2024年初三中考第一次模拟考试试题：数学（湖南长沙卷）（考试版A4）

这是一份2024年初三中考第一次模拟考试试题：数学（湖南长沙卷）（考试版A4），共6页。试卷主要包含了如图，是的直径，，则等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列四个实数中，最小的是( )
A．B．4C．1D．
2．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（ ）
A．7.358×107B．7.358×103C．7.358×104D．7.358×106
5．如图，把一个含有角的直角三角板放在两条平行线m，n上，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，是的直径，，则（ ）
A．B．C．D．
7．一元一次方程不等式组的解在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法错误的是（ ）
A．众数是90分B．方差是10C．平均数是91分D．中位数是90分
9．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
10．“千门万户瞳瞳日，总把新桃换旧符”．春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费领取一件．礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片(分别写有“福”字、春联、灯笼)的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品．现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么他们恰好领取同一类礼品的概率是( )
A．B．C．D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
12．分式方程的解是 ．
13．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，实数m的取值范围是 ．
14．如图，扇形的半径为1，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，，则的长 （结果保留π）．
15．如图，反比例函数的图象经过对角线的交点，已知点A，，在坐标轴上，，的面积为16，则 ．
16．《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形的边长为 ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25每题10分，共72分）
17．计算：
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，从水平面看一山坡上的通讯铁塔，在点A处用测角仪测得塔顶端点P的仰角是，向前走9米到达B点，用测角仪测得塔顶端点P和塔底端点C的仰角分别是和．
(1)求的度数；
(2)求该铁塔的高度．（结果精确到米；参考数据：，）
20．为了进一步加强中小学国防教育，教育部研究制定了《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织七、八年级全体学生参加了国防知识竞赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，分为良好，分为及格，59分及以下为不及格．该学校七、八两个年级各有学生300人，现随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息．
a．抽取七年级20名学生的成绩如下：
b．抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图如图1所示（数据分成5组：，，，，）
c．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图如图2所示．
d．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差如下表：
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图，写出表中的值；
(2)估计七、八两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生共有多少人；
(3)若本次竞赛成绩达到81分及以上的同学可以获得参加挑战赛的机会，请根据样本数据估计，七、八两个年级中哪个年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多？并说明理由．
21．如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．
(1)求证：；
(2)若时，求的长；
(3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．
22．某服装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装，若购进A种型号服装9件与B种型号服装10件共需要1810元；若购进A种型号服装12件与B种型号服装8件共需要1880元．
(1)A、B两种型号的服装每件分别为多少元？
(2)若销售1件A型服装可获利18元，销售1件B型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定购进A型服装的数量要比购进B型服装的数量的2倍还多4件，这样服装全部售出后可使总的获利不少于732元，问至少购进B型服装多少件？
23．如图，四边形为矩形，点在边上，，连接，过点作交于点，分别过点、作、且、相交于点．
(1)求证：；
(2)连接，若，点是的中点，求的长．
24．如图，A，B，C是上的三点，且，，点D为优弧上的动点，且．
(1)如图1，若，延长到F，使得，连接，求证：是的切线；
(2)如图2，若的角平分线与相交于E，求的半径与的长；
(3)如图3，将的边所在的直线绕点A旋转得到，直线与相交于M，N，连接．在运动的过程中，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化规律．
25．定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．
【特例感知】
(1)抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______ ．
【深入探究】
(2)经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标．
【拓展运用】
(3)在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点．
①当时，求点的坐标．
②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点到直线的距离与点到直线的距离相等的的值？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．65
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年级
平均数
中位数
方差
七年级
81
八年级
82