2023-2024学年四川省绵阳市南山中学高一（下）入学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省绵阳市南山中学高一（下）入学数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={x∈N||x|≤2}，B={x∈R|1−x≥0}，则A∩B=( )
A. {0,1}B. {x|−2≤x≤1}C. {1,2}D. {x|0≤x≤1}
2.tan5π4=( )
A. 3B. 1C. 33D. − 33
3.设a，b∈R，且a>b，则( )
A. 2a<2bB. tana>tanbC. 4−a>3−bD. a|a|>b|b|
4.如果“x=2kπ+π3，k∈Z”是“csx=12”成立的．( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 不充分也不必要条件
5.若函数f(x)=2x−2x−a存在1个零点位于(1,2)内，则a的取值范围是( )
A. (0,3)B. (−3,3)C. [−3,3]D. (−3,0)
6.数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为( )
A. y=sinx+12sin2x+13sin3x
B. y=sinx−12sin2x−13sin3x
C. y=sinx+12cs2x+13cs3x
D. y=csx+12cs2x+13cs3x
7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)=3，对∀x1，x2∈[0,+∞)，且x1≠x2有f(x1)−f(x2)x1−x2>0，则关于x的不等式(x+2)f(x+2)<9的解集为( )
A. (−∞,1)B. (−5,1)
C. (−∞,−5)∪(1,+∞)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)
8.著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.黄金分割比t= 5−12≈0.618，现给出三倍角公式cs3α=4cs3α−3csα，则t与sin18°的关系式正确的为( )
A. 2t=3sin18°B. t=2sin18°C. t=3sin18°D. t=4sin18°
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列幂函数中满足条件f(x1+x22)A. f(x)=xB. f(x)=x2C. f(x)= xD. f(x)=1x
10.若正实数a，b满足a+2b=1，则下列说法正确的是( )
A. 1a+2b有最小值9B. 2a+4b的最小值是2 2
C. ab有最大值18D. a2+b2的最小值是25
11.已知函数f(x)=−x2−4x−2,x≤0|lnx|,x>0，若函数g(x)=3f2(x)−(m+3)f(x)+m有5不同的零点，则实数m的值可能是( )
A. −5B. −6C. −7D. −8
12.空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态.这些曲线在数学上称为悬链线.悬链线在工程上有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为f(x)=aex+be−x(其中a，b为非零常数)，则对于函数y=f(x)以下结论正确的是( )
A. 若a=b，则y=f(x)为偶函数
B. 若a=1，b=2，则函数y=f(x)−3的零点为0和ln2
C. 若ab=1，则函数y=f(x)的最小值为2
D. 若y=f(x)为奇函数，且∃x∈(−∞,0)使e2x+e−2x+f(x)≤0成立，则a的最小值为2 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点(1,e)，则函数f(x)的反函数g(x)= ______．
14.函数f(x)=tanωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线y=π所得线段长为π2，则f(π12)的值是______．
15.已知函数y=x2−2x+2,x≥0x+ax+3a,x<0的值域为R，则实数a的取值范围为______．
16.同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：f(x)=x+ex，f(lnx)=lnx+elnx=lnx+x，称x+ex与lnx+x为同构式.已知实数x1，x2满足ex1+x1=6，ln 3x2+1+32x2=52，则x1+3x2= ______．
四、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)计算：4163−(254)−12+(lg23)×(lg34)；
