2023-2024学年广东省拨尖创新人才八年级（上）学科知识竞赛数学试卷（初赛）（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省拨尖创新人才八年级（上）学科知识竞赛数学试卷（初赛）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，已知△ABC≌△ADE，∠C=79°，DE⊥AB，则∠D的度数为( )
A. 79°
B. 68°
C. 60°
D. 71°
2.若1x−1y=1z，则z等于( )
A. x−yB. y−xxyC. xyx−yD. xyy−x
3.若a，b，c都是负数，并且ca+bA. a最大B. b最大C. c最大D. c最小
4.如图，在∠ECF的边CE上有两点A、B，边CF上有一点D，其中BC=BD=DA且∠ECF=27°，则∠ADF的度数为( )
A. 54°B. 91°C. 81°D. 101°
5.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为
( )
A. 15B. 12.5C. 14.5D. 17
6.如图所示，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD=2DC，S△GEC=3，S△GDC=4，则△ABC的面积是( )
A. 25
B. .30
C. 35
D. 40
7.如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为( )
A. 4S1B. 4S2C. 4S2+S3D. 3S1+4S3
8.如图，边长为5的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN.则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是( )
A. 54
B. 1
C. 2
D. 52
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
9.五条长度均为整数厘米的线段：a1，a2，a3，a4，a5，满足a110.若关于x的分式方程mx−1x−2+12−x=2有整数解，m的值是______．
11.如图，在等边△ABC中，AC=10，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD.要使点D恰好落在BC上，则AP的长是______．
12.如图，过边长为2的等边△ABC的顶点C作直线l⊥BC，然后作△ABC关于直线l对称的△A′B′C′，P为线段A′C上一动点，连接AP，PB，则AP+PB的最小值是______．
13.在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是______.(填写所有正确结论的序号)
①∠BOC=90°+12∠A；②∠D=12∠A；③∠E=∠A；④∠E+∠DCF=90°+∠ABD．
14.如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE=13°，∠CFD=32°，则∠DEC的度数为______．
15.如图，△ABC沿EF折叠使点A落在点A′处，BP、CP分别是∠ABD、∠ACD平分线，若∠P=30°，∠A′EB=20°，则∠A′FC=______°.
16.在△ABC中，已知∠CAB=60°，D、E分别是边AB、AC上的点，且∠AED=60°，ED+DB=CE，∠CDB=2∠CDE，则∠DCB等于______．
三、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
先化简后，再求值：(a−2a2+2a−a−1a2+4a+4)÷a−4a+2，其中a=(π−3)0．
18.(本小题10分)
已知abc≠0，且a+b+c=0，求a(1b+1c)+b(1c+1a)+c(1a+1b)的值．
19.(本小题10分)
已知：如图，Rt△ABC中，AC>BC，∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，点E在CD上，且∠AED=∠B.求证：AE=BC．
20.(本小题10分)
已知△ABC和△CDE中，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AE与BD交于点F．

(1)如图1当α=90°时.求证：AE⊥BD；
(2)如图2，直接写出∠AFD的度数为______(用含α的式子表示)．
21.(本小题10分)
如图1，在平面直角坐标系中，点A(a,0)在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，设AB=b，且b2−4a2=0．
(1)直接写出∠BAO的度数．
(2)如图2，点D为AB的中点，点P为y轴负半轴上一点，以AP为边作等边三角形APQ，连接DQ并延长交x轴于点M，若AB=6，求点M的坐标．
22.(本小题10分)
如图，AB/​/CD．

(1)如图1，若∠E=120°，∠C=110°，求∠A+∠F的度数；
