重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题(无答案)

这是一份重庆市南开中学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题(无答案)，共3页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在△ABC中。a、b、c为角A、B、C所对的边，若a=1，A=π6，sinB=14，则b=（ ）
A．36B．12C．2D．23
2．已知向BA=12,32，BC=32,12，则∠ABC=（ ）
A．30​∘B．45∘C．60​∘D．120​∘
3．下列各式中不能化简为PQ的是（ ）
A．AB+PA+BQB．PA+AB−BQ
C．QC−QP+CQD．AB+PC+BA−QC
4．已知单位向量a，b满足a⋅b=0，若向量c=7a+2b，则sin⟨a,c⟩=（ ）
A．73B．23C．79D．29
5．若平面向量a，b满足a=b=a⋅b=2，则对于任意实数λ，λa+1−λb的最小值是（ ）
A．3B．32C．2D．1
6．在平行四边形ABCD中，DE=12EC，F为BC的中点，G为EF上的一点，且AG=79AB+mAD则m的值为（ ）
A．23B．13C．−13D．−23
7．△ABC所在平面内一点P满足CP=sin2θ⋅CA+cs2θ⋅CB，若PA=2BP，则cs2θ=（ ）
A．23B．−23C．13D．−13
8．已知函数fx=2sinxcsx+4cs2x−1，若实数a、b、c使得afx−bfx+c=3对任意的实数x恒成立，则2a+b−csc的值为（ ）
A．12B．32C．2D．52
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．已知a、b、c均为非零向量，下列命错误的是（ ）
A．∃λ∈R，λa+b=a⋅b
B．a⋅b⋅c=a⋅b⋅c可能成立
C．若a⋅b=b⋅c，则a=c
D．若a⋅b=1，则a⊨1或b=1
10．若直线x+ky=0k≠0与函数fx=2x−11−2sin2x2x+1图象交于不同的两点A，B，已知点C9,3，O为坐标原点，点Dm,n满足DA+DB=CD，则下列结论正确的是（ ）
A．fx+1=f−1−xB．CO=3OD
C．mn=3D．CA⋅CB−DA⋅DB=80
11．已知fx=ax2+bx+ca≠0，且方程fx=x无实数根，下列命题正确的是（ ）
A．方程f[fx]=x也一定没有实数根
B．若a>0，则不等式f[fx]>x对一切实数都成立
C．若a<0，则必存在实数x0，使f[fx0]>x0成立
D．若a+b+c=0，则不等式f[fx]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知向量a，b⇀满足a=4，b=1,2，a与b的夹角为π3，则a在b的投影向量为 （用坐标表示）.
13．如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=2，CA=CA=3，若AB⋅AE+AC⋅AF=7，则EF与BC的夹角的余弦值等于 .
14．已知平面向量e1，e2，e3，p，满足e1=e2=e3=1，e1⋅e2=0，p≤1，则p−e1⋅p−e2+p−e2⋅p−e3+p−e3⋅p−e1的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．在△OAB中，G为中线OM上一点，且OG=2GM，过点G的直线与边OA，OB分别交于点P，Q.
（1）用向量OA，OB表示OG；
（2）设向量OA=43OP，OB=nOQ，求n的值.
16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B，C满足OC=13OA+23OB.
（1）求ACCB的值；
（2）已知A1,csx，B1+csx,csx，x∈[−π3,0]，
若函数fx=OA⋅OC−2m+23AB的最大值为3，求实数m的值.
17．如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=2，∠ABC=60∘，E是AD的中点.
（1）记BD=m，BA=n且m2−n2=8，求m，n值；
（2）记BC=λAD1<λ<2，F是线段CD上一动点，且CD=λCF，求BE⋅BF−2λ2的取值范围.
18．如图，A，B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且∠AOB=θ（θ为锐角）.点C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M.
（1）求OA、AB（结果用θ表示）；
（2）若θ=60∘
①求CA⋅CB的取值范围；
②设OM=tOB019．如图所示，△ABC为等边三角形，AB=43.I为△ABC的内心，点P在以I为圆心，1为半径的圆上运动.
（1）求出PA2+PB2+PC2的值.
（2）求PA⋅PB的范围.
（3）若xPA+yPB+zPC=0x,y,z∈R，当xy最大时，求zx+y的值.