(2)化简： 1−2sin40∘cs40∘cs40∘− 1−cs2140∘．
18.(本小题12分)
设集合P={x|132≤(12)x≤(12)−2}，Q={x|k+1≤x≤2k−1}．
(1)化简集合P，并求当x∈Z时，P的真子集的个数；
(2)若P∩Q=Q，求实数k的取值范围．
19.(本小题12分)
(1)已知sin(π−α)−sin(π2−α)=cs(−α)，求3sin2α+2cs2α+2sinαcsα的值；
(2)已知α为第二象限角，sinα+csα=15，求sinαcsαsinα−csα的值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤π2)的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数h(x)=2f(x)+1的图象在区间[0,b]上恰好含10个零点，求实数b的取值范围．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=(12)x和函数g(x)=lg12x．
(1)若函数y=g(mx2+mx+1)的定义域为R，求实数m的取值范围；
(2)是否存在非负实数m，n，使得函数y=g[f(x2+12x+12)]的定义域为[m,n]，值域为[2m,2n]，若存在，求出m，n的值；若不存在，则说明理由；
(3)当x∈[π6,π2]时，求函数y=g(2)cs2x−f(−1)asinx+4的最大值h(a)．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意可得A={0,1,2}，B={x|x≤1}，
所以A∩B={0,1}，故A正确．
故选：A．
分别求出A={0,1,2}，B={x|x≤1}，再求解A∩B即可求解．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：tan5π4=tan(π+π4)=tanπ4=1．
故选：B．
利用诱导公式，结合特殊角的正切值，即可求得结果．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：对A，当a>0，b<0时，显然错误，故A错；
对B，当a=2π3,b=π6时，则tana<0，tanb>0，故B错；
对C，当a=5，b=3时，4−5<3−3，故C错；
对D，当a>b≥0时，a|a|=a2，b|b|=b2，a2>b2，故a|a|>b|b|；
当a>0>b时，a|a|>0，b|b|<0，a|a|>b|b|；
当ba+b<0，b−a<0，所以a|a|−b|b|>0，a|a|>b|b|，故D正确．
故选：D．
根据已知条件，结合特殊值法，以及不等式的性质，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查余弦函数的图象与性质，充分必要条件的判断，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
根据余弦函数的图象可得，当csx=12时，x=2kπ+π3或2kπ−π3，k∈Z，再判断充分性与必要性，即可．
【解答】
解：当x=2kπ+π3，k∈Z时，csx=12是成立的，即充分性成立；
当csx=12时，x=2kπ+π3或2kπ−π3，k∈Z，即必要性不成立．
故选：A．
5.【答案】A
【解析】解：函数f(x)=2x−2x−a存在1个零点位于(1,2)内，
f(x)=2x−2x−a在(0,+∞)上单调递增，又因为零点存在定理，
∴f(1)=21−21−a<0,f(2)=22−22−a>0，
∴0故选：A．
应用零点存在定理结合函数单调性列不等式求解即可．
本题考查函数零点存在定理，属中档题．
6.【答案】A
【解析】解：对于A，函数y=f(x)=sinx+12sin2x+13sin3x，定义域为R，
因为f(−x)=−sinx−12sin2x−13sin3x=−f(x)，所以函数为奇函数，
又f(π4)= 22+12+ 26=12+2 23>0，故A符合图象；
对于B，函数y=f(x)=sinx−12sin2x−13sin3x，定义域为R，
因为f(−x)=−sinx+12sin2x+13sin3x=−f(x)，所以函数为奇函数，
又f(π4)= 22−12− 26= 23−12<1.53−12=0，故B不符题意；
对于C，函数y=f(x)=sinx+12cs2x+13cs3x，定义域为R，
因为f(0)=56≠0，故C不符题意；
对于D，当x=0时，y=csx+12cs2x+13cs3x=116≠0，故D不符题意．
故选：A．
根据函数的奇偶性，再利用特殊值法，逐一判断即可．
本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：对∀x1，x2∈[0,+∞)，且x1≠x2有f(x1)−f(x2)x1−x2>0，可得函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，