(2)如图2，若∠E=110°，∠GAE=13∠BAE，∠GFE=13∠EFC，若GD//FC，则∠AGF与∠GDC的数量关系是______.请写出理由．
23.(本小题10分)
如图(1)AC⊥AB，BD⊥AB，AB=12cmAC=BD=8cm，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t(s)．
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=2时，判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，并证明；
(2)如图(2)，将图(1)中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=50°”，其他条件不变.设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AE=AC，∠DAE=∠BAC，
∴∠AEC=∠C=79°，
∴∠EAC=180°−79°−79°=22°，
∴∠DAB=22°，
∵DE⊥AB，
∴∠D=90°−22°=68°，
故选：B．
根据全等三角形的性质得到AE=AC，∠DAE=∠BAC，根据三角形内角和定理求出∠DAB，根据垂直的定义计算即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解；原式=yxy−xxy，
=y−xxy，
∴y−xxy=1z，
∴z=xyy−x．
故选D．
先把原式进行通分，然后根据分式的特点再进行去分母，最后解出z的值即可．
本题主要考查了分式的加减运算问题，在解得时候注意分母的同分问题．
3.【答案】C
【解析】解：∵ca+b∴ca+b+1∴a+b+ca+b又a、b、c都是负数，
∴a+b∴b故选C．
根据不等式的性质，在不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变和分式的加法法则计算即可．
本题考查的是分式的混合运算和不等式的性质，掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵BC=BD=DA，
∴∠C=∠BDC，∠ABD=∠BAD，
∵∠ABD=∠C+∠BDC，∠ECF=27°，
∴∠ADF=∠C+∠BAD=3∠ECF=81°．
故选：C．
根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出∠ADF的度数．
考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运用．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择适当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．过点A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到△ACE是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，根据S△ACE=12×5×5=12.5，即可得出结论．
解：如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，
∵∠DAB=∠DCB=90°
∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC
∴∠D=∠ABE
又∵∠DAB=∠CAE=90°
∴∠CAD+∠CAB=∠EAB+∠CAB
∴∠CAD=∠EAB
又∵AD=AB
在△ACD和△AEB中
∵∠D=∠ABE，AD=AB，∠CAD=∠EAB
∴△ACD≌△AEB(ASA)
∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形
∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等
∵S△ACE=12×5×5=12.5
∴四边形ABCD的面积为12.5
故选B．
6.【答案】B
【解析】解：BD=2DC，
∴S△ABD=2S△ACD，
∴S△ABC=3S△ACD，
∵E是AC的中点，
∴S△AGE=S△CGE，
又∵S△GEC=3，S△GDC=4，
∴S△ACD=S△AGE+S△CGE+S△CGD=3+3+4=10，
∴S△ABC=3S△ACD=3×10=30．
故选：B．
由于BD=2DC，那么结合三角形面积公式可得S△ABD=2S△ACD，而S△ABC=S△ABD+S△ACD，可得出S△ABC=3S△ACD，而E是AC中点，故有S△AGE=S△CGE，于是可求S△ACD，从而易求S△ABC．
本题考查了三角形的面积公式、三角形之间的面积加减计算．注意同底等高的三角形面积相等，面积相等、同高的三角形底相等．
7.【答案】A
【解析】解：设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，
则S2=12(a+c)(a−c)=12a2−12c2，
∴S2=S1−12S3，
∴S3=2S1−2S2，
∴平行四边形面积=2S1+2S2+S3=2S1+2S2+2S1−2S2=4S1．
