山东省烟台市、德州市2024届高三下学期一模考试数学试题

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注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
2.若，则（ ）
A.100 B.110 C.120 D.130
3.若点在抛物线上，为抛物线的焦点，则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.若，则（ ）
A. B. C. D.
5.将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（ ）
A.3 B.6 C.10 D.15
6.设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若与所成的角相等，则
C.若，则
D.若，则
7.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，点，向量，且.若为椭圆上一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知为复数，下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C.若，则
D.若，则或
10.先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，设事件“为整数”，“为偶数”，“为奇数”，则（ ）
A. B.
C.事件与事件相互独立 D.
11.给定数列，定义差分运算：.若数列满足，数列的首项为1，且，则（ ）
A.存在，使得恒成立
B.存在，使得恒成立
C.对任意，总存在，使得
D.对任意，总存在，使得
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若圆关于直线对称的圆恰好过点，则实数的值为__________.
13.在三棱锥中，，且分别是的中点，，则三棱锥外接球的表面积为__________，该三棱锥外接球与内切球的半径之比为__________.（本小题第一空2分，第二空3分.）
14.若函数在上佮有5个零点，且在上单调递增，则正实数的取值范围为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）已如曲线在处的切线与直线垂直.
（1）求的值：
（2）若恒成立，求的取值范围.
16.（15分）如图，在三棱柱中，，为的中点，平面.
（1）求证：；
（2）若，求二面角的余弦值.
17.（15分）联合国新闻部将我国农历二十四节气中的“谷雨”定为联合国中文日，以纪念“中华文字始祖”仓颉的贡献.某大学拟在2024年的联合国中文日举行中文知识竞赛决赛决赛分为必答､抢答两个环节依次进行.必答环节，共2道题，答对分别记30分､40分，否则记0分：抢答环节，包括多道题，设定比赛中每道题必须进行抢答，抢到并答对者得15分，抢到后未答对，对方得15分：两个环节总分先达到或超过100分者获胜，比赛结束.已知甲､乙两人参加决赛，且在必答环节，甲答对两道题的概率分别，乙答对两道题的概率分别为，在抢答环节，任意一题甲､乙两人抢到的概率都为，甲答对任意一题的概率为，
乙答对任意一题的概率为，假定甲､乙两人在各环节､各道题中答题相互独立
（1）在必答环节中，求甲､乙两人得分之和大于100分的概率：
（2）在抢答环节中，求任意一题甲获得15分的概率：
（3）若在必答环节甲得分为70分，乙得分为40分，设抢答环节经过X道题抢答后比赛结束，求随机变量X的分布列及数学期望.
18.（17分）已知双曲线经过点，离心率为，直线过点且与双曲线交于两点（异于点）.
（1）求证：直线与直线的斜率之积为定值.并求出该定值：
（2）过点分别作直线的垂线.垂足分别为，记的面积分别为，求的最大值.
19.（17分）如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆沿着轴正向无滑动地滚动，点为圆上一个定点，其初始位置为原点为绕点转过的角度（单位：弧度，）.
（1）用表示点的横坐标和纵坐标：
（2）设点的轨迹在点处的切线存在，且倾斜角为，求证：为定值：
（3）若平面内一条光滑曲线上每个点的坐标均可表示为，则该光滑曲线长度为，其中函数满足.当点自点滚动到点时，其轨迹为一条光滑曲线，求的长度.