学习作业本（二十二）

这是一份长郡中学高一数学暑假自主学习作业本（二十二），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
数学作业二十二　统计概率单元综合
一、单选题
1．(★)投掷一枚均匀的骰子，记事件A：“朝上的点数大于3”，事件B：“朝上的点数为2或4”，则下列说法正确的是(　　)
A．事件A与事件B互斥
B．事件A与事件B对立
C．事件A与事件B相互独立
D．P(A＋B)＝56　　　　　　　　　　　　　　
2．(★★)甲、乙两名志愿者均打算高考期间去A，B，C三个考点中的一个考点做服务，甲去A，B考点做服务的概率分别为0.4，0.3，乙去B，C考点做服务的概率分别为0.5，0.2，则甲、乙不去同一考点做服务的概率为(　　)
A．0.26 B．0.33 C．0.67 D．0.74
3．(★★)关于用统计方法获取、分析数据，下列结论错误的是(　　)
A．质检机构为检测一大型超市某商品的质量情况，合理的调查方式为抽样调查
B．若甲、乙两组数据的标准差满足s甲＜s乙，则可以估计甲比乙更稳定
C．若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为−x，则数据yi＝axi－b(i＝1，2，3，…，n)的平均数为a−x－b
D．为了解高一学生的视力情况，现有高一男生200人，女生400人，按性别进行分层随机抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为80，则男生样本量为60
4．(★★)某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是(　　)

A．频率分布直方图中a的值为0.004
B．估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75
C．估计这20名学生考试成绩的众数为80
D．估计总体中成绩落在[60，70)内的学生人数为150
二、多选题
5．(★★)在5件产品中有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，则(　　)
A．恰有1件一等品的概率为35
B．恰有2件一等品的概率为310
C．至多有1件一等品的概率为25
D．至多有1件一等品的概率为710
6．(★★)下列命题是真命题的有(　　)
A．分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为3∶1∶2，如果抽取的甲个体数为9，则样本量为30
B．某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为0.4
C．甲、乙两队队员体重的平均数分别为60，68，人数之比为1∶3，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为67
D．一组数据6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5
7．(★★)根据2021年年初国家统计局发布的数据显示，我国2020年完成邮政行业业务总量21053亿元，比上年增长29.7%.快递业务量833.6亿件，快递业务收入8795亿元．下图为2016～2020年快递业务量及其增长速度，根据该统计图，下列说法正确的是(　　)

A．2016～2020年，我国快递业务量持续增长
B．2016～2020年，我国快递业务量增长速度持续下降
C．预计我国2021年快递业务量将持续增长
D．估计我国2015年的快递业务量少于210亿件
三、填空题
8．(★)已知事件A与事件B相互独立，如果P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，那么P(A∩B)＝________．
9．(★)抽取某校高一年级10名女生，测得她们的身高(单位：cm)数据如下：163，165，161，157，162，165，158，155，164，162，据此估计该校高一年级女生身高的第25百分位数是__________．
10．(★★)利用分层随机抽样的方法，调研某校高二年级学生某次数学测验的成绩(满分100分)，获得样本数据的特征量如下表：


人数
平均成绩
方差
男生
32
70
16
女生
8
80
36
则总样本的平均分为__________，方差为__________．
参考公式：n个数x1，x2，x3，…，xn的平均数为−x＝1n∑i=1nxi，方差为s2＝1n∑i=1nxi−−x2＝1nx12+x22+…+xn2−n−x2.
参考数据：8×36+802＋32×16+702－40×722＝1440.
四、解答题
11．(★★)为加速推行垃圾分类制度，某市推出了两套方案，并分别在A，B两个居民小区内试行．方案一：进行广泛的宣传活动，宣传垃圾分类的意义；方案二：设立智能化分类垃圾桶，并建立激励机制．经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分，将数据分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并整理得到如下频率分布直方图：

(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居民欢迎；
(2)以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分认为居民赞成推行此方案，低于70分认为居民不赞成推行此方案，规定小区居民赞成率不低于70%才可在该小区继续推行该方案，判断两小区哪个小区可继续推行方案？
(3)根据(2)中结果，从可继续推行方案的小区所抽取100人中再按居民态度是否赞成分层抽取一个8人样本作为代表团，从代表团中选取两人做汇总发言，求至少有一个不赞成的居民被选到发言的概率．






