高考物理一轮复习重难点逐个突破专题12三力平衡中的动态平衡问题及最小值问题(原卷版+解析)

这是一份高考物理一轮复习重难点逐个突破专题12三力平衡中的动态平衡问题及最小值问题(原卷版+解析)，共25页。试卷主要包含了三个力的动态平衡问题，三个力的动态平衡问题的解法，图解法分析的一般顺序等内容，欢迎下载使用。

1、三个力的动态平衡问题:一个力恒定，另外两个力的大小或(和)方向不断变化， 但物体仍然平衡，关键词——缓慢转动、缓慢移动……
2、三个力的动态平衡问题的解法
1）解析法——画好受力分析后，对力进行分解列平衡方程，然后由角度变化分析力的变化规律.
2）图解法——画好受力分析图后，将三个力按顺序首尾相接构成力的封闭三角形，由于三角形的边的长短反映力的大小，从动态三角形边的长度变化规律看出力的变化规律.
3、图解法分析的一般顺序：封闭的矢量三角形→等腰三角形→相似三角形→圆与矢量三角形相结合或正弦定理→圆与矢量三角形相结合
考点一 解析法分析三个力的动态平衡问题
解析法：对研究对象进行受力分析，列平衡方程，根据角度变化分析力的变化规律.
1．（2022·江苏南通·高二期末）如图所示，半球形碗静止于水平地面上，一只可视为质点的蚂蚁在碗内缓慢从b点爬到a点的过程中（ ）
A．蚂蚁受到的弹力逐渐变大
B．蚂蚁受到的摩擦力逐渐变大
C．蚂蚁受到的合力逐渐变大
D．地面对碗的摩擦力逐渐变大
1.【答案】B
【详解】
AB．设蚂蚁所在位置的切线与水平方向夹角为θ，对蚂蚁分析得
支持力和静摩擦力分别为FN=mgcsθ，f=mgsinθ故A错误，B正确；
C．蚂蚁缓慢上爬的过程中θ变大，可知蚂蚁受到的支持力减小，静摩擦力增大。
又因为蚂蚁缓慢移动，视为平衡状态，故所受合力为零保持不变，故C错误；
D．系统保持平衡状态，则地面对碗的摩擦力为零保持不变，故D错误。
2.(多选)如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，已知A的圆半径为球B的半径的3倍，球B所受的重力为G，整个装置处于静止状态．设墙壁对B的支持力为F1，A对B的支持力为F2，若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则F1、F2的变化情况分别是( )
A．F1减小 B．F1增大
C．F2增大 D．F2减小
考点二 矢量三角形法分析三个力的动态平衡问题
矢量三角形法常用于三个力中只有一个力的方向发生变化的情况.
3.质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上。用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示。用T 表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中( )
A.F逐渐变大，T逐渐变大 B.F逐渐变大，T逐渐变小
C.F逐渐变小，T逐渐变大 D.F逐渐变小，T逐渐变小
4.如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间N1，球对木板的压力大小为N2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦，在此过程中（ ）
A.N1始终减小，N2始终增大 B.N1始终减小，N2始终减小
C.N1先增大后减小，N2始终减小 D.N1先增大后减小，N2先减小后增大
5.（多选）如图所示为内壁光滑的半圆形凹槽M，O为圆心，∠AOB=60°，OA水平，小物块在与水平方向成45°角的斜向上的推力F作用下静止于B处。在将推力F沿逆时针方向缓慢转到水平方向的过程中小物块始终静止，则( )
A．凹槽M对小物块的支持力逐渐减小
B．凹槽M对小物块的支持力逐渐增大
C．推力F先减小后增大
D．推力F逐渐增大
考点三 等腰三角形法分析三个力的动态平衡问题
等腰三角形（解析法也很简单）常用于一个力大小、方向均确定，另两个力大小相等、但大小和方向均不确定
6.(2022·苏州模拟)如图，用两根等长轻绳将木板悬挂在竖直木桩上等高的两点，制成一简易秋千。某次维修时将两轻绳剪去一小段，但仍保持等长且悬挂点不变。木板静止时，F1表示木板所受合力的大小，F2表示单根轻绳对木反拉力的大小，则维修后（ ）
A.F1不变，F2变大 B.F1不变，F2变小
C.F1变大，F2变大 D.F1变小，F2变小
