北师大版七年级数学下册同步精讲精练2.1两条直线的位置关系-【题型技巧培优系列】(原卷版+解析)

这是一份北师大版七年级数学下册同步精讲精练2.1两条直线的位置关系-【题型技巧培优系列】(原卷版+解析)，共30页。试卷主要包含了对顶角与邻补角的性质，垂线的唯一性及画法，垂线段最短，点到直线的距离，余角与补角的定义，相交线中角度的计算等内容，欢迎下载使用。

知识点一
余角、补角、对顶角的概念和性质
（1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；
（2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．
（3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．
（4）邻补角的概念：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角。（两条相交线可组成4对邻补角）
（5）对顶角的概念：两个角只有一个公共顶点，一个角的两条边是另一个角两条边的反向延长线。（两条相交线组成2对对顶角）
（6）对顶角的性质：对顶角相等（利用邻补角的性质可证明）
知识点二
垂线的概念和性质
（1）垂线的概念：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角为直角时，就称这两条直线相互垂直。（实际上，四个角都为直角）
（2）如下图，两条垂线的交点M叫作“垂足”，两条直线用“⊥”符号表示，读作“垂直”，表示为：AB⊥CD，读作：AB垂直于CD
（3）垂线的性质：在同一平面内，过一点（直线内或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直
注：（1）垂线的性质中，有2点需要格外 ： = 1 \* GB3 ①必须强调在同一平面内； = 2 \* GB3 ②点可在直线外，也可在直线上。
（2）同一平面内，两条直线只有相交和平行两种关系，其中垂直是特殊的相交。
（4）垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称为：垂线段最短）
（5）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度
题型一 对顶角与邻补角的性质
【例题1】（2022春•广西月考）下面四个图形中与是对顶角的是
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2021秋•儋州校级期末）下列选项中，和是对顶角的是
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022春•江汉区校级月考）下面四个图形中，和是对顶角的是
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2022秋•南岗区校级月考）如图，共有对顶角
A．3对B．6对C．12对D．16对
【变式1-4】（2022•邹城市校级开学）如图，直线，交于点，则图中互为补角的角对数有
A．1对B．2对C．3对D．4对
【变式1-5】（2021秋•玄武区期末）若与互余，与互补，与是对顶角，则与的数量关系是
A．B．C．D．
题型二 垂线的唯一性及画法
【例题2】（2022•蓬江区校级开学）如图所示，直线，相交于点，于点，平分，，则下列结论中不正确的是
A．B．
C．与互为补角D．的余角等于
【变式2-1】（2022春•新乐市校级月考）如图，在直线外任取一点，过点画直线的垂线，可画出的垂线有
A．0条B．1条C．2条D．无数条
【变式2-2】（2022春•南沙区期末）过点向线段所在的直线画垂线，正确的画法是
A．B．
C．D．
【变式2-3】如图所示，过点画直线的垂线和斜线，下列说法中正确的是
A．垂线和斜线都只能画一条
B．垂线只能画一条，斜线可画无数条
C．垂线能画两条，斜线可画无数条
D．垂线和斜线均可画无数条
【变式2-4】（2021春•丰都县期末）在数学课上，同学们在练习过点作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，其中正确的是
A．B．
C．D．
【变式2-5】（2022•藁城区二模）如图，经过点的直线，，，中，有一条直线与直线垂直，请借助三角板判断，与直线垂直的直线是
A．B．C．D．
题型三 垂线段最短
【例题3】（2021秋•绿园区期末）如图，将军要从村庄去村外的河边饮马，有三条路、、可走，将军沿着路线到的河边，他这样做的道理是
A．两点之间，线段最短
B．两点之间，直线最短
C．两点确定一条直线
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【变式3-1】（2022春•新乐市校级月考）如图，有三条公路，其中与垂直，嘉嘉和淇淇分别从，处同时出发，沿，匀速骑车到城．若两人同时到达，则下列判断正确的是
A．嘉嘉的骑车速度更快
B．淇淇的骑车速度更快
C．两人的骑车速度一样快
D．无法判断两人骑车速度的快慢
