高中物理一轮复习材料 知识点 第二章：相互作用

这是一份高中物理一轮复习材料 知识点 第二章：相互作用，共77页。学案主要包含了重力，形变，力的分解，矢量和标量等内容，欢迎下载使用。

第1讲 重力 弹力
一、重力
二、形变、弹力、胡克定律
1．形变
2．弹力
3．胡克定律
情境创设
如图所示，健身拉力器是一种很简单且容易获得的健身器材。拉力器能够锻炼的部位有很多：可以练肩部，练手臂，练胸，练腿，练背等。
微点判断
(1)健身爱好者站在地面上所受重力的方向不一定指向地心。(√)
(2)地面对健身爱好者的支持力是由于健身爱好者的脚发生了形变。(×)
(3)弹簧拉伸时，健身爱好者的手与弹簧间一定有弹力。(√)
(4)健身拉力器中的弹簧，其形变量越大，劲度系数越大。(×)
(5)健身拉力器中的弹簧，其劲度系数是由弹簧自身性质决定的。(√)
(6)F＝kx中“x”表示弹簧形变后的长度。(×)
(一) 重力与重心(固基点)
[题点全练通]
1．关于物体的重力，下列说法正确的是( )
A．在“天上”绕地球飞行的人造卫星不受重力作用
B．物体放在真空中不受重力作用
C．将物体竖直向上抛出后，物体在上升阶段所受的重力比落向地面时小
D．物体所受重力的大小与物体的质量有关，与物体是否运动及怎样运动无关
解析：选D 重力是由于地球的吸引而使地面附近物体受到的地球的作用力，不管物体是否在真空中，是静止还是运动，也不管物体是上升还是下落，一切物体都受重力作用，故A、B项错误；地面附近同一物体的重力大小、方向都不会发生改变，重力的大小可由公式G＝mg求出，C项错误；重力大小与物体的质量m有关，与物体的运动状态无关，D项正确。
2．在下列物品中符合重心在几何体内部且位于中心的是( )
A．如图甲所示的均匀材质的铁球
B．如图乙所示的煎好的麦饼
C．如图丙所示的实心球
D．如图丁所示的对称的马蹄形磁铁
解析：选A 图甲为均匀材质的铁球，故重心在其内部且位于中心，A正确；煎好的麦饼质地不一定均匀、形状不一定规则，B错误；实心球质地不一定均匀，C错误；马蹄形磁铁的重心在几何体外部，D错误。
3.(2022·浙江1月选考)如图所示，公园里有一仿制我国古代欹器的U形水桶，桶可绕水平轴转动，水管口持续有水流出，过一段时间桶会翻转一次，决定桶能否翻转的主要因素是( )
A．水桶自身重力的大小
B．水管每秒出水量的大小
C．水流对桶撞击力的大小
D．水桶与水整体的重心高低
解析：选D 由题意可知水桶中的水到一定量之后，导致水桶与水整体的重心往上移动，竖直向下的重力作用线偏离中心转轴，导致水桶不能稳定平衡，发生翻转，D正确。
[要点自悟明]
1．重心是重力的等效作用点，其位置与物体的形状和质量分布有关，但不一定在物体上。
2．对于形状不规则或质量不均匀分布的薄板，重心可用悬挂法确定。
3．重力的方向总是竖直向下，不一定指向地心，也不一定垂直向下。
4．重力的大小G＝mg，而g的大小与所处的地球位置有关。
(二) 弹力的有无及方向判断(精研点)
逐点清1 弹力的有无判断
1．[假设法]如图所示，图中的物体A、B均处于静止状态，下列说法正确的是( )
A．图甲中水平地面是光滑的，A与B间存在弹力
B．图乙中两斜面与水平地面的夹角分别为α、β，A对两斜面均有压力的作用
C．图丙中A不会受到斜面B对它的支持力的作用
D．图丁中A受到斜面B对它的支持力的作用
解析：选B 题图甲中对B进行受力分析，B受重力和地面支持力的作用，竖直方向二力平衡，B静止，水平方向不可能再受到A对B的弹力作用，A错误；题图乙中若去掉左侧的斜面，或去掉右侧的斜面，A不能保持静止，所以A对两斜面均有压力的作用，B正确；题图丙中绳子对A的拉力斜向右上方，若将斜面B移走，A不能保持静止，故A受到斜面B对它的弹力作用，C错误；题图丁中绳子处于竖直状态，若A与斜面B间有弹力，绳子不能保持竖直状态，故A不受斜面B的弹力作用，D错误。
2.[状态法]
如图所示，小车内沿竖直方向的一根轻质弹簧和一条与竖直方向成α角的细绳拴接一小球。当小车与小球相对静止，一起在水平面上运动时，下列说法正确的是( )
A．细绳对小球一定有拉力的作用
B．轻弹簧对小球一定有弹力的作用
C．细绳对小球不一定有拉力的作用，但是轻弹簧对小球一定有弹力
D．细绳对小球不一定有拉力的作用，轻弹簧对小球也不一定有弹力的作用
解析：选D 当小车匀速运动时，弹簧弹力大小等于小球重力大小，细绳的拉力FT＝0；当小车和小球向右做匀加速直线运动时绳的拉力不能为零，弹簧弹力有可能为零，故D正确。
eq \a\vs4\al(一点一过)
判断弹力有无的三种方法
逐点清2 弹力的方向判断
3．在下图中画出各弹力的方向
注：学生用书中已将3、4题示例中的弹力方向删除。
4．在下图中画出各弹力的方向
一点一过
常见的5种不同接触形式中的弹力方向
(三)弹力的大小计算(精研点)
逐点清1 弹簧弹力的计算
1．[胡克定律的应用]两个劲度系数分别为k1和k2的轻质弹簧a、b串接在一起，a弹簧的一端固定在墙上，如图所示。开始时弹簧均处于原长状态，现用水平力作用在b弹簧的P端向右拉动弹簧，已知a弹簧的伸长量为L，则( )
A．b弹簧的伸长量也为L
B．b弹簧的伸长量为eq \f(k1L,k2)
C．P端向右移动的距离为2L
D．P端向右移动的距离为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(k2,k1)))L
解析：选B 根据两根弹簧中弹力相等可得b弹簧的伸长量为eq \f(k1L,k2)，P端向右移动的距离为L＋eq \f(k1,k2)L，选项B正确。
2．[利用平衡条件求弹簧的弹力]如图所示的装置中，各小球的质量均相同，弹簧和细线的质量均不计，一切摩擦忽略不计，平衡时各弹簧的弹力大小分别为F1、F2、F3，其大小关系是( )
A．F1＝F2＝F3 B．F1＝F2＜F3
C．F1＝F3＞F2 D．F3＞F1＞F2
解析：选A 不计一切摩擦，平衡时三个弹簧的弹力大小均等于一个小球的重力，故选项A正确。
一点一过
1．弹簧的弹力可由胡克定律F＝kx计算，也可由物体的平衡条件计算。
2．弹簧串联时，各弹簧的弹力大小相等，弹簧的形变量一般不同。
3．弹簧并联时，各弹簧的形变量相等，弹力一般不同。
逐点清2 轻绳和轻杆弹力的计算
3.[轻绳弹力的计算]如图所示，水平直杆OP右端固定于竖直墙上的O点，长为L＝2 m的轻绳一端固定于直杆的P点，另一端固定于墙上O点正下方的Q点，OP长为d＝1.2 m，重为8 N的钩码用质量不计的光滑挂钩挂在轻绳上且处于静止状态，则轻绳的弹力大小为( )
A．10 N B．8 N
C．6 N D．5 N
解析：选D 设挂钩所在处为N点，延长PN交墙于M点，如图所示：同一条绳子拉力相等，根据对称性可知两边的绳子与竖直方向的夹角相等，设为α，则根据几何关系可知∠NQM＝∠NMQ＝α，故NQ＝MN，即PM等于绳长；根据几何关系可得：sin α＝eq \f(PO,PM)＝0.6，则cs α＝0.8，根据平衡条件可得：2FTcs α＝G，解得：FT＝5 N，故D正确。
4.[轻杆弹力的计算]如图所示，与竖直墙壁成53°角的轻杆一端斜插入墙中并固定，另一端固定一个质量为m的小球，水平轻质弹簧处于压缩状态，弹力大小为eq \f(3,4)mg(g表示重力加速度)，则轻杆对小球的弹力大小为( )
A.eq \f(5,3)mg B.eq \f(3,5)mg C.eq \f(4,5)mg D.eq \f(5,4)mg
解析：选D 小球处于静止状态，其合力为零，对小球进行受力分析，如图所示，由图中几何关系可得F＝eq \r(mg2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)mg))2)＝eq \f(5,4)mg，D正确。
一点一过
1．物体处于平衡状态时，固定物体的轻绳或轻杆的弹力可由物体的平衡条件借助于力的合成与分解知识求解。
2．轻绳中的弹力方向一定沿绳指向绳收缩的方向，而轻杆中的弹力方向不一定沿杆。如第2题中轻杆的弹力方向就不沿杆的方向。
逐点清3 非平衡体所受弹力的计算
5．[非平衡体所受轻杆的弹力](多选)如图所示为位于水平面上的小车，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ，在斜杆下端固定有质量为m的小球。现使小车以加速度a向右做匀加速运动，下列说法正确的是( )
A．杆对小球的弹力竖直向上
B．杆对小球的弹力沿杆向上
C．杆对小球的弹力大小可能为eq \f(mg,cs θ)
D．杆对小球的弹力大小为F＝eq \r(mg2＋ma2)
解析：选CD 设杆对小球的弹力F在竖直方向的分力为Fy，水平方向的分力为Fx，由牛顿第二定律可知，Fy＝mg，Fx＝ma，F＝eq \r(mg2＋ma2)，当eq \f(ma,mg)＝tan θ时，即a＝gtan θ时，杆对球的弹力沿杆向上，此时F＝eq \f(mg,cs θ)，综上所述，A、B错误，C、D正确。
6．[非平衡体所受弹簧的弹力](多选)橡皮筋具有与弹簧类似的性质，如图所示，一条质量不计的橡皮筋竖直悬挂，劲度系数k＝100 N/m，橡皮筋上端安装有拉力传感器测量橡皮筋的弹力。当下端悬挂一个钩码，静止时拉力传感器读数为10 N，现将一个完全相同的钩码轻轻挂在第一个钩码的下方，取g＝10 m/s2，则( )
A．悬挂第二个钩码的瞬间，拉力传感器的读数仍为10 N
B．悬挂第二个钩码的瞬间，钩码间的弹力大小是20 N
C．悬挂第二个钩码后，拉力传感器的读数恒为20 N
D．悬挂第二个钩码后，钩码运动速度最大时下降的高度为10 cm
解析：选AD 悬挂第二个钩码的瞬间，橡皮筋长度还没发生变化，根据胡克定律，橡皮筋拉力大小仍为10 N，两钩码将以相同的加速度向下加速，钩码间的弹力大小小于10 N，A正确，B错误；悬挂第二个钩码后，橡皮筋继续伸长，拉力传感器的读数从10 N开始增大，直到弹力等于两个钩码的重力时，拉力传感器的读数才为20 N，C错误；设悬挂第一个钩码稳定时橡皮筋的伸长量为x1，kx1＝G，悬挂第二个钩码后，钩码运动速度最大时，钩码受力平衡，设此时又伸长x2，则k(x1＋x2)＝2G，代入数据，可得x2＝10 cm，D正确。
一点一过
1．非平衡体所受弹力的大小和方向与物体加速度的大小和方向有关。
2．应用牛顿第二定律时，沿加速度的方向和垂直于加速度的方向列方程。
1．[激励爱国情怀](多选)拥有我国自主知识产权的大飞机是几代航天人的梦想，这一梦想如今已经变成了现实，如图所示为具有完全自主知识产权的C919国产大型客机。下列关于C919客机的说法正确的是( )
A．C919客机受到的重力指向地心
B．C919客机受重力的同时，它也对地球产生引力
C．C919客机受到的重力总是垂直水平面向下
D．C919客机匀速飞行，它不受重力作用
解析：选BC 重力的方向总是竖直向下(也可以说成垂直水平面向下)，而不一定指向地心，A错误，C正确；C919客机受重力的同时，它也对地球产生引力，B正确；C919客机匀速飞行，它仍受重力作用，D错误。
2．[联系生活实际]杂技演员用两根重力不计的木棒顶起装满水的水壶，其中竖直木棒静止在另一根倾斜木棒的顶端。已知倾斜木棒与水平方向的夹角为θ，水壶和水的总质量为m，重力加速度大小为g，则竖直木棒对倾斜木棒的作用力大小为( )
A．mgsin θ B．mg
C．mgcs θ D.eq \f(mg,cs θ)
解析：选B 以水壶和水、竖直木棒整体为研究对象，由平衡条件可知，倾斜木棒对竖直木棒的支持力大小FN＝mg，由牛顿第三定律可知竖直木棒对倾斜木棒的作用力大小为mg，选项B正确。
3．[聚焦科技前沿]如图所示，是我国的极地考察破冰船——“雪龙号”。为满足破冰航行的要求，其船体结构经过特殊设计，船体下部与竖直方向成特殊角度。则船体对冰块的弹力示意图正确的是( )
解析：选C 船体对冰块的弹力垂直于接触面，指向受力物体，C正确，A、B、D错误。
4．[渗透五育教育(体育)]射箭是奥运会比赛项目之一，如图甲为运动员射箭的场景。已知弓的顶部跨度为l，弦均匀且弹性良好，其自由长度为l。发射时弦和箭可等效为图乙，假设弓的跨度保持不变，即箭在弦的正中间，弦夹在类似动滑轮的附加装置上，将箭发射出去。已知弦的劲度系数为k，发射箭时弦的最大长度为eq \f(5,3)l(弹性限度内)，则箭被发射瞬间所受的最大弹力为(设弦的弹力满足胡克定律)( )
A．kl B.eq \f(16,15)kl
C.eq \r(3)kl D．2kl
解析：选B 弦的张力F＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)l－l))＝eq \f(2,3)kl，由力的合成得弦对箭的作用力F′＝2Fcs θ，sin θ＝eq \f(\f(l,2),\f(5,6)l)＝eq \f(3,5)(θ为箭与弦的夹角)，得F′＝eq \f(16,15)kl，所以B正确。
5.[联系生活实际](多选)为了佩戴舒适，口罩两边的弹性绳的劲度系数比较小，某同学将弹性绳拆下，当弹性绳下端悬挂一块橡皮擦时，弹性绳的长度为30 cm，悬挂两块相同的橡皮擦时，弹性绳的长度为40 cm，如图所示。当弹性绳下端悬挂一支笔时，弹性绳的长度为35 cm。若弹性绳满足胡克定律，且弹性绳始终在弹性限度内，不计弹性绳受到的重力。下列说法正确的是( )
A．弹性绳的原长为20 cm
B．弹性绳的劲度系数为10 N/m
C．一支笔受到的重力是一块橡皮擦受到的重力的1.5倍
D．将一块橡皮擦和一支笔一起挂在弹性绳下端时，弹性绳长45 cm
解析：选ACD 设弹性绳原长为L0(cm)，劲度系数为k，橡皮擦重力为G1，笔的重力为G2，由胡克定律可知G1＝k(30－L0)×10－2,2G1＝k(40－L0)×10－2，G2＝k(35－L0)×10－2，联立解得L0＝20 cm，G2＝1.5G1，根据已知条件无法计算k的大小，A、C正确，B错误；将一块橡皮擦和一支笔一起挂在弹性绳下端时，由胡克定律可知G2＋G1＝k(x－L0)，解得x＝45 cm，故D正确。
[课时跟踪检测]
1．下列关于重力、重心的说法，正确的是( )
A．任何有规则形状的物体，它的重心一定与它的几何中心重合
B．任何物体的重心都在物体上，不可能在物体外
C．用一绳子将物体悬挂起来，物体静止时，该物体的重心不一定在绳子的延长线上
D．重力是由地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的
解析：选D 只有质量分布均匀、形状规则的物体，其重心才在几何中心上，故A错误；物体的重心可以在物体上，也可以在物体外，如环的重心在环体外，故B错误；用一绳子将物体悬挂起来，物体静止时，由二力平衡可知，该物体的重心一定在绳子的延长线上，故C错误；重力是由地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的，故D正确。
2．(多选)图书馆的读书角摆了一个装饰瓶，如图所示，下列说法正确的是( )
A．装饰瓶受到地球对它的吸引力，但它对地球没有吸引力
B．装饰瓶重心一定在其几何中心
C．装饰瓶的重心位置与其形状结构及质量分布有关
D．若装饰瓶底部出现一个小洞，那么在瓶内水滴完前后的过程中，装饰瓶的重心先降低后升高
解析：选CD 力的作用是相互的，瓶子受到地球对它的吸引力，它对地球也有吸引力，故A错误；装饰瓶的重心位置与其质量分布和形状有关，只有形状规则且质量均匀分布的物体的重心才与几何中心重合，故B错误，C正确；若装饰瓶底部出现一个小洞，在水滴完的过程中，装饰瓶的重心先降低后升高，故D正确。
3.(2023·衡水高三检测)如图所示，一根弹性杆的一端固定在倾角为30°的斜面上，杆的另一端固定一个重力为2 N的小球，小球处于静止状态，则弹性杆对小球的弹力( )
A．大小为2 N，方向平行于斜面向上
B．大小为1 N，方向平行于斜面向上
C．大小为2 N，方向垂直于斜面向上
D．大小为2 N，方向竖直向上
解析：选D 小球受重力和杆的支持力(弹力)作用处于静止状态，由二力平衡可知，弹性杆对小球的弹力与重力等大、反向，即大小为2 N，方向竖直向上。
4.在日常生活及各项体育运动中，有弹力出现的情况比较普遍，如图所示的情况就是一个实例。当运动员踩压跳板使跳板弯曲到最低点时，下列说法正确的是( )
A．跳板发生形变，运动员的脚没有发生形变
B．运动员受到的支持力是运动员的脚发生形变而产生的
C．此时跳板对运动员的支持力和运动员的重力等大
D．此时跳板对运动员的支持力大于运动员的重力
解析：选D 发生相互作用的物体均要发生形变，故A错误；发生形变的物体，为了恢复原状，会对与它接触的物体产生弹力的作用，B错误；在最低点，运动员的瞬时速度虽然为零，但接着运动员要加速上升，故此时跳板对运动员的支持力大于运动员的重力，C错误，D正确。
5.(2022·嘉兴模拟)高竿船技是浙江嘉兴文化古镇(乌镇)至今仍保留并演出的传统民间杂技艺术，表演者爬上固定在船上的竹竿，模拟蚕宝宝吐丝作茧的动作祈愿蚕茧丰收。如图所示，此时表演者静止在弯曲倾斜的竹竿上，则下列说法正确的是( )
A．表演者对竹竿的弹力是由竹竿形变产生的
B．表演者对竹竿的力竖直向下
C．表演者对竹竿的摩擦力一定为零
D．表演者对竹竿的力大于竹竿对表演者的力
解析：选B 表演者对竹竿的弹力是由表演者发生形变产生的，故A错误；因为表演者静止在弯曲倾斜的竹竿上，受到重力、弹力和摩擦力作用，且处于平衡状态，故竹竿对表演者的力竖直向上，根据牛顿第三定律可知表演者对竹竿的力竖直向下，故B正确，C错误；表演者对竹竿的力与竹竿对表演者的力大小相等，故D错误。
6.如图所示，有两根完全相同的轻弹簧。图甲中，弹簧竖直固定在地面上，弹簧顶端有一质量为2 kg的物块A，弹簧长度为7 cm；图乙中，质量为0.5 kg的物块B悬挂在弹簧下端，弹簧长度为9.5 cm。物块A、B均处于静止状态，弹簧均处于弹性限度内，取重力加速度大小g＝10 m/s2。则该弹簧的原长为( )
A．7.5 cm B．8 cm
C．8.5 cm D．9 cm
解析：选D 由胡克定律可得mAg＝k(x0－x1)，mBg＝k(x2－x0)，解得x0＝9 cm，D正确。
7．如图甲所示，一轻弹簧左端与墙壁相连于O点。作用于右端A点的水平外力F变化时弹簧长度不断变化，取水平向左为正方向，测得外力F与弹簧长度的关系如图乙所示，则下列说法正确的是( )
A．弹簧原长为5 cm
B．弹簧的劲度系数为400 N/m
C．当l＝10 cm时，弹簧对墙壁的弹力方向水平向右
D．当l＝20 cm时，弹簧对墙壁的弹力方向水平向左
解析：选B 根据图像可知，当F＝0时，弹簧处于自然伸长状态，即自然长度为15 cm，A错误；由胡克定律可得k＝eq \f(ΔF,Δx)＝eq \f(40 N,25－15×10－2 m)＝400 N/m，B正确；由题意知，弹簧长度为10 cm时F为正，则F方向向左，弹簧处于压缩状态，弹簧对墙壁的弹力水平向左，C错误；由题意知，弹簧长度为20 cm时F为负，则F方向向右，弹簧处于伸长状态，弹簧对墙壁的弹力水平向右，D错误。
