2023-2024学年甘肃省兰州一中七年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年甘肃省兰州一中七年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.用科学记数法表示0.000059，正确的是( )
A. 5.9×10−5B. 5.9×10−4C. 0.59×10−3D. 0.59×10−4
2.下列说法中，正确的是( )
A. 单项式−3x2y的系数是3，次数是3B. 单项式x的系数是0，次数是1
C. 3(xy+2)是二次单项式D. 单项式−13xy2的系数是−13，次数是3
3.下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是( )
A. B.
C. D.
4.下列不能用平方差公式运算的是( )
A. (−x+2)(−x−2)B. (−2m−n)(−2m−n)
C. (−2a+b)(2a+b)D. (y−x)(−x−y)
5.如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉一个小正方形，剪掉的小正方形不可以是( )
A. ④B. ③C. ②D. ①
6.下列说法中正确的个数是( )
①无交点的两直线平行；
②相等的角是对顶角；
③两条直线被第三条直线所截，所得的同位角相等；
④两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行.
A. 4B. 3C. 2D. 1
7.解方程：x2−x−26=1−x−13，下面去分母变形正确的是( )
A. 3x−(x−2)=6−2(x−1)B. 3x−x−2=6−2(x−1)
C. 3x−(x+2)=1−2(x−1)D. 3x−x+2=3−2(x−1)
8.已知2a=5，4b=7，则2a+2b的值是( )
A. 35B. 19C. 12D. 10
9.把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示形状，若DE//AB，则∠1的度数为( )
A. 105∘
B. 115∘
C. 120∘
D. 135∘
10.如图所示的运算程序中，如果开始输入的x值为−48，我们发现第1次输出的结果为−24，第2次输出的结果为−12，…，第2024次输出的结果为( )
A. −6B. −3C. −24D. −12
11.已知9y2−my+4是完全平方式，则m的值为( )
A. 6B. ±6C. 12D. ±12
12.某同学晚上6点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是120∘，他做完作业后还是6点多钟，且时针和分针的夹角还是120∘，此同学做作业大约用了( )
A. 40分钟B. 42分钟C. 44分钟D. 46分钟
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.一个小立方体的六个面分别标有字母A，B，C，D，E，F，如图是从三个不同方向看到的情形，则字母A的对面是字母______.
14.2023年甘肃省省会兰州市有3.9万名考生参加中考，为了了解这些考生的中考数学成绩，从中抽取1000名考生的中考数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法：①每名考生是个体；②这3.9万名考生的中考数学成绩是总体；③这1000名考生的中考数学成绩是总体的一个样本，其中正确的有______.(填序号)
15.已知t+1t=3，则3t9+t2+13t5=______.
16.将一副直角三角板如图1摆放在直线MN上(直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC=90∘，∠DEC=60∘，∠ABC=90∘，∠BAC=45∘)，保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5∘的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转.在旋转过程中，当三角板ABC的AB边平行于三角板EDC的某一边时(不包含重合的情形)，此时t的值为______.
三、解答题：本题共12小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题4分)
计算：(−2)2+4×(−1)2022+(−12)−3+(π−5)0.
18.(本小题4分)
先化简，再求值：
(a−b)2−2a(a+3b)+(a+2b)(a−2b)，其中a=1，b=−3.
19.(本小题4分)
已知(x+y)2=25，(x−y)2=9，求xy与x2+y2的值.
20.(本小题8分)
如图是由棱长都为1cm的6块小正方体组成的简单几何体．
(1)请在方格中画出该几何体的三个视图．
(2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加______块小正方体，
21.(本小题4分)
小亮的一张地图上有A、B、C三个城市，但地图上的C城市被墨迹污染了(如图)，但知道∠BAC=∠1，∠ABC=∠2，请你用尺规作图法帮他在如图中确定C城市的具体位置．(用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
22.(本小题6分)
以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更加旺盛.某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调查了m名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图.
请根据统计图提供的信息，解答下列问题.
(1)m=______，n=______.
(2)请补全条形统计图；
(3)若该公司新招聘600名毕业生，请你估计“总线”专业的毕业生有______名.
23.(本小题6分)
列方程解应用题：
某车间每天能生产甲种零件180个或乙种零件120个，若甲、乙两种零件分别取3个、2个配成一套，那么要在30天内生产最多的成套产品，应怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？
24.(本小题6分)
如图所示，在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a；B点在原点的右侧，所表示的数是b，并且a、b满足|a+8|+|b−4|=0.