【变式3-2】（2022春•东莞市校级期中）如图，点到直线公路共有四条路，若要从点到公路，用相同速度行走，最快到达的路径是
A．B．C．D．
【变式3-3】（2022春•思明区校级期中）某工程队计划把河水引到水池中，他们先过点作，垂足为，为河岸，然后沿开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是
A．两点之间线段最短
B．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
D．垂线段最短
【变式3-4】（2022春•上林县期末）在乡村振兴活动中，某村通过铺设水管将河水引到村庄处，为节省材料，他们过点向河岸作垂线，垂足为点，于是确定沿铺设水管，这样做的数学道理是
A．两点之间，线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．垂线段最短
D．两条直线相交有且只有一个交点
【变式3-5】（2022秋•唐河县期末）如图，现要从幸福小区修建一条连接街道的最短小路，过点作于点，沿修建道路就能满足小路最短，这样做的依据是 ．
题型四 点到直线的距离
【例题4】（2022春•邛崃市期中）如图，点是直线外的一点，点、、在直线上，且，垂足是，，则下列不正确的语句是
A．线段的长是点到直线的距离
B．、、三条线段中，最短
C．线段的长是点到直线的距离
D．线段的长是点到直线的距离
【变式4-1】（2022春•顺德区校级期中）如图，在直线外一点与直线上各点的连线中，，，，，则点到直线的距离为
A．3B．4C．4.3D．5
【变式4-2】（2022春•海沧区校级期末）如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，则下列说法正确的是
A．点到直线的距离等于4B．点到直线的距离等于4
C．点到的距离等于4D．点到的距离等于3
【变式4-3】（2022春•平桂区 期末）如图，直线外一点，点、、、都在直线上，则点到直线的距离是
A．线段的长度B．线段的长度C．线段的长度D．线段的长度
【变式4-4】（2022秋•香坊区校级期中）如图，，点到线段的距离指的是下列哪条线段的长度
A．B．C．D．
【变式4-5】（2022春•双峰县期末）如图，点在点北偏东的方向，点在点北偏西的方向，且，则点到直线的距离是
A．B．C．D．
题型五 余角与补角的定义
【例题5】（2022秋•思明区校级月考）已知，则它的补角为
A．B． C． D．
【变式5-1】（2022春•碑林区期末）已知，则的补角等于
A．B．C．D．
【变式5-2】（2021秋•天元区校级期末）一个角的度数是，则它的余角的度数为 ．
【变式5-3】（2022秋•大冶市期末）一个角的余角的3倍与它的补角相等，则这个角的度数为 ．
【变式5-4】（2021秋•零陵区期末）一个角的度数为，那么这个角的补角度数为 ．
【变式5-5】（2021秋•余干县校级期末）已知一个角的补角比这个角的余角的4倍大，则这个角是 ．
题型六 相交线中角度的计算
【例题6】如图，直线，相交于点，已知，，则的度数为
A．B．C．D．
【变式6-1】（2022秋•东方期末）如图，已知直线、相交于点，平分，若，则度数是
A．B．C．D．
【变式6-2】（2022秋•万全区期末）如图，直线，相交于点，，垂直为点，，则
A．B．C．D．
【变式6-3】2022•邹城市校级开学）如图，在内部作，平分．若，则
A．B．C．D．
【变式6-4】（2021秋•岳阳楼区期末）如图，直线和直线相交于点，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【变式6-5】（2022春•碑林区校级月考）如图，直线与相交于点，，，射线平分，求的度数．
解题技巧提炼
解题关键是掌握对顶角、邻补角的定义
解题技巧提炼
熟练掌握各种角的定义是解题的关键
解题技巧提炼
解题关键是熟悉垂线段最短的知识点
解题技巧提炼
按照点到直线的距离的定义，及垂线段最短的性质解题．
解题技巧提炼
熟练掌握余角和补角的定义进行解题。
解题技巧提炼
熟练掌握各角知识点的定义进行解题。
2.1 两条直线的位置关系
知识点一
余角、补角、对顶角的概念和性质
（1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；
（2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．
（3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．
（4）邻补角的概念：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角。（两条相交线可组成4对邻补角）
（5）对顶角的概念：两个角只有一个公共顶点，一个角的两条边是另一个角两条边的反向延长线。（两条相交线组成2对对顶角）
（6）对顶角的性质：对顶角相等（利用邻补角的性质可证明）
知识点二
垂线的概念和性质
（1）垂线的概念：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角为直角时，就称这两条直线相互垂直。（实际上，四个角都为直角）