故选：A．
设等腰直角三角形的直角边为a，正方形边长为c，求出S2(用a、c表示)，得出S1，S2，S3之间的关系，由此即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S1，S2，S3之间的关系，属于中考常考题型．
8.【答案】A
【解析】解：如图，取BC的中点G，连接MG，
∵旋转角为60°，
∴∠MBH+∠HBN=60°，
又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，
∴∠HBN=∠GBM，
∵CH是等边△ABC的对称轴，
∴HB=12AB，
∴HB=BG，
又∵MB旋转到BN，
∴BM=BN，
在△MBG和△NBH中，
BG=BH∠MBG=∠NBHMB=NB，
∴△MBG≌△NBH(SAS)，
∴MG=NH，
根据垂线段最短，MG⊥CH时，MG最短，即HN最短，
∵∠BCH=12×60°=30°，CG=12AB=12×5=52，
∴MG=12CG=54，
∴HN=54，
故选：A．
取CB的中点G，连接MG，根据等边三角形的性质可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根据旋转的性质可得MB=NB，然后利用“边角边”证明△MBG≌△NBH，再根据全等三角形对应边相等可得HN=MG，然后根据垂线段最短可得MG⊥CH时最短，再根据∠BCH=30°求解即可．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
9.【答案】3
【解析】解：根据三角形的三边关系，如果五条线段中的任意三条都不能构成三角形且五条长度均为整数厘米的线段，又a1要想使a3，a4，a5构不成三角形，则a5−a4≥a3，即a4≤a5−a3=6，
若a2，a3，a4构不成三角形，则a2+a3≤a4，即a3≤a4−a2=4，
此时a3=3或4，但当a3=4时，没有任何一个整数能使a3，a4，a5不能构成三角形，故排除．
所以a3=3．
解法二：由题意，a1+a2≤a3，a2+a3≤a4，a3+a4≤a5，
三个不等式相加得到：a1+2a2+2a3+a4≤a3+a4+a5，
化简得到：2a2+a3≤a5−a1=8，即2a2+a3≤8，
因为a2≥2，
所以a3只能取3或4，
当a=4时．因为a4≤a5−a3=5，
∴a4=5，此时a2≤a4−a3=1，与a2=2矛盾，
当a3=3时，可以找到1，2，3，5或6，9满足题意．
故答案为：3．
根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边解答即可．
本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答本题的关键．
10.【答案】4或3或0
【解析】【分析】
首先化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后讨论整数解即可求解．
此题主要考查了解分式方程，其中：
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
(2)解分式方程一定注意要验根．
【解答】
解：mx−1x−2+12−x=2，
∴mx−1−1=2(x−2)，
∴x=−2m−2，
而分式方程有整数解，
∴m−2=1或m−2=−1或m−2=2或m−2=−2，
但是m−2=−1时，x=2，是分式方程的增根，不合题意，舍去，
∴m−2=1或m−2=2或m−2=−2，
∴m=4或3或0．
故答案为：m=4或3或0．
11.【答案】7
【解析】解：∵AC=10，AO=3，
∴OC=7，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∵线段OP绕点D逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，
∴OD=OP，∠POD=60°，
∵∠AOP+∠APO+∠A=180°，∠AOP+∠COD+∠POD=180°，
∴∠AOP+∠APO=120°，∠AOP+∠COD=120°，
∴∠APO=∠COD，
在△AOP和△CDO中，
∠A=∠C∠APO=∠CODOP=OD，
∴△AOP≌△CDO(AAS)，
∴AP=CO=7．
故答案为：7．
先计算出OC=7，根据等边三角形的性质得∠A=∠C=60°，再根据旋转的性质得OD=OP，∠POD=60°，根据三角形内角和和平角定义得∠AOP+∠APO+∠A=180°，∠AOP+∠COD+∠POD=180°，可得∠AOP+∠APO=120°，∠AOP+∠COD=120°，利用等量代换可得∠APO=∠COD，然后根据“AAS”判断△AOP≌△CDO，则AP=CO=7．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质．
12.【答案】4
【解析】解：连接PB′，
因为△ABC与△A′B′C关于直线l对称，且△ABC是边长为2的等边三角形，
所以B′C=BC=2，∠B′CA′=∠ACB=60°，
又因为l⊥BC，
则∠ACP=180°−2×60°=60°，
所以∠B′CA′=∠ACP．
在△B′CP和△ACP中，