(1)点A表示的数为______，点 B表示的数为______；
(2)若点P从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度；点Q从点B出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度，P、Q两点同时运动，在P、Q运动的过程中，当P、Q两点的距离为2个单位长度时，求点Q表示的数.
25.(本小题8分)
如果两个方程的解相差1，则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”．例如：方程x−2=0是方程x−1=0的后移方程．
(1)判断方程2x+1=0是否为方程2x+3=0的后移方程______(填“是”或“否”)；
(2)若关于x的方程3x+m+n=0是关于x的方程3x+m=0的后移方程，求n的值．
(3)当a≠0时，如果方程ax+b=0是方程ax+c=0的后移方程，用等式表达a，b，c满足的数量关系______.
26.(本小题8分)
如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为b(a>b)，连接AF、CF、AC.
(1)用含a、b的代数式表示GC=______；
(2)若两个正方形的面积之和为60，即a2+b2=60，又ab=20，图中线段GC的长；
(3)若a=8，△AFC的面积为S，则S=______.
27.(本小题4分)
是否存在一个三位数abc−(a,b,c取从1到9的自然数)，使得abc−+bca−+cab−为完全平方数？
28.(本小题10分)
如图1，直角三角板ABC(∠ABC=30∘)的直角边AC所在直线与直线MN重合.将该三角板绕点A逆时针旋转一定角度后，如图2所示.记∠CAN=∠α(0∘<∠α<90∘)，过B作直线DE//MN.P为射线AM上异于点A的一点，从点P出发且位于直线MN上方的射线交直线AB于点Q，记∠NPQ=∠β(0∘<∠β<∠α+60∘).
(1)若∠CBE=30∘，且PQ//AC，求∠β的度数；
(2)①若点Q在线段AB上(不含端点)，则∠BQP与∠α，∠β满足的数量关系为______；
②若点Q在线段AB延长线上(不含端点)，判断上述关系是否成立.若成立，请说明理由；若不成立，给出三者应满足的关系并说明理由；
(3)若∠β≠∠a，且射线PQ不经过点B，设直线PQ分别交直线BC、AC于点R、S，直接写出当∠α，∠β满足什么条件时，有|∠BQP−∠BRP|=∠ASP.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：0.000059=5.9×10−5，
故选：A.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2.【答案】D
【解析】解：A、单项式−3x2y的系数是−3，次数是3，错误；
B、单项式x的系数是1，次数是1，错误；
C、3(xy+2)是二次多项式，错误；
D、单项式−13xy2的系数是−13，次数是3，正确；
故选：D.
根据单项式和多项式的概念求解．
本题考查了单项式和多项式的知识，解答本题的关键是掌握单项式和多项式的概念．
3.【答案】C
【解析】解：A、不能折叠成正方体，故选项错误，不符合题意；
B、不能折成圆锥，故选项错误，不符合题意；
C、能折成圆柱，故选项正确，符合题意；
D、不能折成三棱柱，故选项错误，不符合题意．
故选：C.
根据几何体的展开图，可得答案．
本题考查了展开图折叠成几何体，熟记常见几何体的展开图是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、(−x+2)(−x−2)=(−x)2−4=x2−4，故A不符合题意；
B、(−2m−n)(−2m−n)=(−2m−n)2=(2m+n)2=4m2+4mn+n2，故B符合题意；
C、(−2a+b)(2a+b)=b2−(2a)2=b2−4a2，故C不符合题意；
D、(y−x)(−x−y)=(−x)2−y2=x2−y2，故D不符合题意；
故选：B.
根据平方差公式与完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：由题意知，剪掉小正方形①或②或③阴影部分能折叠成一个正方体，剪掉小正方形④阴影部分不能折叠成一个正方体，
故选：A.
根据正方体的展开图得出结论即可．
本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：①在同一平面内，无交点的两直线平行，故①不正确；
②相等的角不一定是对顶角，故②不正确；
③两条平行直线被第三条直线所截，所得的同位角相等，故③不正确；
④两条平行线被第三条直线所截，一对内错角的角平分线互相平行，故④正确；
所以，上列说法中正确的个数是1，
故选：D.
根据平行线的判定与性质，同位角，内错角，同旁内角，逐一判断即可解答．
本题考查了平行线的判定与性质，同位角，内错角，同旁内角，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：x2−x−26=1−x−13，
去分母得：3x−(x−2)=6−2(x−1).
故选：A.
