2023-2024学年河北省廊坊市香河县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年河北省廊坊市香河县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各组线段，不能组成三角形的是( )
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 3，4，5D. 5，12，13
2.图中由“〇”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线( )
A. l1B. l2C. l3D. l4
3.使分式x+1x−2有意义的x的取值范围为( )
A. x≠2B. x≠−2C. x≠−1D. x≠0
4.一个n边形的内角和为720∘，则n等于( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
5.下列计算正确的是( )
A. a3+a3=2a6B. a2⋅a4=a8C. a6÷a2=a4D. (2ab)2=4ab2
6.如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是( )
A. ∠A=∠D
B. AB=DC
C. ∠ACB=∠DBC
D. AC=BD
7.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A. m(a+b)=ma+mbB. a2+2a+1=a(a+2)+1
C. m2−1=(m−1)2D. a2−a−2=(a+1)(a−2)
8.如图，在△ABC中，AB=AD=CD，∠BAD=26∘，则( )
A. ∠C=26∘
B. ∠C=38.5∘
C. ∠C=52∘
D. ∠C=77∘
9.若x−m与3−x的乘积中不含x的一次项，则实数m的值为( )
A. 3B. 2C. 0D. −3
10.下列说法错误的是( )
A. 若式子x−1x+1没有意义，则x的取值范围是x=−1
B. 分式x+yx中的x、y都扩大原来的2倍，那么分式的值扩大2倍
C. 分式x+2|x|−2的值不可能等于0
D. 若3x+1表示一个整数，则整数x可取值的个数是4个
11.下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是( )
A. ∠A=∠B+∠CB. ∠A：∠B：∠C=1：2：3
C. ∠A=x∘，∠B=90∘−x∘D. ∠A+∠B=90∘−∠C
12.如果关于x的方程m3−x−1−xx−3=0无解，则m的值是( )
A. 2B. 0C. 1D. −2
13.如图，已知△ABC，ABA. B. C. D.
14.如图，△ABC≌△A′BC′，过点C作CD⊥BC′，垂足为D，若∠ABA′=55∘，则∠BCD的度数为( )
A. 25∘B. 35∘C. 45∘D. 55∘
15.小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是( )
A. 75x=901.8x+12B. 75x=901.8x−12C. 751.8x=90x+12D. 751.8x=90x−12
16.如图，已知∠A=30∘，AB=BC，点D是射线AE上的一动点，当BD+CD最短时，∠ABD的度数是( )
A. 110∘
B. 120∘
C. 90∘
D. 80∘
二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
17.把多项式2a2b−18b分解因式的结果是______.
18.数0.0000024用科学记数法表示为______.
19.数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏.游戏规则是：两人轮流对△ABC及△A′B′C′的对应边或对应角添加一组等量条件(点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对应点)，某轮添加条件后，若能判定△ABC与△A′B′C′全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜.
表格记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是______.(填写所有正确结论的序号)
①若第3轮甲添加∠C=∠C′=45∘，则甲获胜；
②若第3轮甲添加BC=B′C′=3cm，则甲必胜；
③若第2轮乙添加条件修改为∠A=∠A′=90∘，则乙必胜；
④若第2轮乙添加条件修改为BC=B′C′=3cm，则此游戏最多4轮必分胜负.
三、解答题：本题共6小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题10分)
解方程：
(1)1x−1=3x；
(2)xx−2+3=4−xx−2.
21.(本小题6分)
先化简，再求值：(3a+1)(3a−1)−9a(a−1)，其中a=2.
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，延长AC到点E，使EA=AB，过点E作ED//AB且ED=AC，连接AD.求证：AD=BC.
23.(本小题8分)
如图，Rt△ABC中，∠C=90∘.
(1)尺规作图：
①作线段AB的对称轴，分别交BC，AB于点D，E；
②连接AD.
(要求：1.在答题纸上作图，保留作图痕迹，不写作法：2.铅笔完成作图后，用黑色水笔描黑，以保证阅卷扫描清晰.)
(2)如果AC=5cm，BC=7cm，可得△ACD的周长为______.
24.(本小题10分)
【调查活动】：
小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《A市初中生阅读水平的现状》，随机走访了A市的甲、乙两所初中，收集到如下信息：
①甲、乙两校图书室各藏书18000册；
②甲校比乙校人均图书册数多2册；
③甲校的学生人数比乙校的人数少10%.
【问题解决】：
请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程.
25.(本小题12分)
【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i.这就是光的反射定律.
【同题解决】如图2.小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电简的灯泡在点G处，手电简的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度CF=1.5m，点A、点C到平面镜B点的距离相等.图中点A，B，C，D在同一条直线上.求灯泡到地面的高度AG.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、∵1+2=3，∴1，2，3不能组成三角形，故本选项正确；
B、∵2+3=5>4，∴2，3，4能组成三角形，故本选项错误；
C、∵3+4=7>5，∴3，4，5能组成三角形，故本选项错误；
D、∵5+12=17>13，∴5，12，13能组成三角形，故本选项错误．
故选：A.