8．(2023·济南调研)如图所示为一款可调握力器的简化图。通过调节右侧旋钮可令弹簧下悬点在A到B间移动，从而使弹簧初始弹力在0～25 N之间变化，已知弹簧下端处于A点时，弹簧与水平杆成53°角，当其调节到B点时，弹簧与水平杆成37°角，已知AB长3.5 cm，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，则该弹簧的劲度系数为( )
A．800 N/m B．900 N/m
C．1 000 N/m D．1 200 N/m
解析：选C 如图所示，过O点作AB的垂线，与AB所在直线相交于D点，连接OA、OB，设OD＝s，BD＝L1，AD＝L2，由几何关系得：L1－L2＝3.5 cm，tan 53°＝eq \f(s,L2)，tan 37°＝eq \f(s,L1)，解得s＝6 cm，弹簧从A点调节到B点时，形变量为Δx＝eq \f(s,sin 37°)－eq \f(s,sin 53°)，解得Δx＝2.5 cm，根据胡克定律得F＝kΔx，可求得k＝1 000 N/m，C正确。
9．如图，两个弹簧的质量不计，劲度系数分别为k1、k2，它们一端固定在质量为m的物体上，另一端分别固定在Q、P上，当物体平衡时上面的弹簧处于原长，若把固定的物体换成大小相同、质量为2m的物体(弹簧不变，且弹簧均在弹性限度内)，当物体再次平衡时，物体比第一次平衡时的位置下降了x，则x为( )
A.eq \f(mg,k1＋k2) B.eq \f(k1k2,mgk1＋k2)
C.eq \f(mg,k1－k2) D.eq \f(k1k2,2mgk1＋k2)
解析：选A 设物体质量为m时，下方弹簧压缩量为x1，则mg＝k1x1，当物体质量为2m时，物体下降了x，则上面弹簧的伸长量也为x，由平衡条件得：k1(x1＋x)＋k2x＝2mg，解得：x＝eq \f(mg,k1＋k2)，故选项A正确。
第2讲 摩擦力
1．两种摩擦力的比较
2．关于摩擦力的四个易错点
(1)摩擦力的方向总是与物体间相对运动(或相对运动趋势)的方向相反，但不一定与物体的运动方向相反。
(2)摩擦力总是阻碍物体间的相对运动(或相对运动趋势)，但不一定阻碍物体的运动。即摩擦力可以作为阻力使物体减速，也可以作为动力使物体加速。
(3)受静摩擦力作用的物体不一定相对地面静止，但一定与静摩擦力的施力物体保持相对静止。
(4)静摩擦力的大小与正压力无关，仅与外力有关，最大静摩擦力的大小与正压力有关且成正比。
情境创设
“共享单车”的经营模式，正在快速地改变着我们的生活方式，也为经济发展新常态增添了新的内涵。不论自行车的品牌如何，从自行车的结构和使用上来看，自行车涉及许多物理知识。
微点判断
(1)正在水平路面上正常行驶的共享单车，其前轮受到的摩擦力方向向后，后轮受到的摩擦力方向向前。(√)
(2)自行车后轮受到的摩擦力总是阻碍自行车的运动或运动趋势。(×)
(3)自行车运动时地面与车轮接触处有摩擦力作用，也一定有弹力作用。(√)
(4)自行车运动时地面与车轮接触处的摩擦力一定与弹力方向垂直。(√)
(5)刹车时，用力捏紧车闸，以增大刹车片与车圈之间的压力，从而增大摩擦力。(√)
(6)自行车轮胎、车把套、脚踏板以及刹车处均刻有花纹，并且都使用动摩擦因数较大的材料，从而增大摩擦力。(√)
(一) 静摩擦力的有无及方向判断三法(培优点)
方法1 假设法
[研一题] 如图甲是某同学写字时的握笔姿势，如图乙是他在握笔时把拇指和食指松开时的状态，笔尖仍然斜向下且笔保持静止状态。关于两幅图中笔的受力，下列说法正确的是( )
A．图甲中笔可能不受摩擦力
B．图乙中笔可能不受摩擦力
C．图甲和图乙中手对笔的作用力方向都为竖直向上
D．图甲中手的握力越大，笔所受的摩擦力越大
解析：选C 对题图甲中的笔受力分析，受到重力、手指的压力和摩擦力，假设没有受到摩擦力，笔就会顺着手指滑下来，故A错误；对题图乙中的笔受力分析，受到重力、支持力和摩擦力，假设没有受到摩擦力，笔就会顺着手指滑下来，故B错误；因为题图甲和题图乙中的笔都是静止状态，所以手对笔的作用力应与重力大小相等，方向相反，故C正确；题图甲中的笔受到的是静摩擦力，大小与手的握力无关，故D错误。
[悟一法] 假设法的解题思路：
方法2 状态分析法
[研一题] 如图所示，竖直墙面上有一只壁虎从A点沿水平直线加速运动到B点，此过程中壁虎受到摩擦力的方向是( )
A．斜向右上方 B．斜向左上方
C．水平向左 D．竖直向上
解析：选B 由于壁虎从A点到B点做加速直线运动，即壁虎所受合力水平向左，在竖直平面内壁虎受重力、摩擦力，由平行四边形定则可知，摩擦力方向斜向左上方，故B正确。
[悟一法] 状态分析法的应用要领：此法关键是先确定物体的运动状态(如平衡或求出加速度)，再利用平衡条件或牛顿第二定律(F＝ma)确定静摩擦力的方向。
方法3 转换对象法
[研一题] 大型商场或者大型超市为了方便顾客上下楼，都会安装自动扶梯。小王同学经过调查研究发现自动扶梯分为两大类，一种无台阶，另一种有台阶，两种自动扶梯分别如图甲、乙所示。此外，小王同学还发现，为了节约能源，在没有乘客乘行时，这两种自动扶梯都以较小的速度匀速运行，当有乘客乘行时自动扶梯经过先加速运行再匀速运行两个阶段。则自动扶梯在运送乘客上楼的整个过程中( )
A．图甲所示的无台阶自动扶梯中，乘客始终受摩擦力作用
B．图乙所示的有台阶自动扶梯中，乘客始终受摩擦力作用
C．图甲所示的无台阶自动扶梯中，乘客对扶梯的作用力始终竖直向下
D．图乙所示的有台阶自动扶梯中，乘客对扶梯的作用力始终竖直向下
解析：选A 乘客在无台阶的扶梯上运动时，在加速阶段和匀速阶段，都受重力、支持力、摩擦力作用，匀速阶段乘客加速度为零，扶梯对乘客的作用力竖直向上，由牛顿第三定律可知，乘客对扶梯的作用力竖直向下，加速阶段扶梯对乘客的作用力斜向上，由牛顿第三定律可知，乘客对扶梯的作用力斜向下；有台阶的扶梯，在扶梯匀速上升阶段，乘客不受摩擦力作用，在扶梯加速阶段，乘客所受支持力和摩擦力的合力斜向上，由牛顿第三定律可知，乘客对扶梯的作用力斜向下，综上所述，A正确，B、C、D均错误。
[悟一法] 转换对象法应用要领：“力是物体间的相互作用”，先确定受力较少的物体受到的静摩擦力的方向，再根据牛顿第三定律确定相互作用的另一物体受到的静摩擦力的方向。
(二) 摩擦力大小的计算(精研点)
逐点清1 静摩擦力大小的计算
1．[应用平衡条件计算]如图所示，在倾角为37°的斜面上放置一质量为0.5 kg的物体，用一大小为1 N平行斜面底边的水平力F推物体时，物体保持静止。已知物体与斜面间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),2)，物体受到的摩擦力大小为(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2)( )
A．3 N B．2eq \r(3) N
C.eq \r(10) N D.eq \r(26) N
解析：选C 物体受重力、水平力F、斜面的支持力、静摩擦力，在沿斜面方向内由平衡条件得：Ff＝eq \r(F2＋mgsin 37°2)，解得：Ff＝eq \r(10) N，故A、B、D错误，C正确。
2．[应用牛顿第二定律计算]如图所示，质量为10 kg的物体A拴在一个被水平拉伸的弹簧一端，弹簧的拉力为5 N时，物体A处于静止状态。若小车以1 m/s2的加速度向右加速运动后，则(g取10 m/s2)( )
A．物体A相对小车向右运动
B．物体A受到的摩擦力减小
C．物体A受到的摩擦力大小不变
D．物体A受到的弹簧拉力增大
解析：选C 由题意得物体A与小车的上表面间的最大静摩擦力Fmax≥5 N，小车向右加速运动后，对物体A受力分析，可得F合＝ma＝10 N，可知此时小车对物体A的摩擦力大小为5 N，方向向右，且为静摩擦力，所以物体A相对于小车仍然静止，故A错误；所以物体A受到的摩擦力大小不变，故B错误，C正确；物体A相对于小车仍然静止，所以受到的弹簧的拉力大小不变，故D错误。
一点一过 静摩擦力大小的计算方法
(1)物体处于静止状态，利用力的平衡条件求解静摩擦力的大小。
(2)物体有加速度时，若只受摩擦力，则Ff＝ma，如匀速转动的圆盘上与圆盘相对静止的物块靠静摩擦力提供向心力产生向心加速度。若除摩擦力外，物体还受其他力，则F合＝ma，需先求合力再求摩擦力。
逐点清2 滑动摩擦力大小的计算
3．如图甲所示为冰壶运动，属于2022北京冬奥会比赛项目，它考验参与者的体能与脑力，展现动静之美，取舍之智慧。现对运动员推动冰壶滑行过程建立如图乙所示模型：冰壶质量m＝20 kg，运动员施加的推力F＝50 N，方向与水平方向夹角为37°，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2，若冰壶在推力F作用下做匀速直线运动，冰壶与冰面间的动摩擦因数μ约为( )
A．0.15 B．0.16
C．0.17 D．0.18
解析：选C 由受力分析可得Fcs θ＝μ(mg＋Fsin θ)，代入数据解得μ≈0.17，C正确，A、B、D错误。
一点一过 滑动摩擦力大小的计算方法
(三) 摩擦力的四类突变(精研点)
类型1 “静—静”突变
物体受到静摩擦力和其他力的共同作用，当其他力的合力发生变化时，如果仍保持相对静止，则静摩擦力的大小和(或)方向可能发生突变。
[例1] (多选)如图甲所示，两物体A、B叠放在光滑的水平面上，对物体A施加一水平变力F，F-t关系图像如图乙所示，两物体在力F作用下由静止开始运动，且始终相对静止，规定水平向右为正方向，则( )
A．两物体一直向右做直线运动
B．两物体沿直线做往复运动
C．在2～3 s时间内两物体间的摩擦力逐渐减小
D．B物体所受摩擦力的方向始终与力F的方向相同
[解析] 在0～2 s内两物体向右做加速运动，加速度先增大后减小；2～4 s内加速度反向，两物体做减速运动，因为两段时间内受力是对称的，所以4 s末速度变为零，在0～4 s内两物体一直向右运动，然后重复以前的运动，A正确，B错误；在2～3 s内，F逐渐增大，两物体加速度逐渐增大，隔离对B分析，B所受的合力逐渐增大，即B所受的摩擦力逐渐增大，C错误；对整体分析，两物体的加速度与F的方向相同，B物体所受的合力为摩擦力，故摩擦力的方向与加速度方向相同，即与F的方向相同，D正确。
[答案] AD
类型2 “静—动”突变
物体在静摩擦力和其他力作用下处于静止状态，当其他力变化时，如果物体不能保持相对静止状态，则物体受到的静摩擦力将“突变”成滑动摩擦力，突变点常常为静摩擦力达到最大值时。
[例2] (多选)在探究静摩擦力变化的规律及滑动摩擦力变化的规律的实验中，设计了如图甲所示的演示装置，力传感器A与计算机连接，可获得力随时间变化的规律，将力传感器固定在光滑水平桌面上，测力端通过细绳与一滑块相连(调节力传感器高度使细绳水平)，滑块放在较长的小车上，小车一端连接一根轻绳并跨过光滑的轻定滑轮系一只空沙桶(调节滑轮可使桌面上部细绳水平)，整个装置处于静止状态。实验开始时打开传感器同时缓慢向沙桶里倒入沙子，小车一旦运动起来，立即停止倒沙子。若力传感器采集的图像如图乙所示，则结合该图像，下列说法正确的是( )
A．可求出空沙桶的重力
B．可求出滑块与小车之间的滑动摩擦力的大小
C．可求出滑块与小车之间的最大静摩擦力的大小
D．可判断第50 s后小车做匀速直线运动(滑块仍在车上)
[解析] t＝0时刻，力传感器显示拉力为2 N，则滑块受到的摩擦力为静摩擦力，大小为2 N，由力的相互性可知车受到滑块的摩擦力为2 N，由车与空沙桶受力平衡可知空沙桶的重力等于2 N，A项正确；t＝50 s时摩擦力达到最大值，即滑块与小车间的最大静摩擦力为3.5 N，同时小车开始运动，说明带有沙的沙桶重力等于3.5 N，此时摩擦力立即变为滑动摩擦力，最大静摩擦力略大于滑动摩擦力，故摩擦力突变为3 N的滑动摩擦力，B、C项正确；此后由于沙和沙桶重力3.5 N大于滑动摩擦力3 N，故第50 s后小车将加速运动，D项错误。
[答案] ABC
类型3 “动—静”突变
物体受到滑动摩擦力和其他力的共同作用，当相对滑动突然停止时，滑动摩擦力可能突变为静摩擦力。
[例3] 如图所示，斜面固定在地面上，倾角为θ＝37°(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)。质量为1 kg的滑块以初速度v0从斜面底端沿斜面向上滑行(斜面足够长，该滑块与斜面间的动摩擦因数为0.8)，则该滑块所受摩擦力Ff随时间变化的图像是选项图中的(取初速度v0的方向为正方向，g取10 m/s2)( )
[解析] 滑块上滑过程中受滑动摩擦力，由Ff＝μFN和FN＝mgcs θ，得Ff＝6.4 N，方向沿斜面向下。当滑块的速度减为零后，由于重力的分力mgsin θ＜μmgcs θ，滑块将静止，滑块受到的摩擦力为静摩擦力，由平衡条件得Ff＝mgsin θ，代入可得Ff＝6 N，方向沿斜面向上，故B正确。
[答案] B
类型4 “动—动”突变
物体受到滑动摩擦力和其他力的共同作用，当两物体间的正压力发生变化时，滑动摩擦力的大小随之而变；或者两物体达到共同速度时相对滑动方向发生变化，滑动摩擦力的方向也会随之而变。
[例4] (多选)如图所示，足够长的传送带与水平面夹角为θ，以速度v0沿逆时针匀速转动。在传送带的上端轻轻放置一个质量为m的小木块，小木块与传送带间的动摩擦因数μ＜tan θ，则下列选项中能客观地反映小木块受到的摩擦力和运动情况的是( )
[解析] 当小木块速度小于传送带速度时，小木块相对于传送带向上滑动，小木块受到的滑动摩擦力
沿传送带向下，加速度a＝gsin θ＋μgcs θ；当小木块速度达到传送带速度时，由于μ＜tan θ，即μmgcs θ＜mgsin θ，所以速度继续增加，此时滑动摩擦力的大小不变，而方向突变为沿传送带向上，a＝gsin θ－μgcs θ，加速度变小，则v-t图像的斜率变小，B、D正确。
[答案] BD
[系统建模]
摩擦力的突变问题，无论怎样变化，考查的都是对静摩擦力和滑动摩擦力大小或方向变化的分析，解题时应注意以下三点：
(1)题目中出现“最大”“最小”和“刚好”等关键词时，一般隐藏着临界问题。
(2)静摩擦力是被动力，其存在及大小、方向取决于物体间的相对运动的趋势，而且静摩擦力存在最大值。存在静摩擦力的连接系统，相对滑动与相对静止的临界状态时静摩擦力达到最大值。
(3)研究传送带问题时，物体和传送带的速度相等的时刻往往是摩擦力的大小、方向和运动性质的分界点。
1．[聚焦科技前沿]《中国制造2025》是国家实施强国战略行动纲领，智能机器制造是一个重要方向，如图所示，一机械臂铁夹竖直夹起一个金属小球，小球在空中处于静止状态，铁夹与球接触面保持竖直，则( )
A．小球受到的摩擦力方向竖直向下
B．小球受到的摩擦力与重力大小相等
C．若增大铁夹对小球的压力，小球受到的摩擦力变大
D．若铁夹水平移动，小球受到的摩擦力变大
解析：选B 对小球受力分析可知，小球受重力、两侧铁夹的弹力以及摩擦力作用，根据平衡条件可知，小球在竖直方向上受到的摩擦力与重力大小相等、方向相反，故A错误，B正确；增大铁夹对小球的压力，以及水平移动铁夹，由于小球在竖直方向受力始终平衡，故摩擦力大小不变，故C、D错误。
2．[体现学以致用](多选)正常情况下，打印机进纸系统能做到“每次只进一张纸”，进纸系统的结构示意图如图所示，设刚好有20张相同的纸，每张纸的质量均为m，搓纸轮按图示方向转动带动最上面的第1张纸向右运动。搓纸轮与纸张之间的动摩擦因数为μ1，纸张与纸张之间、纸张与底部摩擦片之间的动摩擦因数均为μ2，工作时搓纸轮给第1张纸的压力大小为F。打印机正常工作时，下列说法正确的是( )
A．第2张纸受到第1张纸的摩擦力方向向右
B．第10张纸与第11张纸之间的摩擦力大小为μ2(F＋10mg)
C．第20张纸与摩擦片之间的摩擦力为0
D．要做到“每次只进一张纸”，应要求μ1＞μ2
解析：选AD 第1张纸上表面受到搓纸轮施加的静摩擦力f的方向向右，第1张纸下表面受到第2张纸施加的滑动摩擦力f′的方向向左，第2张纸受到第1张纸的摩擦力方向向右，即有f′＝μ2(mg＋F)；因为f′＜μ1F，故必有μ1＞μ2，故A、D正确；第10张纸与第11张纸之间及第20张纸与摩擦片之间的摩擦力是静摩擦力，根据平衡条件可知，两力大小均为f′，故B、C错误。
3．[联系生活实际]轮椅分为电动和手动轮椅，是用于伤员、病员、残疾人居家康复、周转运输、就诊、外出活动的重要移动工具。如图是一款手动轮椅，该轮椅共有4个轮子，人用双手推动手轮圈，轮椅向前运动。关于地面对4个轮子的摩擦力，下列说法正确的是( )
A．前轮、后轮受到的摩擦力都向前
B．前轮、后轮受到的摩擦力都向后
C．前轮受到的摩擦力向前，后轮受到的摩擦力向后
D．前轮受到的摩擦力向后，后轮受到的摩擦力向前
解析：选D 因人在后轮用力，则后轮给地面一个向后的摩擦力，由牛顿第三定律知，后轮受到地面的摩擦力向前；前轮相对地面有向前运动的趋势，则前轮受到的摩擦力向后。
4．[渗透五育教育(体育)](多选)如图所示，某运动员拖动汽车轮胎进行体能训练，运动员通过绳子对静止在水平地面上的轮胎施加作用力F，F斜向上并与水平方向成37°角，大小由零逐渐增大。已知轮胎质量为26 kg，与地面间的动摩擦因数为0.4，且轮胎受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为10 m/s2。则( )
A．轮胎与地面间的摩擦力逐渐减小
B．轮胎与地面间的摩擦力先增大后减小
C．轮胎与地面间的摩擦力最大值为80 N
D．轮胎与地面间的摩擦力最大值为104 N
解析：选BC 当力F较小时，轮胎处于静止状态，此时轮胎与地面间的静摩擦力大小为Ff＝Fcs 37°，摩擦力随F增大而增大；当力F较大时，轮胎做加速运动，此时轮胎与地面间的滑动摩擦力的大小为Ff′＝μ(mg－Fsin 37°)，摩擦力随F增大而减小，因此，轮胎与地面间的摩擦力先增大后减小，A错误，B正确；当轮胎刚要滑动时，轮胎与地面间的静摩擦力最大，此时，对轮胎由平衡条件得Fcs 37°＝Ffm＝μ(mg－Fsin 37°)，解得最大静摩擦力Ffm＝80 N，C正确，D错误。
[课时跟踪检测]
一、立足主干知识，注重基础性和综合性
1．(多选)如图所示，人在跑步机上跑步时，下列说法正确的是( )
A．鞋受到的摩擦力是静摩擦力
B．鞋受到的摩擦力是滑动摩擦力
C．鞋受到的摩擦力方向与人相对跑带运动的方向相反
D．鞋受到的摩擦力方向与人相对跑带运动的方向相同
解析：选AD 人在跑步机上跑步时，鞋和跑步机之间无相对滑动，则鞋受到的摩擦力是静摩擦力，A正确，B错误；因鞋相对跑步机有向后滑动的趋势，则鞋受到的静摩擦力向前，即与人相对跑带运动的方向相同，C错误，D正确。
2．躺椅在生活中用途广泛，图甲中人双脚离地而坐，图乙中人双脚着地而坐。两图中位于水平地面上的人和椅子都保持静止状态，下列说法正确的是( )
A．图甲中的人对躺椅的压力是由椅子发生形变产生的
B．图甲中的人不同的躺姿会改变躺椅对人的合力
C．图乙中人的脚用力蹬地时，躺椅对人背部摩擦力一定沿椅面向上
D．图乙中人的脚用力蹬地时，脚对地的摩擦力大小与躺椅对地的摩擦力大小相等
解析：选D 题图甲中的人对躺椅的压力是由人发生形变产生的，A错误；题图甲中的人不同的躺姿，躺椅对人的作用力均与人的重力大小相等，方向相反，B错误；题图乙中人的脚用力蹬地时，如果人的背部相对于躺椅有向上运动的趋势时，人背部所受摩擦力一定沿椅面向下，C错误；以人和躺椅整体为研究对象，题图乙中人的脚用力蹬地时，地对脚的摩擦力和地对躺椅的摩擦力等大反向，D正确。
