河南省开封市2023-2024学年高三下学期第二次质量检测数学试题(无答案)

这是一份河南省开封市2023-2024学年高三下学期第二次质量检测数学试题(无答案)，共4页。试卷主要包含了已知数列的前n项和为，则，若，则，若直线l，已知复数，等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知抛物线的标准方程是，则它的准线方程是（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，则下列命题正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．若函数是奇函数，则实数（ ）
A．0B．－1C．1D．
4．已知数列的前n项和为，则（ ）
A．81B．162C．243D．486
5．若，则（ ）
A．B．40C．41D．82
6．已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．若直线l：经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，（ ）
A．2B．C．D．
8．已知经过圆锥SO的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数，（其中i是虚数单位，a，），若为纯虚数，则（ ）
A．B．C．D．
10．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入的极差为12
B．估计该地农户家庭年收入的75%分位数约为9
C．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
D．估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一．用其名字命名的高斯取整函数为，表示不超过x的最大整数，例如，．下列命题中正确的有（ ）
A．，
B．，，
C．，，
D．，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量，，在网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1．则______；______．
13．袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，则______．
14．已知过双曲线C：左焦点且倾斜角为60°的直线l与y轴交于点B，l与C的一个交点A是的中点，则C的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，上顶点为A，且．
（1）求C的离心率；
（2）射线与C交于点B，且，求的周长．
16．（15分）
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求；
（2）若，再从条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使其能够确定唯一的三角形，并求的面积．
条件① ：；
条件② ：；
条件③ ：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17．（15分）
在四棱锥P-ABCD中，平面底面ABCD，．
（1）是否一定成立?若是，请证明，若不是，请给出理由；
（2）若是正三角形，且P-ABD是正三棱锥，，求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值．
18．（17分）
已知函数．
（1）讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
（2）函数；若方程在上存在实根，试比较与的大小．
19．（17分）
在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为．
（1）试求，，，的值；
（2）设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求，与φ（p）和φ（q）的关系；
（3）RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言：
①准备两个不同的、足够大的素数p，q；
②计算，欧拉函数；
③求正整数k，使得kq除以的余数是1；
④其中称为公钥，称为私钥．
已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是（187，17）．若满足题意的正整数k
从小到大排列得到一列数记为数列，数列满足，求数列的前n项和．