7.如图所示器材为一秋千，用两根等长轻绳将一座椅悬挂在竖直支架上等高的两点．由于长期使用，导致两根支架向内发生了稍小倾斜，如图中虚线所示， 但两悬挂点仍等高．座椅静止时用F表示所受合力的大小，F1表示单根轻绳对座椅拉力的大小，与倾斜前相比（ ）
A．F 不变，F1变小 B．F 不变，F1变大
C．F 变小，F1变小 D．F 变大，F1变大
8.如图所示。用钢筋弯成的支架，水平虚线的上端是半圆形，的下端笔直竖立。一不可伸长的轻绳通过动滑轮悬挂一重物．现将轻绳的一端固定于支架上的点，另一端从点处沿支架向最高点处缓慢地靠近点与点等高），则绳中拉力
A．先变大后不变B．先不变后变大
C．先不变后变小D．保持不变
考点四 利用几何三角形和矢量三角形相似分析三个力的动态平衡问题
三个力的动态平衡问题中有两个力的方向变化时优先考虑利用几何三角形和矢量三角形相似来处理。
9.如图所示，光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮，后用力拉住，使小球静止．现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A到半球的顶点B的过程中，半球对小球的支持力FN和绳对小球的拉力FT的大小变化情况是( )。
A
C
B
O
A． FN变大，FT变小 B . FN变小，FT变大
C． FN变小，FT先变小后变大 D .FN不变，FT变小
10.如图所示，质量分布均匀的细杆中心为O点，O1为光滑铰链，O2为光滑定滑轮，O2在O1正上方，一根轻绳一端系于O点，另一端跨过定滑轮O2由水平外力F牵引，用FN表示铰链对杆的作用，现在外力F作用下，细杆从图示位置缓慢转到竖直位置的过程中，下列说法正确的是( )
A.F逐渐变小，FN大小不变 B.F逐渐变小，FN大小变大
C.F先变小后变大，FN逐渐变小 D.F先变小后变大，FN逐渐变大
11.一轻杆AC，其A端用光滑铰链固定在竖直轻杆AB上，C端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶B处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图所示。现将细绳缓慢往左拉，使杆AC与杆AB间的夹角θ逐渐减少，则在此过程中，拉力FT及杆AC所受压力FN的大小变化情况是( )
A．FN先减小，后增大 B.FN始终不变
C．F先减小，后增大 D.F始终不变
考点五 圆与动态矢量三角形结合或者利用正弦定理分析三个力的动态平衡问题
圆与动态矢量三角形结合或者利用正弦定理常用于以下两种情况
1.一个力大小方向均确定，另外两个力大小方向均变化但夹角保持不变
2.一个力大小方向均确定，一个力大小确定但方向不确定，另一个力大小方向均不确定
12.(多选)如图所示装置，两根细绳拴住一球，保持两细绳间的夹角θ=120°不变，若把整个装置在竖直平面内顺时针缓慢转过90°，则在转动过程中，CA绳的拉力FT1大小和CB绳的拉力FT2的大小变化情况是（ ）
A．FT1一直增大 B．FT1先增大后减小
C．FT2一直减小 D． FT2最终变为零
13.(2017·新课标Ⅰ卷)(多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为()。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中( )
A.MN上的张力逐渐增大 B.MN上的张力先增大后减小
C.OM上的张力逐渐增大 D.OM上的张力先增大后减小
14.(多选)在共点力的合成实验中，如图，用 A，B 两只弹簧秤把橡皮条上的节点拉到某一位置 O，这时两绳套 AO，BO 的夹角小于 90°，现在保持弹簧秤 A 的示数不变而改变其拉力方向使α角变小，那么要使结点仍在位置 O，就应该调整弹簧秤 B 的拉力的大小及β角，则下列调整方法中可行的是 （ ）
A、增大 B 的拉力，增大β角 B、增大 B 的拉力，β角不变
C、增大 B 的拉力，减小β角 D、B 的拉力大小不变，增大β角
考点六 三力平衡中的最小值问题
如果三个力的动态平衡问题中，一个力的大小方向都不变，另一个力的方向不变，而第三个力的方向变化到某一状态，与另一个方向变化的力互相垂直时则这个力有最小值。
15.如图所示，重力为G的小球用轻绳悬于O点，用力F拉住小球，使轻绳保持偏离竖直方向60°角且不变，当F与竖直方向的夹角为θ时F最小，则θ、F的值分别为( )