因为f(3)=3，又函数为奇函数，所以函数在R上为增函数，
所以不等式可得(x+2)f(x+2)<9=3f(3)，
所以x+2<3，解得x<1，
故选：A．
由题意可得函数在[0,+∞)单调递增，再由奇函数的性质可得函数在R上，单调递增，再由题意将9化成3f(3)，由单调性可得不等式x+2<3，进而求出不等式的解集．
本题考查抽象函数的单调性和奇偶性的应用，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：因为cs3α=4cs3α−3csα，
所以cs54°=4cs318°−3cs18°，
又cs54°=sin36°=2sin18°cs18°，
所以4cs318°−3cs18°=2sin18°cs18°，
化简得4cs218°−3=2sin18°，
可得4(1−sin218°)−3=2sin18°，即4sin218°+2sin18°−1=0，
解得sin18°= 5−14(负值舍去)，
所以t=2sin18°．
故选：B．
由题意利用诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式可求4sin218°+2sin18°−1=0，进而解方程即可得解．
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，属于基础题．
9.【答案】BD
【解析】解：由题意知，当x>0时，f(x)的图象是凹形曲线；
对于A，函数f(x)=x的图象是一条直线，则当x2>x1>0时，有f(x1+x22)=f(x1)+f(x2)2，不满足题意；
对于B，函数f(x)=x2的图象是凹形曲线，则当x2>x1>0时，有f(x1+x22)对于C，函数f(x)= x的图象是凸形曲线，则当x2>x1>0时，有f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2，不满足题意；
对于D，在第一象限内，函数f(x)=1x的图象是一条凹形曲线，则当x2>x1>0时，有f(x1+x22)故选：BD．
由题意知，当x>0时，f(x)的图象是凹形曲线；
由此分析选项中的函数曲线是否满足题意即可．
本题考查了函数的定义与性质的应用问题，也考查了分析问题与转化问题的能力，是中档题．
10.【答案】AB
【解析】解：1a+2b=(1a+2b)(a+2b)=5+2ba+2ab≥9，当且仅当2ba=2ab⇒a=b=13时等号成立，A对；
2a+4b=2a+22b≥2 2a+2b=2 2，当且仅当2a=22b，即a=12,b=14时等号成立，B对；
a+2b=1≥2 2ab，则ab≤18，当且仅当a=2b，即a=12,b=14时等号成立，C错；
由a=1−2b，则a2+b2=5b2−4b+1=5(b−25)2+15，而0所以a2+b2≥15，当且仅当b=25时等号成立，D错．
故选：AB．
根据已知等量关系，应用基本不等式及“1”的代换、二次函数性质求各式的最值，注意取值条件．
本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】CD
【解析】解：令g(x)=3f2(x)−(m+3)f(x)+m=0，
[f(x)−1][3f(x)−m]=0，解得f(x)=1或f(x)=m3，
如图，画出函数f(x)的图象，
f(x)=1时，y=1与y=f(x)的图象有4个交点，
所以y=m3与y=f(x)的图象只能有1个交点，则m3<−2，得m<−6，
由选项判断m=−7或−8成立．
故选：CD．
首先由方程g(x)=0，求得f(x)=1或f(x)=m3，再画出函数f(x)的图象，再利用数形结合求实数m的取值范围，即可求解．
本题考查了函数的零点、转化为思想及数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：对于A，当a=b时，f(x)=aex+ae−x，函数定义域为R，所以f(−x)=ae−x+aex=f(x)，则y=f(x)为偶函数，故A正确；
对于B，若a=1，b=2，f(x)=ex+2e−x，则函数y=ex+2e−x−3=0，整理得(ex)2−3ex+2=0，
即(ex−1)(ex−2)=0，解得x=0，x=ln2，所以函数y=f(x)−3的零点为0和ln2，故B正确；
对于C，若ab=1，则f(x)=aex+1aex，当a>0时，aex+1aex≥2 aex⋅1aex=2，当且仅当aex=1aex，即x=−lna时等号成立；
当a<0时，aex+1aex≤−2 (−aex)⋅1−aex=−2，当且仅当−aex=1−aex，即x=−ln(−a)时等号成立；
所以f(x)∈(−∞,−2]∪[2,+∞)，故C错误；
对于D，若y=f(x)为奇函数，则f(x)+f(−x)=0，所以aex+be−x+ae−x+bex=(a+b)ex+(a+b)e−x=0，
所以a+b=0，则f(x)=aex−ae−x，若∃x∈(−∞,0)使e2x+e−2x+f(x)≤0成立，则e2x+e−2x+aex−ae−x≤0，