（2）如下图，两条垂线的交点M叫作“垂足”，两条直线用“⊥”符号表示，读作“垂直”，表示为：AB⊥CD，读作：AB垂直于CD
（3）垂线的性质：在同一平面内，过一点（直线内或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直
注：（1）垂线的性质中，有2点需要格外 ： = 1 \* GB3 ①必须强调在同一平面内； = 2 \* GB3 ②点可在直线外，也可在直线上。
（2）同一平面内，两条直线只有相交和平行两种关系，其中垂直是特殊的相交。
（4）垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称为：垂线段最短）
（5）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度
题型一 对顶角与邻补角的性质
【例题1】（2022春•广西月考）下面四个图形中与是对顶角的是
A．B．
C．D．
【分析】有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．由此即可判断．
【解答】解：、与没有公共顶点，与不是对顶角，故不符合题意；
、与是对顶角，故符合题意；
、与两边不互为反向延长线，与不是对顶角，故不符合题意；
、与两边不互为反向延长线，与不是对顶角，故不符合题意．
故选．
【变式1-1】（2021秋•儋州校级期末）下列选项中，和是对顶角的是
A．B．C．D．
【分析】判断对顶角需要满足的两个条件，一是有公共顶点，二是一个角的两边是另一个角的反向延长线，逐项进行观察判断即可．
【解答】解：对顶角的定义：两条直线相交后所得，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角，观察选项，只有选项符合，
故选：．
【变式1-2】（2022春•江汉区校级月考）下面四个图形中，和是对顶角的是
A．B．
C．D．
【分析】利用对顶角的定义对各选项进行分析即可．
【解答】解：、与两边不互为反向延长线，与不是对顶角，故不符合题意；
、与没有公共顶点，与不是对顶角，故不符合题意；
、与两边不互为反向延长线，与不是对顶角，故不符合题意；
、与是对顶角，故符合题意．
故选：．
【变式1-3】（2022秋•南岗区校级月考）如图，共有对顶角
A．3对B．6对C．12对D．16对
【分析】利用对顶角定义可得答案．
【解答】解：两条直线相交于一点，共有对顶角的对数为2对，
三条直线两两相交，有三个交点，共有对顶角的对数为6对．
故选：．
【变式1-4】（2022•邹城市校级开学）如图，直线，交于点，则图中互为补角的角对数有
A．1对B．2对C．3对D．4对
【分析】根据补角的定义进行判断即可．
【解答】解：与，与，与，与互为补角，
故选：．
【变式1-5】（2021秋•玄武区期末）若与互余，与互补，与是对顶角，则与的数量关系是
A．B．C．D．
【分析】根据与互余，与互补，与是对顶角求出，解答即可．
【解答】解：与互余，与互补，与是对顶角，
，，，
，
，
故选：．
题型二 垂线的唯一性及画法
【例题2】（2022•蓬江区校级开学）如图所示，直线，相交于点，于点，平分，，则下列结论中不正确的是
A．B．
C．与互为补角D．的余角等于
【分析】由余角，补角的定义，对顶角的性质，角平分线的定义，垂直的定义，即可判断．
【解答】解：，
，
平分，
，
和是对顶角，
，
与是邻补角，
与互为补角，
的余角等于，
的余角等于，
故选：．
【变式2-1】（2022春•新乐市校级月考）如图，在直线外任取一点，过点画直线的垂线，可画出的垂线有
A．0条B．1条C．2条D．无数条
【分析】根据在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可选出答案．
【解答】解：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
故选：．
【变式2-2】（2022春•南沙区期末）过点向线段所在的直线画垂线，正确的画法是
A．B．
C．D．
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可．
【解答】解：选项，没有过点，过该选项不符合题意；
选项，过点作的垂线，垂线是直线，故该选项符合题意；
选项，为垂线段，不是直线，故该选项不符合题意；
选项，没有垂直于，故该选项不符合题意；
故选：．
【变式2-3】如图所示，过点画直线的垂线和斜线，下列说法中正确的是
A．垂线和斜线都只能画一条
B．垂线只能画一条，斜线可画无数条
C．垂线能画两条，斜线可画无数条
D．垂线和斜线均可画无数条
【分析】根据题意，可以画出相应的图形，然后即可解答本题．
【解答】解：过点画直线的垂线和斜线，垂线只能画一条，斜线可画无数条，
故选：．
【变式2-4】（2021春•丰都县期末）在数学课上，同学们在练习过点作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，其中正确的是
A．B．
C．D．