A.0°，G B.30°，eq \f(\r(3),2)G
C.60°，G D.90°，eq \f(1,2)G
16.如图所示，三根长度均为l的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距为2l。现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加的力的最小值为( )
A.mg B.eq \f(\r(3),3)mg C.eq \f(1,2)mg D.eq \f(1,4)mg
考点六 晾衣绳模型
(1)挂钩悬挂的衣服静止不动或缓慢移动时受力平衡，不计摩擦时挂钩两端绳的拉力大小相等，点处两绳拉力的合力竖直向上，左右两段绳与竖直方向的夹角也相等。
(2)绳总长度不变时，sinα＝eq \f(d,l)，绳中张力与衣服重力的关系为：2Fcsα＝mg这两个关系是分析晾衣绳问题的关键。
17.(多选)如图所示，晾晒衣服的绳子轻且光滑，悬挂衣服的衣架的挂钩也是光滑的，轻绳两端分别固定在两根竖直杆上的A、B两点，衣服处于静止状态。如果保持绳子A端位置不变，将B端分别移动到不同的位置，下列判断正确的是( )
A．B端移到B1位置时，绳子张力不变
B．B端移到B2位置时，绳子张力变小
C．B端在杆上的位置不动，将杆移动到虚线位置时，绳子张力变大
D．B端在杆上的位置不动，将杆移动到虚线位置时，绳子张力变小
18.（2022·重庆市朝阳中学高三开学考试）如图所示，一固定的“”型支架两端连有一根长为L的轻绳，光滑轻质挂钩下端悬挂质量为m的重物跨在轻上（挂钩可沿轻绳滑动）。开始时绳子固定在支架上等高的基N两点，绳中拉力为F，现保持绳子左端固定且绳长不变，将绳子右端从N点沿竖直支架缓慢移至P点，再从P点沿圆弧支架向左端缓慢移至Q点。关于绳子拉力F的变化，下列说法正确的是（ ）
A．从N→P→Q的过程中，拉力F一直不变
B．从N→P→Q的过程中，拉力F先不变，再减小
C．从N→P→Q的过程中，拉力F一直变大
D．从N→P→Q的过程中，拉力F先增大，再减小
专题12 三力平衡中的动态平衡问题及最小值问题
1、三个力的动态平衡问题:一个力恒定，另外两个力的大小或(和)方向不断变化， 但物体仍然平衡，关键词——缓慢转动、缓慢移动……
2、三个力的动态平衡问题的解法
1）解析法——画好受力分析后，对力进行分解列平衡方程，然后由角度变化分析力的变化规律.
2）图解法——画好受力分析图后，将三个力按顺序首尾相接构成力的封闭三角形，由于三角形的边的长短反映力的大小，从动态三角形边的长度变化规律看出力的变化规律.
3、图解法分析的一般顺序：封闭的矢量三角形→等腰三角形→相似三角形→圆与矢量三角形相结合或正弦定理→圆与矢量三角形相结合
考点一 解析法分析三个力的动态平衡问题
解析法：对研究对象进行受力分析，列平衡方程，根据角度变化分析力的变化规律.
1．（2022·江苏南通·高二期末）如图所示，半球形碗静止于水平地面上，一只可视为质点的蚂蚁在碗内缓慢从b点爬到a点的过程中（ ）
A．蚂蚁受到的弹力逐渐变大
B．蚂蚁受到的摩擦力逐渐变大
C．蚂蚁受到的合力逐渐变大
D．地面对碗的摩擦力逐渐变大
【答案】B
【详解】
AB．设蚂蚁所在位置的切线与水平方向夹角为θ，对蚂蚁分析得
支持力和静摩擦力分别为FN=mgcsθ，f=mgsinθ故A错误，B正确；
C．蚂蚁缓慢上爬的过程中θ变大，可知蚂蚁受到的支持力减小，静摩擦力增大。
又因为蚂蚁缓慢移动，视为平衡状态，故所受合力为零保持不变，故C错误；
D．系统保持平衡状态，则地面对碗的摩擦力为零保持不变，故D错误。
2.(多选)如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，已知A的圆半径为球B的半径的3倍，球B所受的重力为G，整个装置处于静止状态．设墙壁对B的支持力为F1，A对B的支持力为F2，若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则F1、F2的变化情况分别是( )
A．F1减小 B．F1增大
C．F2增大 D．F2减小
【答案】AD
【详解】
解析 以球B为研究对象，受力分析如图所示，
可得出F1＝Gtan θ，F2＝eq \f(G,cs θ)，当A向右移动少许后，θ减小，则F1减小，F2减小，故A、D正确．
考点二 矢量三角形法分析三个力的动态平衡问题
矢量三角形法常用于三个力中只有一个力的方向发生变化的情况.