若x∈(−∞,0)，则x<−x，ex即a≥−e2x+e−2xex−e−x=(e−x−ex)2+2e−x−ex=(e−x−ex)+2e−x−ex能成立，
又(e−x−ex)+2e−x−ex≥2 (e−x−ex)⋅2e−x−ex=2 2，当且仅当(e−x−ex)=2e−x−ex时，即ex= 6− 22时，等号成立，
所以a≥2 2，则a的最小值为2 2，故D正确．
故选：ABD．
根据函数的奇偶性定义判断A即可；利用函数零点的定义及指对运算即可求得函数y=f(x)−3的零点，从而判断B即可；根据ab=1得f(x)=aex+1aex，讨论a的符号从而确定函数值域，从而判断C即可；根据含参不等式能成立，利用指数函数的性质进行参变分离，结合基本不等式求得最值，即可得a的取值范围，从而判断D即可．
本题综合考查了函数性质的应用，还考查了存在性问题与最值关系的转化，属于中档题．
13.【答案】y=lnx
【解析】解：由题可得：a=e，故f(x)=ex，其定义域为R，值域为(0,+∞)；
因为y=ex，解得x=lny，故f(x)的反函数为y=lnx．
故答案为：y=lnx．
根据题意求得a，再求其反函数即可．
本题主要考查反函数的应用，属于基础题．
14.【答案】 33
【解析】解：由题知，f(x)的最小正周期为T=π2=πω，所以ω=2，所以f(x)=tan2x，解得f(π12)=tanπ6= 33．
故答案为： 33．
由相邻两支长度可确定周期求出ω，进而得解．
本题考查了正切函数的图象与性质应用问题，是基础题．
15.【答案】(−∞,0)∪[1，+∞)
【解析】解：当x≥0时，f(x)=x2−2x+2=(x−1)2+1，此时f(x)∈[1,+∞)，
当a=0且x<0时，f(x)=x，
此时f(x)∈(−∞,0)，且(−∞,0)⋃[1，+∞)≠R，所以不满足；
当a>0且x<0时，f(x)=x+ax+3a，
由对勾函数单调性可知f(x)在(−∞,− a)上单调递增，在(− a,0)上单调递减，
所以f(x)max=f(− a)=3a−2 a，此时f(x)∈(−∞,3a−2 a],
若要满足f(x)的值域为R，只需要3a−2 a≥1，解得a≥1；
当a<0且x<0时，因为y=x,y=ax均在(−∞,0)上单调递增，
所以f(x)=x+ax+3a在(−∞,0)上单调递增，且x→0时，f(x)→+∞，x→−∞时，f(x)→−∞，
所以此时f(x)∈(−∞,+∞)，此时显然能满足f(x)的值域为R；
综上可知，a的取值范围是(−∞,0)∪[1，+∞)，
故答案为：(−∞,0)∪[1，+∞)．
先求解出x≥0时f(x)的值域，然后根据a=0，a>0，a<0分类讨论x<0时f(x)的值域，由此确定出a的取值范围．
本题主要考查分段函数性质在函数值域求解中的应用，属于基础题．
16.【答案】5
【解析】解：易判断f(x)=x+ex为增函数，f(x1)=x1+ex1=6，
ln 3x2+1+32x2=52⇔12ln(3x2+1)+12(3x2+1)=3，
即ln(3x2+1)+(3x2+1)=6，
则f(ln(3x2+1))=ln(3x2+1)+(3x2+1)=6，
所以x1=ln(3x2+1)，
所以x1+3x2=ln(3x2+1)+(3x2+1)−1=6−1=5．
故答案为：5．
可将ln 3x2+1+32x2=52拼凑成12ln(3x2+1)+12(3x2+1)=3，结合f(x)单调性和同构思想易得x1=ln(3x2+1)，将x1代入x1+3x2即可得解．
本题主要考查了同构思想，考查了函数单调性的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)4163−254−12+(lg23)×(lg34)
=8−25+lg24=10−25=485；
(2) 1−2sin40°cs40°cs40∘− 1−cs2140∘
= sin240°+cs240°−2sin40°cs40°cs40∘− sin2140∘
=|sin40°−cs40°|cs40∘−sin140∘
=cs40°−sin40°cs40∘−sin40∘
=1．
【解析】本题考查了幂运算及对数运算性质、同角三角函数关系式、诱导公式等，属于基础题．
(1)由幂运算及对数运算性质化简4163=8，(254)−12=25，lg23×lg34=lg24=2，整理即可；
(2)由同角三角函数关系式及诱导公式化简即可．
18.【答案】解：(1)P={x|−2≤x≤5}，
当x∈Z时，则P={−2,−1,0,1,2,3,4,5}共8个元素，
故集合P的真子集的个数为28−1=255；
(2)∵P∩Q=Q，
∴Q⊆P，
当Q=⌀时，k+1>2k−1，解得k<2；
当Q≠⌀时，k+1≤2k−1k+1≥−22k−1≤5，解得2≤k≤3，
综上得，实数k的取值范围为(−∞,3]．
【解析】本题考查了指数函数的单调性，描述法的定义，集合真子集个数的计算公式，交集的定义及运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