12．(★★)东京奥运会的乒乓球比赛中，我国选手发挥出色，继续卫冕男、女团体及单人比赛冠军．为了在奥运赛场获得佳绩，赛前乒乓球队举办了封闭的系列赛，现在共有6名种子选手入选，系列赛的规则如下：根据前期积分，将选手分成3组，每组2人．每组进行一局比赛，在这一局比赛中，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分．先获得11分者获胜．获胜的3人进行循环赛，累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰，当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另外一人最终获胜，比赛结束．
(1)设甲、乙在第一小组的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球，求前3球结束时，甲、乙的比分为1比2的概率；
(2)现在马龙、许昕和樊振东进入循环赛．经抽签，马龙、许昕首先比赛，樊振东轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是12，求需要进行第五场比赛的概率．

























13．(★★★)湖南作为全国第三批启动高考综合改革的八个省份之一，从2021年秋季学期起启动实施高考综合改革，实行高考科目“3＋1＋2”模式，“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：
等级
人数比例
赋分区间
A
15%
[86，100]
B
35%
[71，85]
C
35%
[56，70]
D
13%
[41，55]
E
2%
[30，40]
将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为Y2−YY−Y1＝T2−TT−T1，其中Y1，Y2分别表示原始分区间的最低分和最高分，T1，T2分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等级分，规定原始分为Y1时，等级分为T1，计算结果四舍五入取整．某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：

(1)求实数a的值并估计本次考试的平均分(同一组数据以该组区间的中点值作代表)；
(2)按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间；
(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成绩的原始分为90，试计算其等级分．