3．小明将一辆后轮驱动的电动小汽车，按图示方法置于两个平板小车上，三者置于水平实验桌上。当小明用遥控器启动小车向前运动后，他看到两个平板小车也开始运动，下列标出的平板小车运动方向正确的是( )
解析：选C 用遥控器启动小车向前运动，后轮是主动轮，将顺时针转动，所以左侧平板小车对后轮的摩擦力向右，后轮对左侧平板小车的摩擦力向左，因此左侧平板小车向左运动；前轮是从动轮，所以右侧平板小车对前轮的摩擦力向左，前轮对右侧平板小车的摩擦力向右，因此右侧平板小车向右运动，C正确，A、B、D错误。
4.(2023·长沙调研)如图所示，在桌面上放置一张纸和一瓶矿泉水，矿泉水瓶静止在纸面上，如果突然迅速向右拉动纸的一边，将纸片拉出，而矿泉水瓶相对桌面的位置几乎没变。下列说法正确的是( )
A．纸片对矿泉水瓶摩擦力的方向向左
B．矿泉水瓶相对纸片向左运动
C．拉动纸片越快，矿泉水瓶受到的摩擦力越大
D．拉动纸片越快，矿泉水瓶受到的摩擦力越小
解析：选B 纸片相对矿泉水瓶向右运动，故矿泉水瓶相对纸片向左运动，则纸片对矿泉水瓶的摩擦力方向向右，A错误，B正确；将纸片拉出过程中，纸片与矿泉水瓶间的摩擦力是滑动摩擦力，根据滑动摩擦力公式Ff＝μFN，可知滑动摩擦力的大小只与动摩擦因数、正压力有关，与纸片运动的快慢无关，故C、D错误。
5.固定水平板的两端分别装有定滑轮A、B，物块P放在平板上，两段细线分别绕过定滑轮连接在物块P上，两细线的另一端连接在质量为m的小球Q上，P、Q均处于静止，BQ段的细线竖直，重力加速度为g，则物块P受到平板的摩擦力大小( )
A．等于0 B．等于mg
C．小于mg D．大于mg
解析：选B BQ段的细线竖直，所以AQ段细线上没有拉力，即BQ段的细线的拉力等于mg，根据平衡条件，物块P受到平板的摩擦力大小等于mg，故选B。
6.一种运送货物的小平板推车如图所示。某工人使用此小推车运送货物的过程中，下列说法正确的是( )
A．当工人拉着小推车在水平地面上做匀速直线运动时，地面对小推车无摩擦力
B．当工人拉着小推车在水平地面上做匀速直线运动时，小推车对货物的摩擦力方向与前进方向一致
C．若工人拉着小推车水平前进过程中突然减速，此时小推车对货物的摩擦力方向与前进方向相反
D．小推车的速度增大的过程中，加速度也一定在增大
解析：选C 当小推车在水平地面上做匀速直线运动时，货物在水平方向上不受力，小推车对货物没有摩擦力，但地面对小推车有摩擦力，故A、B错误；若工人拉着小推车水平前进过程中突然减速，则小推车对货物产生向后的摩擦力，C正确；小推车的加速度与小推车所受的合力有关，与其速度没有必然的关系，因此D错误。
7.(多选)如图所示，某中学新校区装修时，工人用质量为m的磨石对斜壁进行打磨，当对磨石施加方向竖直向上、大小为F的推力时，磨石恰好沿斜壁向上匀速运动，已知磨石与斜壁之间的动摩擦因数为μ，则磨石受到的摩擦力大小为( )
A．μ(F－mg)cs θ B．μ(F－mg)sin θ
C．(F－mg)cs θ D．μ(F－mg)
解析：选BC 磨石受重力、推力、斜壁的弹力及摩擦力而处于平衡状态，由图可知，F一定大于重力；先将重力与向上的推力合成后，将二者的合力向垂直于斜面方向及沿斜面方向分解，可得在沿斜面方向有：f＝(F－mg)cs θ；在垂直于斜面方向上有：FN＝(F－mg)sin θ；则f＝(F－mg)cs θ＝μ(F－mg)sin θ，故B、C正确。
8.“电动平衡车”是时下热门的一种代步工具。如图，人站在“电动平衡车”上在某水平地面上沿直线匀速前进，人受到的空气阻力与速度成正比，下列说法正确的是( )
A．“电动平衡车”对人的作用力竖直向上
B．“电动平衡车”对人的作用力大小大于空气阻力大小
C．不管速度多大，“电动平衡车”对人的作用力大小相同
D．不管速度多大，地面对“电动平衡车”摩擦力大小相同
解析：选B “电动平衡车”对人的作用力与空气阻力的合力与人的重力等大反向，“电动平衡车”对人的作用力与空气阻力的合力方向竖直向上，“电动平衡车”对人的作用力不是竖直向上，故A错误；“电动平衡车”在水平方向对人的作用力等于空气阻力，竖直方向对人的作用力等于人的重力，所以“电动平衡车”对人的作用力大于空气阻力，故B正确；速度越大，人受到的空气阻力越大，“电动平衡车”对人水平方向的作用力越大，所以“电动平衡车”对人的作用力越大，故C错误；以人和“电动平衡车”整体为研究对象，竖直方向受到支持力和重力，水平方向受到地面的摩擦力和空气的阻力，速度越大，空气阻力越大，地面对“电动平衡车”摩擦力越大，故D错误。
9．如图(a)，滑块在与水平方向夹角为37°斜向上的拉力F作用下，沿水平桌面做匀速直线运动。将该桌面倾斜成与水平方向夹角为37°，保持拉力的方向不变，大小变为2F，如图(b)，滑块恰好沿倾斜桌面向上做匀速直线运动。滑块与桌面间的动摩擦因数是( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),3)
解析：选A 设滑块质量为m，当滑块沿水平桌面做匀速直线运动，据平衡条件可得，在水平、竖直方向分别有Fcs 37°＝μFN1，Fsin 37°＋FN1＝mg；当滑块沿倾斜桌面向上做匀速直线运动，沿斜面方向、垂直斜面方向分别有2F＝mgsin 37°＋μFN2，FN2＝mgcs 37°，联立可解得μ＝eq \f(3,4)，A正确。
二、强化迁移能力，突出创新性和应用性
10．(多选)有一种圆珠笔，内部有一根小弹簧。如图所示，当笔杆竖直放置时，在圆珠笔尾部的按钮上放一个100 g的砝码，砝码静止时，弹簧压缩量为2 mm。现用这支圆珠笔水平推一本放在水平桌面上质量为900 g的书，当按钮压缩量为3.6 mm(未卡住且未超过弹簧的弹性限度)时，这本书恰好匀速运动。下列说法正确的是(g取10 m/s2)( )
A．笔内小弹簧的劲度系数是500 N/m
B．笔内小弹簧的劲度系数是50 N/m
C．书与桌面间的动摩擦因数是0.02
D．书与桌面间的动摩擦因数是0.2
解析：选AD 由于砝码处于静止状态，则kΔx＝mg，所以有k＝eq \f(mg,Δx)＝500 N/m，A正确，B错误；要使书恰好能匀速运动，则kΔx′＝μm′g，代入数据解得μ＝0.2，C错误，D正确。
11．(2023·大庆高三调研)如图所示，倾角θ＝37°的斜面固定在水平面上，一质量M＝1 kg的物块C受平行于斜面向上、大小为9 N的轻质橡皮筋的拉力F的作用，平行于斜面的轻绳一端固定在物块C上，另一端跨过光滑定滑轮连接A、B两个小物块，物块C处于静止状态。已知物块C与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，mA＝0.2 kg，mB＝0.3 kg，g取10 m/s2。剪断A、B间轻绳后，关于物块C受到的摩擦力，下列说法正确的是(sin 37°＝0.6)( )
A．滑动摩擦力，方向沿斜面向下，大小为4 N
B．滑动摩擦力，方向沿斜面向下，大小为5 N
C．静摩擦力，方向沿斜面向下，大小为1 N
D．静摩擦力，方向沿斜面向下，大小为3 N
解析：选C 开始时物块C受静摩擦力作用，大小为f＝(mA＋mB)g＋Mgsin 37°－F＝2 N，方向沿斜面向上；剪断A、B间轻绳后，假设C仍静止，则此时C所受的静摩擦力大小为f′＝F－(mAg＋Mgsin 37°)＝1 N，方向沿斜面向下，因为1 N＜2 N，可知物块C仍处于静止状态，即C受到静摩擦力，方向沿斜面向下，大小为1 N。
12.如图所示，一辆运送沙子的自卸卡车装满沙子，沙粒之间的动摩擦因数为μ1，沙子与车厢底板间的动摩擦因数为μ2(μ2＞μ1)，车厢的倾角用θ表示，下列说法正确的是( )
A．要顺利地卸干净全部沙子，应满足tan θ＜μ2
B．要顺利地卸干净全部沙子，应满足sin θ＞μ2
C．只卸去部分沙子，车上还留有一部分沙子，应满足μ2＞tan θ＞μ1
D．只卸去部分沙子，车上还留有一部分沙子，应满足tan θ＞μ2＞μ1
解析：选C 要顺利地卸干净全部沙子，对沙子整体分析，有Mgsin θ＞μ2Mgcs θ，即μ2＜tan θ，A、B均错误；若只卸去部分沙子，对滑下的部分沙子，有：mgsin θ＞μ1mgcs θ，即μ1＜tan θ，对留下的部分沙子，有：m′gsin θ＜μ2m′gcs θ，即：μ2＞tan θ，故C正确，D错误。
13．(多选)如图所示，斜面体固定在水平地面上，一物块静止在斜面上，物块上端连接一轻弹簧，现用沿斜面向上、大小为F＝kt的拉力拉轻弹簧的上端，则弹簧的弹力F′、物块受到的摩擦力Ff随时间变化的图像正确的是(时间足够长，斜面足够长，设沿斜面向上为正方向，物块与斜面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力)( )
解析：选AD 弹簧的弹力始终等于拉力F，即F′＝kt，故A正确，B错误；物块开始受到的是静摩擦力，且大小为mgsin α，方向向上，在拉力F增大的过程中，静摩擦力的大小变化满足F＋Ff＝mgsin α，随着F的增大，静摩擦力先向上均匀减小到零，再向下均匀增大，当增大到等于最大静摩擦力时，再增大拉力，摩擦力变为滑动摩擦力，大小保持恒定，故C错误，D正确。
14．如图甲所示，水平粗糙桌面上两个相同的条形磁铁的异名磁极正对放置，起初均静止。已知两磁铁间吸引力F随两磁铁间距离x变化的图像如图乙所示，每根磁铁质量均为m＝0.2 kg，与桌面间动摩擦因数均为μ＝0.5，两磁铁起初距离为20 cm，现在用手控制A，先用水平力让它缓缓向B靠近，当发现B开始运动时，立即改用竖直向下的压力压住A使其保持静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，在B向A靠近过程中，以下说法正确的是( )
A．当x＝5 cm时，B将开始运动
B．当x＝4 cm时，B的加速度为10 m/s2
C．竖直向下压力的最大值一定不小于4 N
D．B运动过程中加速度可能达到28 m/s2
解析：选C B受到桌面的滑动摩擦力f＝μmg＝0.5×0.2×10 N＝1.0 N，当A对B的吸引力等于滑动摩擦力时，B开始滑动，由题图乙可知，当x＝4 cm时，B开始滑动，且加速度为零，故A、B错误；当x＝0时，吸引力F＝3.0 N最大，要使A不动，应满足桌面对A的摩擦力fA＝μ(mg＋FN)≥F，可得FN≥4 N，故C正确；当x＝0即F＝3.0 N时，B的加速度最大，根据牛顿第二定律，F－f＝ma，B的最大加速度为10 m/s2，故D错误。
15．(2023·忻州高三检测)如图所示，一长方形木板放置在水平地面上，在木板的上方有一条竖直挡板，挡板的两端固定于水平地面上，挡板跟木板之间并不接触。现在有一个方形物块在木板上沿挡板以某一速度运动，同时长方形木板以相同大小的速度向左运动，木板的运动方向与竖直挡板垂直，已知物块跟竖直挡板和水平木板间的动摩擦因数分别为μ1和μ2，物块的质量为m，则竖直挡板对物块的摩擦力大小为( )
A．0 B.eq \f(\r(2),2)μ1μ2mg
C.eq \f(1,2)μ1μ2mg D.eq \r(2)μ1μ2mg
解析：选B 因为v1和v2数值大小相等，以木板为参考系，物块相对于木板的运动方向如图中v物，则tan θ＝1，得θ＝45°。木板对物块的摩擦力方向与v物方向相反，如图所示。木板对物块的摩擦力大小Ff＝μ2mg，挡板对物块的支持力FN＝Ff·sin 45°＝eq \f(\r(2),2)μ2mg，挡板对物块的摩擦力Ff′＝μ1FN＝eq \f(\r(2),2)μ1μ2mg，故B项正确。
第3讲 力的合成和分解
一、共点力 合力和分力
1．共点力
几个力如果都作用在物体的同一点，或它们的作用线相交于一点，这几个力叫作共点力。
2．合力和分力
(1)定义：假设一个力单独作用的效果跟某几个力共同作用的效果相同，这一个力就叫作那几个力的合力，那几个力叫作这一个力的分力。
(2)关系：合力和分力是等效替代的关系。
二、力的合成
1．定义：求几个力的合力的过程。
2．运算法则
(1)平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力时，以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向。如图甲所示。
(2)三角形定则：把两个矢量首尾相接，从而求出合矢量的方法。如图乙所示。
三、力的分解
1．定义：求一个已知力的分力的过程。
2．运算法则：平行四边形定则或三角形定则。
3．两种分解方法：正交分解法和效果分解法。
四、矢量和标量
1．矢量：既有大小又有方向，运算时遵从平行四边形定则的物理量。
2．标量：只有大小，没有方向，运算时遵从算术法则的物理量。,eq \a\vs4\al(情境创设)
如图甲所示，两个小孩分别用F1、F2提着一桶水，水桶静止；如图乙所示，一个大人单独用力F提着同一桶水，水桶静止。
微点判断
(1)F1和F2是共点力。(√)
(2)F1和F2的共同作用效果与F的作用效果相同。(√)
(3)合力F与分力F1、F2之间满足平行四边形定则。(√)
(4)水桶的重力就是F1、F2两个力的合力。(×)
(5)几个力的共同作用效果可以用一个力代替。(√)
(6)在进行力的合成与分解时，要应用平行四边形定则或三角形定则。(√)
(7)两个力的合力一定比任一分力大。(×)
(8)合力与分力是等效替代关系，因此受力分析时不要重复分析。(√)
(一) 力的合成(固基点)
[题点全练通]
1．[合力的范围]
(多选)一物体静止于水平桌面上，两者之间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N。下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是( )
A．物体所受静摩擦力可能为2 N
B．物体所受静摩擦力可能为4 N
C．物体可能仍保持静止
D．物体一定被拉动
解析：选ABC 两个2 N的力的合力范围为0～4 N，然后与3 N的力合成，则三力的合力范围为0～7 N，由于最大静摩擦力为5 N，因此可判定选项A、B、C正确，D错误。
2．[作图法求合力]
一物体受到三个共面共点力F1、F2、F3的作用，三力的矢量关系如图所示(小方格边长相等)，则下列说法正确的是( )
A．三力的合力有最大值F1＋F2＋F3，方向不确定
B．三力的合力有唯一值3F3，方向与F3同向
C．三力的合力有唯一值2F3，方向与F3同向
D．由题给条件无法求合力大小
解析：选B 先以力F1和F2为邻边作平行四边形，其合力与F3共线，大小F12＝2F3，如图所示，F12再与第三个力F3合成求合力F合，可得F合＝3F3，故选B。
3．[计算法求合力]
(2022·重庆高考)如图所示，吸附在竖直玻璃上质量为m的擦窗工具，在竖直平面内受重力、拉力和摩擦力(图中未画出摩擦力)的共同作用做匀速直线运动。若拉力大小与重力大小相等，方向水平向右，重力加速度为g，则擦窗工具所受摩擦力( )
A．大小等于mg B．大小等于eq \r(2)mg
C．方向竖直向上 D．方向水平向左
解析：选B 擦窗工具在竖直玻璃平面上受到重力、拉力和摩擦力，做匀速直线运动，则摩擦力大小等于重力和拉力的合力，拉力大小等于重力，即F摩＝eq \r(2)mg，方向斜向左上方与水平方向夹角为45°，故B正确，A、C、D错误。
[要点自悟明]
1．合力大小范围的确定
(1)两个共点力的合力大小范围：|F1－F2|≤F≤F1＋F2。
(2)三个共点力的合力大小范围
①最大值：三个力同向时，其合力最大，为Fmax＝F1＋F2＋F3。
②最小值：以这三个力的大小为边，如果能组成封闭的三角形(三个力首尾相接)，则其合力的最小值为零，即Fmin＝0；如果不能，则合力的最小值为Fmin＝F1－|F2＋F3|(F1为三个力中最大的力)
2．共点力合成的常用方法
(二) 力的分解(精研点)
1．力的分解的原则
(1)选用哪一种方法进行力的分解要视情况而定，一般来说，当物体受到三个或三个以下的力时，常按实际效果进行分解，若受到三个力中，有两个力互相垂直，可选用正交分解法。
(2)当物体受到三个以上的力时，常用正交分解法。
2．力的效果分解法的步骤
方法1 力的效果分解法
[例1] 某压榨机的结构示意图如图所示，其中B为固定铰链，若在A铰链处作用一垂直于墙壁的力F，则由于力F的作用，使滑块C压紧物体D，设C与D光滑接触，杆的重力及滑块C的重力不计，图中a＝0.6 m，b＝0.1 m，则物体D所受压力的大小与力F的比值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[解析] 设力F与AC方向间的夹角为θ，将力F按作用效果沿AB和AC两个方向进行分解，作出力的分解图如图甲所示。由几何关系得2F1cs θ＝F，则得F1＝F2＝eq \f(F,2cs θ)，再将F2按作用效果分解为FN和FN′，作出力的分解图如图乙所示。由几何关系得FN＝F2sin θ，联立得到FN＝eq \f(Ftan θ,2)，根据几何知识得tan θ＝eq \f(a,b)＝6，得到FN＝3F，故A正确，B、C、D错误。
[答案] A
[针对训练]
1.如图所示，一卡车沿倾角为15°的下坡路段匀速行驶，一质量为m的匀质圆筒置于车厢内两固定光滑斜面之间，两斜面 Ⅰ 、 Ⅱ 与车厢底板的夹角分别为30°和60°，圆筒对斜面 Ⅰ 、 Ⅱ 压力的大小分别为F1、F2，则( )
A．F1＝eq \f(\r(2),2)mg、F2＝eq \f(\r(2),2)mg
B．F1＝eq \f(\r(3),2)mg、F2＝eq \f(1,2)mg
C．F1＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4)mg、F2＝eq \f(\r(6)－\r(2),4)mg
D．F1＝eq \f(\r(3),3)mg、F2＝eq \f(\r(3),2)mg
解析：选A 对圆筒受力分析如图所示，由几何关系可得F2与竖直方向夹角为45°，由平衡条件可得F1＝mgcs 45°＝eq \f(\r(2),2)mg，F2＝mgsin 45°＝eq \f(\r(2),2)mg，所以A正确，B、C、D错误。
1．定义：将已知量按相互垂直的两个方向进行分解的方法。
2．建轴原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(使尽量多的力分布在坐标轴上)；在动力学中，往往以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。
3．解题方法：首先把各力向相互垂直的x轴、y轴上分解，然后分别对x轴方向和y轴方向列式求解。方法2 力的正交分解法
[例2] 如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比eq \f(F1,F2)为( )
A．cs θ＋μsin θ B．cs θ－μsin θ
C．1＋μtan θ D．1－μtan θ