3.质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上。用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示。用T 表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中( )
A.F逐渐变大，T逐渐变大 B.F逐渐变大，T逐渐变小
C.F逐渐变小，T逐渐变大 D.F逐渐变小，T逐渐变小
【答案】A
【解析】对结点O受力分析，
重力的大小和方向均不变，水平拉力F的方向不变，绳拉力在转动，满足三力平衡的动态平衡，如图所示：
可得，水平拉力F逐渐增大，绳的拉力逐渐增大，故选A。
4.如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间N1，球对木板的压力大小为N2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦，在此过程中（ ）
A.N1始终减小，N2始终增大 B.N1始终减小，N2始终减小
C.N1先增大后减小，N2始终减小 D.N1先增大后减小，N2先减小后增大
【答案】B
【解析】
以小球为研究对象，分析受力情况：重力G、墙面的支持力N1’和木板的支持力N2’。
根据牛顿第三定律得知，N1＝N1’， N2＝N2’。根据平衡条件得：，，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置的过程中，θ增大，ctθv减小，sinθ增大，则N1’和N2’都始终减小，故N1和N2都始终减小，故选B。
5.（多选）如图所示为内壁光滑的半圆形凹槽M，O为圆心，∠AOB=60°，OA水平，小物块在与水平方向成45°角的斜向上的推力F作用下静止于B处。在将推力F沿逆时针方向缓慢转到水平方向的过程中小物块始终静止，则( )
A．凹槽M对小物块的支持力逐渐减小
B．凹槽M对小物块的支持力逐渐增大
C．推力F先减小后增大
D．推力F逐渐增大
【答案】BC
【解析】以小物块为研究对象，分析受力情况，如图所示。
物块受到重力G、支持力FN和
推力F三个力作用，根据平衡条件可知，FN和F的合力与G大小相等，方向相反。将推力
F逆时针缓慢转到水平方向的过程中(F由位置1到位置3)，根据图示的平行四边形或三角形可知，凹槽M对小物块的支持力FN逐渐增大，推力F先减小后增大，当F与FN垂直时，F最小。故A、D两项错误，B、C两项正确。
考点三 等腰三角形法分析三个力的动态平衡问题
等腰三角形（解析法也很简单）常用于一个力大小、方向均确定，另两个力大小相等、但大小和方向均不确定
6.(2022·苏州模拟)如图，用两根等长轻绳将木板悬挂在竖直木桩上等高的两点，制成一简易秋千。某次维修时将两轻绳剪去一小段，但仍保持等长且悬挂点不变。木板静止时，F1表示木板所受合力的大小，F2表示单根轻绳对木反拉力的大小，则维修后（ ）
A.F1不变，F2变大 B.F1不变，F2变小
C.F1变大，F2变大 D.F1变小，F2变小
【答案】A
【解析】解法一.前后两次木板始终处于静止状态，因此前后两次木板所受合力F1都等于零，保持不变，C、D错误；绳子剪去一段后长度变短，悬挂木板时绳子与竖直方向夹角θ变大，将力沿水平方向和竖直方向正交分解，在竖直方向上，2 F2csθ=mg，而物体的重力不变，因此单根绳的拉力F2变大，A正确，B错误。
解法二. 将三个力按顺序首尾相接，构成一个封闭的三角形如图。
轻绳剪去一小段后这个力的三角形的顶角变大，从图中可以得到则绳中张力 F逐渐减小，由于座椅仍静止所受合力 F1 始终为零。选 A。
7.如图所示器材为一秋千，用两根等长轻绳将一座椅悬挂在竖直支架上等高的两点．由于长期使用，导致两根支架向内发生了稍小倾斜，如图中虚线所示， 但两悬挂点仍等高．座椅静止时用F表示所受合力的大小，F1表示单根轻绳对座椅拉力的大小，与倾斜前相比（ ）
A．F 不变，F1变小 B．F 不变，F1变大
