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高考物理一轮复习重难点逐个突破专题54带电粒子(体)在电场中的运动之圆周运动(原卷版+解析)
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这是一份高考物理一轮复习重难点逐个突破专题54带电粒子(体)在电场中的运动之圆周运动(原卷版+解析)，共38页。
考点二 电场力和重力作用下的匀速圆周运动（5-11T）
考点三 径向电场中的匀速圆周运动（12-16T）
考点四 利用“等效重力”法处理带电体在复合场中的圆周运动（17-26T）
考点一 仅在电场力作用下的匀速圆周运动
1．某原子电离后其核外只有一个电子，若该电子在核的静电力作用下绕核做匀速圆周运动，那么电子运动（ ）
A．半径越大，加速度越大B．半径越小，周期越大
C．半径越大，角速度越小D．半径越小，线速度越小
2．如图所示，真空中A、B两点相距6r，在A、B两点分别固定带电荷量均为＋Q的点电荷，AB连线的中点为O。质量为m、带电荷量为-q的粒子恰好能绕O点做匀速圆周运动，运动的轨迹半径为4r，不计粒子的重力，则粒子做圆周运动的速度大小为（ ）
A．45kQq5rmB．452kQq5rmC．25kQq5rmD．252kQq5rm
3．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，真空中固定着两个等量同种点电荷A、B，AB连线的中点为O。在过O点并且垂直于AB连线的平面内，a、b两个相同的带电粒子，仅在电场力的作用下，以O点为圆心做半径不同的匀速圆周运动。已知a的半径小于b的半径，不计两个粒子之间的相互作用，则下列说法正确的是（ ）
A．a粒子的动能一定比b粒子的动能小B．a粒子的动能一定比b粒子的动能大
C．a粒子的电势能一定比b粒子的电势能小D．a粒子的电势能一定比b粒子的电势能大
4．（2022·河北·高三学业考试）(多选)如图所示，真空空间中菱形区域ABCD的顶点B、D处分别固定有两个相同的点电荷，电荷量为+Q，若在A处放置一点电荷，C处的电场强度恰好为零。已知菱形的边长为a，∠DAB=60°，不计点电荷的重力。下列说法正确的是（ ）
A．在A处放置的点电荷的电荷量大小为QA=33Q
B．若将A处的点电荷由静止释放，该电荷将做加速直线运动
C．若将A处的点电荷以某一初速度释放，该电荷可能做匀速圆周运动
D．若将A处的点电荷以某一初速度释放，该电荷在A、C之间做往复直线运动
考点二 电场力和重力作用下的匀速圆周运动
5．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，竖直向上的匀强电场中固定一点电荷，一带电小球（可视为质点）可绕该点电荷在竖直面内做匀速圆周运动，a、b是运动轨迹上的最高点与最低点，两点电场强度分别为Ea、Eb，则（ ）
A．小球带正电，Ea>Eb
B．小球带正电，EaC．小球带负电，Ea>Eb
D．小球带负电，Ea6．如图所示，在某一空间存在竖直向上的匀强电场，场强大小为E，在该空间的A点固定电荷量为Q的负点电荷，现有一带正电的小球以速度v从B点水平飞入电场，已知A、B两点之间的距离为r，下列关于小球运动的描述正确的是（ ）
A．若场强E=mgq，小球一定做匀速圆周运动
B．若场强E=mgq，小球一定做匀速直线运动
C．若场强E=kQgrv2，小球一定做匀速圆周运动
D．若带正电小球满足qm=gE=mv2kQ，小球一定做匀速圆周运动