[解析] 物体在力F1作用下和力F2作用下运动时的受力如图所示。将物体受力沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，由平衡条件可得：F1＝mgsin θ＋Ff1，FN1＝mgcs θ，Ff1＝μFN1；F2cs θ＝mgsin θ＋Ff2，FN2＝mgcs θ＋F2sin θ，Ff2＝μFN2，解得：F1＝mgsin θ＋μmgcs θ，F2＝eq \f(mgsin θ＋μmgcs θ,cs θ－μsin θ)，故eq \f(F1,F2)＝cs θ－μsin θ，B正确。
[答案] B
[针对训练]
2．(2022·浙江6月选考)如图所示，一轻质晒衣架静置于水平地面上，水平横杆与四根相同的斜杆垂直，两斜杆夹角θ＝60°。一重为G的物体悬挂在横杆中点，则每根斜杆受到地面的( )
A．作用力为eq \f(\r(3),3)G B．作用力为eq \f(\r(3),6)G
C．摩擦力为eq \f(\r(3),4)G D．摩擦力为eq \f(\r(3),8)G
解析：选B 设斜杆的弹力大小为F，以水平横杆和重物为整体，竖直方向根据受力平衡可得4Fcs 30°＝G，解得F＝eq \f(\r(3),6)G，以其中一斜杆为研究对象，其受力如图所示。可知每根斜杆受到地面的作用力应与F平衡，即大小为eq \f(\r(3),6)G，每根斜杆受到地面的摩擦力为f＝Fsin 30°＝eq \f(\r(3),12)G，B正确，A、C、D错误。
(三) “活结”与“死结”、“动杆”与“定杆”模型(精研点)
一、“活结”与“死结”模型
[例1·“活结”模型] 王同学用光滑的硬钢丝弯折成“”形状，将它竖直固定放置。OB是竖直方向，BC是水平方向，角AOB等于30°，一个光滑的轻环套在足够长OA上，一根足够长的轻绳一端固定在OB上的M点，轻绳穿过小环，另一端吊着一个质量为m的物体，下列说法正确的是( )
A．OA杆受到小环的压力大小为2 mg
B．OA杆受到小环的压力大小为eq \r(3)mg
C．绳端从M点移到B点绳子张力变大
D．绳端从B点水平向左移到N点绳子张力大小不变
[解析] 对悬挂的重物受力分析可知，绳子中的拉力始终与重物重力平衡，F＝mg，故无论绳子左端点如何移动，绳子中的张力大小都保持不变，C错误，D正确；小环受力情况如图所示，由几何关系可知，小环两侧绳子夹角为120°，故N＝F＝mg，由牛顿第三定律可知，OA杆受到小环的压力大小为mg，A、B错误。
[答案] D
[例2·“死结”模型] (2022·辽宁高考)如图所示，蜘蛛用蛛丝将其自身悬挂在水管上，并处于静止状态。蛛丝OM、ON与竖直方向夹角分别为α、β(α>β)。用F1、F2分别表示OM、ON的拉力，则( )
A．F1的竖直分力大于F2的竖直分力
B．F1的竖直分力等于F2的竖直分力
C．F1的水平分力大于F2的水平分力
D．F1的水平分力等于F2的水平分力
[解析] 对O点受力分析如图所示，由几何关系可知，F1的竖直分力小于F2的竖直分力，F1的水平分力等于F2的水平分力，故A、B、C错误，D正确。
[答案] D
[模型建构]
二、“动杆”与“定杆”模型
[例3] 如图1所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；如图2所示，轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，在轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：
(1)细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比；
(2)轻杆BC对C端的支持力；
(3)轻杆HG对G端的支持力。
[解析] 题图1和图2中的两个物体M1、M2都处于平衡状态，根据平衡的条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析，如图甲和乙所示，根据平衡规律可求解。
(1)图甲中细绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，细绳AC段的拉力FTAC＝FTCD＝M1g，图乙中细绳GF段的拉力FTGF＝M2g，由FTEGsin 30°＝FTGF，得FTEG＝2M2g，所以eq \f(FTAC,FTEG)＝eq \f(M1,2M2)。
(2)图甲中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡规律有F NC＝FTAC＝M1g，方向与水平方向成30°角，指向右上方。
(3)图乙中，根据平衡规律有FTEGsin 30°＝M2g，FTEGcs 30°＝F NG，所以F NG＝M2gct 30°＝eq \r(3)M2g，方向水平向右。
[答案] (1)M1∶2M2 (2)M1g，方向与水平方向成30°角指向右上方 (3)eq \r(3)M2g，方向水平向右
[模型建构]
1．[联系生活实际](2022·广东高考)如图是可用来制作豆腐的石磨。木柄AB静止时，连接AB的轻绳处于绷紧状态。O点是三根轻绳的结点，F、F1和F2分别表示三根绳的拉力大小，F1＝F2且∠AOB＝60°。下列关系式正确的是( )
A．F＝F1 B．F＝2F1
C．F＝3F1 D．F＝eq \r(3)F1
解析：选D 对O点受力分析如图所示。因F1＝F2，由物体的平衡条件得F＝2F1cs 30°，即F＝eq \r(3)F1，D正确，A、B、C错误。
2．[体现学以致用]剪式千斤顶的截面图如图所示。四根等长的支持臂用光滑铰链连接，转动手柄，通过水平螺纹轴减小MN间的距离，以抬高重物。保持重物不变，MP和PN夹角为120°时N点受到螺纹轴的作用力为F1；MP和PN夹角为60°时N点受到螺纹轴的作用力为F2。不计支持臂和螺纹轴的重力，则F1与F2大小之比为( )
A．1∶1 B．1∶3
C.eq \r(3)∶1 D．3∶1
解析：选D 当两臂间的夹角为120°时，两臂受到的压力为N1＝eq \f(G,2cs 60°)＝G，对N点分析，N点受到螺纹轴的作用力为F1＝2N1cs 30°＝eq \r(3)G，当两臂间的夹角为60°时，两臂受到的压力为N2＝eq \f(G,2cs 30°)＝eq \f(\r(3),3)G，对N点分析，N点受到螺纹轴的作用力为F2＝2N2cs 60°＝eq \f(\r(3),3)G，则有eq \f(F1,F2)＝3∶1，故A、B、C错误，D正确。
3．[渗透五育教育(体育)]推进“健康中国”建设，是全面提升中华民族健康素质、实现人民健康与经济社会协调发展的国家战略。其中单杠是一项大众喜闻乐见的体育健身运动，如图所示，健身者上杠后，双手缓慢向外分开的过程中，下列说法正确的是( )
A．健身者所受的合力增大
B．健身者手臂所受的拉力增大
C．健身者所受重力是手臂拉力的分力
D．健身者所受重力和双臂的合力是一对作用力和反作用力
解析：选B 根据题意知，健身者双手缓慢分开的过程中，健身者处于平衡状态，所受的合力为零，A错误；由于双臂与竖直方向夹角增大，由力的平衡可知健身者手臂所受的拉力增大，B正确；健身者所受重力是由于地球的吸引而受到的力，方向竖直向下，手臂拉力斜向上方，重力不是手臂拉力的分力，C错误；健身者所受重力和双臂的合力不是一对作用力和反作用力，是一对平衡力，D错误。
4.[树立民族自信]
(多选)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可。一游僧见之曰：无烦也，我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身。假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力FN，则( )
A．若F一定，θ大时FN大
B．若F一定，θ小时FN大
C．若θ一定，F大时FN大
D．若θ一定，F小时FN大
解析：选BC 根据力F的作用效果将力F分解为垂直于木楔两侧的力FN，如图所示。则eq \f(\f(F,2),FN)＝sin eq \f(θ,2)，即FN＝eq \f(F,2sin \f(θ,2))，所以当F一定时，θ越小，FN越大；当θ一定时，F越大，FN越大。故B、C正确。
5．[体现学以致用]巨型海轮到达目的地需要靠泊时，靠自身操作比较困难，需要拖船帮忙移动。如图，有三条拖船通过缆绳牵引巨型海轮。假设某时刻三条拖船通过缆绳施加的拉力均为F，三条缆绳与水平面夹角均为37°。三条缆绳与巨型海轮作用点在水平面投影如图中所示，中间拖船和投影点的连线与船身垂直；两边拖船和投影点的连线与船身夹角均为30°。已知sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，则巨型海轮受到三条拖船拉力的水平合力为( )
A．3F B．1.8F C．2.4F D．1.6F
解析：选D 两边缆绳施加的拉力沿水平方向的分力均为F1＝Fcs 37°＝0.8F，且夹角为120°，所以两分力的合力为F合1＝F1＝0.8F，方向与中间拖船施加的拉力沿水平方向的分力方向相同。中间拖船施加的拉力沿水平方向的分力为F2＝Fcs 37°＝0.8F，则巨型海轮受到三个拖船拉力的水平合力为F合＝F合1＋F2＝1.6F。
[课时跟踪检测]
一、立足主干知识，注重基础性和综合性
1.我国海军在南海某空域举行实兵对抗演练。如图所示，某一直升机在匀速水平飞行过程中遇到突发情况，立即改为沿虚线方向斜向下减速飞行，则空气对其作用力可能是( )
A．F1 B．F2
C．F3 D．F4
解析：选A 因为直升机沿虚线方向斜向下减速飞行，故合力沿虚线斜向上，直升机受到竖直向下的重力以及空气作用力，要想使合力沿虚线斜向上，则根据矢量合成法则可得空气对其作用力可能为F1，故A正确。
2．(2023·随州高三调研)三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们合力F的大小，下列说法正确的是( )
A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B．F至少比F1、F2、F3中的某一个力大
C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
解析：选C 三个大小分别是F1、F2、F3的共点力合成后的最大值一定等于F1＋F2＋F3，但最小值不一定等于零，只有当某一个力的大小在另外两个力的合力范围内时，这三个力的合力才可能为零，故选项A、B、D错误，C正确。
3.如图所示，水平长为L、重为G的长方体工件放在水平地面上，弹性绳(可等效成轻弹簧)两端系在工件的两端，用光滑吊钩吊着弹性绳，当弹性绳刚要绷紧时，吊钩两侧弹性绳与水平方向的夹角θ为37°，将吊钩缓慢向上提起，当工件刚好要离开地面时，吊钩两侧弹性绳与水平方向的夹角θ为53°，弹性绳始终在弹性限度内，sin 37°＝0.6，则弹性绳的劲度系数为( )
A.eq \f(G,2L) B.eq \f(G,L)
C.eq \f(3G,2L) D.eq \f(2G,L)
解析：选C 当工件刚要离开地面时，弹性绳的伸长量为x＝eq \f(L,cs 53°)－eq \f(L,cs 37°)＝eq \f(5,12)L，设弹性绳上的弹力为F，则有2Fsin 53°＝G，解得F＝eq \f(5,8)G，则弹性绳的劲度系数为k＝eq \f(F,x)＝eq \f(3G,2L)，选项C正确。
4．图甲为家庭常用的燃气灶实物图，灶面上有一个支架。共有四个均匀分布的支承面，对放在上面的厨具起到支撑作用。现把一个蒸锅放在支架上，并抽象成示意图乙，已知支架的每个支面与水平方向成α角。蒸锅和里面的食物总计重为G，则每个支承面给蒸锅的支持力为(忽略蒸锅和支承面之间的摩擦力)( )
A.eq \f(G,4) B.eq \f(G,4cs α)
C.eq \f(G,4sin α) D.eq \f(G,4tan α)
解析：选B 对蒸锅进行受力分析可得4F支cs α＝G，解得F支＝eq \f(G,4cs α)，A、C、D错误，B正确。
5．甲同学用双手捏取了长为10 cm的细线，并将双手靠近，乙同学将质量为0.5 kg的物体用光滑挂钩挂在细线的中点。甲同学按如图所示的方式缓慢增大双手间的距离，当手指所捏之处位于水平直尺上两个三角形标记的位置时，细线恰好被拉断，则细线所能承受的最大拉力约为( )
A．2 N B．4 N
C．5 N D．8 N
解析：选C 对结点受力分析，如图所示。
由图可知LAB＝(13.80－5.00)cm＝8.80 cm、LOA＝5.00 cm，此时由平衡可得2Tcs θ＝mg，且cs θ＝eq \f(\r(LOA2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(LAB,2)))2),LOA)≈0.47，联立解得T≈5 N，即细线所能承受的最大拉力约为5 N，故选C。
6．(2023·长沙模拟)如图所示，一固定的直木棒与水平面的夹角α＝37°，穿在直木棒上的两个小球A、B通过一条跨过定滑轮的轻绳相连接，定滑轮通过轻杆固定于天花板下方，且它的转轴为O，平衡时OA绳与直木棒的夹角也为α，OB绳竖直。定滑轮的大小、质量均不计，小球孔的内径略大于直木棒的直径，所有摩擦均可忽略，cs 37°＝0.8，sin 37°＝0.6，下列说法正确的是( )
A．平衡时，轻绳对B球的作用力大于B球的重力
B．轻杆对定滑轮的作用力竖直向上
C．小球A、B的质量之比为3∶4
D．小球A的重力与轻绳的拉力大小之比为4∶3
解析：选D 对B球受力分析可知，B球受到重力、轻绳的拉力，如果直木棒对B球有弹力，B球不可能平衡，故直木棒对B球没有作用力，轻绳对B球的拉力等于B球的重力，A错误；定滑轮受两侧轻绳的拉力和轻杆对它的作用力而平衡，由于两个拉力大小相等，合力在角平分线上，根据平衡条件可知，轻杆对定滑轮的作用力应斜向左上方，B错误；设轻绳的拉力大小为T，则有T＝mBg，分析A球受力情况可知Tcs α＝mAgsin α，联立解得mA∶mB＝4∶3，mAg∶T＝4∶3，C错误，D正确。
7．(多选)将力F分解为两个力，已知力F的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为eq \f(\r(3),3)F，方向未知，则F1的大小可能是( )
A.eq \f(\r(3)F,3) B.eq \f(\r(3)F,2)
C.eq \f(2\r(3)F,3) D.eq \r(3)F
解析：选AC 如图所示，因F2＝eq \f(\r(3),3)F>Fsin 30°，故F1的大小有两种可能情况，由ΔF＝eq \r(F22－Fsin 30°2)＝eq \f(\r(3),6)F，即F1的大小分别为Fcs 30°－ΔF和Fcs 30°＋ΔF，即F1的大小分别为eq \f(\r(3),3)F和eq \f(2\r(3),3)F，A、C正确。
8.蹦床可简化为如图所示的完全相同的网绳构成的正方形，点O、a、b、c、…为网绳的结点。当网水平张紧时，若质量为m的运动员从高处竖直落下，并恰好落在O点，当该处下凹至最低点时，网绳aOe、cOg均成120°向上的张角，此时O点受到的向下的冲击力为F，则这时O点周围每根网绳的拉力的大小为( )
A.eq \f(F,4) B.eq \f(F,2)
C.eq \f(F＋mg,4) D.eq \f(F＋mg,2)
解析：选B 设每根网绳的拉力大小为F′，由几何关系知，对结点O有4F′cs 60°＝F，解得F′＝eq \f(F,2)，B正确。
9．(多选)如图所示，在竖直平面内，固定有半圆弧轨道，其两端点M、N连线水平。将一轻质小环A套在轨道上，一细线穿过轻环A，一端系在M点，另一端系一质量为m的小球，小球恰好静止在图示位置。不计所有摩擦，重力加速度大小为g。下列说法正确的是( )
A．轨道对轻环的支持力大小为mg
B．细线对M点的拉力大小为eq \f(\r(3),2)mg
C．细线对轻环的作用力大小为eq \r(3)mg
D．N点和轻环的连线与竖直方向的夹角为30°
解析：选CD 轻环两边细线的拉力大小相等，均为FT＝mg，轻环两侧细线的拉力与轻环对圆弧轨道的压力的夹角相等，设为θ，由OA＝OM知∠OMA＝∠MAO＝θ，则3θ＝90°，θ＝30°，轻环受力平衡，则轨道对轻环的支持力大小FN＝2mgcs 30°＝eq \r(3)mg，A错误；细线对M点的拉力大小为mg，B错误；细线对轻环的作用力大小为FN′＝FN＝eq \r(3)mg，C正确；由几何关系可知，N点和轻环的连线与竖直方向的夹角为30°，D正确。
10．(2023·广州高三调研)科学地佩戴口罩，对于新冠肺炎、流感等呼吸道传染病具有预防作用，既保护自己，又有利于公众健康。如图所示为一侧耳朵佩戴口罩的示意图，一侧的口罩带是由直线AB、弧线BCD和直线DE组成的。假若口罩带可认为是一段劲度系数为k的弹性轻绳，在佩戴好口罩后弹性轻绳被拉长了x，此时AB段与水平方向的夹角为37°，DE段与水平方向的夹角为53°，弹性绳涉及的受力均在同一平面内，忽略一切摩擦，已知sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，则下列说法正确的是( )
A．耳朵对口罩带的作用力方向与水平方向夹角为37°
B．耳朵对口罩带的作用力方向与水平方向夹角为53°
C．耳朵受到的口罩带的作用力大小为2kx
D．耳朵受到的口罩带的作用力大小为eq \f(7\r(2),5)kx
解析：选D 根据牛顿第三定律，耳朵对口罩带的作用力与口罩带对耳朵的作用力大小相等、方向相反，上侧的口罩带对耳朵作用力与水平方向夹角为37°，由此可知，耳朵对上侧的口罩带的作用力与水平方向夹角为37°。同理，耳朵对下侧的口罩带的作用力与水平方向夹角为53°，这两个力大小均为kx，二力夹角为53°－37°＝16°，直接求合力计算较复杂，把两个力向水平方向和竖直方向分解，求出水平方向合力大小为eq \f(7,5)kx，竖直方向合力大小也为eq \f(7,5)kx，求出总合力大小为eq \f(7\r(2),5)kx，方向与水平方向夹角为45°，A、B、C错，D对。
二、强化迁移能力，突出创新性和应用性
11.如图，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点(b点高于a点)，悬挂衣服的衣架钩是光滑的，将衣服从靠近b端挂上晾衣绳，衣服最终静止时(未与地面接触)，绳对a点和b点的拉力大小分别为Fa和Fb，已知衣服(含衣架)所受重力为G，绳长L与两杆间距d的关系式为eq \f(d,L)＝eq \f(\r(3),2)，则( )
A．Fa＜Fb＜G B．Fa＝Fb＝G
C．Fa＞Fb＞G D．Fa＝Fb＜G
解析：选B 由于悬挂衣服的衣架钩是光滑的，则两边绳子是同一根绳子，两边拉力处处相等，有Fa＝Fb＝F，由对称性可知，静止时，两边绳子与竖直方向的夹角θ相同，由平衡条件可得2Fcs θ＝G，由几何关系可得sin θ＝eq \f(d,L)，由题意有eq \f(d,L)＝eq \f(\r(3),2)，联立解得F＝G，所以B正确，A、C、D错误。