C．F 变小，F1变小 D．F 变大，F1变大
【答案】A
【解析】座椅受力如图所示，
将三个力按顺序首尾相接，构成一个封闭的矢量三角形如图。两根支架向内发生了稍小倾斜，则这个力的三角形的顶角变小，从图中可以得到则绳中张力 F1逐渐减小，由于座椅仍静止所受合力 F 始终为零。选 A。
8.如图所示。用钢筋弯成的支架，水平虚线的上端是半圆形，的下端笔直竖立。一不可伸长的轻绳通过动滑轮悬挂一重物．现将轻绳的一端固定于支架上的点，另一端从点处沿支架向最高点处缓慢地靠近点与点等高），则绳中拉力
A．先变大后不变B．先不变后变大
C．先不变后变小D．保持不变
【答案】C
【解析】解法一：滑轮受力如图所示，
将三个力按顺序首尾相接，构成一个等腰三角形。 由动态过程可知，这个矢量三角形的顶角先保持不变，然后增大，则绳中张力先保持不变，后逐渐减小。选 C。
解法二：分析 当轻绳的右端从点移到直杆的最上端的过程中，根据几何知识分析得到滑轮两侧绳子的夹角不变，由平衡条件判断出绳子的拉力保持不变。
当轻绳的右端从直杆的最上端移到时，两绳的夹角减小。滑轮两侧绳子的拉力大小相等，方向关于竖直方向对称。以滑轮为研究对象，根据平衡条件研究绳的拉力变化情况。
解：当轻绳的右端从点移到直杆的最上端的过程中，设两绳的夹角为。
设绳子总长为，两直杆间的距离为，则，、不变，则保持不变。
再根据平衡条件可知，两绳的拉力保持不变。
当轻绳的右端从直杆的最上端移到时，设两绳的夹角为．以滑轮为研究对象，分析受力情况，作出力图如图1所示。
根据平衡条件得：
则： 所以在当轻绳的右端从直杆的最上端移到时的过程中，减小，增大，则变小，C正确，ABD错误；
考点四 利用几何三角形和矢量三角形相似分析三个力的动态平衡问题
三个力的动态平衡问题中有两个力的方向变化时优先考虑利用几何三角形和矢量三角形相似来处理。
9.如图所示，光滑的半球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮，后用力拉住，使小球静止．现缓慢地拉绳，在使小球沿球面由A到半球的顶点B的过程中，半球对小球的支持力FN和绳对小球的拉力FT的大小变化情况是( )。
A
C
B
O
A． FN变大，FT变小 B . FN变小，FT变大
C． FN变小，FT先变小后变大 D .FN不变，FT变小
【答案】D
【解析】
小球受力如图，
由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可成如图所示闭合三角形。在三角形中这三个力与 AOO 的三边始终平 行，即力的三角形与几何三角形 AOO 相似。则 其中mg、R、h 均不变，L 逐渐减小，则由上式可知，FN 不变， FT 变小。
10.如图所示，质量分布均匀的细杆中心为O点，O1为光滑铰链，O2为光滑定滑轮，O2在O1正上方，一根轻绳一端系于O点，另一端跨过定滑轮O2由水平外力F牵引，用FN表示铰链对杆的作用，现在外力F作用下，细杆从图示位置缓慢转到竖直位置的过程中，下列说法正确的是( )
A.F逐渐变小，FN大小不变 B.F逐渐变小，FN大小变大
C.F先变小后变大，FN逐渐变小 D.F先变小后变大，FN逐渐变大
【答案】A
【解析】
画出杆的受力图如图所示，
根据相似三角形可知，因OO1和O1O2不变，则FN不变；随着OO2的减小，F减小，A项正确。
11.一轻杆AC，其A端用光滑铰链固定在竖直轻杆AB上，C端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶B处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图所示。现将细绳缓慢往左拉，使杆AC与杆AB间的夹角θ逐渐减少，则在此过程中，拉力FT及杆AC所受压力FN的大小变化情况是( )
A．FN先减小，后增大 B.FN始终不变
C．F先减小，后增大 D.F始终不变
答案B
【解析】C 点受力如图，