方程的两边都乘以6得出3x−(x−2)=6−2(x−1)，即可得出答案．
本题考查了解一元一次方程，注意：方程两边都乘以6时，每一部分都要乘以6，如1×6应得6，再x−2前面加括号．
8.【答案】A
【解析】解：∵2a=5，4b=7，
∴2a+2b=2a⋅22b
=2a⋅(22)b
=2a⋅4b
=5×7
=35，
故选：A.
利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则进行计算，即可解答．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：如图，AC和DE交于点G，
由三角板可知：∠D=45∘，∠BAC=30∘，
∵DE//AB，
∴∠AGD=∠BAC=30∘，
∴∠1=180∘−∠D−∠AGD=105∘，
故选：A.
根据三角板得到∠D=45∘，∠BAC=30∘，再根据平行线的性质得到∠AGD=∠BAC，最后利用三角形内角和定理计算即可．
本题考查平行线的性质，三角板的性质，三角形内角和，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
10.【答案】B
【解析】解：由题意可知，第一次输出结果为：−48×12=−24，
第二次输出结果为：−24×12=−12，
第三次输出结果为：−12×12=−6，
第四次输出结果为：−6×12=−3，
第五次输出结果为：−3−3=−6，
第六次输出结果为：−6×12=−3，
第七次输出结果为：−3−3=−6，
……
观察可知，从第三次开始，输出结果按−6和−3依次循环，
∵(2024−2)÷2=1011，
∴第2024次输出的结果为−3，
故选：B.
根据题意分别算出输出结果，观察得到一般规律，即可确定第2023次输出的结果．
本题考查了数字类规律探索，代数式求值，通过观察归纳出一般规律是解题关键．
11.【答案】D
【解析】解：∵9y2−my+4是完全平方式，
∴可设9y2−my+4=(3y±2)2，
∵(3y±2)2=9y2±12y+4
∴−m=±12.
故选：D.
首先将9y2−my+4转化为(3y)2−my+22，然后根据完全平方公式的结构得−my=±12y，由此求出m即可得出答案．
此题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．
12.【答案】C
【解析】解：设开始做作业时的时间是6点x分，
∴6x−0.5x=180−120，
解得x≈11；
再设做完作业后的时间是6点y分，
∴6y−0.5y=180+120，
解得y≈55，
∴此同学做作业大约用了55−11=44分钟．
故选：C.
根据分针每分钟转6∘，时针每分钟转0.5∘，可列方程求解．
本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1∘时针转动(112)∘，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
13.【答案】C
【解析】解：由图可知，A相邻的字母有D、E、B、F，
所以A对面的是字母C.
故答案为：C.
观察三个正方体，与A相邻的字母有D、E、B、F，从而确定出A对面的字母是C.
本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据相邻面的情况确定出相邻的四个字母是确定对面上的字母的关键，也是解题的难点．
14.【答案】②③
【解析】解：①每名考生的中考数学成绩是个体，原说法错误；
②这3.9万名考生的中考数学成绩是总体，说法正确；
③这1000名考生的中考数学成绩是总体的一个样本，说法正确．
故答案为：②③．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
15.【答案】47
【解析】解：∵t+1t=3，
∴(t+1t)2=9，t2+1=3t，
即t2+1t2=7，
∴3t9+t2+13t5
=3t9+3t3t5
=t8+1t4
=t4+1t4
=(t2+1t2)2−2
=72−2
=47，
故答案为：47.
由已知条件得出t2+1t2=7，t2+1=3t，然后把要求的式子变形为(t2+1t2)2−2，代入求值即可．
本题考查了分式的值，分式的化简，得出t2+1t2=7，t2+1=3t是解题的关键．
16.【答案】15或27或33
【解析】解：如图1，当AB//DE时，
此时BC与CD重合，
∴∠ACE=30∘+45∘=75∘，
∴t=75∘÷5∘=15(s)；
如图2，当AB//CE时，
∴∠BCE=∠B=90∘，
∴∠ACE=90∘+45∘=135∘，
∴t=135∘÷5∘=27(s)；
如图3，当AB//CD时，
∴∠BCD=∠B=90∘，
∴∠ACE=90∘+30∘+45∘=165∘，
∴t=165∘÷5∘=33(s)；
综上，t=15或27或33，
故答案为：15或27或33.
