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安徽省A10联盟2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷（Word版附解析）
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这是一份安徽省A10联盟2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷（Word版附解析），文件包含安徽省A10联盟2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷Word版含解析docx、安徽省A10联盟2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
第I卷 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解出指数不等式，得到集合，再解出一元二次不等式得到集合，最后根据集合的交并补即可.
【详解】由题意得，，或，
或，，
故选：B.
2. 若，则（ ）
A. B. 2C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】把指数式化对数式，根据对数运算性质进一步化简即可.
详解】由，得，
，，
.
故选:C.
3. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A. B. 4C. D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本不等式及题中条件建立不等式，解出即可.
【详解】，，，
，即，，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为8.
故选：D.
4. 点从出发，沿着单位圆顺时针运动到达点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值可知不妨设点所对应的角为，再利用诱导公式求出，，即可得解.
【详解】因为，所以不妨设点所对应的角为，
则，，，
所以点的坐标为即.
故选：C.
5. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数及幂函数的性质判断即可.
【详解】由题意得，，，，
，，.
故选：D.
6. 已知角，满足，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据商数关系得到，再利用两角和与差的余弦公式计算即可.
【详解】，，
，，
，
故选：A.
7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列出不等式组，解出即可.
【详解】由题意得，，
解得.
故选：C.
8. 如图，在扇形中，，，点P在弧上（点与点不重合），分别在点作扇形所在圆的切线，，且，交于点C，与的延长线交于点D，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，.设，，利用直角三角函数以及切线的性质表示出，再利用三角恒等变形公式及基本不等式求最值.
【详解】连接，.设，，
在中，，
由得，.
在中，，
，
.
令，则，且，
则
，
当且仅当，即时取等号.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列计算中正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用三角恒等变形的公式逐一计算判断.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：
，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：BC.
10. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
C. 的图象关于点对称
D. 若方程在上有且只有6个根，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定的函数图象，利用函数的解析式，再利用正弦函数的图象性质逐项判断即得.
【详解】由图象得，，，而，则，，
由的图象过点，得，解得，
而的周期有，即，解得，因此，，A正确；
函数的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是
，非奇非偶函数，B错误；
，C错误；
显然，
若方程在上有且只有6个根，则，D正确.
故选：AD
11. 已知是定义在R上的偶函数，若，，且，恒成立，且，则满足的实数m的值可能为（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】ABD
【解析】
【分析】构造函数，根据条件确定其单调性和奇偶性，然后利用单调性和奇偶性来解不等式即可.
【详解】由已知等价于，
令，则，又，
所以函数在上单调递减.
因为是偶函数，所以是偶函数，且.
因为，即，即，
所以或，解得或.
故选：ABD.
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数过点，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】设，代入点的坐标求出的值，即可求出函数解析式，最后代入求值即可.
【详解】设，则，解得，
所以，则.
故答案：
13. 函数的值域是____________.
【答案】
【解析】
【分析】分离常数后，根据正弦函数的值域，逐步计算即可.
【详解】，
因为，所以，
所以，所以，
即函数的值域是.
故答案为：.
14. 中国茶文化源远流长，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是，经过后的温度是T，则，其中表示环境温度，h为常数.该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是，放在的室温中，以后茶水的温度是，在上述条件下，大约需要再放置__________能达到最佳饮用口感.（结果精确到0.1，参考数据：，）
【答案】13.3
【解析】
【分析】根据题意列出等式，可得，根据条件列出方程，解出即可.
【详解】由题意得，，
即，则.
设大约需要再放置能达到最佳饮用口感，
则，即，
则，所以，
解得.
故答案为：13.3.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，命题“，”是真命题.
（1）求实数a的取值集合B；
（2）在（1）的条件下，若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用一元二次不等式有解，列式求解即得.
（2）由（1）的结论，利用充分不必要条件的定义，借助集合包含关系求解即得.
【小问1详解】
由命题“，”是真命题，得，解得或，
所以实数a的取值集合.
【小问2详解】
显然，由“”是“”的充分不必要条件，得真包含于，
则或，解得或，
所以实数m的取值范围是.
16. 近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高100米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面60米）.设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为.
（1）求的解析式；
（2）求叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题中条件写出方程组，解出即可；
（2）根据题中条件建立不等式，解出即可.
【小问1详解】
如图，建立平面直角坐标系，
当时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，
设为，则，
由题意得，，，
解得，
所以.
注：写成也给分.
【小问2详解】
令，则，
即，
所以，
解得.
当时，，，
所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长为秒.
17. 已知函数.
