广西壮族自治区南宁市隆安县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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（形式：闭卷 时间：120分钟 分值：120分）
注意事项：
1．本测试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本测试卷上作答无效．
2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项．
3．不能使用计算器．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 很多学校设计校微时，会融入数学元素，下列校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
2. 下列式子是分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义即可判断求解，掌握分式的定义是解题的关键．
【详解】解：、是分数，属于整式，不是分式，不合题意；
、是分式，符合题意；
、是多项式，属于整式，不是分式，不合题意；
、是多项式，属于整式，不是分式，不合题意；
故选：．
3. 如图，南宁白沙大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ）
A. 三角形的稳定性B. 四边形的不稳定性
C. 三角形两边之和大于第三边D. 三角形内角和等于
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的稳定性，由三角形的稳定性，即可得到答案，掌握三角形的稳定性是解题的关键．
【详解】解：南宁白沙大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性，
故选：．
4. 北斗芯片的技术日趋成熟，支持北斗三号系统的（即）工艺芯片已实现规模化应用，用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故选：．
5. 方程的解的情况是（ ）
A. B. C. D. 无解
【答案】B
【解析】
【分析】首先方程的两边同时乘以最简公分母x＋1，然后解整式方程，求x即可，最后要把x的值代入最简公分母进行检验．
【详解】解：方程两边同乘以x＋1，
得2＝x＋1，
解得x＝1，
检验：当x＝1时，x＋1＝1＋1＝2≠0，
所以，x＝1是原方程的解．
故选：B．
【点睛】本题主要考查解分式方程，关键在于找到最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．
6. 如图，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
【详解】解：△，
．
故选：D．
7. 下列各式计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，以及积的乘方，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、故该选项正确，符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故该选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方，积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
8. 如图，中线交于点．若阴影部分的面积是7，则的面积是（ ）
A. 10B. 14C. 17D. 21
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形得出，，，再根据阴影部分的面积是，即可得出空白部分三角形的面积之和，从而得出△ABC的面积，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵的中线交于点 ，
∴，，，
∵，
∴，
∴的面积是，
故选：B．
9. 如图，用螺丝钉将两根小棒的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长，其中，判定和全等的方法是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意确定全等三角形的判定条件即可求解，掌握全等三角形的判定
方法是解题的关键．
【详解】解：在和中，
∵，
∴，
∴判定和全等的方法是是，
故选：．
10. 如图，把两个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则，当时，的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了代数式求值，把代入到进行计算即可求解，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴当时，
，
故选：．
11. 如图，在中，，是的平分线，若，则点D到的距离是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了角平分线性质定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，作，得，即可求解．
【详解】解：作，如图所示：
∵，是的平分线，
∴
∵，
∴
∴点D到的距离是：
故选：A
12. 八年级学生去距学校的荆州博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据时间路程速度结合骑车的学生比乘车的学生多用（即），即可得出关于的分式方程，此题得解．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【详解】解：设骑车学生的速度为，则乘车学生的速度为，
依题意，得：．
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 若分式有意义，则______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据有意义的条件得到，即可得到答案．
【详解】解：∵分式有意义，
∴．
∴，
故答案为：
14. 如图，等边三角形中，是上的高，，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三线合一．根据，得出，根据是上的高，得出即可．
【详解】解：∵三角形为等边三角形，
∴，
∵是上的高，
∴．
故答案为：1．
15. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
分析】此题考查了因式分解，根据平方差公式进行分解即可．
【详解】解：，
故答案为：
16. 如图，在杭州举行的第19届亚运会的奖牌取名“湖山”，以良渚文化中的礼器玉琮为表征，其外轮廓为八边形，这个八边形的内角和是______度．
【答案】1080
【解析】
【分析】本题考查多边形的内角和，根据多边形的内角和公式计算即可．
【详解】八边形的内角和为．
故答案为：1080．
17. 某农户租两块土地种植沃柑，第一块是边长为的正方形，第二块是长为，宽为的长方形，则第二块比第一块的面积多了______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式混合运算的应用，先根据面积公式求出第二块的面积和第一块的面积，再相减即可，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
，
，
，
∴第二块比第一块的面积多了，
故答案为：．
18. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点是直线上一点，则周长的最小值为______．