分情况讨论：当AB//DE时；当AB//CE时；当AB//CD时；结合图形求出∠ACE的度数，即可求出t的值．
本题考查了平行线的性质，旋转的性质，关键在于数形结合，分类讨论．
17.【答案】解：原式=4+4×1−8+1
=4+4−8+1
=1.
【解析】利用有理数的乘方法则，负整数指数幂及零指数幂计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：原式=a2−2ab+b2−2a2−6ab+a2−4b2
=−8ab−3b2.
当a=1，b=−3时，
原式=−8×1×(−3)−3×(−3)2
=24−27
=−3.
【解析】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则、完全平方公式、平方差公式．
原式先利用完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式展开，再合并同类项即可化简，最后把a、b的值代入计算可得．
19.【答案】解：∵(x+y)2=25，(x−y)2=9，
∴xy=14[(x+y)2−(x−y)2]=14×[25−9]=4；
x2+y2=12[(x+y)2+(x−y)2]=12×[25+9]=17.
【解析】根据完全平方公式间的关系，可得答案．
本题考查了完全平方公式，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
20.【答案】2
【解析】解：(1)该几何体的主视图、左视图和俯视图如下：
(2)在备注数字的位置加摆相应数量的小正方体，
所以最多可以添加2个，
故答案为：2.
(1)根据简单组合体三视图的画法画出相应的图形即可；
(2)在俯视图上相应位置备注出相应摆放的数目即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确解答的前提．
21.【答案】解：如图作∠EAB=∠1，∠FBA=∠2，射线AE交射线BF于点C，
点C即为所求．

【解析】如图作∠EAB=∠1，∠FBA=∠2，射线AE交射线BF于点C，点C即为所求．
本题考查作图-应用与设计，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
22.【答案】50 10 72
【解析】解：(1)m=15÷30%=50，
n%=5÷50×100%=10%，
故答案为：50，10；
(2)硬件专业的毕业生有：50×40%=20(人)，
补全的条形统计图如右图所示；
(3)600×30%=180(名)，
即估计“总线”专业的毕业生有180名，
故答案为：180.
(1)根据总线的人数和所占的百分比，可以求得m的值，然后即可计算出n的值；
(2)根据(1)中的结果和硬件所占的百分比，可以求得硬件专业的毕业生，从而可以将条形统计图补充完整；
(3)根据统计图中的数据，可以计算出“总线”专业的毕业生的人数．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23.【答案】解：设生产甲种零件x天，生产乙种零件(30−x)天，
根据题意得出：2×180x=3×120×(30−x)，
解得：x=15.
30−x=30−15=15.
答：生产甲种零件15天，生产乙种零件15天．
【解析】根据题意可知，本题中的相等关系是“甲乙两种零件分别取3个和2个才能配套”，列方程求解即可．
此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中甲种、乙种零件的数量关系，列出方程．
24.【答案】−84
【解析】解：(1)∵|a+8|+|b−4|=0，
∴a+8=0，b−4=0，
解得a=−8，b=4，
∴点A表示的数为−8，点B表示的数为4.
故答案为：−8；4.
(2)设P，Q两点的运动时间为t秒，
则点P表示的数为−8+3t，点Q表示的数为4−t.
当P、Q两点的距离为2个单位长度时，
|(−8+3t)−(4−t)|=2，
解得t=52或72.
当t=52时，点Q表示的数为32；
当t=72时，点Q表示的数为12.
∴点Q表示的数为32或12.
(1)根据非负数的性质可得a+8=0，b−4=0，即可得出答案．
(2)设P，Q两点的运动时间为t秒，则点P表示的数为−8+3t，点Q表示的数为4−t.由题意可列方程为|(−8+3t)−(4−t)|=2，求出t的值，即可得出答案．
本题考查数轴、非负数的性质：绝对值，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25.【答案】解：(1)是；
(2)方程3x+m+n=0，
解得：x=−m+n3，
方程3x+m=0，
解得：x=−m3，
根据题意得：−m+n3−(−m3)=1，
解得：n=−3；
(3)a+b−c=0.
【解析】【分析】
本题考查了一元一次方程的解，弄清题中“后移方程”的定义是解本题的关键．
(1)求出两个方程的解，利用“后移方程”的定义判断即可；
(2)分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义，求出方程的解即可得到n的值；
(3)分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关系式即可．
【解答】
解：(1)方程2x+1=0，
解得：x=−12，
方程2x+3=0，
解得：x=−32，
因为(−12)−(−32)=−12+32=1，
所以方程2x+1=0是方程2x+3=0的后移方程；
故答案为是；
(2)见答案；
(3)方程ax+b=0，
解得：x=−ba，
方程ax+c=0，
解得：x=−ca，
根据题意得：−ba−(−ca)=1，即c−ba=1，
整理得：a+b−c=0.