B′C=AC∠B′CP=∠ACPCP=CP，
所以△B′CP≌△ACP(SAS)，
所以B′P=AP，
所以PA+PB=PB′+PB．
根据“两点之间，线段最短”可知，
当点P在点C位置时，PB′+PB取得最小值为BB′的长度4，
所以AP+PB的最小值是4．
故答案为：4．
连接PB′，利用全等三角形将PA的长转化为PB′的长即可解决问题．
本题考查轴对称的性质及等边三角形的性质，能根据轴对称的性质结合全等三角形将AP的长转化为B′P的长是解题的关键．
13.【答案】①②④
【解析】解：∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，
∴∠ABD=∠OBC=12∠ABC，∠OCB=∠ACO=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−12×(180°−∠A)=90°+12∠A，故①正确，
∵CD平分∠ACF，
∴∠DCF=12∠ACF，
∵∠ACF=∠ABC+∠A，∠DCF=∠OBC+∠D，
∴∠D=12∠A，故②正确；
∵∠MBC=∠A+∠ACB，∠BCN=∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC=180°，
∴∠MBC+∠BCN=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，
∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，
∴∠MBC=2∠EBC，∠BCN=2∠BCE，
∴∠EBC+∠BCE=90°+12∠A，
∵∠E+∠EBC++BCE=180°，
∴∠E=180°−(∠EBC++BCE)=180°−(90°+12∠A)=90°−12∠A，故③错误；
∵∠DCF=∠DBC+∠D，
∴∠E+∠DCF=90°−12∠A+∠DBC+12∠A=90°+∠DBC，
∵∠ABD=∠DBC，
∴∠E+∠DCF=90°+∠ABD.故④正确，
综上正确的有：①②④．
由角平分线的定义可得∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)，再由三角形的内角和定理可求解∠BOC=90°+12∠A，即可判定①；由角平分线的定义可得∠DCF=12∠ACF，，结合三角形外角的额性质可判定②；由三角形外角的性质可得∠MBC+∠BCN=180°+∠A，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得∠E+∠DCF=90°+∠DBC，结合∠ABD=∠DBC可判定④．
本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
14.【答案】64°
【解析】【分析】
本题考查三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
作FH⊥FE交AC于H.想办法证明∠DEF=∠DHF=58°=∠FEB即可解决问题．
【解答】
解：作FH⊥FE交AC于H．
∵∠AFC=∠EFH=90°，
∴∠AFH=∠CFE=13°，
在△FAH和△FCE中
∠AFH=∠CFEAF=CF∠A=∠FCE
∴△FAH≌△FCE(ASA)
∴FH=FE，
∵∠DFE=∠CFE+∠DFC=13°+32°=45°，
∴∠DFH=∠DFE=45°，
在△DFE和△DFH中
FH=FE∠DFH=∠DFEDF=DF
∴△DFE≌△DFH(SAS)
∴∠DEF=∠DHF=∠A+∠AFH=58°，
∵∠FEB=∠CFE+∠FCE=58°，
∴∠DEC=180°−45°−13°−58°=64°，
故答案为64°．
15.【答案】140
【解析】解：如图，
∵BP、CP分别是∠ABD、∠ACD平分线，
∴∠PBD=12∠ABD，∠BCP=12∠BCA．
又∵∠PBD=∠P+∠PCB，
∴∠P=∠PBD−∠PCB=12∠ABD−12∠BCA=12(∠ABD−∠ACB)．
又∵∠ABD=∠A+∠ACB，
∴∠ABD−∠ACB=∠A．
∴∠P=12∠A．
∴∠A=2∠P=2×30°=60°．
由题意得：∠A′=∠A=60°．
∴∠1=∠A′+∠A′EB=60°+20°=80°．
∴∠A′FC=∠A+∠1=60°+80°=140°．
故答案为：140．
如图，欲求∠A′FC，因为∠A′FC=∠A+∠1=∠A+∠A′+∠A′EB，所以仅需求∠A.根据三角形外角的性质，得∠A=∠ABD−∠ACB.因为BP、CP分别是∠ABD、∠ACD平分线，所以∠A=2∠PBD−2∠PCB=2(∠PBD−∠PCB)=2∠P=60°，进而可求出∠A′FC．
本题主要考查三角形外角的性质以及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质以及角平分线的定义是解决本题的关键．
16.【答案】20°