【答案】9
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，轴对称—最短路线问题．
连接，由线段垂直平分线的性质可得，从而周长可转化为，而，从而可求出周长的最小值．
【详解】连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴周长的最小值为9．
故答案为：9
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，先进行乘除法运算，再合并同类项即可得到结果，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先化简分式，再把代入到化简后的结果计算即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
，
当时，
原式．
21. 如图，已知三个顶点的坐标分别是，，．
（1）画出与关于轴对称的，并直接写出的坐标；
（2）在轴上有一点，使得，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）作图见解析，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；
（2）作图见解析，点的坐标为．
【解析】
【分析】（）根据轴对称的性质作图即可，根据图形即可写出的坐标；
（）根据全等三角形的判定可确定点的位置，即可得到答案；
本题考查了作轴对称图形，全等三角形的判定，掌握轴对称图形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，由图可得，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；
【小问2详解】
如图，点的坐标为，点即为所求．
理由：由勾股定理可得，，，
又∵，
∴．
22. 如图，点分别在上，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形性质和判定、三角形内角和定理，解题的关键是得到．
（1）利用即可证明；
（2）根据三角形内角和定理求出，然后利用，得，进而利用角的和差即可解决问题．
【小问1详解】
证明：在和中，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
，
由（1）知：，
，
，
，
．
23. 数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．
（1）如图，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积．
方法：______；方法：______；
根据以上信息，可以得到的等式是______；
（2）如图，大正方形是由四个边长分别为的直角三角形（为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到之间的数量关系；
（3）在（）的条件下，若，求斜边的值．
【答案】（1），，；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式；
（）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到；
（）把代入到（）中的关系式中计算即可求解；
本题考查了完全平方公式和勾股定理的几何背景，学会用两种方法表示同一个图形的面积是解题的关键．
【小问1详解】
解：方法：，
方法：，
可以得到的等式是：，
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：方法：，
方法：，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：把代入得，
，
∴．
24. 为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．一条某型号的自动分拣流水线的工作效率是一名工人工作效率的倍，用这条自动分拣流水线分拣件包裹比一名工人分拣这些包裹要少用小时．
（1）这条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？
（2）新年将至，某转运中心预计每小时分拣的包裹量达件，则至少应购买多少条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务？
【答案】（1）件；
（2）条．
【解析】
【分析】（）设一名工人每小时能分拣件包裹，则这条自动分拣流水线每小时能分拣件包裹，根据题意，列出分式方程，解方程即可求解；
（）设至少应购买条该型号的自动分拣流水线，根据题意，列出一元一次不等式，解不等式即可求解；
本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，根据题意，列出分式方程和一元一次不等式是解题的关键．
【小问1详解】
解：设一名工人每小时能分拣件包裹，则这条自动分拣流水线每小时能分拣件包裹，
由题意得， ，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：这条自动分拣流水线每小时能分拣件包裹；
【小问2详解】
解：设至少应购买条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务，
由题意得，，
解得，
答：至少应购买条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务．
25. 综合与实践：
初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在笔形中，．
(1)【操作应用】如图1，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线，求证：是的平分线；
(2)【实践拓展】实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图2，在仪器上的点处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）实践小组的判断对，理由见解答．
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；
（1）证明，得，即可解决问题；
（2）根据等腰三角形的三线合一可得，进而可以解决问题．
【详解】（1）证明：在和中，
，
，
，
是的平分线；
（2）解：实践小组的判断对，理由如下：
是等腰三角形，，
由（1）知：平分，
，
是铅锤线，
是水平的．
门框是水平的．
实践小组的判断对．
26. 探究与证明：
我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等、那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样呢？
【观察猜想】（1）如图1，在中，．猜想与的大小关系；
【操作证明】（2）如图2，将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折线交于点E，连接．发现，由，可得，……
请证明（1）中所猜想的结论：
【类比探究】（3）如图3，在中，．小邕同学运用类似的操作进行探究：将折叠，使点B与点C重合，折线交于点F，交于点G，连接．
请证明：．
【答案】（1）
（2）理由详见解析
（3）理由详见解析
【解析】
【分析】（）由图形可猜想；
（）利用三角形的外角的性质，即可得出结论；
（）先由折叠得出，再利用三角形外角的性质，即可得出结论；
本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，灵活运用这些性质是解题的关键．
【详解】（）猜想：；
（）证明：由折叠可得，，，
∵，
∴，
∴；
（）证明：由折叠知，，
在中，，
∴，
∴．