12．如图所示，一固定的细直杆与水平面的夹角为α＝15°，一个质量忽略不计的小轻环C套在直杆上，一根轻质细绳的两端分别固定于直杆上的A、B两点，细绳依次穿过小环甲、小轻环C和小环乙，且小环甲和小环乙分别在小轻环C的两侧。调节A、B间细绳的长度，当系统处于静止状态时β＝45°。不计一切摩擦。设小环甲的质量为m1，小环乙的质量为m2，则m1∶m2等于( )
A．tan 15° B．tan 30°
C．tan 60° D．tan 75°
解析：选C 绳子的张力处处相等，水平方向只受绳子的拉力的分力而平衡，所以小环左右两边绳子与竖直方向的夹角是相同的。对乙受力分析并由几何知识可知绳子的张力T＝m2g；对环C受力分析可知其受到左右两段绳子的作用力和杆AB的作用力，由于不存在摩擦力，所以杆AB对环C的作用力垂直于杆，那么两段绳子对环C的作用力的合力也垂直于杆AB，又因为绳子的张力处处相等，由几何关系可知C环左侧绳子与杆AB的夹角为45°，再对甲受力分析可得m1g＝eq \r(3)T，则m1∶m2＝eq \r(3)＝tan 60°，故C项正确。
13.在港珠澳大桥建设中，将一根根直径D＝22 m，高H＝40.5 m的钢筒，打入海底围成人工岛，创造了快速筑岛的世界纪录。钢筒质量为M，起重机用如图所示的8根对称分布的、长为L＝22 m的钢索将其吊起，并处于静止状态，则每根钢索受到的拉力大小为( )
A.eq \f(1,8)Mg B.eq \f(1,4)Mg
C.eq \f(\r(3),24)Mg D.eq \f(\r(3),12)Mg
解析：选D 由于钢筒的直径为22 m，钢索的长为22 m，则每两根对称钢索与直径构成等边三角形，所以每根钢索与竖直方向的夹角为30°；设每根钢索受到的拉力大小为F，在竖直方向根据平衡条件可得8Fcs 30°＝Mg，所以F＝eq \f(\r(3)Mg,12)。
14.刀、斧、凿等切削工具的刃部叫作劈，如图所示是用斧头劈木柴的示意图。劈的纵截面是一个等腰三角形，使用劈的时候，垂直劈背加一个力F，这个力产生两个作用效果，使劈的两个侧面推压木柴，把木柴劈开。设劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，不计斧头的自身重力，则劈的侧面推压木柴的力约为( )
A.eq \f(d,l)F B.eq \f(l,d)F
C.eq \f(l,2d)F D.eq \f(d,2l)F
解析：选B 斧头劈木柴时，设两侧面推压木柴的力分别为F1、F2，且F1＝F2，利用几何三角形与力的三角形相似，有eq \f(d,F)＝eq \f(l,F1)，得劈的侧面推压木柴的力F1＝F2＝eq \f(l,d)F，所以B正确，A、C、D错误。
15.如图所示，人屈膝下蹲时，膝关节弯曲的角度为θ，设此时大、小腿部的肌群对膝关节的作用力F的方向水平向后，且大腿骨、小腿骨对膝关节的作用力大致相等，那么脚掌所受地面竖直向上的弹力约为( )
A.eq \f(F,2sin\f(θ,2)) B.eq \f(F,2cs\f(θ,2))
C.eq \f(F,2tan\f(θ,2)) D.eq \f(F,2)taneq \f(θ,2)
解析：选D 设大腿骨、小腿骨对膝关节的作用力为F1，则他们之间的夹角为θ，F即为他们合力的大小，则有2F1cseq \f(θ,2)＝F，脚掌所受地面竖直向上的弹力约为N＝F1sineq \f(θ,2)，联立可得：N＝eq \f(F,2)taneq \f(θ,2)。
16．如图所示为汽车的机械式手刹(驻车器)系统的结构示意图，结构对称。当向上拉动手刹拉杆时，手刹拉索(不可伸缩)就会拉紧，拉索OD、OC分别作用于两边轮子的制动器，从而实现驻车的目的。则以下说法正确的是( )
A. 当OD、OC两拉索夹角为60°时，三根拉索的拉力大小相等
B．拉动手刹拉杆时，拉索AO上拉力总比拉索OD和OC中任何一个拉力大
C．若在AO上施加一恒力，OD、OC两拉索夹角越小，拉索OD、OC拉力越大
D．若保持OD、OC两拉索拉力大小不变，OD、OC两拉索越短，拉动拉索AO越省力
解析：选D 当OD、OC两拉索夹角为120°时，三根拉索的拉力大小才相等，A错误；拉动手刹拉杆时，当OD、OC两拉索夹角大于120°时，拉索AO上拉力总比拉索OD和OC中任何一个拉力小，B错误；根据平行四边形定则可知，若在AO上施加一恒力，OD、OC两拉索夹角越小，拉索OD、OC拉力越小，C错误；若保持OD、OC两拉索拉力大小不变，OD、OC两拉索越短，则两力夹角越大，合力越小，即拉动拉索AO越省力，D正确。
(一) 物体的受力分析
受力分析的三种方法
[针对训练]
1．[假设法分析物体受力]
(多选)如图所示，固定斜面上有一光滑小球，与一竖直轻弹簧P和一平行斜面的轻弹簧Q连接着，小球处于静止状态，则关于小球所受力的个数可能的是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选BCD 设小球质量为m，若FP＝mg，则小球只受拉力FP和重力mg两个力作用；若FP2．[状态法分析物体受力]
如图所示是翠鸟俯冲捕捉小鱼的精彩画面。如果整个俯冲过程翠鸟做加速直线运动，用O表示翠鸟，G表示翠鸟受到的重力，F表示空气对它的作用力，下列四幅图中能正确表示此过程中翠鸟受力情况的是( )
解析：选A 根据题意，翠鸟做加速直线运动，所以翠鸟所受合力方向与速度方向相同，根据平行四边形定则分析可知，只有A选项中重力与F的合力的方向有可能与速度方向相同，B、C、D中合力的方向一定与速度方向有夹角，翠鸟不可能做直线运动。所以A正确，B、C、D错误。
3．[转换法分析物体受力]
(多选)如图所示，在恒力F作用下，a、b两物体一起沿粗糙竖直墙面匀速向上运动，则关于它们的受力情况，下列说法正确的是( )
A．a一定受到4个力
B．b可能受到4个力
C．a与墙壁之间一定有弹力和摩擦力
D．a与b之间一定有摩擦力
解析：选AD 将a、b看成整体，其受力图如图甲所示，说明a与墙壁之间没有弹力和摩擦力作用；对物体b进行受力分析，如图乙所示，b受到3个力作用，再对物体a分析，可知a受到4个力作用，A、D正确。
(二) 解答静态平衡问题的三种常用方法
方法1 合成法与分解法
1．合成法：物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反。
2．分解法：物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按作用效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件。
[例1] 如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心。一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点。设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ。下列关系式正确的是( )
A．F＝eq \f(mg,tan θ) B．F＝mgtan θ
C．FN＝eq \f(mg,tan θ) D．FN＝mgtan θ
[解析] 法一：合成法
滑块受力如图甲所示，由平衡条件知：eq \f(mg,F)＝tan θ，eq \f(mg,FN)＝sin θ，解得F＝eq \f(mg,tan θ)，FN＝eq \f(mg,sin θ)。
法二：分解法
将滑块所受重力按产生的效果分解，如图乙所示，F＝G2＝eq \f(mg,tan θ)，FN＝G1＝eq \f(mg,sin θ)。
[答案] A
[例2] (2023·深圳调研)被誉为“中国天眼”的射电天文望远镜(FAST)如图所示，质量为3×104 kg的馈源舱用对称的六索六塔装置悬吊在球面镜正上方，相邻塔顶的水平距离为300 m，每根连接塔顶和馈源舱的绳索长600 m，不计绳索重力，则每根绳索承受的拉力大约为( )
A．4×105 N B．6×104 N
C．1×105 N D．3×104 N
[解析] 将各塔顶连接起来，得到正六边形，由几何关系可得馈源舱到塔顶的水平距离等于相邻塔顶的水平距离为300 m，则可知每根绳索与竖直方向的夹角为30°，设每根绳索承受的拉力为F，则拉力F在竖直方向向上的分力为Fcs 30°，由平衡条件可得6Fcs 30°＝mg，解得F＝eq \f(mg,6cs 30°)≈6×104 N，所以B正确，A、C、D错误。
[答案] B
方法2 正交分解法
物体受到三个或三个以上共点力的作用而平衡时，将物体所受的力沿互相垂直的方向分解，每个方向上的力都满足力的平衡条件。
[例3] 如图所示，倾角为30°的斜面固定在水平地面上，斜面
上放有一重力为G的物块A，有一水平轻弹簧一端固定在竖直墙面上，另一端与物块A接触。若物块A静止时受到沿斜面向下的摩擦力大小为eq \f(G,2)，此时弹簧的弹力大小是( )
A.eq \f(\r(3),3)G B.eq \f(2\r(3),3)G
C．G D.eq \f(3＋\r(3),3)G
[解析] 对A进行受力分析，利用正交分解法对力进行分解，如图所示：在沿斜面方向，根据平衡条件：Fcs 30°＝f＋Gsin 30°，而f＝eq \f(G,2)，解得F＝eq \f(2\r(3),3)G，故B正确，A、C、D错误。
[答案] B
方法3 力的三角形法
对受三个共点力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力。
[例4] (2023·重庆高三模拟)如图所示，一轻杆两端固定两个小球A、B，A球的质量是B球质量的3倍，轻绳跨过滑轮连接A和B，一切摩擦不计，平衡时OA和OB的长度之比为( )
A．1∶2 B．2∶1
C．1∶3 D．1∶4
[解析] 设绳上拉力为FT，OA长L1，OB长L2，过O点做竖直向下的辅助线交AB为C点，如图所示，利用力的三角形和几何三角形相似，有eq \f(FT,mAg)＝eq \f(L1,OC)，eq \f(FT,mBg)＝eq \f(L2,OC)，解得eq \f(L1,L2)＝eq \f(1,3)，故A、B、D错误，C正确。
[答案] C
(三) 多物体的平衡问题
多物体平衡问题的常用解题方法
[典例] (2023·黑龙江鹤岗月考)如图甲所示，A、B两小球通过轻绳连接并悬挂于O点，已知两轻绳OA和AB的长度之比为eq \r(3)∶1，A、B两小球质量分别为2m和m，现对A、B两小球分别施加水平向右的力F1和水平向左的力F2，两球恰好处于如图乙的位置静止，此时B球恰好在悬点O的正下方，轻绳OA与竖直方向成30°，则( )
A．F1＝F2 B．F1＝eq \r(3)F2
C．F1＝2F2 D．F1＝3F2
[解析] 由题意知两轻绳OA和AB的长度之比为eq \r(3)∶1，B球恰好在悬点O的正下方，轻绳OA与竖直方向成30°，由几何关系可知，OA与AB垂直；以B球为研究对象，受力示意图如图1所示，由平衡条件得F2＝mgtan (90°－30°)＝eq \r(3)mg；以A、B两球整体为研究对象，受力示意图如图2所示，由平衡条件得F1－F2＝3mgtan 30°＝eq \r(3)mg，可得F1＝2eq \r(3)mg，即F1＝2F2，故C正确。
[答案] C
[微点拨]
整体法和隔离法的灵活选择
(1)当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情况及分析外力对系统的作用时，宜用整体法。
(2)在分析系统内各物体(或一个物体各部分)间的相互作用时，宜用隔离法。
(3)整体法和隔离法不是独立的，对一些较复杂问题，通常需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法。
[针对训练]
1．[隔离法的应用]
(2021·海南高考)如图，V型对接的绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面夹角均为α＝60°，其中斜面N光滑。两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则P与M间的动摩擦因数至少为( )
A.eq \f(\r(3),6) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),3)
解析：选D 滑块Q在光滑斜面N上静止，则P与Q带电同性，设两者之间的库仑斥力为F，两滑块的受力分析和角度关系如图所示，对滑块Q在沿着斜面方向有mgcs 30°＝Fcs 30°，可得F＝mg，P与M间动摩擦因数最小时有N2＝F＋mgsin 30°，f＝μN2，f＝mgcs 30°，联立解得μ＝eq \f(\r(3),3)，故D正确。
2．[整体法与隔离法的综合应用]
(2022·浙江1月选考)如图所示，水平放置的电子秤上有一磁性玩具，玩具由哑铃状物件P和左端有玻璃挡板的凹形底座Q构成，其重量分别为GP和GQ。用手使P的左端与玻璃挡板靠近时，感受到P对手有靠向玻璃挡板的力，P与挡板接触后放开手，P处于“磁悬浮”状态(即P和Q的其余部分均不接触)，P与Q间的磁力大小为F。下列说法正确的是( )
A．Q对P的磁力大小等于GP
B．P对Q的磁力方向竖直向下
C．Q对电子秤的压力大小等于GQ＋F
D．电子秤对Q的支持力大小等于GP＋GQ
解析：选D 由题意可知，因手使P的左端与玻璃挡板靠近时，感受到P对手有靠向玻璃挡板的力，即Q对P有水平向左的磁力；P与挡板接触后放开手，P处于“磁悬浮”状态，则说明Q对P有竖直向上的磁力，则Q对P的磁力方向斜向左上方向，其磁力F大于GP，A、B错误；对P和Q的整体受力分析，竖直方向电子秤对Q的支持力大小等于GP＋GQ ，即Q对电子秤的压力大小等于GP＋GQ，C错误，D正确。
[课时跟踪检测]
1.矢量发动机是喷口可向不同方向偏转以产生不同方向推力的一种发动机。当歼20隐形战斗机以速度v斜向上飞行时，其矢量发动机的喷口如图所示。已知飞机受到重力G、发动机推力F1、与速度方向垂直的升力F2和与速度方向相反的空气阻力Ff。下列受力分析示意图可能正确的是( )
解析：选A 由题给信息可知，升力F2与速度方向垂直；空气阻力Ff与速度方向相反，故A项正确。
2.如图所示，总重力为G的吊灯用三条长度相同的轻绳悬挂在天花板上，每条轻绳与竖直方向的夹角均为θ，则每条轻绳对吊灯的拉力大小为( )
A.eq \f(G,3cs θ) B.eq \f(G,3sin θ)
C.eq \f(1,3)Gcs θ D.eq \f(1,3)Gsin θ
解析：选A 对吊灯，由平衡条件可知：3FTcs θ＝G，解得FT＝eq \f(G,3cs θ)，故A正确。
3.如图所示，对称晾挂在光滑等腰三角形衣架上的衣服质量为M，衣架顶角为120°，重力加速度为g，则衣架右侧对衣服的作用力大小为( )
A.eq \f(1,2)Mg B.eq \f(\r(3),3)Mg
C.eq \f(\r(3),2)Mg D．Mg
解析：选B 以衣服为研究对象，受力分析如图所示，由几何关系得F与竖直方向的夹角为30°，由共点力的平衡条件可得，2Fcs 30°＝Mg，解得F＝eq \f(\r(3),3)Mg，故选项B正确。
4．(2022·湖南高考)2022年北京冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛场地边，有一根系有飘带的风力指示杆，教练员根据飘带的形态提示运动员现场风力的情况。若飘带可视为粗细一致的匀质长绳，其所处范围内风速水平向右、大小恒定且不随高度改变。当飘带稳定时，飘带实际形态最接近的是( )
解析：选A 将飘带等分成n小段，每段质量均为m，每段所受风力大小为F。由下向上数，第1段受力如图1所示，设mg与F的合力方向与水平方向的夹角为θ，根据平衡条件可知，第2段对第1段的拉力F1与水平方向的夹角为θ。第2段受力如图2所示，F1′为第1段对第2段的反作用力，由于mg与F的合力为F1，且F1′与F1等大反向，可知mg、F、F1′三者的合力为2F1，且合力与水平方向的夹角为θ，可知第3段对第2段的拉力F2＝2F1，方向与水平方向的夹角为θ。以此类推，可知每小段之间的相互作用力在同一直线上，故飘带实际形态最接近直线，故A正确，B、C、D错误。
5.磁吸式手机架是一种通过磁力固定住手机的支架，它的优点是体型小巧，不挤占空间，可以随意固定在任何地方，调整角度也非常灵活，如图所示为静止在水平面上的磁吸式手机架和手机。关于此情境，下列说法正确的是( )
A．若手机质量为m，当地重力加速度为g，手机平面与水平面夹角为θ，则手机架对手机的支持力为mgcs θ
B．若仅将该手机改为竖屏放置(不改变吸盘角度且手机不接触水平面)，则手机架的支持力变小，手机容易滑落
C．手机架对手机的作用力竖直向上
D．只有当手机架的吸盘水平放置时，手机架和水平面才没有摩擦力
解析：选C 对手机受力分析，手机受到支持力、磁力、摩擦力和自身的重力共四个力的作用，垂直吸盘向下的磁力和重力垂直吸盘向下的分力的合力与垂直吸盘向上的支持力相等，故支持力大于mgcs θ，A错误；手机不论是横屏放置还是竖屏放置，吸盘角度不变，则支持力不变，B错误；手机处于平衡状态，由平衡条件可知，手机架对手机的作用力与重力平衡，方向竖直向上，C正确；对手机和手机架整体分析知，水平方向不受外力，不论吸盘的角度如何，手机架和水平面都没有摩擦力，D错误。
6．(2023·合肥高三调研)如图所示，斜面的倾角为30°，轻绳一端固定于天花板，另一端通过两个滑轮与物块甲相连，动滑轮悬挂物块乙后，甲、乙保持静止，此时动滑轮两边轻绳的夹角为120°。已知甲的质量为m，甲与斜面间的动摩擦因数为eq \f(\r(3),6)，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，不计滑轮的质量及轻绳与滑轮的摩擦，则乙的质量可能为( )
A.eq \f(1,6)m B.eq \f(1,2)m
C．m D.eq \r(2)m
解析：选B 当甲恰好不下滑时，对甲由力的平衡条件得T＋μmgcs 30°＝mgsin 30°，解得T＝eq \f(1,4)mg，对乙根据平衡条件得2Tcs 60°＝m乙g，解得m乙＝eq \f(1,4)m；当甲恰好不上滑时，对甲由力的平衡条件得T′＝μmgcs 30°＋mgsin 30°，解得T′＝eq \f(3,4)mg，对乙根据平衡条件得2T′cs 60°＝m乙′g，解得m乙′＝eq \f(3,4)m。故乙的质量取值范围为eq \f(1,4)m≤m乙≤eq \f(3,4)m，B正确。
7.(多选)如图所示，倾角为θ、上表面粗糙的斜面体C置于水平地面上，小物块B置于斜面上，通过细绳跨过光滑的定滑轮与物块A相连接，连接B的一段细绳与斜面平行，已知A、B、C都处于静止状态。则( )
A．B受到C的摩擦力一定不为零
B．C受到水平地面的摩擦力一定为零
C．斜面体C有沿水平地面向右滑动的趋势，一定受到地面施加的向左的摩擦力
D．将细绳剪断，若B依然静止在斜面上，此时水平地面对C的摩擦力为0