7．如图所示，空间分布着竖直向上的匀强电场E，现在电场区域内某点O处放置一负点电荷Q，并在以O点为球心的球面上选取a、b、c、d、e、f六点，其中ac连线为球的水平大圆直径，bd连线与电场方向平行。不计空气阻力，则下列说法中正确的是（ ）
A．b、d两点的电势相等
B．a、c两点的电场强度相同
C．将点电荷＋q从球面上b点移到f点，电势能减小
D．若从a点抛出一带正电小球，小球可能沿a、e、c、f所在圆周作匀速圆周运动
8．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，真空中固定的负点电荷所形成的电场中，有一质量为m=2×10−4kg的带电微粒，在此点电荷正下方与负点电荷的距离为0.3m的水平面内做半径为0.4m的匀速圆周运动，已知负点电荷带电荷量为Q=5×10−5C。取重力加速度g=10m/s2，静电力常量k=9.0×109Nm2/C2，则下列判断正确的是（ ）
A．微粒一定带正电，所带电荷量q=59×10−8C
B．微粒做圆周运动的角速度ω=103rad/s
C．微粒运动的圆周轨道上各点场强大小为1.8×106N/C
D．负点电荷对微粒做正功，微粒的电势能不断减少
9．（2022·江西萍乡·二模）如图所示，两个完全相同的正点电荷A和B，其连线AB沿竖直方向，中心为O，一重力不可忽略的带电小球C（图中未画出，可视为点电荷）恰能在点电荷A、B形成的电场中做匀速圆周运动，不计空气阻力，小球质量为m，带电荷量为q，速度大小为v，下列说法正确的是（ ）
A．小球可能带正电也可能带负电
B．小球做圆周运动的圆心在OB之间的某点
C．若m不变，q减小，v适当改变时，小球仍可在原轨道做圆周运动
D．若换一个质量不同但比荷相同的小球，小球仍可在原轨道做匀速圆周运动
10．(多选)已知无穷大均匀带电平板在其周围空间激发与平面垂直的匀强电场。现在水平无穷大带电平板上方某点固定一点电荷+Q。一质量为m、带电荷量为q的小球以点电荷Q为圆心做匀速圆周运动，其中AC、BD分别为圆周轨迹的水平和竖直直径，重力加速度为g，静电力常量为k，下列说法正确的是（ ）
A．无穷大平板带正电
B．圆周上的场强在B点有最小值，在D点有最大值
C．无穷大平板在空间激发的匀强电场强度大小为mgq
D．若A、C两点处的场强方向相互垂直，则小球做匀速圆周运动的半径为R=kQqmg
11．如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E，两个固定的等量正点电荷A、B，连线水平相距l，O点的AB的中点。有一质量为m的带负电小球在两电荷连线的中垂面内做匀速圆周运动，带电小球和电荷A的连线与AB连线夹角为45°，重力加速度为g，静电力常量为k。
（1）求带电小球电荷量的大小；
（2）若规定O点电势为0，两电荷连线所在水平面为重力势能的零势能面，求小球最大的电势能；
（3）若电荷AB的电荷量为Q=2El22k，求小球做匀速圆周运动的角速度。
考点三 径向电场中的匀速圆周运动
12．(多选)一径向电场的示意图，电场强度大小可表示为E=ar，a为常量。比荷相同的两粒子在半径r不同的圆轨道运动。不考虑粒子间的相互作用及重力，则（ ）
A．轨道半径r小的粒子角速度一定小
B．电荷量大的粒子的动能一定大
C．粒子的速度大小与轨道半径r一定无关
D．粒子的速度大小与轨道半径r一定有关