（1）若，且，求函数的零点；
（2）若，函数的定义域为I，存在，使得在上的值域为，求实数t的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令，解出方程即可；
（2）考查函数的单调性，可得，转化为关于x的方程有两个不同的根，换元后转化关于λ的方程有两个不同的正实数根，，列出不等式组，解出即可.
【小问1详解】
若，且，则，
令，则，解得，
即函数的零点为0.
【小问2详解】
因为，所以函数在定义域内单调递增，
函数在定义域内单调递增，
所以函数在定义域内单调递增.
因为函数的定义域为I，存在，
使得在上的值域为，
故，
所以关于x的方程有两个不同的根，
所以，即有两个不同的根.
令，则，
则关于λ的方程有两个不同的正实数根，，
所以，
解得，故实数t的取值范围为.
18. 已知函数.
（1）若，求的值；
（2）设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用诱导公式化简，然后根据条件得的值，再将转化为用表示，代入的值计算即可；
（2）先根据三角函数的性质求出的范围，然后将恒成立问题转化为最值问题求解即可.
【小问1详解】
由已知，
若，则，即，
所以；
【小问2详解】
由题意得，，
所以
，
因为，所以，所以.
由题意可知不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
所以，
解得，即实数m的取值范围为.
19. 已知函数的定义域为，，且当时，.
（1）判断的奇偶性，并说明理由；
（2）解不等式：；
（3）已知，，若对，，使得成立，求实数b的取值范围.
【答案】（1）奇函数，理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）通过赋值法，利用奇函数的定义进行判断即可；
（2）考查函数的单调性，利用单调性转化不等式求解即可；
（3）根据题意知，即，分类讨论求得，解出不等式即可.
【小问1详解】
为奇函数.
令，则，
解得.
令，则，
即，
又的定义域关于原点对称，所以为奇函数.
【小问2详解】
令，
则，
因为，所以，，
则，
因为，
所以.
因为当时，，为奇函数，
所以当时，，
所以，即，
因为，所以在为减函数.
因为，所以，
解得，
即不等式的解集为.
【小问3详解】
因为，，
使得成立，
所以，由上可知，即.
因为的对称轴为，.
①当，即时，在上单调递增，
则，所以，解得，所以；
②当，即时，在上单调递减，
则，
所以，解得，所以；
③当时，在上先减再增，
则，所以，
解得或，所以；
综上所述，实数b的取值范围是.
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
第I卷 选择题（共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解出指数不等式，得到集合，再解出一元二次不等式得到集合，最后根据集合的交并补即可.
【详解】由题意得，，或，
或，，
故选：B.
2. 若，则（ ）
A. B. 2C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】把指数式化对数式，根据对数运算性质进一步化简即可.
详解】由，得，
，，
.
故选:C.
3. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A. B. 4C. D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本不等式及题中条件建立不等式，解出即可.
【详解】，，，
，即，，
当且仅当，即时等号成立，
则的最小值为8.
故选：D.
4. 点从出发，沿着单位圆顺时针运动到达点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据特殊角的三角函数值可知不妨设点所对应的角为，再利用诱导公式求出，，即可得解.
【详解】因为，所以不妨设点所对应的角为，
则，，，
所以点的坐标为即.
故选：C.
5. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数及幂函数的性质判断即可.
【详解】由题意得，，，，
，，.
故选：D.
6. 已知角，满足，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据商数关系得到，再利用两角和与差的余弦公式计算即可.
【详解】，，
，，
，
故选：A.
7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列出不等式组，解出即可.
【详解】由题意得，，
解得.
故选：C.
8. 如图，在扇形中，，，点P在弧上（点与点不重合），分别在点作扇形所在圆的切线，，且，交于点C，与的延长线交于点D，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，.设，，利用直角三角函数以及切线的性质表示出，再利用三角恒等变形公式及基本不等式求最值.
【详解】连接，.设，，
在中，，
由得，.
在中，，
，
.
令，则，且，
则
，
当且仅当，即时取等号.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列计算中正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用三角恒等变形的公式逐一计算判断.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：
，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误.
故选：BC.
10. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
C. 的图象关于点对称
D. 若方程在上有且只有6个根，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定的函数图象，利用函数的解析式，再利用正弦函数的图象性质逐项判断即得.
【详解】由图象得，，，而，则，，
由的图象过点，得，解得，
而的周期有，即，解得，因此，，A正确；
函数的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是
，非奇非偶函数，B错误；
，C错误；
显然，
若方程在上有且只有6个根，则，D正确.
故选：AD
11. 已知是定义在R上的偶函数，若，，且，恒成立，且，则满足的实数m的值可能为（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】ABD
【解析】
【分析】构造函数，根据条件确定其单调性和奇偶性，然后利用单调性和奇偶性来解不等式即可.