(1)根据函数y=(12)x的单调性即可求出P={x|−2≤x≤5}，从而得出x∈Z时，P={−2,−1,0,1,2,3,4,5}，从而得出P的真子集个数；
(2)根据P∩Q=Q得出Q⊆P，从而讨论Q是否为空集：Q=⌀时，k+1>2k−1；Q≠⌀时，k+1≤2k−1k+1≥−22k−1≤5，解出k的范围即可．
19.【答案】解：(1)因为sin(π−α)−sin(π2−α)=cs(−α)，
所以sinα−csα=csα，可得tanα=sinαcsα=2，
所以3sin2α+2cs2α+2sinαcsα=3sin2α+2cs2α+2sinαcsαsin2α+cs2α=3tan2α+2+2tanαtan2α+1=3×22+2+2×222+1=185；
(2)因为α为第二象限角，sinα+csα=15，①
两边平方，可得1+2sinαcsα=125，可得2sinαcsα=−2425，
所以sinα−csα= (sinα−csα)2= 1−2sinαcsα=75，②
所以由①②可得sinα=45，csα=−35，
所以sinαcsαsinα−csα=45×(−35)45−(−35)=−1235．
【解析】(1)利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可求解；
(2)将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求得2sinαcsα=−2425，可求sinα−csα=75，进而解得sinα，csα的值，即可得解．
本题主要考查了诱导公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
20.【答案】解：(1)由题意可得A=1，f(x)的最小正周期为T=2(7π12−π12)=π，
∴ω=2ππ=2，
故f(x)=sin(2x+φ)，
又f(x)图象过点(π12,1)，故sin(2×π12+φ)=1，
则π6+φ=π2+2kπ,k∈Z，即φ=π3+2kπ,k∈Z，
而|φ|≤π2，故φ=π3，
所以f(x)=sin(2x+π3)；
(2)由(1)知h(x)=2f(x)+1=2sin(2x+π3)+1，
令h(x)=0，∴sin(2x+π3)=−12，
由x∈[0,b]，得π3≤2x+π3≤2b+π3，
因为函数h(x)的图象在区间[0,b]上恰好含10个零点，
等价于y=sin(2x+π3)与y=−12的图象在区间[0,b]上恰好含有10个交点，
设θ=2x+π3,π3≤θ≤2b+π3，即y=sinθ与y=−12的图象恰有10个交点，
故10π−π6≤2b+π3<11π+π6，即19π4≤b<65π12．
【解析】(1)由图象确定函数周期求得ω，再利用特殊点坐标代入函数表达式，可求得φ，即得答案；
(2)函数h(x)=2f(x)+1的图象在区间[0,b]上恰好含10个零点转化为y=sin(2x+π3)与y=−12的图象在区间[0,b]上恰好含有10个交点，结合正弦函数的性质列出不等式，即可求得答案
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)∵函数y=g(mx2+mx+1)=lg12(mx2+mx+1)的定义域为R，
∴mx2+mx+1>0在R上恒成立，
当m=0时，1>0恒成立满足题意；
当m≠0时，若mx2+mx+1>0在R上恒成立，
由二次函数的性质可知m>0Δ=m2−4m<0，解得0综上可得0≤m<4，
∴m∈[0,4)；
(2)∵函数y=g[f(x2+12x+12)]=lg12(12)x2+12x+12=x2+12x+12，
即y=x2−12x+12，
假设存在满足题意的非负实数m，n，
∴m2+12m+12=2mn2+12n+12=2n(0≤m即m，n是x2−32x+12=0的两根，
解得m=12，n=1，
∴当m=12，n=1时，定义域为[12,1]，值域为[1,2]；
(3)y=g(2)cs2x−f(−1)asinx+4=−cs2x−2asinx+4=sin2x−2asinx+3，
当x∈[π6,π2]时，
令t=sinx，则t∈[12,1]，
令φ(t)=t2−2at+3，
∵函数的对称轴为t=−−2aa=a，
当a≤12时，函数φ(t)=t2−2at+3在[12,1]上递增，则h(a)=φ(1)=4−2a；
当12当34≤a<1时，则h(a)=φ(12)=134−a；
当a≥1时，函数φ(t)=t2−2at+3在[12,1]上递减，则h(a)=φ(12)=134−a．
综上所述，h(a)=4−2a,a<34134−a,a≥34．
【解析】(1)由题意可得mx2+mx+1>0在R上恒成立，结合二次函数的性质求解即可；
(2)由题意可得y=x2+12x+12=(x+14)2+716，从而得m，n是x2−32x+12=0的两根，求解即可；
(3))由题意可得y=sin2x−2asinx+3，令t=sinx∈[12,1]，则φ(t)=t2−2at+3，结合二次函数的性质求解即可．
本题考查了指数函数、对数函数、二次函数及正弦函数的性质，考查了转化思想，属于中档题．