由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形。很 容易发现，这三个力与 ABC 的三边始终平行，即力的三角形与几何三角形 ABC 相似。则 其中，G、AC、AB 均不变，BC 逐渐减小，则由上式可知， FN 不变， F 变小。B 正确
考点五 圆与动态矢量三角形结合或者利用正弦定理分析三个力的动态平衡问题
圆与动态矢量三角形结合或者利用正弦定理常用于以下两种情况
1.一个力大小方向均确定，另外两个力大小方向均变化但夹角保持不变
2.一个力大小方向均确定，一个力大小确定但方向不确定，另一个力大小方向均不确定
12.(多选)如图所示装置，两根细绳拴住一球，保持两细绳间的夹角θ=120°不变，若把整个装置在竖直平面内顺时针缓慢转过90°，则在转动过程中，CA绳的拉力FT1大小和CB绳的拉力FT2的大小变化情况是（ ）
A．FT1一直增大 B．FT1先增大后减小
C．FT2一直减小 D． FT2最终变为零
【答案】BCD
【解析】解法一（圆与动态矢量三角形结合）：画受力分析图，构建初始力的三角形，
由于这个三角形中重力不变，另两个力的夹角(180°－θ)保持不变，这类似于圆周角与对应弦长的关系，因此，作初始三角形的外接圆（任意两边的中垂线交点即外接圆圆心），然后让另两个力的交点在圆周上按 FT1、FT2的方向变化规律滑动，即可看出结果。
解 如右图，力的三角形的外接圆正好是以初态时的 FT2为直径的圆周，易 知 FT1先变大到最大为圆周直径，然后变小，FT2一直变小。
解法二（正弦定理）：分析画受力分析图，构建初始力的三角形，在这个三角形中，小球重力不变，FT1 、FT2的夹角(180°－θ)保持不变，设另外两个夹角分别为α、β，写出这个三角形的正弦定理方程，即可根据α、β的变化规律得到FT1 、FT2的变化规律。
解 如图，
由正弦定理有
整个装置顺时针缓慢转动 90°过程的中θ角和 mg 保持不变，α角从 30°增大，β角从 90°减小，易知FT1 先变大后变小，FT2 一直变小。
13.(2017·新课标Ⅰ卷)(多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为()。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中( )
A.MN上的张力逐渐增大 B.MN上的张力先增大后减小
C.OM上的张力逐渐增大 D.OM上的张力先增大后减小
【答案】AD
【解析】以重物为研究对象，受重力mg，OM绳上拉力F2，MN上拉力F1，
由题意知，三个力合力始终为零，矢量三角形如图所示，在F2转至水平的过程中，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以AD正确，BC错误。
14.(多选)在共点力的合成实验中，如图，用 A，B 两只弹簧秤把橡皮条上的节点拉到某一位置 O，这时两绳套 AO，BO 的夹角小于 90°，现在保持弹簧秤 A 的示数不变而改变其拉力方向使α角变小，那么要使结点仍在位置 O，就应该调整弹簧秤 B 的拉力的大小及β角，则下列调整方法中可行的是 （ ）
A、增大 B 的拉力，增大β角 B、增大 B 的拉力，β角不变
C、增大 B 的拉力，减小β角 D、B 的拉力大小不变，增大β角
【答案】ABC
【解析】画受力分析图，构建初始力的三角形，然后“抓住不变，讨论变化”， 将 FA绕橡皮条拉力 F 端点转动形成一个圆弧，FB 的一 个端点不动，另一个端点在圆弧上滑动，即可看出结果。
如图，由于两绳套 AO、 BO 的夹角小于 90°，在力的三角形中，FA、 FB的顶角为钝角，当顺时针转动时，FA、 FB的顶角逐渐减小为直角然后为锐角。 由图可知，这个过程中 FB一直增大。故选 ABC。
考点六 三力平衡中的最小值问题
如果三个力的动态平衡问题中，一个力的大小方向都不变，另一个力的方向不变，而第三个力的方向变化到某一状态，与另一个方向变化的力互相垂直时则这个力有最小值。