【解析】分析：本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．解决本题的关键是延长AB到F使BF=AD，构建△FCB与△ACD全等．延长AB到F使BF=AD，连接CF，如图，先判断△ADE为等边三角形得到AD=DE=AE，∠ADE=60°，再利用∠CDB=2∠CDE得到∠CDE=40°，∠CDB=80°，接着证明AF=AC，从而可判断△AFC为等边三角形，则有CF=AC，∠F=60°，然后证明△ACD≌△FCB得到CB=CD，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠DCB的度数．
解：延长AB到F使BF=AD，连接CF，如图，
∵∠CAD=60°，∠AED=60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴AD=DE=AE，∠ADE=60°，
∴∠BDE=180°−∠ADE=120°，
∵∠CDB=2∠CDE，
∴3∠CDE=120°，解得∠CDE=40°，
∴∠CDB=2∠CDE=80°．
∵BF=AD，
∴BF=DE，
∵DE+BD=CE，
∴BF+BD=CE，即DF=CE，
∵AF=AD+DF，AC=AE+CE，
∴AF=AC，
而∠BAC=60°，
∴△AFC为等边三角形，
∴CF=AC，∠F=∠A=60°，
在△ACD和△FCB中
AD=FB∠A=∠FAC=FC，
∴△ACD≌△FCB (SAS)，
∴CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB=80°，
∴∠DCB=180°−(∠CBD+∠CDB)=20°．
17.【答案】解：原式=[a−2a(a+2)−a−1(a+2)2]÷a−4a+2
=[(a−2)(a+2)a(a+2)2−a(a−1)a(a+2)2]÷a−4a+2
=a−4a(a+2)2×a+2a−4
=1a2+2a，
∵a=(π−3)0=1，
∴原式=112+2×1
=13．
【解析】先通分，再除法，结果化为最简分式后，代入a=−3求值．
本题考查了分式的化简求值，化简分式是解决本题的关键．解决本题既可以先计算被除式后，再做除法运算，也可先把除法变为乘法，运用乘法对加法的分配律．
18.【答案】解：由a+b+c=0得：a+b=−c，b+c=−a，a+c=−b，
∴a(1b+1c)+b(1c+1a)+c(1a+1b)
=ab+ac+bc+ba+ca+cb
=b+ca+a+cb+a+bc
=−3；
【解析】由题意可知：a+b=−c，b+c=−a，a+c=−b，将原式的括号去掉，然后将同分母的相加，再利用条件式即可得出答案．
本题考查分式的化简求值问题，需要将所求的式子进行拆分重组，需要较高的观察能力．
19.【答案】证明：延长CD到F使DF=CD，连接AF，
∵CD是△ABC的中线，
∴AD=BD，
在△ADF与△BDC中，
AD=BD∠ADF=∠BDCDF=DC，
∴△ADF≌△BDC，
∴∠F=∠BCD，BC=AF，
∵∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，
∴CD=BD，
∴∠B=∠BCD，
∵∠AED=∠F，
∴AE=AF，
∴AE=BC．
【解析】延长CD到F使DF=CD，连接AF，由CD是△ABC的中线，得到AD=BD，推出△ADF≌△BCD，根据全等三角形的性质得到∠F=∠BCD，BC=AF，根据直角三角形的性质得到CD=BD，由等腰三角形的性质得到∠B=∠BCD，等量代换即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
20.【答案】180°−α
【解析】(1)证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴∠CAE=∠CBD，
∵∠CAE+∠EAB+∠ABC=90°，
∴∠CBD+∠EAB+∠ABC=90°，
∴∠AFB=90°，
∴AE⊥BD；
(2)解：∵∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，
即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
AC=BC∠ACE=∠BCDCE=CD，
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴∠CAE=∠CBD，
∵∠CAE+∠EAB+∠ABC=180°−α，
∴∠CBD+∠EAB+∠ABC=180°−α，
∴∠AFB=∠ACB=α，
∴∠AFD=180°−α．
故答案为：180°−α．
(1)利用角的和差关系可得∠ACE=∠BCD，利用SAS证明△ACE≌△BCD，然后根据相似三角形的性质得到∠CAE=∠CBD，根据三角形的内角和即可得到结论；
(2)由已知条件得到∠ACE=∠BCD，推出△ACE≌△BCD(SAS)，根据全等三角形的性质得到∠CAE=∠CBD，根据三角形内角和可得∠AFB=∠ACB=α，根据平角定义可得∠AFD=180°−α．
本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、HL(直角三角形)；全等三角形的对应角相等，对应边相等．也考查了等腰直角三角形的性质．
21.【答案】解：(1)∵点A(a,0)在x轴负半轴上，
∴AO=−a，a<0，
∵b2−4a2=0，∴b+2a=0或b−2a=0，
∵AB=b，
∴b+2a=0，
∴b=−2a，
∴AB=2OA，