故答案为a+b−c=0.
26.【答案】a+b32
【解析】解：(1)∵GC=GB+BC，
∴GC=a+b
故答案为：a+b
(2)∵(a+b)2=a2+b2+2ab=60+20×2=100
∴a+b=10
∴GC=10
(3)S△AFC=S△AFE+S▱FGBE+S△ABC−S△FGC
=12b(a−b)+b2+12a2−12b(b+a)
=12ab−12b2+b2+12a2−12b2−12ab
=12a2
=12×82
=32
故答案为：32
(1)可有图形直观的得出结论；
(2)利用完全平方公式通过展开推导，再讲数值代入计算可得；
(3)通过面积计算可得，△AFC的面积为12a2即为32.
本题主要考查了完全平方公式运用，解题的关键是完全平方公式展开与合并．运用几何直观理解、通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释的知识点．
27.【答案】解：假设存在，根据题意得
abc−+bca−+cab−=100a+10b+c+100b+10c+a+100c+10a+b=111(a+b+c)，
∵111=3×37，
而3、37是质数，
∴a+b+c的和中必有因数3和37，
又a，b，c取从1到9的自然数，
∴3≤a+b+c≤27，
∴a+b+c中不含因数37，
∴abc−+bca−+cab−不是完全平方数．
故这样的三位数不存在．
【解析】假设存在，那么三数之和可写成111(a+b+c)，由于111(a+b+c)完全平方数，而111=3×37，且3、37是质数，故可知a+b+c中必有因数3和37，又0≤a+b+c≤27，说明a+b+c中不含因数37，从而abc−+bca−+cab−不是完全平方数，这样的三位数不存在．
本题考查的是完全平方数、质数、不等式的有关知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
28.【答案】∠BQP=120∘−∠α+∠β
【解析】解：(1)过点C作CT//DE，如图2所示：
∵DE//MN，
∴DE//CT//MN，
∴∠TCB=∠CBE=30∘，∠TCA=∠CAN=∠α，
∴∠ACB=∠TCB+∠TCA=30∘+∠α，
∵∠ACB=90∘，
∴30∘+∠α=90∘，
∴∠α=60∘，
∵PQ//AC，
∴∠β=∠α=60∘；
(2)①∵∠ABC=30∘，∠ACB=90∘，
∴∠BAC=60∘，
∴∠QAN=∠BAC+∠CAN=60∘+∠α，
∵∠QAP=180∘−∠QAN=180∘−(60∘+∠α)=120∘−∠α，
∴∠BQP=∠QAP+∠NPQ=120∘−∠α+∠β，
∴∠BQP与∠α，∠β满足的数量关系为：∠BQP=120∘−∠α+∠β；
故答案为：∠BQP=120∘−∠α+∠β.
②若点Q在线段AB延长线上(不含端点)，上述关系不成立，三者满足的关系是：∠BQP=60∘+∠α−∠β，
理由如下：
过点Q作QH//DE，如图3所示：

∵DE//MN，
∴QH//DE//MN，
∴∠HQA=∠QAP=120∘−∠α，
∠HQP=180∘−∠QPN=180∘−∠β，
∴∠BQP=∠HQP−∠HQA=180∘−∠β−(120∘−∠α)=60∘+∠α−∠β，
即∠BQP=60∘+∠α−∠β；
(3)依题意有以下四种情况：
①当PQ与线段BC交于R，与AC的延长线于S时，如图4所示：

∵∠QAP=120∘−∠α，
∴∠BQP=∠QPA+∠QAP=∠β+120∘−∠α，
∵∠CAN=∠QPA+∠ASP，
∴∠ASP=∠CAN−∠QPA=∠α−∠β，
∵∠BRP=∠SRC=90∘−∠ASP=90∘−(∠α−∠β)=90∘−∠α+∠β，
∵|∠BQP−∠BRP|=∠ASP，
∴|∠β+120∘−∠α−(90∘−∠α+∠β)|=∠α−∠β，
整理得：∠α−∠β=30∘，
∴当∠α−∠β=30∘时，有|∠BQP−∠BRP|=∠ASP；