根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了三角形的三边关系，是基础题，熟记三边关系是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：该图形的对称轴是直线l3.
故选：C.
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；分别将图形按l1，l2，l3，l4折叠，能使图形完全重合的就是该图形的对称轴．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
3.【答案】A
【解析】解：∵分式x+1x−2有意义，
∴x−2≠0，解得x≠2.
故选：A.
先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不为0.
4.【答案】C
【解析】解：依题意有：
(n−2)⋅180∘=720∘，
解得n=6.
故答案为：C.
多边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180∘，依此列方程可求解．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
5.【答案】C
【解析】解：A.a3+a3=2a3，故本选项不合题意；
B.a2⋅a4=a6，故本选项不合题意；
C.a6÷a2=a4，正确，故本选项符合题意；
D.(2ab)2=4a2b2，故本选项不合题意．
故选：C.
分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D、添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意.
故选：D.
根据题目所给条件∠ABC=∠DCB，再加上公共边BC=BC，然后再结合判定定理分别进行分析即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7.【答案】D
【解析】解：m(a+b)=ma+mb是乘法运算，则A不符合题意；
a2+2a+1=a(a+2)+1中，其右边不是积的形式，则B不符合题意；
m2−1=(m−1)2中左右两边不相等，则C不符合题意；
a2−a−2=(a+1)(a−2)符合因式分解的定义，则D符合题意；
故选：D.
将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可．
本题考查因式分解的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，AB=AD=CD，
在三角形ABD中，AB=AD，∠BAD=26∘，
∴∠B=∠ADB=(180∘−26∘)×12=77∘，
又∵AD=DC，
在三角形ADC中，
∴∠C=12∠ADB=77∘×12=38.5∘.
故选：B.
根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理计算即可．
本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意得：
(x−m)(3−x)=3x−x2−3m+mx，
∵x−m与3−x的乘积中不含x的一次项，
∴m=−3；
故选：D.
根据多项式乘以多项式的法则，可表示为(x−m)(3−x)=3x−x2−3m+mx，计算即可．
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：A.若式子x−1x+1没有意义，则x+1=0，即x=−1，故不符合题意；
B.分式x+yx中的x、y都扩大原来的2倍，即2x+2y2x=2(x+y)2x=x+yx，所以分式的值不变，故符合题意；
C.当x+2=0，即x=−2时，|x|−2=0，所以分式的值不可能等于0，故不符合题意；
D.若3x+1表示一个整数，则整数x可取值是−4、−2、0、2，共有4个，故不符合题意；
故选：B.
直接利用分式的定义以及分式的性质、分式有意义的条件分别分析得出答案．
此题主要考查了分式的性质、分式的值为0的条件、分式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．
11.【答案】D
【解析】解：∵∠A=∠B+∠C，∠A+∠B+∠C=180∘，
∴∠A=90∘，
∴△ABC是直角三角形，
故A选项不符合题意；
∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，
设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，
∴x+2x+3x=180∘，
解得x=30∘，
∴2x=60∘，3x=90∘，
∴△ABC是直角三角形，
故B选项不符合题意；
设∠A=x∘，∠B=90∘−x∘，
∴∠A+∠B=90∘，
∴△ABC是直角三角形，
故C选项不符合题意；
∵∠A+∠B=90∘−∠C，
∴∠A+∠B+∠C=90∘，
∴不能构成三角形，
故D选项符合题意；
故选：D.
根据三角形内角和定理逐一对选项进行判定即可．
本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：去分母得：−m−1+x=0，
由分式方程无解，得到x−3=0，即x=3，
把x=3代入整式方程得：−m−1+3=0，
解得：m=2，
故选：A.
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x−3=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
本题考查了分式方程的解，注：分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．
13.【答案】B
【解析】解：∵PA+PC=BC，PB+PC=BC，
∴PA=PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
故选项B正确，
故选：B.
证明PA=PB，可得结论．
本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14.【答案】B
【解析】解：∵△ABC≌△A′BC′，
∴∠ABC=∠A′BC′，
∴∠ABC−∠A′BC=∠A′BC′−∠A′BC，
∴∠DBC=∠ABA′=55∘，
∵CD⊥BC′，
∴∠BCD=90∘−∠DBC=35∘，
故选：B.
根据全等三角形的性质得出∠ABC=∠A′BC′，可得∠DBC=∠ABA′=55∘，根据直角三角形的两锐角互余求出答案即可．
本题考查了全等三角形的性质和垂线的性质，能熟记全等三角形的对应角相等是解此题的关键．
15.【答案】A
【解析】解：设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，
由题意得：75x=901.8x+12，
故选：A.
设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，根据线路二的用时预计比线路一用时少半小时，列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
16.【答案】C
【解析】解：作点C关于AE的对称点F，连接BF交AE于点D，则此时BD+CD最短，连接AF，如图，
∵∠CAE=30∘，
∴∠CAF=2∠CAE=60∘，
∵AC=AF，
∴△ACF是等边三角形，
∴AF=CF，
∵AB=BC，
∴BF⊥AC，
∴∠ABD=90∘.
故选：C.