13. （2022·全国乙卷·T21）(多选)一种可用于卫星上的带电粒子探测装置，由两个同轴的半圆柱形带电导体极板（半径分别为R和）和探测器组成，其横截面如图（a）所示，点O为圆心。在截面内，极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比，方向指向O点。4个带正电的同种粒子从极板间通过，到达探测器。不计重力。粒子1、2做圆周运动，圆的圆心为O、半径分别为、；粒子3从距O点的位置入射并从距O点的位置出射；粒子4从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，轨迹如图（b）中虚线所示。则（ ）
A. 粒子3入射时的动能比它出射时的大
B. 粒子4入射时的动能比它出射时的大
C. 粒子1入射时的动能小于粒子2入射时的动能
D. 粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能
14．（2022·重庆·三模）“电子能量分析器”主要由处于真空中的电子偏转器和探测板组成。电子偏转器的简化剖面结构如图所示，A、B表示两个同心半圆金属板，两板间存在偏转电场，板A、B的电势分别为φA、φB。电子从偏转器左端的中央M进入，经过偏转电场后到达右端的探测板N。动能不同的电子在偏转电场的作用下到达板N的不同位置，初动能为Ek0的电子沿电势为φC的等势面C（图中虚线）做匀速圆周运动到达板N的正中间。动能为Ek1、Ek2的电子在偏转电场作用下分别到达板N的左边缘和右边缘，动能改变量分别为|ΔEk左|和|ΔEk右|。忽略电场的边缘效应及电子之间的相互影响。下列判断正确的是（ ）
A．偏转电场是匀强电场B．φA>φB
C．Ek1>Ek2D．|ΔEk左|>|ΔEk右|
15．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，在坐标系xOy的第Ⅰ象限内，分布着电场强度大小为E、沿y轴负方向的匀强电场；第Ⅱ象限内，圆心为O的14圆环状区域存在沿半径方向的辐向均匀电场，虚线ab为圆环外径和内径间的中心线，中心线上电场强度的大小也恒为E、方向均指向O点，ab圆弧的半径为R。从离子源飘出的正离子束（初速度可忽略），经第Ⅲ象限的电场加速后从x轴上的a点进入辐向电场，并沿中心线ab做圆周运动，之后由b点进入第Ⅰ象限并射到位于x轴的靶上。不计重力和离子间的相互作用，求：
（1）加速电场的电压。
（2）离子射到靶上时离O点的距离及其速率与比荷的函数关系。
16．“电子能量分析器”主要由处于真空中的电子偏转器和探测板组成。偏转器是由两个相互绝缘、半径分别为RA和RB的同轴（即z轴）带电足够长半圆柱面a、b组成。设在RA（1）判断半圆柱面a、b的电势高低，并说明理由；
（2）电子入射速度为v0时，恰能在xy平面内做以O为圆心的匀速圆周运动到达探测板，则v0大小为多少；
（3）若电子以某一速度射入偏转电场区域，速度方向与xy平面成45°角，且在垂直z轴方向的运动恰好与（2）相同，求电子到达探测板时，z轴方向上的位移大小。
考点四 利用“等效重力”法处理带电体在复合场中的圆周运动
1．“等效重力”及“等效重力加速度”：
在匀强电场中，将重力与电场力合成，如图所示，
则F合为“等效重力场”中的“等效重力”，g′＝ eq \f(F合,m) 为“等效重力场”中的“等效重力加速度”，F合的方向为“等效重力”的方向，也是“等效重力加速度”的方向.
2．等效最“高”点与最“低”点的确定方法
1）电场力和重力方向相反时
如下图，若qE＝mg，小球做匀速圆周运动；若qE＜mg，a点为等效最“高”点，b点等效最“低”点；若qE＞mg，a点即等效最“低”点 ，b点为等效最“高”点.