解析：选CD A与B质量关系未知，若绳对B的拉力恰好与B的重力沿斜面向下的分力平衡，则B与C间的摩擦力为零，A错误；将B和C看成一个整体，则B和C受到细绳向右上方的拉力作用，水平方向上有向右的分力，故C有向右滑动的趋势，一定受到水平地面施加的向左的摩擦力，B错误，C正确；将细绳剪断，若B依然静止在斜面上，利用整体法判断，B、C系统在水平方向不受其他外力作用，处于平衡状态，则水平地面对C的摩擦力为0，D正确。
8.如图所示，OA、OB是竖直平面内两根光滑的金属杆，且AO⊥OB，OA与水平方向呈60°角。小球a、b分别套在OA和OB两根杆上，其质量均为m，某位置系统处于平衡状态，弹簧与金属杆OB呈60°角。已知重力加速度为g，弹簧的劲度系数为k。则以下说法中错误的是( )
A．此时弹簧处于压缩状态，且其压缩量等于eq \f(mg,k)
B．小球a受到OA杆的弹力大小为mg
C．小球b受到OB杆的弹力大小为eq \r(3)mg
D．向下移动小球b至O点，待系统再次平衡后，弹簧压缩量变为eq \f(mg,2k)
解析：选D 如图甲所示，对小球a受力分析，设弹簧对小球的弹力大小为FN，OA杆对小球a的弹力大小为FNA，设FN与水平方向的夹角为θ1，FNA与水平方向的夹角为θ2。根据图中的几何关系有θ1＝θ2＝30°，根据物体的平衡条件有FNcs θ1＝FNAcs θ2，FNsin θ1＋FNAsin θ2＝mg，求得FN＝FNA＝mg，根据胡克定律，弹簧的压缩量为Δx＝eq \f(FN,k)＝eq \f(mg,k)，故A、B正确；如图乙所示，对小球b受力分析，根据如上分析，其所受弹簧的弹力FN也为mg，OB杆对小球b的弹力为FNB，设FNB与水平方向的夹角为θ3，FN与水平方向的夹角为θ4。根据图中的几何关系有θ3＝60°，θ4＝30°，根据物体的受力平衡条件有FNBcs θ3＝FNcs θ4，求得FNB＝eq \r(3)mg，故C正确；如图丙所示，当将小球b移动至O点后对小球a受力分析，设mg与垂直于OA杆方向的夹角为θ5。根据图中的几何关系有θ5＝60°，根据物体的受力平衡条件有FN′＝mgsin θ5，求得FN′＝eq \f(\r(3),2)mg，根据胡克定律，弹簧的压缩量为Δx′＝eq \f(FN,k)＝eq \f(\r(3)mg,2k)，故D错误。
(一) 解答动态平衡问题的三种常用方法
动态平衡指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，在问题描述中常用“缓慢”关键词。解决该类问题的总体思路是“化动为静，静中求动”。
方法1 解析法
对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
[例1] 某同学参加“筷子夹玻璃珠”游戏。如图所示，夹起玻璃珠后，左侧筷子与竖直方向的夹角θ为锐角，右侧筷子竖直，且两筷子始终在同一竖直平面内。保持玻璃珠静止不动，且忽略筷子与玻璃珠间的摩擦。左侧筷子对玻璃珠的弹力为F1，右侧筷子对玻璃珠的弹力为F2。玻璃珠的重力为G，下列说法正确的是( )
A．F1＜F2
B．F1＜G
C．保持右侧筷子竖直，玻璃珠仍静止，左侧筷子与竖直方向的夹角θ略微减小，则F1减小
D．保持右侧筷子竖直，玻璃珠仍静止，左侧筷子与竖直方向的夹角θ略微减小，则F2增大
[解析] 对玻璃珠受力分析如图所示，两侧筷子对玻璃珠的合力等于重力，由几何关系得F2＝eq \f(mg,tan θ)，F1＝eq \f(mg,sin θ)，左侧筷子对玻璃珠的弹力F1一定比玻璃珠的重力大，eq \f(F2,F1)＝cs θ<1，则F2[答案] D
[例2] (2022·河北高考)如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P点，将木板以底边MN为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中( )
A．圆柱体对木板的压力逐渐增大
B．圆柱体对木板的压力先增大后减小
C．两根细绳上的拉力均先增大后减小
D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变
[解析] 设两根细绳对圆柱体的拉力的合力为T，木板对圆柱体的支持力为N，从右向左看如图所示，在矢量三角形中，根据正弦定理得eq \f(sin α,mg)＝eq \f(sin β,N)＝eq \f(sin γ,T)，在木板以直线MN为轴向后方缓慢转动直至水平过程中，α不变，γ从90°逐渐减小到0，又γ＋β＋α＝180°，且α<90°，可知90°<γ＋β<180°，则0<β<180°，可知β从锐角逐渐增大到钝角，根据eq \f(sin α,mg)＝eq \f(sin β,N)＝eq \f(sin γ,T)，由于sin γ不断减小，可知T不断减小，sin β先增大后减小，可知N先增大后减小，结合牛顿第三定律可知，圆柱体对木板的压力先增大后减小，设两绳子之间的夹角为2θ，绳子拉力为T′，则2T′cs θ＝T，可得T′＝eq \f(T,2cs θ)，θ不变，T逐渐减小，可知绳子拉力不断减小，故B正确，A、C、D错误。
[答案] B
方法2 图解法
此法常用于求解三力平衡且有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题。一般按照以下流程解题：
eq \x(受力分析)eq \(――→,\s\up7(化“动”),\s\d5(为“静”))eq \x(画不同状态下的平衡图)eq \(――→,\s\up7(“静”中),\s\d5(求“动”))eq \x(确定力的变化)
[例3] (2023·福建南平质检) 如图，一粗糙的固定斜杆与水平方向成θ角，一定质量的滑环A静止悬挂在杆上某位置。现用一根轻质细绳AB一端与滑环A相连，另一端与小球B相连，且轻绳AB与斜杆垂直。另一轻质细绳BC沿水平方向拉小球B，使小球B保持静止。将水平细绳BC的C端沿圆弧缓慢移动到竖直位置，B的位置始终不变，则在此过程中( )
A．轻绳AB上的拉力先减小后增大
B．轻绳BC上的拉力先增大后减小
C．斜杆对A的支持力一直在减小
D．斜杆对A的摩擦力一直在减小
[解析] 由题意知，小球B处于平衡，对小球受力分析如图甲所示，BC由水平方向变到竖直方向，由矢量三角形的动态分析可以看出，轻绳BC上的拉力先减小后增大，轻绳AB上的拉力一直在减小，故A、B错误。滑环A处于静止，对A受力分析如图乙所示。
由于AB绳对A的拉力FT′一直在减小，故斜杆对A的支持力也一直在减小，斜杆对A的摩擦力一直等于mAgsin θ，保持不变，故C正确，D错误。
[答案] C
方法3 相似三角形法
在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。
[例4] (2023·大同高三模拟)如图所示，竖直墙壁O处用光滑铰链铰接一轻质杆的一端，杆的另一端固定小球(可以看成质点)，轻绳的一端悬于P点，另一端与小球相连。已知轻质杆长度为R，轻绳的长度为L，且R＜L＜2R。A、B是墙上两点，且OA＝
OB＝R。现将轻绳的上端点P沿墙壁缓慢下移至A点，此过程中轻绳对小球的拉力F1及轻质杆对小球的支持力F2的大小变化情况为( )
A．F1和F2均增大
B．F1保持不变，F2先增大后减小
C．F1和F2均减小
D．F1先减小后增大，F2保持不变
[解析] 小球受重力、轻绳的拉力和轻杆的支持力，由于平衡，三个力可以构成矢量三角形，如图所示。根据平衡条件，该力的矢量三角形与几何三角形POC相似，则有eq \f(G,PO)＝eq \f(F1,L)＝eq \f(F2,R)，解得F1＝eq \f(L,PO)G，F2＝eq \f(R,PO)G，当P点下移时，PO减小，L、R不变，故F1增大，F2增大。故选A。
[答案] A
(二) “三法”破解平衡中的临界和极值问题
临界问题是指当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述；极值问题是指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。解决平衡中的临界极值问题常用以下三种方法：
方法1 数学分析法
根据物体的平衡条件列方程，在解方程时利用数学知识求极值。通常用到的数学知识有二次函数求极值、讨论公式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等。
[例1] (2022·浙江1月选考)如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为θ，则下列说法正确的是( )
A．轻绳的合拉力大小为eq \f(μmg,cs θ)
B．轻绳的合拉力大小为eq \f(μmg,cs θ＋μsin θ)
C．减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小
D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小
[解析] 设轻绳的合拉力为T，地面对石墩的支持力为N，对石墩受力分析，由平衡条件可知 Tcs θ＝f，f＝μN，Tsin θ＋N＝mg，联立解得T＝eq \f(μmg,cs θ＋μsin θ)，A错误，B正确；轻绳的合拉力大小为T＝eq \f(μmg,cs θ＋μsin θ)＝eq \f(μmg,\r(1＋μ2)sinθ＋φ)，可知当θ＋φ＝90°时，轻绳的合拉力有最小值，即减小夹角θ，轻绳的合拉力不一定减小，C错误；摩擦力大小为f＝Tcs θ＝eq \f(μmgcs θ,cs θ＋μsin θ)＝eq \f(μmg,1＋μtan θ)，可知增大夹角θ，摩擦力一直减小，当θ趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小，D错误。
[答案] B
方法2 物理分析法
根据平衡条件作出力的矢量图，若只受三个力，则这三个力能构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。
[例2] 如图所示，重力都为G的两个小球A和B用三段轻绳连接后悬挂在O点上，O、B间的绳子长度是2l，A、B间的绳子长度是l。将一个拉力F作用到小球B上，使三段轻绳都伸直，同时O、A间和A、B间的两段轻绳分别处于竖直和水平方向上，则拉力F的最小值为( )
A.eq \f(1,2)G B.eq \f(\r(3),3)G C．G D.eq \f(2\r(3),3)G
[解析] 对小球A受力分析可知，因O、A间轻绳竖直，则A、B间轻绳上的拉力为0。对小球B受力分析如图所示，则可知当F与O、B间轻绳垂直时F最小，Fmin＝Gsin θ，其中sin θ＝eq \f(l,2l)＝eq \f(1,2)，则Fmin＝eq \f(1,2)G，故A正确。
[答案] A
方法3 极限分析法
首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。
[例3] 如图1所示，筷子是中国人常用的饮食工具，也是中华饮食文化的标志之一。筷子在先秦时称为“梜”，汉代时称“箸”，明代开始称“筷”。如图2所示，用筷子夹质量为m的小球，筷子均在竖直平面内，且筷子和竖直方向的夹角均为θ，为使小球静止，求每根筷子对小球的压力N的取值范围。已知小球与筷子之间的动摩擦因数为μ(μ＜tan θ)，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。
[解析] 筷子对小球的压力太小时，小球有下滑的趋势，最大静摩擦力沿筷子向上，如图甲所示。小球平衡时，有2Nsin θ＋2fcs θ＝mg
f＝μN
联立解得N＝eq \f(mg,2sin θ＋μcs θ)
筷子对小球的压力太大时，小球有上滑的趋势，最大静摩擦力沿筷子向下，如图乙所示。小球平衡时，有
2N′sin θ＝mg＋2f′cs θ
f′＝μN′
联立解得N′＝eq \f(mg,2sin θ－μcs θ)
综上，筷子对小球的压力的取值范围为：
eq \f(mg,2sin θ＋μcs θ)≤N≤eq \f(mg,2sin θ－μcs θ)。
[答案] eq \f(mg,2sin θ＋μcs θ)≤N≤eq \f(mg,2sin θ－μcs θ)
[课时跟踪检测]
1．(2023·广东珠海模拟)如图甲所示，10个人用20根等长的绳子拉起一个鼓，一端系在鼓上，一端用手拉住，每根绳子与竖直方向的夹角均相等，若绳子连接鼓的结点、拉绳子的手分别在其所在圆周上均等间距分布，鼓处于静止状态且鼓面水平，忽略绳子质量，简化图如图乙所示。现使鼓在绳子的作用下保持鼓面水平沿竖直方向缓慢下降，其他条件不变，则在鼓缓慢下降过程中，下列说法正确的是( )
A．绳子对鼓的合力变大
B．绳子对鼓的合力变小
C．每根绳子对人的作用力增大
D．每根绳子对人的作用力减小
解析：选D 鼓缓慢下降，处于动态平衡，绳子对鼓的合力等于鼓的重力，绳子对鼓的合力不变，A、B错误；根据平衡条件得20Fcs θ＝mg，解得F＝eq \f(mg,20cs θ)，鼓缓慢下降过程中绳子与竖直方向的夹角θ变小，cs θ变大，F减小，C错误，D正确。
2.如图所示，用AC、CD两根轻绳将物块悬于水平轻杆BC的下方，其中B为光滑转轴，C为结点，轻杆BC始终保持水平，重物静止不动。已知物块质量为m，重力加速度为g。设AC、CD绳的拉力分别为FAC、FCD。下列选项正确的是( )
A．FAC＞mg
B．FCD＞mg
C．若A点上移，则FAC变大
D．若A点下移，则FCD变大
解析：选A C点的受力如图所示，则有FACsin α＝FCD，FCD＝mg，则FAC＝eq \f(FCD,sin α)＝eq \f(mg,sin α)，所以FAC＞mg，故A正确，B、D错误；若A点上移，α变大，sin α变大，所以FAC变小，故C错误。
3．(多选)如图甲所示，用瓦片做屋顶是我国建筑的特色之一。铺设瓦片时，屋顶结构可简化为图乙所示，建筑工人将瓦片轻放在两根相互平行的檩条正中间，若瓦片能静止在檩条上，已知檩条间距离为d，以下说法正确的是( )
A．减小檩条间的距离d时，瓦片可能会下滑
B．减小檩条间的距离d时，瓦片与檩条间的弹力变大
C．减小檩条间的距离d时，瓦片与檩条间的弹力变小
D．增大檩条间的距离d时，瓦片与檩条间的摩擦力变大
解析：选AC 在檩条横截面方向，檩条给瓦片的支持力如图所示。两檩条给瓦片的支持力与垂直檩条向上的夹角为α，则有2Fcs α＝mgcs θ，减小檩条间的距离d时，夹角α变小，则两檩条给瓦片的支持力F变小，故瓦片与檩条间的弹力变小，最大静摩擦力变小，则瓦片可能下滑，故A、C正确，B错误；由以上分析可知，增大檩条间的距离d时，夹角α变大，瓦片与檩条间的弹力变大，最大静摩擦力变大，则瓦片不可能下滑，处于静止状态，则根据平衡条件可知，瓦片与檩条间的摩擦力将总等于mgsin θ保持不变，故D错误。
4.(2023·湖北武汉模拟)如图所示，一物块用一根不可伸长的细线悬挂于O点，在细线上的A点绑上另一根细线，在该细线上施加一与OA段细线始终垂直的力F，使物块缓慢移动到图示位置，C点为细线与物块的连接点，则( )
A．AC段细线上的拉力逐渐变大
B．OA段细线上的拉力逐渐减小
C．力F先变大后变小
D．OA段细线上拉力不可能与力F大小相等
解析：选B 分析可知AC段细线上的拉力始终等于物块的重力，A错误；设OA段细线与竖直方向的夹角为θ，结点A受力平衡，结合受力分析构建如图所示的矢量三角形，可得OA段细线上的拉力FOA＝mgcs θ，力F满足F＝mgsin θ，随着θ角的增大，可知FOA逐渐减小，力F逐渐增大，B正确，C错误；根据以上分析可知当θ等于45°时，OA段细线上的拉力与F大小相等，D错误。
5.将两个质量均为m的小球用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图所示。用力F拉右侧小球，使两个小球都处于静止状态，且细线Oa与竖直方向的夹角保持θ＝30°，则F达到最小值时Oa线上的拉力为( )
A.eq \r(3)mg B．mg
C.eq \f(\r(3),2)mg D.eq \f(1,2)mg
解析：选A 以两个小球组成的整体为研究对象，受力分析，作出F在三个方向时整体的受力图如图所示。根据平衡条件得知：F与T的合力与重力2mg总是大小相等、方向相反的，由力的合成图可知，当F与细线Oa垂直时，F有最小值，即图中2位置，根据平衡条件得Fmin＝2mgsin30°＝mg，此时T＝2mgcs30°＝eq \r(3)mg，故选A。
6．(多选)图1是工厂里的货物从车上面缓慢滑下的情景，现可以简化为如图2所示的模型，在墙壁与地面间放置一表面粗糙、质量分布均匀的木板斜面，假设竖直墙壁光滑，水平地面粗糙，现在一物块从斜面顶端沿斜面缓慢滑下，则在其滑至底端的过程中，下列说法正确的是( )
A．竖直墙壁对木板的弹力在变大
B．地面对木板的弹力在变大
C．地面对木板的摩擦力在变小
D．地面对木板的作用力在变小
解析：选CD 将木板与物块看作一个整体，地面对系统的作用力可当作一个力，系统相当于只受三个力的作用，当物块下滑时，系统重心下降，由题意知系统在三力作用下处于平衡状态，由共点力的特点可知，地面对系统的作用力与地面的夹角在增大，由矢量三角形可知，墙壁对系统的弹力在减小，地面对系统的作用力减小，地面对木板的弹力不变，故地面对木板的摩擦力在减小，所以A、B错误，C、D正确。
7.(多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α>\f(π,2)))。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中( )
A．MN上的张力逐渐增大
B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大
D．OM上的张力先增大后减小
解析：选AD 设重物的质量为m，绳OM中的张力为Teq \a\vs4\al(OM)，绳MN中的张力为TMN。开始时，Teq \a\vs4\al(OM)＝mg，TMN＝0。由于缓慢拉起，则重物一直处于平衡状态，两绳张力的合力与重物的重力mg等大、反向。如图所示，已知角α不变，在绳MN缓慢拉起的过程中，角β逐渐增大，则角(α－β)逐渐减小，但角θ不变，在三角形中，利用正弦定理得：eq \f(TOM,sinα－β)＝eq \f(mg,sin θ)，(α－β)由钝角变为锐角，则TOM先增大后减小，选项D正确；同理知eq \f(TMN,sin β)＝eq \f(mg,sin θ)，在β由0变为eq \f(π,2)的过程中，TMN一直增大，选项A正确。
8.如图所示，两个质量均为m的物体A、B放置在水平地面上，一根长为L、不可伸长的轻绳两端分别系在两物体上，初始时刻绳恰好伸直且无拉力，从某一时刻开始在绳的中点O施加一个竖直向上的拉力F，使两物体缓慢靠近，直至两物体接触。已知两物体与水平地面间的动摩擦因数均为eq \f(\r(3),3)，则在两物体缓慢靠近的过程中，下列说法正确的是( )
A．拉力F先减小后增大
B．物体B所受的摩擦力不变
C．地面对B物体的支持力先减小后增大
D．当两物体间的距离为eq \f(\r(3),2)L时，绳上的拉力最小