【分析】满足两个条件：①经过点；②垂直，由此即可判断．
【解答】解：根据垂线段的定义可知，选项中线段，是点作线段所在直线的垂线段，
故选：．
【变式2-5】（2022•藁城区二模）如图，经过点的直线，，，中，有一条直线与直线垂直，请借助三角板判断，与直线垂直的直线是
A．B．C．D．
【分析】利用三角板，一条直角边与对齐，另一条直角边经过的直线即为所求．
【解答】解：把三角板的一条直角边与重合，慢慢移动，在此过程中，
直线经过三角板的另一条直角边，所以说与直线垂直的直线是，
故选：．
题型三 垂线段最短
【例题3】（2021秋•绿园区期末）如图，将军要从村庄去村外的河边饮马，有三条路、、可走，将军沿着路线到的河边，他这样做的道理是
A．两点之间，线段最短
B．两点之间，直线最短
C．两点确定一条直线
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【分析】根据垂线段最短即可求解．
【解答】解：将军要从村庄去村外的河边饮马，有三条路可走、、，将军沿着路线到的河边，他这样做的道理是垂线段最短．
故选：．
【变式3-1】（2022春•新乐市校级月考）如图，有三条公路，其中与垂直，嘉嘉和淇淇分别从，处同时出发，沿，匀速骑车到城．若两人同时到达，则下列判断正确的是
A．嘉嘉的骑车速度更快
B．淇淇的骑车速度更快
C．两人的骑车速度一样快
D．无法判断两人骑车速度的快慢
【分析】根据垂线的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，可知，然后根据速度公式即可判断．
【解答】解：与垂直，
，
若他们同时到达，根据速度公式可得，
淇淇骑车的速度快，嘉嘉骑车的速度慢．
故选：．
【变式3-2】（2022春•东莞市校级期中）如图，点到直线公路共有四条路，若要从点到公路，用相同速度行走，最快到达的路径是
A．B．C．D．
【分析】从点到公路，用相同速度行走，最快到达，则需要点到公路的距离最短，根据垂线段最短得出答案．
【解答】解：从点到公路，用相同速度行走，最快到达，
需要点到公路的距离最短，
垂线段最短，
是最快到达的路径．
故选：．
【变式3-3】（2022春•思明区校级期中）某工程队计划把河水引到水池中，他们先过点作，垂足为，为河岸，然后沿开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是
A．两点之间线段最短
B．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
D．垂线段最短
【分析】根据垂线段最短即可得出答案．
【解答】解：从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，
故选：．
【变式3-4】（2022春•上林县期末）在乡村振兴活动中，某村通过铺设水管将河水引到村庄处，为节省材料，他们过点向河岸作垂线，垂足为点，于是确定沿铺设水管，这样做的数学道理是
A．两点之间，线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．垂线段最短
D．两条直线相交有且只有一个交点
【分析】根据垂线段最短进行判断．
【解答】解：因为于点，根据垂线段最短，所以为点到河岸的最短路径．
故选：．
【变式3-5】（2022秋•唐河县期末）如图，现要从幸福小区修建一条连接街道的最短小路，过点作于点，沿修建道路就能满足小路最短，这样做的依据是 垂线段最短 ．
【分析】由垂线的性质，即可判断．
【解答】解：过点作于点，沿修建道路就能满足小路最短，这样做的依据是：垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
题型四 点到直线的距离
【例题4】（2022春•邛崃市期中）如图，点是直线外的一点，点、、在直线上，且，垂足是，，则下列不正确的语句是
A．线段的长是点到直线的距离
B．、、三条线段中，最短
C．线段的长是点到直线的距离
D．线段的长是点到直线的距离
【分析】利用点到直线的距离的定义、垂线段最短分析．
【解答】解：、根据点到直线的距离的定义：即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确；
、根据垂线段最短可知此选项正确；
、线段的长是点到直线的距离，故选项错误；
、根据点到直线的距离即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确．
故选：．
【变式4-1】（2022春•顺德区校级期中）如图，在直线外一点与直线上各点的连线中，，，，，则点到直线的距离为
A．3B．4C．4.3D．5
【分析】由点到直线的距离概念，即可选择．
【解答】解：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，
点到直线的距离为垂线段的长度，
故选：．
【变式4-2】（2022春•海沧区校级期末）如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，则下列说法正确的是
A．点到直线的距离等于4B．点到直线的距离等于4