2）电场力和重力成一定角度时
如下图，在“等效重力场”中过圆周运动的圆心作“等效重力”的作用线，其反向延长线交于圆周上的那个点即为圆周运动的等效最“高”点，沿着“等效重力”的方向延长交于圆周的那个点为即等效最“低”点。
17.(多选)如图所示，用绝缘细线拴一带负电小球，在竖直平面内做圆周运动，匀强电场方向竖直向下，则( )
A．当小球运动到最高点a时，线的张力一定最小
B．当小球运动到最低点b时，小球的速度一定最大
C．当小球运动到最高点a时，小球的电势能最小
D．小球在运动过程中机械能不守恒
18．（2022·河北·高三开学考试）(多选)如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的电场强度E=mgtanθq
B．小球动能的最小值为Ek=mgL2csθ
C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大
19.（2022·山西运城模拟）(多选)如图所示，整个空间存在水平向左的匀强电场，一长为L的绝缘轻质细硬杆一端固定在O点、另一端固定一个质量为m、电荷量为＋q的小球P，杆可绕O点在竖直平面内无摩擦转动，电场的电场强度大小为E＝eq \f(\r(3)mg,3q).先把杆拉至水平位置，然后将杆无初速度释放，重力加速度为g，不计空气阻力，则( )
A．小球到最低点时速度最大
B．小球从开始至最低点过程中动能一直增大
C．小球对杆的最大拉力大小为eq \f(8\r(3),3)mg
D．小球可绕O点做完整的圆周运动
20．（2022·北京模拟）(多选)如图，在水平的匀强电场中，一个质量为m、电荷量为+q的小球，系在一根长为L的绝缘细线一端，小球可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径。已知重力加速度为g，电场强度，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时的机械能最大
B．若将小球在A点由静止开始释放，它将沿着ACBD圆弧运动
C．若小球在竖直平面内绕O点做完整的圆周运动，则它运动过程中的最小速度为
D．若将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，它将可以到B点
21．(2022·桂林秀峰区第一次调研)如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场，质量m＝1 kg的带正电的小球与长L＝2 m的绝缘细线相连，细线的上端固定于O点，O点距地面的高度为3 m，小球的电荷量q＝0.01 C，细线能承受的最大拉力T＝27 N，现将细线拉直与竖直方向成θ＝60°角由静止释放小球，当细线转到竖直方向OA时，细线恰好断裂，最后小球落到地面上，已知重力加速度g取10 m/s2，小球可视为质点，不计空气阻力，求：
(1)电场强度的大小；
(2)小球落地点与OA的水平距离。
22．（2022·全国·高三课时练习）在水平向右的匀强电场中，有一质量为m、带正电的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止时，细线与竖直方向夹角为θ，小球位于B点，A点与B点关于O点对称，如图所示，现给小球一个垂直于悬线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动。
（1）小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值多大？
（2）小球在B点的初速度多大？
23.如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心在O点，半径为r，内壁光滑，A、B两点分别是圆弧的最低点和最高点．该区间存在方向水平向右的匀强电场，一质量为m、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动(电荷量不变)，经C点时速度最大，O、C连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g.
(1)求小球所受到的电场力大小；
(2)小球在A点速度v0多大时，小球经B点时对轨道的压力最小？
24.如图所示，光滑水平轨道与半径为R的光滑竖直半圆轨道在B点平滑连接，在过圆心O的水平界面MN的下方分布有水平向右的匀强电场．现有一质量为m、电荷量为＋q的小球从水平轨道上A点由静止释放，小球运动到C点离开圆轨道后，经界面MN上的P点进入电场(P点恰好在A点的正上方，如图所示，小球可视为质点，小球运动到C点之前电荷量保持不变，经过C点后电荷量立即变为零)．已知A、B间距离为2R，重力加速度为g，在上述运动过程中，求：