解析：选D 对中点O受力分析如图甲所示，由平衡条件得O点左、右两边的绳子拉力大小F1＝F2＝eq \f(F,2cs\f(α,2))，再对物体B受力分析如图乙所示，因A、B缓慢靠近，所以在水平方向上有F2sineq \f(α,2)＝f＝μFN，在竖直方向上有F2cseq \f(α,2)＋FN＝mg，联立解得F＝eq \f(2μmg,μ＋tan\f(α,2))，F2＝eq \f(mg,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,6))))，在两个物体逐渐靠近的过程中，α角逐渐减小，拉力F逐渐增大，以A、B组成的整体为研究对象，竖直方向上有F＋2FN＝2mg，在A、B缓慢靠近的过程中，拉力F一直增大，则地面对两个物体的支持力一直减小，A、C错误。α逐渐减小，F2先变小后变大，又f＝F2sineq \f(α,2)，所以f是变力，当eq \f(α,2)＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)时，F2最小，此时α＝eq \f(2,3)π，由几何关系可知，此时两物体之间的距离为eq \f(\r(3),2)L，B错误，D正确。
第6讲 实验：探究弹簧弹力与形变量的关系(重点实验)
一、理清原理与操作
二、掌握数据处理方法
三、扫描实验盲点
1．注意事项
(1)不要超过弹性限度：实验中弹簧下端挂的钩码不要太多，以免弹簧被过度拉伸，超过弹簧的弹性限度。
(2)尽量多测几组数据：要使用轻质弹簧，且要尽量多测几组数据。
(3)观察所描点的走向：本实验是探究性实验，实验前并不知道其规律，所以描点以后所作的曲线是试探性的，只是在分析了点的分布和走向以后才决定用直线来连接这些点。
(4)统一单位：记录数据时要注意弹力及弹簧伸长量的对应关系及单位。
2．误差分析
本实验通过探究弹簧弹力与弹簧形变量的关系，研究弹簧的弹力大小变化规律及求解弹簧的劲度系数，高考常常以弹簧自重对实验的影响、利用图像法处理实验数据等作为考查的关键点。
关键点(一) 是否需消除弹簧自重的影响
[考法感悟]
1．如图甲所示，用铁架台、弹簧和多个质量均为m的钩码探究在弹性限度内弹簧弹力与弹簧伸长量的关系。
(1)为完成实验，还需要的实验器材有：____________________________________。
(2)实验中需要测量的物理量有：_______________________________________________
________________________________________________________________________。
(3)图乙是弹簧弹力F与弹簧伸长量x的F-x图线，由此可求出弹簧的劲度系数为________N/m。图线不过原点是由于________________________________________________。
(4)为完成该实验，设计实验步骤如下：
A．以弹簧伸长量为横坐标，以弹力为纵坐标，描出各组(x，F)对应的点，并用平滑的曲线连接起来；
B．记下弹簧不挂钩码时其下端在刻度尺上的刻度l0；
C．将铁架台固定于桌子上，并将弹簧的一端系于横梁上，在弹簧附近竖直固定一把刻度尺；
D．依次在弹簧下端挂上1个、2个、3个、4个、……钩码，并分别记下钩码静止时弹簧下端所对应的刻度，并记录在表格内，然后取下钩码；
E．以弹簧伸长量为自变量，写出弹力与伸长量的关系式。首先尝试写成一次函数，如果不行，则考虑二次函数；
F．解释函数表达式中常数的物理意义；
G．整理仪器。
将以上步骤按操作的先后顺序排列：________________________________________________________________________。
解析：(1)根据实验原理可知还需要刻度尺来测量弹簧原长和伸长量。
(2)根据实验原理，实验中需要测量的物理量有弹簧的原长、弹簧所受外力与对应的伸长量(或与弹簧对应的长度)。
(3)取图像中(0.5,0)和(3.5,6)两个点，代入F＝kx，解得k＝200 N/m，由于弹簧自身的重力，使得弹簧不加外力时就有形变量。
(4)根据实验操作的合理性可知先后顺序为C、B、D、A、E、F、G。
答案：(1)刻度尺 (2)弹簧原长、弹簧所受外力与对应的伸长量(或与弹簧对应的长度) (3)200 弹簧自身的重力 (4)CBDAEFG
2．某同学利用图甲所示的装置测量轻弹簧的劲度系数。光滑的细杆(图中未画出)和直尺水平固定在铁架台上，一轻弹簧穿在细杆上，其左端固定，右端与细绳连接；细绳跨过光滑定滑轮，其下端可以悬挂钩码(实验中，每个钩码的质量均为m＝20.0 g)。弹簧右端连有一竖直指针，其位置可在直尺上读出。实验步骤如下：
①在绳下端挂上一个钩码，调整滑轮，使弹簧与滑轮间的细绳水平且弹簧与细杆没有接触；
②系统静止后，记录钩码的个数及指针的位置；
③逐次增加钩码个数，并重复步骤②(保持弹簧在弹性限度内)；
④用n表示钩码的个数，l表示相应的指针位置，作出l-n图像如图丙所示。
回答下列问题：
(1)某次挂上钩码后，指针的位置如图乙所示，则此时的读数为________cm。
(2)若当地的重力加速度g＝9.8 m/s2，则本实验中弹簧的劲度系数为________N/m(结果保留三位有效数字)。
解析：(1)毫米刻度尺的分度值为1 mm，需估读到0.1 mm，读数为10.95 cm；
(2)设弹簧原长为l0，弹簧的弹力为F＝nmg，弹簧的伸长量为l－l0，由胡克定律可知nmg＝k(l－l0)，解得l＝eq \f(nmg,k)＋l0，图像的斜率为eq \f(0.125－0.100,5) m＝eq \f(mg,k)，解得劲度系数k＝39.2 N/m。
答案：(1)10.95(10.93～10.97均可) (2)39.2
[系统建模]
1．因弹簧自身重力的影响，弹簧水平放置在桌面上和竖直悬挂在铁架台上的长度是不同的。
2．将弹簧水平穿在细杆上，且使弹簧与细杆没有接触，可以消除弹簧自身重力对实验结果的影响。
关键点(二) 区分F-x图像和F-l图像
[考法感悟]
1．下表是某同学在“探究弹簧弹力与形变量的关系”的实验中测得的几组数据，g取10 m/s2。
(1)请在如图所示的坐标纸上作出F-x图像。
(2)写出图线的函数表达式。
(3)解释函数表达式中常数的物理意义。
(4)若弹簧的原长L0＝40 cm，以弹簧的总长L为自变量，写出弹簧弹力F与L的关系表达式，并说明F-L图像和F-x图像的区别。
解析：(1)F-x图像如图所示。
(2)由F-x图像知，弹簧的弹力F与弹簧伸长量x成正比，在直线上取较远的两点代入k＝eq \f(ΔF,Δx)，可得直线的斜率k≈0.2 N/cm＝20 N/m。所以该弹簧的弹力与伸长量的关系的函数表达式为F＝kx＝20x(N)。
(3)弹簧的弹力与伸长量的关系的函数表达式为F＝20x，式中的常数表示弹簧每伸长1 m弹簧的弹力增大20 N，即实验中使用的弹簧的劲度系数为20 N/m。
(4)弹簧的总长为L，则弹簧伸长量x＝L－L0，根据(2)的结果有弹力F与L的关系表达式为F＝kx＝k(L－L0)＝20L－8(N)。所作的F-L图像在横轴上有截距，其物理意义为弹簧的原长，而F-x图像在横轴上没有截距。
答案：(1)见解析图 (2)F＝20x(N) (3)函数表达式中的常数表示弹簧每伸长1 m，弹簧的弹力增大20 N，是弹簧的劲度系数。 (4)F＝20L－8(N)，F-L图像在横轴上有截距，其物理意义为弹簧的原长，而F-x图像在横轴上没有截距
2．(2023·辽宁沈阳模拟)一兴趣小组想测量某根弹性绳的劲度系数(弹性绳的弹力与形变量遵守胡克定律)。他们设计了如图甲所示实验：弹性绳上端固定在细绳套上，结点为O，刻度尺竖直固定在一边，0刻度与结点O水平对齐，弹性绳下端通过细绳连接钩码，依次增加钩码的个数，分别记录下所挂钩码的总质量m和对应弹性绳下端P的刻度值x，如下表所示：
(1)请在图乙中，根据表中所给数据，充分利用坐标纸，选择适当的坐标，作出m-x图像；
(2)请根据图像数据确定：弹性绳的劲度系数约为________N/m；(重力加速度g取10 m/s2，结果保留三位有效数字)
(3)若实验中刻度尺的零刻度略高于弹性绳上端结点O，则由实验数据得到的劲度系数将________。(选填“偏小”“偏大”或“不受影响”)
解析：(1)作出m-x图像如图：
(2)根据图像数据确定：弹性绳原长约为5.20 cm，弹性绳的劲度系数约为k＝eq \f(F,Δx)＝eq \f(120×10－3×10,7.40－5.20×10－2) N/m≈54.5 N/m。
(3)若实验中刻度尺的零刻度略高于弹性绳上端结点O，则由实验数据得到的图像的斜率不变，劲度系数将不受影响。
答案：(1)见解析图 (2)54.5(53.5～55.5均正确)
(3)不受影响
[系统建模]
1．描点画线时，所描的点不一定都落在一条直线上，但应注意一定要使不在直线上的点均匀分布在直线两侧。
2．用图像法处理实验数据时，因所选取的坐标轴不同，图线特点也不同。如作F-x图像，图线为一条过原点的直线，如作F-l(l为弹簧长度)图线，图线为一条与l轴有交点的倾斜直线。
3．无论是F-x图像还是F-l图像，图线的斜率均表示弹簧(或弹性绳)的劲度系数。
1．(2023·青岛高三调研)某同学“探究弹簧弹力与形变量的关系”。
(1)将弹簧悬挂在铁架台上，将刻度尺固定在弹簧一侧，弹簧轴线和刻度尺都应在________方向(选填“水平”或“竖直”)。
(2)弹簧自然悬挂，待弹簧________时，长度记为L0；弹簧下端挂上砝码盘时，弹簧长度记为Lx；在砝码盘中每次增加10 g砝码，弹簧长度依次记为L1到L6，数据如下表。
表中有一个数值记录不规范，代表符号为______，由表可知所用刻度尺的最小分度为________。
(3)如图甲所示是该同学根据表中数据作出的图线，纵轴是砝码的质量，横轴是弹簧长度与______的差值(选填“L0”或“Lx”)。
(4)由图甲可知弹簧的劲度系数为________N/m；通过图和表可知砝码盘的质量为________g(结果保留两位有效数字，重力加速度g取9.8 N/kg)。
(5)如图乙所示是另一组同学实验得到弹簧弹力F与弹簧伸长量x的F-x图线，由此可求出该组同学所用弹簧的劲度系数为________N/m(结果保留三位有效数字)，图线不过原点的原因是______________________________________________。
解析：(1)为保证弹簧的拉力与砝码盘和砝码的重力大小相等，弹簧轴线和刻度尺均应在竖直方向；
(2)弹簧静止时，记录长度L0；表中的数据L3与其他数据有效数字位数不同，所以数据L3不规范，标准数据应读至cm单位的后两位小数，最后一位应为估读值，所以刻度尺的最小分度为1 mm；
(3)由题图甲知所挂砝码质量为0时，x为0，所以x＝L－Lx(L为弹簧长度)；
(4)由胡克定律F＝kx知，mg＝k(L－Lx)
即mg＝kx
所以图线斜率为eq \f(k,g)，则弹簧的劲度系数k＝eq \f(Δm,Δx)g＝eq \f(60－10×10－3×9.8,12－2×10－2) N/m＝4.9 N/m
同理，砝码盘的质量m0＝eq \f(kLx－L0,g)＝eq \f(4.9×27.35－25.35×10－2,9.8)kg＝0.01 kg＝10 g；
(5)F-x图像中图线的斜率表示弹簧的劲度系数，则题图乙中的斜率k＝eq \f(7,4－0.5×10－2) N/m＝200 N/m
图线不过原点说明没有力时弹簧有了形变量，故说明受到弹簧自身的重力的影响。
答案：(1)竖直 (2)静止 L3 1 mm (3)Lx (4)4.9 10 (5)200 弹簧自身存在重力
2. 在探究弹簧形变量与弹力的关系时，实验小组把两根轻弹簧Ⅰ、Ⅱ按如图所示的方式连接起来，在弹性限度内，将质量为50 g的钩码逐个挂在弹簧下端，得到指针A、B的示数LA、LB见下表，取g＝9.80 m/s2。
(1)通过对比表中的数据可知，弹簧Ⅰ的劲度系数________(选填“大于”“小于”或“等于”)弹簧Ⅱ的劲度系数。
(2)利用表中的数据计算出弹簧Ⅰ的原长为______cm。(结果保留两位小数)
(3)挂上一个钩码，待弹簧静止后，弹簧Ⅰ、Ⅱ的伸长量之和为________cm，由此可知，若将弹簧Ⅰ和Ⅱ串联起来视为一个弹簧，其等效劲度系数等于________N/m。(结果保留三位有效数字)
解析：(1)挂上第二个钩码后，弹簧Ⅰ伸长量ΔxA＝19.77 cm－15.76 cm＝4.01 cm，弹簧Ⅱ伸长量ΔxB＝35.76 cm－29.96 cm－ΔxA＝1.79 cm
根据胡克定律，弹簧Ⅰ的劲度系数小于弹簧Ⅱ的劲度系数。
(2)设弹簧Ⅰ的原长为L0，则L0＋eq \f(mg,k)＝15.76 cm，L0＋eq \f(4mg,k)＝27.76 cm
联立解得L0＝11.76 cm。
(3)挂上一个钩码，待弹簧静止后，弹簧Ⅰ、Ⅱ的伸长量之和为Δx＝35.76 cm－29.96 cm＝5.80 cm。
由此可知，若将弹簧Ⅰ和Ⅱ串联起来视为一个弹簧，其等效劲度系数等于k0＝eq \f(mg,Δx)＝eq \f(50×10－3×9.8,5.80×10－2) N/m≈8.45 N/m。
答案：(1)小于 (2)11.76 (3)5.80 8.45
3．(2022·湖南高考)小圆同学用橡皮筋、同种一元硬币、刻度尺、塑料袋、支架等，设计了如图(a)所示的实验装置，测量冰墩墩玩具的质量。主要实验步骤如下：
(1)查找资料，得知每枚硬币的质量为6.05 g；
(2)将硬币以5枚为一组逐次加入塑料袋，测量每次稳定后橡皮筋的长度l，记录数据如下表：
(3)根据表中数据在图(b)上描点，绘制图线；
(4)取出全部硬币，把冰墩墩玩具放入塑料袋中，稳定后橡皮筋长度的示数如图(c)所示，此时橡皮筋的长度为________ cm；
(5)由上述数据计算得冰墩墩玩具的质量为______g(计算结果保留3位有效数字)。
解析：(3)根据表格中数据描点连线，如图所示。
(4)由题图可知刻度尺的分度值为1 mm，故读数l＝15.35 cm。
(5)设橡皮筋的劲度系数为k，原长为x0，则
n1mg＝k(l1－x0)，n2mg＝k(l2－x0)
设冰墩墩的质量为m1，则有m1g＝k(l－x0)
联立各式代入数据可得m1≈127 g。
答案：(3)见解析图 (4)15.35 (5)127
第7讲 实验：探究两个互成角度的力的合成规律(重点实验)
一、理清原理与操作
1．原理装置图
互成角度的两个力与一个力产生相同的效果
2．操作要领
(1)等效：同一次实验中两次把橡皮条拉长后的结点O位置必须保持不变。
(2)拉力：沿弹簧测力计轴线方向拉(与板面平行)，橡皮条、弹簧测力计和细绳套与板面平行；两分力F1、F2的夹角不要太大或太小。
(3)记录：记下每次各力的大小和方向，标记方向的两点尽量远些。
(4)作图：选定比例要相同，严格按力的图示要求作平行四边形求合力。
二、掌握数据处理方法
1．用铅笔和刻度尺从结点O沿两条细绳套方向画直线，按选定的标度作出这两个弹簧测力计的拉力F1和F2的图示。
2．用刻度尺从O点按同样的标度沿记录的方向作出实验步骤中只用一个弹簧测力计的拉力F的图示。
3．用虚线将拉力F的箭头端与拉力F1、F2的箭头端连接起来，观察所围成的四边形是否为平行四边形。然后，改变两个力的大小和方向，重做实验，确认所围成的四边形是否为平行四边形。
三、扫描实验盲点
1．注意事项
2．误差分析
本实验是利用等效替代法探究两个互成角度的力的合成规律。但因实验器材与数据处理方法的不同，实验操作过程与要求也有所不同，高考命题常以结点是否需要固定、合力与分力的大小是否需要测出具体数值作为考查的关键点。
关键点(一) 是否需要固定结点
[考法感悟]
1．某同学做“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验情况如图甲所示，其中A为固定橡皮条的图钉，O为橡皮条与细绳的结点，OB和OC为细绳。图乙是在白纸上根据实验结果画出的图。
(1)如果没有操作失误，图乙中的F与F′两力中，方向一定沿AO方向的是________。
(2)本实验采用的科学方法是________。
A．理想实验法 B．等效替代法
C．控制变量法 D．建立物理模型法
(3)实验时，主要的步骤是：
A．在桌上放一块方木板，在方木板上铺一张白纸，用图钉把白纸钉在方木板上；
B．用图钉把橡皮条的一端固定在板上的A点，在橡皮条的另一端拴上两条细绳，细绳的另一端系着绳套；
C．用两个弹簧测力计分别钩住绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条伸长，结点到达某一位置O。记录下O点的位置，读出两个弹簧测力计的示数；
D．按选好的标度，用铅笔和刻度尺作出两个弹簧测力计的拉力F1和F2的图示，并用平行四边形定则求出合力F；
E．只用一个弹簧测力计，通过细绳套拉橡皮条使其伸长，读出弹簧测力计的示数，记下细绳的方向，按同一标度作出这个力F′的图示；
F．比较F′和F的大小和方向，看它们是否相同，得出结论。
上述步骤中：①有重要遗漏的步骤的标号是______和________；
②遗漏的内容分别是________________________________________________________
和________________________________________________________________________。
解析：(1)由一个弹簧测力计拉橡皮条至O点的拉力一定沿AO方向；而根据平行四边形定则作出的合力，由于误差的存在，不一定沿AO方向。
(2)一个力的作用效果与两个力的作用效果相同，它们的作用效果可以等效替代，故本实验采用等效替代法，B正确。
(3)①根据实验的操作步骤可知，有重要遗漏的步骤的标号是C、E。②在C中未记下两条细绳的方向，E中未说明是否把橡皮条的结点拉到同一位置O。
答案：(1)F′ (2)B (3)①C E ②C中应加上“记下两条细绳的方向” E中应说明“把橡皮条的结点拉到同一位置O”
2.某同学用如图所示的实验装置做“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验，弹簧测力计A挂于固定点P，下端用细线挂一重物M。弹簧测力计B的一端用细线系于O点，手持另一端向左拉，使结点O静止在某位置，分别读出弹簧测力计A和B的示数，并在贴于竖直木板的白纸上记录O点的位置和拉线的方向。
(1)本实验用的弹簧测力计示数的单位为N，图中弹簧测力计A的示数为________N。
(2)下列不必要的实验要求是________。
A．应测量重物M所受的重力
B．弹簧测力计应在使用前校零
C．拉线方向应与木板平面平行
D．改变拉力进行多次实验，每次都要使O点静止在同一位置
(3)某次实验中，该同学发现弹簧测力计A的指针稍稍超出量程，请提出两个解决的方法：________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
解析：(1)根据弹簧测力计的指针位置以及读数规则可知A的示数为3.6 N。