C．点到的距离等于4D．点到的距离等于3
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据点到直线的距离的概念解答即可．
【解答】解：在中，，
根据点到直线的距离的概念可知，
点到直线的距离等于4，
点到直线的距离等于5，
点到的距离等于3，
点到的距离等于．
故选：．
【变式4-3】（2022春•平桂区 期末）如图，直线外一点，点、、、都在直线上，则点到直线的距离是
A．线段的长度B．线段的长度C．线段的长度D．线段的长度
【变式4-4】（2022秋•香坊区校级期中）如图，，点到线段的距离指的是下列哪条线段的长度
A．B．C．D．
【分析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
【解答】解：，
，
点到线段的距离指的是线段的长度．
故选：．
【变式4-5】（2022春•双峰县期末）如图，点在点北偏东的方向，点在点北偏西的方向，且，则点到直线的距离是
A．B．C．D．
【分析】根据已知证明，再根据直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离解答．
【解答】解：如图，
由题意得，，，，
，
，
，
，
，
点到直线的距离．
故选：．
题型五 余角与补角的定义
【例题5】（2022秋•思明区校级月考）已知，则它的补角为
A．B． C． D．
【分析】由补角的概念，即可计算．
【解答】解：．
故选：．
【变式5-1】（2022春•碑林区期末）已知，则的补角等于
A．B．C．D．
【分析】利用互补两角和为求解即可．
【解答】解：互补两角和为，
的补角为．
故选：．
【变式5-2】（2021秋•天元区校级期末）一个角的度数是，则它的余角的度数为 48 ．
【分析】根据余角的定义进行计算即可．
【解答】解：一个角的度数是，则它的余角的度数为，
故答案为：48．
【变式5-3】（2022秋•大冶市期末）一个角的余角的3倍与它的补角相等，则这个角的度数为 ．
【分析】根据余角和补角的概念以及题意可设这个角为，得到关于的方程，于是得到结论．
【解答】解：设这个角的度数是，根据题意，列方程得：
，
解方程，得．
答：这个角的度数．
故答案为：．
【变式5-4】（2021秋•零陵区期末）一个角的度数为，那么这个角的补角度数为 ．
【分析】根据补角的和等于计算即可．
【解答】解：一个角的度数是，
它的补角．
故答案为：．
【变式5-5】（2021秋•余干县校级期末）已知一个角的补角比这个角的余角的4倍大，则这个角是 ．
【分析】设这个角为，则其余角为，补角为，根据题意可列出方程，解出即可．
【解答】解：设这个角为，则其余角为，补角为，
由题意得：，
解得：．
故答案为：．
题型六 相交线中角度的计算
【例题6】如图，直线，相交于点，已知，，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】设，根据邻补角的概念得到，根据题意列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设，
则，
由题意得：，
解得：，
，
故选：．
【变式6-1】（2022秋•东方期末）如图，已知直线、相交于点，平分，若，则度数是
A．B．C．D．
【分析】根据对顶角相等可得，再根据角平分线的性质，可得，进而得到答案．
【解答】解：，
，
平分，
．
故选：．
【变式6-2】（2022秋•万全区期末）如图，直线，相交于点，，垂直为点，，则
A．B．C．D．
【分析】利用对顶角的定义结合垂线的定义得出求出即可．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
【变式6-3】2022•邹城市校级开学）如图，在内部作，平分．若，则
A．B．C．D．
【分析】由角平分线的定义可求，由垂直的定义得到，即可求出．
【解答】解：平分，
，
，
，
．
故选：．
【变式6-4】（2021秋•岳阳楼区期末）如图，直线和直线相交于点，平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【分析】（1）根据平角的定义以及角平分线的意义进行计算即可；
（2）根据邻补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出的大小，再由对顶角相等得出答案．
【解答】解：（1）直线和直线相交于点，，
，
又平分．
；
（2），，
，，
又平分．
，
．
【变式6-5】（2022春•碑林区校级月考）如图，直线与相交于点，，，射线平分，求的度数．
【分析】根据角平分线的定义以及对顶角、平角的定义，列方程求解即可．
【解答】解：射线平分，
，
由于，可设，则，
又，
，
，
，
解得，
，
答：的度数为．
解题技巧提炼
解题关键是掌握对顶角、邻补角的定义
解题技巧提炼
熟练掌握各种角的定义是解题的关键
解题技巧提炼
解题关键是熟悉垂线段最短的知识点
解题技巧提炼
按照点到直线的距离的定义，及垂线段最短的性质解题．
解题技巧提炼
熟练掌握余角和补角的定义进行解题。
解题技巧提炼
熟练掌握各角知识点的定义进行解题。