②当PQ与线段AC交于S，与BC的延长线交于R时，如图5所示：

同理得：∠BQP=∠β+120∘−∠α，∠ASP=∠α−∠β，
∴∠BRP=90∘−∠CSR=90∘−∠ASP=90∘−(∠α−∠β)=90∘−∠α+∠β，
∵|∠BQP−∠BRP|=∠ASP，
∴|∠β+120∘−∠α−(90∘−∠α+∠β)|=∠α−∠β，
整理得：∠α−∠β=30∘，
∴当∠α−∠β=30∘时，有|∠BQP−∠BRP|=∠ASP；
③当PQ与线段BC交于R，与CA的延长线交于S时，如图6所示：

同理得：∠BQP=∠β+120∘−∠α，
∵∠QPA=∠ASP+∠PAS=∠ASP+∠CAN，
∴∠ASP=∠QPA−∠CAN=∠β−∠α，
∴∠BRP=90∘+∠ASP=90∘+∠β−∠α，
∵|∠BQP−∠BRP|=∠ASP，
∴|∠β+120∘−∠α−(90∘+∠β−∠α)|=∠β−∠α，
整理得：∠β−∠α=30∘，
∴当∠β−∠α=30∘，有|∠BQP−∠BRP|=∠ASP；
④当PQ与AB的延长线交于Q，与CB的延长线交于R，与CA的延长线交于S时，如图7所示：

同理得：∠ASP=∠β−∠α，
∴∠BQP=180∘−∠BAP−∠QPA=180∘−(120∘−∠α)−∠β=60∘+∠α−∠β，
∴∠BRP=90∘−∠ASP=90∘−(∠β−∠α)=90∘−∠β+∠α，
∵|∠BQP−∠BRP|=∠ASP，
∴|60∘+∠α−∠β−(90∘−∠β+∠α)|=∠β−∠α，
整理得：∠β−∠α=30∘，
∴当∠β−∠α=30∘，有|∠BQP−∠BRP|=∠ASP，
综上所述：当|∠α−∠β|=30∘时，有|∠BQP−∠BRP|=∠ASP.
(1)过点C作CT//DE，先证∠ACB=∠TCB+∠TCA，由此得30∘+∠α=90∘，进而得∠α=60∘，再根据PQ//AC可得∠β的度数；
(2)①先求出∠BAC=60∘，进而得∠QAN=∠BAC+∠CAN=60∘+∠α，则∠QAP=180∘−∠QAN=120∘−∠α，然后根据三角形的外角定理得∠BQP=∠QAP+∠NPQ，由此可得∠BQP与∠α，∠β满足的数量关系；
②若点Q在线段AB延长线上(不含端点)，上述关系不成立，过点Q作QH//DE，先证∠HQA=∠QAP=120∘−∠α，∠HQP=180∘−∠QPN=180∘−∠β，然后根据∠BQP=∠HQP−∠HQA可得出，∠BQP与∠α，∠β满足的数量关系；
(3)依题意可分为四种情况：①当PQ与线段BC交于R，与AC的延长线于S时，先求出∠BQP=∠QPA+∠QAP=∠β+120∘−∠α，∠ASP=∠CAN−∠QPA=∠α−∠β，∠BRP=∠SRC=90∘−∠ASP=90∘−∠α+∠β，进而由|∠BQP−∠BRP|=∠ASP可得出∠α−∠β=30∘；②当PQ与线段AC交于S，于BC的延长线交于R时，同理得：∠BQP=∠β+120∘−∠α，∠ASP=∠α−∠β，再求出∠BRP=90∘−∠CSR=90∘−∠ASP=90∘−∠α+∠β，进而由|∠BQP−∠BRP|=∠ASP可得出∠α−∠β=30∘；③当PQ与线段BC交于R，与CA的延长线交于S时，同理得：∠BQP=∠β+120∘−∠α，再求出∠ASP=∠QPA−∠CAN=∠β−∠α，∠BRP=90∘+∠ASP=90∘+∠β−∠α，进而由|∠BQP−∠BRP|=∠ASP可得∠β−∠α=30∘；④当PQ与AB的延长线交于Q，与CB的延长线交于R，与CA的延长线交于S时，同理得：∠ASP=∠β−∠α，再求出∠BQP=180∘−∠BAP−∠QPA=60∘+∠α−∠β，∠BRP=90∘−∠ASP=90∘−∠β+∠α，进而由|∠BQP−∠BRP|=∠ASP可得∠β−∠α=30∘，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角定理等，理解题意，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点．