15.如图所示，重力为G的小球用轻绳悬于O点，用力F拉住小球，使轻绳保持偏离竖直方向60°角且不变，当F与竖直方向的夹角为θ时F最小，则θ、F的值分别为( )
A.0°，G B.30°，eq \f(\r(3),2)G
C.60°，G D.90°，eq \f(1,2)G
【答案】B
【解析】分解小球重力，沿绳OA的分力FOA方向确定，另一分力F′方向不确定，但由三角形定则可看出，另一分力F′大小与θ角的大小有关。当F′的方向与绳OA垂直时F′最小，力F最小，所以θ＝30°，Fmin＝Gcs 30°＝eq \f(\r(3),2)G，故B正确。答案 B
16.如图所示，三根长度均为l的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距为2l。现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加的力的最小值为( )
A.mg B.eq \f(\r(3),3)mg C.eq \f(1,2)mg D.eq \f(1,4)mg
【答案】C
【解析】
对C点进行受力分析，
由平衡条件可知，绳CD对C点的拉力FCD＝mgtan 30°，对D点进行受力分析，绳CD对D点的拉力F2＝FCD＝mgtan 30°，故F2是恒力，F1方向一定，则F1与F3的合力与F2等值反向，如图所示，由图知当F3垂直于绳BD时，F3最小，由几何关系可知，F3＝FCDsin 60°＝eq \f(1,2)mg，选项C正确。
考点六 晾衣绳模型
(1)挂钩悬挂的衣服静止不动或缓慢移动时受力平衡，不计摩擦时挂钩两端绳的拉力大小相等，点处两绳拉力的合力竖直向上，左右两段绳与竖直方向的夹角也相等。
(2)绳总长度不变时，sinα＝eq \f(d,l)，绳中张力与衣服重力的关系为：2Fcsα＝mg这两个关系是分析晾衣绳问题的关键。
17.(多选)如图所示，晾晒衣服的绳子轻且光滑，悬挂衣服的衣架的挂钩也是光滑的，轻绳两端分别固定在两根竖直杆上的A、B两点，衣服处于静止状态。如果保持绳子A端位置不变，将B端分别移动到不同的位置，下列判断正确的是( )
A．B端移到B1位置时，绳子张力不变
B．B端移到B2位置时，绳子张力变小
C．B端在杆上的位置不动，将杆移动到虚线位置时，绳子张力变大
D．B端在杆上的位置不动，将杆移动到虚线位置时，绳子张力变小
【答案】AD
【解析】
设绳子间的夹角为2α，绳子总长为L，两杆间距离为s，如图甲所示，由几何关系得：L1sinα＋L2sinα＝s，得sinα＝eq \f(s,L1＋L2)＝eq \f(s,L)。
当将B端移到B1位置或B2位置时，s、L都不变，则α也不变，衣服(包括衣架)受力如图乙所示，由平衡条件可知，2Fcsα＝mg，F＝eq \f(mg,2csα)，可见，绳子张力F也不变，A正确，B错误；B端在杆上的位置不动，将杆移动到虚线位置时，s减小，L不变，则α减小，csα增大，则F减小，C错误，D正确。
18.（2022·重庆市朝阳中学高三开学考试）如图所示，一固定的“”型支架两端连有一根长为L的轻绳，光滑轻质挂钩下端悬挂质量为m的重物跨在轻上（挂钩可沿轻绳滑动）。开始时绳子固定在支架上等高的基N两点，绳中拉力为F，现保持绳子左端固定且绳长不变，将绳子右端从N点沿竖直支架缓慢移至P点，再从P点沿圆弧支架向左端缓慢移至Q点。关于绳子拉力F的变化，下列说法正确的是（ ）
A．从N→P→Q的过程中，拉力F一直不变
B．从N→P→Q的过程中，拉力F先不变，再减小
C．从N→P→Q的过程中，拉力F一直变大
D．从N→P→Q的过程中，拉力F先增大，再减小
【答案】B
【解析】
以挂钩为研究对象，受力分析如图所示
根据平衡条件有F=mg2csθ
在绳子右端从N点沿竖直支架缓慢移至P点的过程中，设两直杆间的距离为x，根据数学知识有
sinθ=xL 可知θ保持不变，则csθ保持不变，故拉力F保持不变，在从P点沿圆弧支架向左端缓慢移至Q点的过程中，θ不断减小，则csθ不断变大，则F不断减小。故选B。