(2)实验中要验证的关系是A、B两个弹簧测力计的拉力的合力与M所受的重力等大反向，所以应测量重物M所受的重力；为减小测量误差，弹簧测力计应在使用前校零，拉线方向应与木板平面平行，A、B、C对，不符合题意；改变拉力进行多次实验，O点位置不同不影响实验结果，D错，符合题意。
(3)为减小A的数值，有多种方法，如：使B拉力减小；减小M的重量；把A换成量程更大的弹簧测力计；改变B的拉力方向等。
答案：(1)3.6 (2)D (3)使B拉力减小；减小M的重量；把A换成量程更大的弹簧测力计；改变B的拉力方向等(任选两个)
[系统建模]
1．在用拉橡皮条做本实验时，同一次实验中，两次拉橡皮条的作用效果应相同，必须保证结点的位置相同(如第1题)。
2．若实验过程中，不是“先用两根绳去拉，再用一根绳拉并使它的作用效果与两根绳拉的作用效果相同”，而是“用三根绳直接拉结点O”，则不必保证结点O固定不变。如第2题中O点的位置在不同次实验中是可以不同的。
关键点(二) 是否测量力的具体值
[考法感悟]
1.某学习小组在课外做“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验。
(1)该实验需要用到如图甲所示的弹簧测力计，并用对拉的方法选择弹簧测力计。有两种选择方案，方案一：两弹簧测力计竖直悬挂在铁架台上对拉；方案二：两弹簧测力计置于尽量光滑的水平桌面上对拉。下列说法正确的是________。
A．弹簧测力计使用前必须进行调零
B．对拉的两个弹簧测力计的量程需一致
C．若方案一的两弹簧测力计读数相等，则可正常使用
D．若方案二的两弹簧测力计读数相等，则可正常使用
(2)该学习小组使用的弹簧测力计量程为5.00 N，将橡皮条一端固定，先用两只弹簧测力计将橡皮条另一端拉到某一位置，标记为O点，紧靠细绳标记A、B两点及记录弹簧测力计读数；然后用一只弹簧测力计将其拉至O点，紧靠细绳标记C点及记录弹簧测力计读数，该小组完成的某次实验数据记录在图乙中。
①为探究两个互成角度的力的合成规律，请按实验要求在图乙中完成作图；
②结合图乙，分析实验过程与结果，请至少给出一个方法以减小该实验的实验误差：________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
解析：(1)对拉弹簧测力计是为了校准两弹簧测力计，但是在校准前必须要调零，然后在水平面上对拉两弹簧测力计，若其读数相等，则可正常使用，竖直方向上对拉时应考虑弹簧自身重力的影响，并且与弹簧的量程无关，所以A、D正确，B、C错误。
(2)①如图所示。②适当增大两细绳的夹角或增大A、B两点到O点的距离。
答案：(1)AD (2)①见解析图 ②适当增大两细绳的夹角或增大A、B两点到O点的距离
2．某同学找到一条遵循胡克定律的橡皮筋并利用如下实验器材验证探究两个互成角度的力的合成规律：刻度尺、三角板、铅笔、细绳、白纸、钉子、质量不同的小重物若干、木板。实验方案如下：
①将橡皮筋的两端分别与两条细绳相连，测出橡皮筋的原长；
②将橡皮筋的一端细绳用钉子固定在竖直木板上的A点，在橡皮筋的中点O用细绳系住重物，使重物自然下垂，如图甲所示；
③将橡皮筋的另一端细绳固定在竖直木板上的B点，如图乙所示。
(1)为完成本实验，下列还必须测量的物理量为______。
A．小重物的质量
B．细绳的长度
C．图甲中OA段橡皮筋的长度
D．图乙中OA和OB段橡皮筋的长度
(2)在完成本实验的过程中，必须注意的事项是______。
A．橡皮筋两端连接的细绳长度必须相同
B．图乙中A、B两点必须等高
C．图乙中连接小重物的细绳必须在OA、OB夹角的角平分线上
D．记录图甲中O点的位置和OA的方向
E．记录图乙中O点的位置和OA、OB的方向
(3)若钉子位置固定，利用现有器材改变实验效果，可采用的方法是____________________________。
解析：(1)橡皮筋遵循胡克定律，要测量拉力可以通过测量橡皮筋的长度和原长，得到橡皮筋的伸长量，根据拉力的大小与伸长量成比例作力的图示。为了使两次实验效果相同，必须记下题图甲中OA段橡皮筋的长度、题图乙中OA和OB段橡皮筋的长度作参照，故选C、D。
(2)橡皮筋连接的细绳要稍微长些，并非要求等长，A错误；题图乙中A、B两点不用必须等高，B错误；题图乙中连接小重物的细绳可以在OA、OB夹角的角平分线上，也可以不在角平分线上，C错误；题图甲中O点的位置和OA的方向不需要记录，D错误；需要记录题图乙中O点的位置和OA、OB的方向，E正确。
(3)在钉子位置不变的情况下，要改变实验效果，只有改变小重物的质量。故可采用的方法是更换小重物。
答案：(1)CD (2)E (3)更换小重物
[系统建模]
1．利用弹簧测力计拉橡皮条与细绳的结点到某位置的实验，合力和分力的大小应测出具体值[如第1题第(2)问]。
2．若用一条遵循胡克定律的橡皮筋替代弹簧测力计完成本实验，合力和分力的具体大小可以不用测出，只要根据橡皮筋的伸长量大小和方向按比例作出力的图示即可(如第2题)。
1.(2022·浙江6月选考，节选)“探究求合力的方法”的实验装置如图所示，在该实验中，
(1)下列说法正确的是______(单选)；
A．拉着细绳套的两只弹簧秤，稳定后读数应相同
B．在已记录结点位置的情况下，确定一个拉力的方向需要再选择相距较远的两点
C．测量时弹簧秤外壳与木板之间不能存在摩擦
D．测量时，橡皮条、细绳和弹簧秤应贴近并平行于木板
(2)若只有一只弹簧秤，为了完成该实验至少需要________(选填“2”“3”或“4”)次把橡皮条结点拉到O。
解析：(1)在不超出弹簧秤的量程和橡皮条形变限度的条件下，使拉力适当大些，不必使两只弹簧秤的示数相同，A错误；在已记录结点位置的情况下，确定一个拉力的方向需要再选择相距较远的一个点就可以了，B错误；实验中拉弹簧秤时，只需让弹簧与外壳间没有摩擦，此时弹簧秤的示数即为弹簧对细绳的拉力，与弹簧秤外壳与木板之间是否存在摩擦无关，C错误；为了减小实验中误差对测量结果的影响，拉橡皮条时，橡皮条、细绳和弹簧秤应贴近并平行于木板，D正确。
(2)若只有一只弹簧秤，为了完成该实验，用手拉住一条细绳，用弹簧秤拉住另一条细绳，互成角度的拉橡皮条，使其结点达到某一点O，记下位置O和弹簧秤示数F1和两个拉力的方向；交换弹簧秤和手所拉细绳的位置，再次将结点拉至O点，使两力的方向与原来两力方向相同，并记下此时弹簧秤的示数F2；只有一个弹簧秤将结点拉至O点，并记下此时弹簧秤的示数F的大小及方向；所以若只有一只弹簧秤，为了完成该实验至少需要3次把橡皮条结点拉到O。
答案：(1)D (2)3
2．某探究小组做“探究两个互成角度的力的合成规律”实验，将画有坐标轴(横轴为x轴，纵轴为y轴，最小刻度表示1 mm)的纸贴在水平桌面上，如图(a)所示。将橡皮筋的一端Q固定在y轴上的B点(位于图示部分之外)，另一端P位于y轴上的A点时，橡皮筋处于原长。
(1)用一只测力计将橡皮筋的P端沿y轴从A点拉至坐标原点O，此时拉力F的大小可由测力计读出。测力计的示数如图(b)所示，F的大小为________N。
(2)撤去(1)中的拉力，橡皮筋P端回到A点；现使用两个测力计同时拉橡皮筋，再次将P端拉至O点。此时观察到两个拉力分别沿图(a)中两条虚线所示的方向，由测力计的示数读出两个拉力的大小分别为F1＝4.2 N和F2＝5.6 N。
(ⅰ)用5 mm长度的线段表示1 N的力，以O为作用点，在图(a)中画出力F1、F2的图示，然后按平行四边形定则画出它们的合力F合；
(ⅱ)F合的大小为________ N，F合与拉力F的夹角的正切值为________。
若F合与拉力F的大小及方向的偏差均在实验所允许的误差范围之内，则合力与两分力的关系符合力的平行四边形定则。
解析：(1)由测力计的读数规则可知，读数为4.0 N。
(2)(ⅰ)利用平行四边形定则作图，如图所示。
(ⅱ)由图可知F合＝4.0 N，从F合的顶点向x轴和y轴分别作垂线，顶点的横坐标对应长度为1 mm，顶点的纵坐标长度为20 mm，则可得出F合与拉力F的夹角的正切值为0.05。
答案：(1)4.0 (2)(ⅰ)图见解析 (ⅱ)4.0 0.05
3．某学习小组设计了一个“验证力的平行四边形定则”的实验，装置如图甲所示，在竖直放置的木板上部附近两侧固定两个力传感器，同一高度放置两个可以移动的定滑轮，两根细绳跨过定滑轮分别与两力传感器连接，在两细绳连接的结点O下方悬挂钩码，力传感器1、2的示数分别为F1、F2，调节两个定滑轮的位置可以改变两细绳间的夹角。实验中使用若干相同的钩码，每个钩码质量均为100 g，取g＝9.8 m/s2。
(1)关于实验，下列说法正确的是________。
A．实验开始前，需要调节木板使其位于竖直平面内
B．每次实验都必须保证结点位于O点
C．实验时需要记录钩码数量、两力传感器的示数和三细绳的方向
D．实验时还需要用一个力传感器单独测量悬挂于O点钩码的总重力
(2)根据某次实验得到的数据，该同学已经按照力的图示的要求画出了F1、F2(如图乙)，请你作图得到F1、F2的合力F(只作图，不求大小)，并写出该合力不完全竖直的一种可能原因：________________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
解析：(1)实验开始前，需要调节木板使其位于竖直平面内，以保证钩码重力等于细线的拉力，选项A正确；该装置不需要每次实验保证结点位于O点，选项B错误；实验时需要记录钩码数量、两力传感器的示数和三细绳的方向，选项C正确；因为每个钩码的重力已知，所以不需要测量钩码总重力，选项D错误。
(2)利用平行四边形定则作出F1和F2的合力F，如图所示，该合力方向不完全在竖直方向的可能原因是定滑轮有摩擦、木板未竖直放置等。
答案：(1)AC (2)见解析图 定滑轮有摩擦、木板未竖直放置等(回答出一项合理答案即可)
4．某同学通过下述实验探究两个互成角度的力的合成规律。
实验步骤：
①将弹簧测力计固定在贴有白纸的竖直木板上，使其轴线沿竖直方向。
②如图甲所示，将环形橡皮筋一端挂在弹簧测力计的挂钩上，另一端用圆珠笔尖竖直向下拉，直到弹簧测力计示数为某一设定值时，将橡皮筋两端的位置标记为O1、O2，记录弹簧测力计的示数F，测量并记录O1、O2间的距离(即橡皮筋的长度l)。每次将弹簧测力计示数改变0.50 N，测出所对应的l，部分数据如下表所示：
③找出②中F＝2.50 N时橡皮筋两端的位置，重新标记为O、O′，橡皮筋的拉力记为FO O′。
④在测力计挂钩上涂抹少许润滑油，将橡皮筋搭在挂钩上，如图乙所示。用两圆珠笔尖成适当角度同时拉橡皮筋的两端，使挂钩的下端达到O点，将两笔尖的位置标记为A、B，橡皮筋OA段的拉力记为FOA，OB段的拉力记为FOB。
完成下列作图和填空：
(1)利用表中数据在图丙中画出F-l图线，根据图线求得l0＝________cm。
(2)测得OA＝6.00 cm，OB＝7.60 cm，则FOA的大小为________N。
(3)根据给出的标度，在图丁中作出FOA和FOB的合力F′的图示。
(4)通过比较F′与________的大小和方向，即可得出实验结论。
解析：(1)在坐标系中描点，用平滑的曲线(直线)将各点连接起来，不在直线上的点均匀分布在直线的两侧。如图1所示，由图线可知与横轴的交点l0＝10.00 cm。
(2)橡皮筋的长度l＝OA＋OB＝13.60 cm，由图1可得F＝1.80 N，所以FOA＝FOB＝F＝1.80 N。
(3)利用给出的标度作出FOA和FOB的图示，然后以FOA和FOB为邻边作出平行四边形，过O点的对角线即为合力F′，如图2所示。
(4)FO O′的作用效果和FOA、FOB两个力的作用效果相同，F′是FOA、FOB两个力的合力，所以只要比较F′和FO O′的大小和方向，即可得出实验结论。
答案：(1)见解析图1 10.00(9.90～10.10均可)
(2)1.80(1.70～1.90均可) (3)见解析图2 (4)FO O′
产生
由于地球的吸引而使物体受到的力
大小
与物体的质量成正比，即G＝mg。可用弹簧测力计测量重力的大小
方向
总是竖直向下的
重心
定义
物体重力的等效作用点
位置
由物体的质量分布和形状共同决定
定义
物体在力的作用下形状或体积的变化
弹性形变
有些物体在形变后撤去作用力时能够恢复原状的形变
弹性限度
当形变超过一定限度时，撤去作用力后物体不能完全恢复原来的形状，这个限度叫作弹性限度
定义
发生弹性形变的物体，由于要恢复原状，对与它接触的物体产生的力的作用
产生条件
物体相互接触且发生弹性形变
方向
①总是与物体形变的方向相反；②弹力的方向总是与作用在物体上使物体发生形变的外力的方向相反
内容
弹簧发生弹性形变时，弹力F的大小跟弹簧伸长(或缩短)的长度x成正比
表达式
F＝kx。
①k是弹簧的劲度系数，单位为N/m；k的大小由弹簧自身性质决定；②x是形变量，不是弹簧形变以后的长度
条件法
根据物体是否直接接触并发生弹性形变来判断，多用来判断形变较明显的情况
假设法
对形变不明显的情况，可假设两个物体间不存在弹力，看物体能否保持原有的状态，若运动状态不变，则此处不存在弹力；若运动状态改变，则此处一定存在弹力。如第1题中弹力有无的判断
状态法
根据物体的运动状态，利用牛顿第二定律或共点力平衡条件判断是否存在弹力。如第2题中细绳拉力和弹簧弹力的有无与小球所处的运动状态有关
类型
面与面
点与面
点与曲面
曲面与平面
示例
类型
绳的弹力一定沿绳
杆的弹力不一定沿杆
弹簧分拉伸、压缩
示例
平面与平面接触
弹力的方向垂直于公共接触面，指向受力物体
点与曲面接触
物体所受弹力垂直于接触点的切面，指向受力物体
平面与曲面接触
物体所受弹力垂直于平面指向受力物体
细绳上的弹力方向
沿绳指向绳收缩的方向
轻杆上的弹力方向
不一定沿杆，其方向与物体的状态有关
名称
项目
静摩擦力
滑动摩擦力
定义
两相互接触的物体之间只有相对运动的趋势，而没有相对运动，两物体间的摩擦力
两个相互接触的物体，当它们相对滑动时，在接触面上产生阻碍相对运动的力
产生条件
①接触面粗糙
②接触处有压力
③两物体间有相对运动趋势
①接触面粗糙
②接触处有压力
③两物体间有相对运动
大小
0＜F≤Fmax
Ff＝μF压，μ的大小由接触面的材料和粗糙程度共同决定
方向
与受力物体相对运动趋势的方向相反
与受力物体相对运动的方向相反
作用
效果
总是阻碍物体间的相对运动趋势
总是阻碍物体间的相对运动
公式法
若μ已知，则F＝μFN，FN是两物体间的正压力
状态法
若μ未知，可结合物体的运动状态和其他受力情况，利用平衡条件或牛顿第二定律列方程求解
作图法
作出两分力的图示，再根据平行四边形定则求出合力的大小
计算法
根据平行四边形定则作出示意图，然后利用解三角形的方法求出合力
模型
模型结构
模型解读
模型特点
活结模型
“活结”把绳子分为两段，且可沿绳移动，“活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，但实际为同一根绳
“活结”两侧的绳子上的张力大小处处相等
死结模型
“死结”把绳子分为两段，且不可沿绳子移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳
“死结”两侧的绳子上张力不一定相等
模型
模型结构
模型解读
模型特点
动杆模型
轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动
当杆处于平衡时，杆所受的弹力方向一定沿杆
定杆模型
轻杆被固定在接触面上，不发生转动
杆所受的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向
假设法
在受力分析时，若不能确定某力是否存在，可先对其作出存在的假设，然后分析该力存在对物体运动状态的影响来判断该力是否存在
状态法
受力分析时，若一时不能确定某力是否存在，可先分析物体的运动状态和除此力外物体所受的其他力，根据其他力与物体的运动状态是否相符判断该力是否存在
转换法
在受力分析时，若不能确定某力是否存在，则
(1)可以转换为分析该力的反作用力，根据其反作用力是否存在，判断该力是否存在
(2)可以转换为分析与该力相关的其他研究对象，通过对其他研究对象进行受力分析，判断该力是否存在
整体法
整体法是指将相互关联的各个物体看成一个整体的方法。整体法的优点在于只需要分析整个系统与外界的关系，避开了系统内部繁杂的相互作用。
隔离法
隔离法是指将某物体从周围物体中隔离出来，单独分析该物体的方法。隔离法的优点在于能把系统内各个物体所处的状态、物体状态变化的原因以及物体间的相互作用关系表达清楚。
原理装置图
操作要领
平衡时弹簧产生的弹力和外力大小相等
(1)安装：按照原理装置图安装实验仪器。
(2)操作：弹簧竖直悬挂，待钩码静止时测出弹簧长度。
(3)作图：坐标轴标度要适中，单位要标注，连线时要使各数据点均匀分布在图线的两侧，明显偏离图线的点要舍去。
图像法
根据测量数据，在建好直角坐标系的坐标纸上描点。以弹簧的弹力F为纵轴，弹簧的伸长量x为横轴，根据描点的情况，作出一条经过原点的直线
列表法
将实验数据填入表中，研究测量的数据，可发现在实验误差允许的范围内，弹力与弹簧伸长量的比值不变
函数法
根据实验数据，找出弹力与弹簧伸长量的函数关系
偶然误差
(1)弹簧长度的测量是本实验的主要误差来源，测量时尽量精确地测量弹簧的长度
(2)描点、作图不准确也会造成误差
系统误差
由于弹簧自身重力的影响，所作直线只是近似过坐标原点。尽量选用质量较轻的弹簧
悬挂钩码的质量/g
50
100
150
200
250
弹簧伸长量/cm
2.30
5.08
7.88
9.80
12.50
钩码质量m/g
20
40
60
80
100
120
P点刻度值x/cm
5.53
5.92
6.30
6.67
7.02
7.40
代表符号
L0
Lx
L1
L2
L3
L4
L5
L6
数值/cm
25.35
27.35
29.35
31.30
33.4
35.35
37.40
39.30
钩码数
1
2
3
4
LA/cm
15.76
19.77
23.67
27.76
LB/cm
29.96
35.76
41.51
47.36
序号
1
2
3
4
5
硬币数量n/枚
5
10
15
20
25
长度l/ cm
10.51
12.02
13.54
15.05
16.56
位置不变
在同一次实验中，使橡皮条拉长时结点的位置一定要相同，是为了使合力的作用效果与两个分力共同作用效果相同，这是利用了等效替代的思想
角度合适
用两个弹簧测力计钩住细绳套互成角度地拉橡皮条时，其夹角不宜太小，也不宜太大，以60°～100°之间为宜
力度适中
在合力不超出量程及在橡皮条弹性限度内形变应尽量大一些。细绳套应适当长一些，便于确定力的方向
标度统一
在同一次实验中，画力的图示选定的标度要相同，并且要恰当选取标度，使力的图示稍大一些
偶然误差
读数误差和作图误差，读数时眼睛一定要正视刻度，根据有效数字要求正确读数和记录
系统误差
弹簧测力计本身的误差
F/N
0
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
l/cm
l0
10.97
12.02
13.00
13.98
15.05