在x轴的正半轴上取点C，使OC=OA，连接BC，如图1所示：
∵点B在y轴正半轴上，
∴OB⊥AC，
∴AB=BC，
又∵AC=2OA，
∴AC=AB，
∴AC=BC=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAO=60°；
(2)连接BM，如图2所示：
∵△APQ是等边三角形，
∴∠PAQ=60°，AQ=AP，
∵∠BAO=60°，
∴∠PAQ−∠OAQ=∠BAO−∠OAQ，
∴∠OAP=∠DAQ，
∵D为AB的中点，
∴AD=12AB，
∵∠ABO=30°，
∴AO=12AB，
∴AD=AO，
在△AQD和△APO中，
AQ=AP∠DAQ=∠OAPAD=AO，
∴△AQD≌△APO(SAS)，
∴∠ADQ=∠AOP=90°，
即DQ⊥AB，
∴AM=BM
∴△ABM为等边三角形，
∴OM=12AB=3，
∴M(3,0)．
【解析】(1)证AB=2OA，在x轴的正半轴上取点C，使OC=OA，连接BC，再证△ABC是等边三角形，则可得出结论；
(2)连接BM，证明△AQD≌△APO(SAS)，得∠ADQ=∠AOP=90°，再证△ABM为等边三角形，得出OM=12AB=3，即可得出答案．
本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】3∠AGF+∠GDC=220°
【解析】解：(1)过点E作EH/​/AB，过点F作FG/​/AB，
∵AB/​/CD，
∴AB//EH//FG//CD，
∵AB/​/EF，
∴∠A=∠1，
∵FG/​/EH，
∴∠2=∠3，
∵FG//CD，
∴∠4=180°−∠C，
∵∠AEF=120°，∠C=110°，
∴∠A+∠EFC=∠1+∠3+∠4
=∠1+∠2+180°−∠C
=∠AEF+180°−∠C
=120°+180°−110°
=190°，
∴∠A+∠EFC的度数和为190°；
(2)3∠AGF+∠GDC=220°，
理由：连接GE并延长，
∵∠1是△AEG的一个外角，
∴∠1=∠AGE+∠EAG，
∵∠2是△EFG的一个外角，
∴∠2=∠EFG+∠EGF，
∵∠GAE=13∠BAE，∠GFE=13∠EFC，∠AEF=110°，
∴∠AEF=∠1+∠2
=∠AGE+∠EAG+∠EFG+∠EGF
=∠GAE+∠GFE+∠AGF
=13∠BAE+13∠EFC+∠AGF
=13(∠BAE+∠EFC)+∠AGF
=110°，
由(1)得：∠BAE+∠EFC=∠AEF+180°−∠C，
∴13(∠AEF+180°−∠C)+∠AGF=110°，
∴13(110°+180°−∠C)+∠AGF=110°，
∴3∠AGF−∠C=40°，
∵GD//FC，
∴∠C=180°−∠GDC，
∴3∠AGF−(180°−∠GDC)=40°，
∴3∠AGF+∠GDC=220°，
故答案为：3∠AGF+∠GDC=220°．
(1)过点E作EH/​/AB，过点F作FG/​/AB，从而可得AB//EH//FG//CD，然后利用平行线的性质可得∠A=∠1，∠2=∠3，∠4=180°−∠C，再利用角的和差关系以及等量代换进行计算，即可解答；
(2)连接GE并延长，先利用三角形的外角性质可得∠1=∠AGE+∠EAG，∠2=∠EFG+∠EGF，从而利用角的和差关系以及等量代换可得∠AEF=13(∠BAE+∠EFC)+∠AGF=110°，然后利用(1)的结论可得：∠BAE+∠EFC=∠AEF+180°−∠C，从而可得13(∠AEF+180°−∠C)+∠AGF=110°，进而可得3∠AGF−∠C=40°，最后利用平行线的性质可得∠C=180°−∠GDC，再利用等量代换进行计算，即可解答．
本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)PC⊥PQ，理由如下：
当t=2时，AP=BQ=4cm，
则BP=12−4=8cm，
∴BP=AC=8cm，
∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A=∠B=90°，
在△ACP和△BPQ中，
AP=BQ∠A=∠BCA=PB，
∴△ACP≌△BPQ(SAS)，
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．
∴∠CPQ=90°，
∴PC⊥PQ；
(2)当t=2s，x=2cm/s或t=3s，x=83cm/s时，△ACP与△BPQ全等，理由如下：
①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP，AP=BQ，
∴12−2t=8，
解得，t=2(s)，
则x=2(cm/s)．
②若△ACP≌△BQP，
则AC=BQ，AP=BP，
则2t=12×12，
解得，t=3(s)，
则x=8÷3=83(cm/s)，
故当t=2s，x=2cm/s或t=3s，x=83cm/s时，△ACP与△BPQ全等．
【解析】(1)利用SAS定理证明△ACP≌△BPQ，根据全等三角形的性质判断线段PC和线段PQ的位置关系；
(2)分△ACP≌△BPQ，△ACP≌△BQP两种情况，根据全等三角形的性质列式计算．
本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵活运用是解题的关键．