作点C关于AE的对称点F，连接BF交AE于点D，则此时BD+CD最短，连接AF，然后根据等边三角形的判定和性质解答即可．
本题考查了轴对称-最短路线问题、等边三角形的判定和性质，正确理解题意、作出辅助线是关键．
17.【答案】2b(a+3)(a−3)
【解析】解：2a2b−18b=2b(a2−9)=2b(a+3)(a−3)，
故答案为：2b(a+3)(a−3).
首先提公因式2b，再利用平方差进行二次分解即可．
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
18.【答案】2.4×10−6
【解析】解：0.0000024=2.4×10−6.
故答案为：2.4×10−6.
用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂．
本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
19.【答案】②③④
【解析】解：①若第3轮甲添加∠C=∠C′=45∘，可根据角角边判定△ABC与△A′B′C′全等，则乙获胜，不符合题意；
②若第3轮甲添加BC=B′C′=3cm，满足边边角，不能判定△ABC与△A′B′C′全等，则甲获胜，正确，符合题意；
③若第2轮乙添加条件修改为∠A=∠A′=90∘，
若第3轮甲添加一边相等，可根据边角边或斜边直角边判定△ABC与△A′B′C′全等，则乙获胜，
若第3轮甲添加一角相等，可根据角角边或角边角判定△ABC与△A′B′C′全等，则乙获胜，
故乙必胜，故本说法正确，符合题意；
④若第2轮乙添加条件修改为BC=B′C′=3cm，
第3轮甲只能添加∠A=∠A′或∠C=∠C′其中之一，此时已有边边角．无论第4轮乙添加对应边相等还是对应角相等，都会有边边边或角角边或角边角来判定出全等，则乙必输，甲必胜．所以最多4轮必分胜负，本说法正确，符合题意．
故答案为：②③④．
根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解．
本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
20.【答案】解：(1)1x−1=3x，
方程两边都乘x(x−1)，得x=3(x−1)，
解得：x=32，
检验：当x=32时，x(x−1)≠0，
所以x=32是原方程的解，
即原分式方程的解是x=32；
(2)xx−2+3=4−xx−2，
方程两边都乘x−2，得x+3(x−2)=4−x，
解得：x=2，
检验：当x=2时，x−2=0，
所以x=2是增根，
即原分式方程无解．
【解析】(1)方程两边都乘x(x−1)得出x=3(x−1)，求出方程的解，再进行检验即可；
(2)方程两边都乘x−2得出x+3(x−2)=−(x−4)，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
21.【答案】解：(3a+1)(3a−1)−9a(a−1)
=9a2−1−9a2+9a
=9a−1，
当a=2时，
原式=9×2−1
=18−1
=17.
【解析】先根据平方差公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
22.【答案】证明：∵ED//AB，
∴∠E=∠BAC，
在△EAD和△ABC中，
EA=AB∠E=∠BACED=AC，
∴△EAD≌△ABC(SAS)，
∴AD=BC.
【解析】由ED//AB，得∠E=∠BAC，而EA=AB，ED=AC，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△EAD≌△ABC，则AD=BC.
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找出全等三角形的对应边和对应角并且适当选择全等三角形的判定定理证明△EAD≌△ABC是解题的关键．
23.【答案】12cm
【解析】解：(1)如图，
(2)∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=5+7=12(cm)，
故答案为：12cm.
(1)作AB的垂直平分线即可；
(2)利用线段垂直平分线的性质得到DA=DB，再利用等线段代换得到△ACD的周长=AC+BC.
本题考查了作图-轴对称变换，掌握轴对称变换的性质是解题的关键．
24.【答案】解：方法一：问题：甲、乙两校的人数各是多少？
设乙校的人数为x人，根据题意可列方程：
18000(1−10%)x=18000x+2，
解得：x=1000，
经检验，x=1000是原方程的解，且符合题意，(1−10%)x=900人，
答：甲、乙两校的人数各是900人、1000人．
方法二：问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？
设乙校的人均图书册数为x人，根据题意可列方程：
18000x+2=18000x×(1−10%)，
解得：x=18，
经检验，x=18是原方程得解，且符合题意，x+2=20，
答：甲、乙两校的人均图书册数各是20册、18册．
【解析】由题意可提问题：甲、乙两校的人数各是多少？设乙校的人数为x人，根据题意可列方程18000(1−10%)x=18000x+2，或者问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？设乙校的人均图书册数为x人，根据题意可列方程18000x+2=18000x×(1−10%)，然后问题可求解．
本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是找到等量关系，列出方程．
25.【答案】解：如图2，根据题意得：法线垂直于平面镜，且∠i=∠r，
∴∠ABG=∠FBC，
在△FCB和△GAB中，
∠FCB=∠GAB=90∘BC=BA∠FBC=∠ABG，
∴△FCB≌△GAB(ASA)，
∴AG=CF=1.5m.
【解析】根据全等三角形的判定与性质的判定与性质解答即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记定理内容即可．轮次
行动者
添加条件
1
甲
AB=A′B′=2cm
2
乙
∠A=∠A′=35∘
3
甲
…