高中暑假自主学习作业本·高一年级数学
参考答案
1．C　【解析】对于A，B，事件A：“朝上的点数大于3”，事件B：“朝上的点数为2或4”，这两个事件都包含有事件：“朝上的点数为4”，故事件A与事件B不互斥，也不对立，A，B错误；
对于C，投掷一枚均匀的骰子，共有基本事件6个，
事件A：“朝上的点数大于3”包含的基本事件个数有3个，其概率为P(A)＝12，事件B：“朝上的点数为2或4”包含的基本事件个数有2个，其概率为P(B)＝13，事件AB包含的基本事件个数有1个，其概率为P(AB)＝16，由于P(AB)＝
P(A)P(B)，故事件A与事件B相互独立，C正确；
对于D，事件A＋B包含的基本事件个数有朝上的点数为2，4，5，6共4个，故P(A＋B)＝46＝23，D错误．
故选：C.
2．C　【解析】甲去A考点，乙不去A考点的概率为：0.4×(0.5＋0.2)＝0.28；
甲去B考点，乙不去B考点的概率为：0.3×(1－0.5)＝0.15；
甲去C考点，乙不去C考点的概率为：(1－0.4－0.3)×(1－0.2)＝0.24，
则甲、乙不去同一考点做服务的概率为：0.28＋0.15＋0.24＝0.67.故选：C.
3．D　【解析】A选项，因为大型超市某商品数量较大，则用抽样调查较为合理，故A正确；
B选项，标准差较小的数据更加稳定，故B正确；
C选项，由题有−y＝1n∑i=1nyi＝1n∑i=1n(axi－b)＝a−x－b，故C正确；
D选项，由题可得抽取样本中男生与女生的比例为1∶2，则男生样本量为40，故D错误．故选：D.
4．D　【解析】由10×(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)＝1，可得a＝0.005，故A错误；
前三个矩形的面积和为10×(2a＋3a＋7a)＝0.6，所以这20名学生考试成绩的第60百分位数为80，故B错误；
这20名学生考试成绩的众数为75，故C错误；
总体中成绩落在[60，70)内的学生人数为3a×10×1000＝150，故D正确．故选：D.
5．ABD　【解析】将3件一等品编号为1，2，3，将2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)．
其中恰有1件一等品的取法有(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，共6种，故恰有1件一等品的概率为P1＝610＝35，A正确；
恰有2件一等品的取法有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3种，故恰有2件一等品的概率为P2＝310，B正确；
“至多有1件一等品”的对立事件是“恰有两件一等品”，概率为P3＝1－P2＝1－310＝710，故C错误，D正确．故选：ABD.
6．BD　【解析】对于选项A，根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为9÷33+1+2＝18，故选项A错误；
对于选项B，样本数据落在区间[114.5，124.5]内的有120，122，116，120共4个，所以样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为410＝0.4，故选项B正确；
对于选项C，甲、乙两队的人数之比为1∶3，则甲队队员在所有队员中所占权重为11+3＝14，乙队队员在所有队员中所占权重为31+3＝34，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为−x＝14×60＋34×68＝66，故选项C错误；
对于选项D，将该组数据从小到大排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，由10×85%＝8.5，则该组数据的85%分位数是第9个数，该数为5，故选项D正确．故选：BD.
7．AC　【解析】根据统计图可得，2016～2020年，我国快递业务量持续增长，A正确；
2016～2019年，我国快递业务量增长速度持续下降，但2019～2020年，我国快递业务量增长速度上升，B错误；
2017～2020年，我国快递业务量增长速度比较平稳，且保持在较高水平，可以预测我国2021年快递业务量将持续增长，C正确；
2016年快递业务量比上年增长的百分比介于40%～60%，故可估计2015年快递业务量不少于312.81+60%＝195.5，故D错误．故选：AC.
8．0.3　【解析】∵事件A与事件B相互独立，
∴事件A与事件−B相互独立，
∵P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，
∴P(A∩−B)＝P(A)P(−B)＝P(A)(1－P(B))＝0.5×(1－0.4)＝0.3.
故答案为：0.3.
9．158　【解析】10×25%＝2.5，第25百分位数是从小到大第3个数为158.
故答案为：158.
10．72；36　【解析】总样本的平均分−x＝3232+8×70＋832+8×80＝72；
设32名男生数学测验的成绩分别为x1，x2，x3，…，x32，8名女生数学测验的成绩分别为x33，x34，…，x40，
∴男生数学测验成绩的方差s12＝132[(x12＋x22＋…＋x322)－32×702]＝16，
女生数学测验成绩的方差s22＝18[(x332＋x342＋…＋x402)－8×802]＝36，
∴x12＋x22＋…＋x322＝32×(16＋702)，
x332＋x342＋…＋x402＝8×(36＋802)，
∴总样本的方差为s2＝140×[32×(16＋702)＋8×(36＋802)－40×722]＝36.
故答案为：72；36.
11．【解析】(1)设A小区方案一的满意度平均分为−x，则−x＝(45×0.006＋55×0.014＋65×0.018＋75×0.031＋85×0.021＋95×0.010)×10＝72.7，
设B小区方案二的满意度平均分为−y，则−y＝(45×0.005＋55×0.010＋65×0.010＋75×0.020＋85×0.032＋95×0.023)×10＝78.3.
∵72.7＜78.3，
∴方案二的垃圾分类推广措施更受居民欢迎．
(2)由题意可知，
A小区即方案一中，满意度不低于70分的频率为(0.031＋0.021＋0.010)×10＝0.62，以频率估计概率，赞成率为62%，
B小区即方案二中，满意度不低于70分的频率为(0.020＋0.032＋0.023)×10＝0.75，以频率估计概率，赞成率为75%.
∴B小区可继续推行方案二．
(3)由(2)中结果，在B小区不赞成的25人中，取8×25%＝2人，赞成的75人中取8×75%＝6人组成代表团，设至少有一个不赞成的居民做汇总发言的概率为P，记不赞成的2人为a，b，赞成的6人为1，2，3，4，5，6，从中任选两人，则有以下情况：
ab，a1，a2，a3，a4，a5，a6，b1，b2，b3，b4，b5，b6，12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56共28种情况，其中至少有一个不赞成的居民被选到发言的有ab，a1，a2，a3，a4，a5，a6，b1，b2，b3，b4，b5，b6共13种，
由古典概型的概率计算公式可得P＝1328.
12．【解析】(1)由题意可得，甲、乙的比分为1比2，分以下三种情况，
事件A，第一局甲胜，第二局乙胜，第三局乙胜，P(A)＝0.6×0.4×0.6＝0.144，
事件B，第一局乙胜，第二局甲胜，第三局乙胜，P(B)＝0.4×0.6×0.6＝0.144，
事件C，第一局乙胜，第二局乙胜，第三局甲胜，P(C)＝0.4×0.4×0.4＝0.064，
故甲、乙的比分为1比2的概率为0.144＋0.144＋0.064＝0.352.
(2)根据赛制，至少需要四场比赛，至多需要五场比赛，
比赛四场结束，共有三种情况，
马龙连胜四场的概率为116，许昕连胜四场比赛的概率为116，
樊振东连胜三场的概率为18，
故需要进行五场比赛的概率P＝1－116－116－18＝34.
13．【解析】(1)由频率分布直方图可知，频率之和为1，
得(2a＋0.04＋0.03＋0.02)×10＝1，
解得a＝0.005，
估计本次考试的平均分为
55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73.
(2)根据等级A所占的人数比例为15%，
由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间[90，100]的占比为5%，位于区间[80，90)的占比为20%，
所以最低原始分在[80，90]之间，设最低原始分为x，
则(90－x)×0.02＝15%－5%，解得x＝85，
所以估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间为[85，98]．
(3)由题意可知，化学成绩的原始分为90分，落在A等级中，则T1＝86，T2＝100，Y1＝85，Y2＝98，Y＝90，
代入公式后98−9090−85＝100−TT−86，解得T＝118813≈91，
该学生的等级分为91分．