【详解】由已知等价于，
令，则，又，
所以函数在上单调递减.
因为是偶函数，所以是偶函数，且.
因为，即，即，
所以或，解得或.
故选：ABD.
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数过点，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】设，代入点的坐标求出的值，即可求出函数解析式，最后代入求值即可.
【详解】设，则，解得，
所以，则.
故答案：
13. 函数的值域是____________.
【答案】
【解析】
【分析】分离常数后，根据正弦函数的值域，逐步计算即可.
【详解】，
因为，所以，
所以，所以，
即函数的值域是.
故答案为：.
14. 中国茶文化源远流长，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感.为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是，经过后的温度是T，则，其中表示环境温度，h为常数.该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是，放在的室温中，以后茶水的温度是，在上述条件下，大约需要再放置__________能达到最佳饮用口感.（结果精确到0.1，参考数据：，）
【答案】13.3
【解析】
【分析】根据题意列出等式，可得，根据条件列出方程，解出即可.
【详解】由题意得，，
即，则.
设大约需要再放置能达到最佳饮用口感，
则，即，
则，所以，
解得.
故答案为：13.3.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，命题“，”是真命题.
（1）求实数a的取值集合B；
（2）在（1）的条件下，若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用一元二次不等式有解，列式求解即得.
（2）由（1）的结论，利用充分不必要条件的定义，借助集合包含关系求解即得.
【小问1详解】
由命题“，”是真命题，得，解得或，
所以实数a的取值集合.
【小问2详解】
显然，由“”是“”的充分不必要条件，得真包含于，
则或，解得或，
所以实数m的取值范围是.
16. 近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电.如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高100米，叶片长40米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面60米）.设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为.
（1）求的解析式；
（2）求叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题中条件写出方程组，解出即可；
（2）根据题中条件建立不等式，解出即可.
【小问1详解】
如图，建立平面直角坐标系，
当时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，
设为，则，
由题意得，，，
解得，
所以.
注：写成也给分.
【小问2详解】
令，则，
即，
所以，
解得.
当时，，，
所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长为秒.
17. 已知函数.
（1）若，且，求函数的零点；
（2）若，函数的定义域为I，存在，使得在上的值域为，求实数t的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令，解出方程即可；
（2）考查函数的单调性，可得，转化为关于x的方程有两个不同的根，换元后转化关于λ的方程有两个不同的正实数根，，列出不等式组，解出即可.
【小问1详解】
若，且，则，
令，则，解得，
即函数的零点为0.
【小问2详解】
因为，所以函数在定义域内单调递增，
函数在定义域内单调递增，
所以函数在定义域内单调递增.
因为函数的定义域为I，存在，
使得在上的值域为，
故，
所以关于x的方程有两个不同的根，
所以，即有两个不同的根.
令，则，
则关于λ的方程有两个不同的正实数根，，
所以，
解得，故实数t的取值范围为.
18. 已知函数.
（1）若，求的值；
（2）设，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用诱导公式化简，然后根据条件得的值，再将转化为用表示，代入的值计算即可；
（2）先根据三角函数的性质求出的范围，然后将恒成立问题转化为最值问题求解即可.
【小问1详解】
由已知，
若，则，即，
所以；
【小问2详解】
由题意得，，
所以
，
因为，所以，所以.
由题意可知不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
所以，
解得，即实数m的取值范围为.
19. 已知函数的定义域为，，且当时，.
（1）判断的奇偶性，并说明理由；
（2）解不等式：；
（3）已知，，若对，，使得成立，求实数b的取值范围.
【答案】（1）奇函数，理由见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）通过赋值法，利用奇函数的定义进行判断即可；
（2）考查函数的单调性，利用单调性转化不等式求解即可；
（3）根据题意知，即，分类讨论求得，解出不等式即可.
【小问1详解】
为奇函数.
令，则，
解得.
令，则，
即，
又的定义域关于原点对称，所以为奇函数.
【小问2详解】
令，
则，
因为，所以，，
则，
因为，
所以.
因为当时，，为奇函数，
所以当时，，
所以，即，
因为，所以在为减函数.
因为，所以，
解得，
即不等式的解集为.
【小问3详解】
因为，，
使得成立，
所以，由上可知，即.
因为的对称轴为，.
①当，即时，在上单调递增，
则，所以，解得，所以；
②当，即时，在上单调递减，
则，
所以，解得，所以；
③当时，在上先减再增，
则，所以，
解得或，所以；
综上所述，实数b的取值范围是.
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