安徽省阜阳市2023-2024学年高三下学期第一次教学质量统测数学试题

这是一份安徽省阜阳市2023-2024学年高三下学期第一次教学质量统测数学试题，共14页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，设，则的大小关系为等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，集合，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
2．设复数满足，则（ ）
A．2B．C．D．1
3．设两个正态分布和的密度函数图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知数列满足，则“为递增数列”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
5．降水量是指水平地面上单位面积的降水深度（单位：）．气象学中，把24小时内的降水量叫作日降雨量，等级划分如下：
某数学建模小组为了测量当地某日的降水量，制作了一个上口直径为，底面直径为，深度为的圆台形水桶（轴截面如图所示）．若在一次降水过程中用此桶接了24小时的雨水恰好是桶深的，则当日的降雨所属等级是（ ）
A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨
6．已知分别是圆与直线上的两个动点，若直线与圆恰有1个公共点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．设，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数对满足，且当时，，若存在，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．关于一组样本数据的平均数、中位数、众数，频率分布直方图和方差，下列说法正确的是（ ）
A．改变其中一个数据，平均数和众数都会发生改变
B．频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等
C．若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数
D．样本数据的方差越小，说明样本数据的离散程度越小
10．已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为两点都在上，，三点共线，（不与重合）为上顶点，则（ ）
A．的最小值为4B．为定值
C．存在点，使得D．
11．2023年9月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮．若波状涌潮的图象近似函数的图象，而破碎的涌潮的图象近似（是函数的导函数）的图象．已知破碎的涌潮的“波谷”（最低处值）为，当时，两潮有一个交叉点，则（ ）
A．B．
C．是偶函数D．在区间上单调
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置．
12．如图，在四边形中，分别为的中点，，则______．
13．抛物线绕其顶点逆时针旋转之后，得到抛物线，其准线方程为，则抛物线的焦点坐标为______．
14．已知，则______，，．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
在中，角的对边分别是，且．
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的面积．
16．（15分）
如图，在四棱锥中，四边形是正方形，是等边三角形，平面平面分别是棱的中点．
（1）证明：平面．
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
17．（15分）
已知双曲线的左、右顶点分别为，动直线过点，当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，点到直线的距离为．
（1）求双曲线的标准方程．
（2）当直线与双曲线交于异于的两点时，记直线的斜率为，直线的斜率为．是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．（17分）
已知函数．
（1）讨论的单调性．
（2）已知是函数的两个零点．
（ⅰ）求实数的取值范围．
（ⅱ）是的导函数．证明：．
19．（17分）
为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药，一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈，则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求X的分布列．
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，其中．假设．
（ⅰ）证明：为等比数列．
（ⅱ）求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
阜阳市2023-2024学年度高三教学质量统测试卷
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【详解】由题意可知且，解得，故选B．
2．【详解】，则，故选C．
3．【详解】正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线，越大，曲线的最高点越低且弯曲较平缓，反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭．选A．
4．【详解】由为递增数列得，则，得．可得，反之不行，故选C．
5．【详解】设上口半径为，下口半径为，桶深为，水面半径为，
则，
降水量的体积，
降水深度为，属于大雨等级，选C．
6．【详解】将圆化为标准方程，即，则圆的圆心为，半径，则，
直线与圆相切，有，
因为点在直线上，所以，则，
即的最小值是．故选A．
7．【详解】，
，
，
，故选D．
8．【详解】任取，且，则，而当时，，于是，又，所以，则函数是增函数，而，
于是，令，得，令，得，
令，得，令，得，
令，得，即有，因此，原问题即在上有解，令，
则在时有解，从而，
所以的取值范围是．故选D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．【详解】对于A，例如数据1，3，3，将数据改成2，3，3，数据的众数未改变，仍为3，故A错误；
对于B，根据频率分布直方图中中位数的求法，可得B正确；
对于C，可取特例说明C是错误的．
对于D．样本数据方差越小，数据越稳定，离散程度越小，故D正确
故选BD．
10．【详解】对于A，由于，A错误；
对于B，由椭圆的对称性可知，，可得B正确；对于C，由于，则存在点，使得，故C正确；对于D，设，则，则，故D正确．故选BCD．
11．【详解】对于A，，则，由题意得，即，故，因为，所以，所以，则选项A错误；
对于B，因为破碎的涌潮的波谷为，所以的最小值为，即，得，所以，
则，故选项B正确；
对于C，因为，所以，所以为偶函数，则选项C正确；
对于D，，由，得，因为函数在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上不单调，则选项D错误．
故选BC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．3/2 13． 14．（两空都填对得5分，填对一空得3分）
12．【详解】由于，则．
13．【详解】由于抛物线绕其顶点逆时针旋转之后，抛物线的顶点到其准线的距离与到其焦点的距离相等，且可知，则，则，所以抛物线的焦点坐标为．
14．【详解】，两式平方相加可得，
则．
，
，
，所以．
15．解：（1）因为，
所以根据正弦定理得，
因为，
所以，
即，
即．
因为，所以．
因为，所以．
（2）．
因为，所以①．
因为，所以②．
联立①②可得，解得（负根舍去），
故的面积为．
16．（解法一）（1）证明：取的中点，连接，
因为为的中点，四边形为正方形，为的中点，
可得，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面平面，
所以平面．
（2）解：因为是等边三角形，是的中点，
所以．
又平面平面，平面平面平面，
所以平面，底面是正方形，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，不妨令，
则，
所以，
．
设平面的法向量为，
则令，可得．
设平面的法向量为，
则令，可得．
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
（解法二）（1）证明：因为是等边三角形，是的中点，
所以，又平面平面，
平面平面平面，
所以平面，底面是正方形．
如图，以为原点建立空间直角坐标系，不妨令，
则，
所以．
设平面的法向量为，
则令，可得，
所以，即，
又平面，所以平面．
（2）解：因为，
所以，
设平面的法向量为，
则令，可得，
又平面的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17．解：（1），
故当直线过且与双曲线有且仅有一个公共点时，应与的渐近线平行．
设直线，即，
则点到直线的距离为，
即双曲线的标准方程为．
（2）由题可知，直线的斜率不为0，
设直线，
由得．
成立，
，
．
，
．
故存在实数，使得成立．
18．解：（1）．
①当时，在上单调递增．
②当时，令得，即在上单调递增；
同理，令得，即在上单调递减．
（2）（ⅰ）由（1）可知当时，在上单调递增，不可能有两个零点．
当时，在上单调递增，在上单调递减，
若使有两个零点，则，即，解得，
且，当时，，则有，
所以的取值范围为．
（ⅱ）是函数的两个零点，则有①，②，
①-②得，即，
，
因为有两个零点，所以不单调，
因为，得，
所以．
若要证明成立，
只需证，
即证，令，则，
则不等式只需证，
即证，
令，
．
令，因为，得在上单调递减，
得，得，即在上单调递减，
得，得，即在上单调递减，
所以有，
故有，不等式得证．
19．解：（1）由题意可知所有可能的取值为．
；
；
．
的分布列为
（2），
．
（ⅰ），
即，
整理可得，
是以为首项，4为公比的等比数列．
（ⅱ）由（ⅰ）知，
．
作和可得，
．
，
表示最终认为甲药更有效．从计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理．降水量
等级
小雨
中雨
大雨
曝雨
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
A
C
C
A
D
D
题号
9
10
11
答案
BD
BCD
BC
0
1