(1)电场强度E的大小；
(2)小球在圆轨道上运动时的最大速率；
(3)小球对圆轨道的最大压力的大小．
25. （2022安阳一模）如图所示，空间有一水平向右的匀强电场，电场强度的大小为E=1.0×104 V/m。该空间有一个半径为R=2m的竖直光滑绝缘圆环的一部分，圆环与光滑水平面相切于C点，A点所在的半径与竖直直径BC成37°角。质量为m=0.04 kg、电荷量为q= +6×10-5 C的带电小球2（可视为质点）静止于C点。轻弹簧一端固定在竖直挡板上，另一端自由伸长时位于P点。质量也为m =0.04 kg的不带电小球1挨着轻弹簧右端，现用力缓慢压缩轻弹簧右端到P点左侧某点后释放。小球1沿光滑水平面运动到C点与小球2发生碰撞，碰撞时间极短，碰后两小球黏合在一起且恰能沿圆弧到达A点。P、C两点间距离较远，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，sin 37°=0.6，cs 37°=0.8。求：
（1）黏合体在A点速度大小；
（2）弹簧的弹性势能；
（3）小球黏合体由A点到达水平面运动的时间。
26．如图所示，BCDG是光滑绝缘的34圆形轨道，位于竖直平面内，轨道半径为R，下端与水平绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中。现有一质量为m、带正电的小滑块（可视为质点）置于水平轨道上，滑块受到的电场力大小为34mg，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为g。
（1）若滑块从水平轨道上距离B点s=3R的A点由静止释放，求滑块到达C点时受到轨道的作用力大小；
（2）改变s的大小，使滑块恰好始终沿轨道滑行，且从G点飞出轨道，求s的大小。
专题54 带电粒子(体)在电场中的运动之圆周运动
考点一 仅在电场力作用下的匀速圆周运动（1-4T）
考点二 电场力和重力作用下的匀速圆周运动（5-11T）
考点三 径向电场中的匀速圆周运动（12-16T）
考点四 利用“等效重力”法处理带电体在复合场中的圆周运动（17-26T）
考点一 仅在电场力作用下的匀速圆周运动
1．某原子电离后其核外只有一个电子，若该电子在核的静电力作用下绕核做匀速圆周运动，那么电子运动（ ）
A．半径越大，加速度越大B．半径越小，周期越大
C．半径越大，角速度越小D．半径越小，线速度越小
【答案】C
【解析】
根据库仑定律求出原子核与核外电子的库仑力．根据原子核对电子的库仑力提供向心力，由牛顿第二定律求出角速度，加速度，周期，线速度进行比较．
根据原子核对电子的库仑力提供向心力，由牛顿第二定律得
=ma=m=mω2r=，
可得a=
T=
ω=
v=
A、半径越大，加速度越小，故A错误；
B、半径越小，周期越小，故B错误；
C、半径越大，角速度越小，故C正确；
D、半径越小，线速度越大，故D错误．
2．如图所示，真空中A、B两点相距6r，在A、B两点分别固定带电荷量均为＋Q的点电荷，AB连线的中点为O。质量为m、带电荷量为-q的粒子恰好能绕O点做匀速圆周运动，运动的轨迹半径为4r，不计粒子的重力，则粒子做圆周运动的速度大小为（ ）
A．45kQq5rmB．452kQq5rmC．25kQq5rmD．252kQq5rm
【答案】B
【解析】由题意可知，负点电荷将绕O点在AB的中垂面里做匀速圆周运动，其受力图如图所示
其向心力为Fn=2FEcsθ=mv24r
根据库仑定律得FE=kQq3r2+4r2
根据几何关系得csθ=4r3r2+4r2
解得v=452kQq5rm
3．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，真空中固定着两个等量同种点电荷A、B，AB连线的中点为O。在过O点并且垂直于AB连线的平面内，a、b两个相同的带电粒子，仅在电场力的作用下，以O点为圆心做半径不同的匀速圆周运动。已知a的半径小于b的半径，不计两个粒子之间的相互作用，则下列说法正确的是（ ）
A．a粒子的动能一定比b粒子的动能小B．a粒子的动能一定比b粒子的动能大
C．a粒子的电势能一定比b粒子的电势能小D．a粒子的电势能一定比b粒子的电势能大
【答案】C
【解析】AB．a、b做匀速圆周运动，向心力为 Fa=mva2ra Fb=mvb2rb
同时 Fa=2F1csα Fb=2F2csβ
a、b相同粒子，a离场源电荷近，根据库仑力公式 F=kQqr2
可知 F1>F2
但 α>β
可得 csα所以不确定Fa=2F1csα与Fb=2F2csβ的大小，又 Eka=12mva2=12Fara Ekb=12mvb2=12Fbrb
它们的大小无法确定，AB错误；
CD．以A、B为正电荷为正电荷为例分析，如图所示
则a、b为负电荷，因为 φ=Epq
q为负电，则φ与Ep成反比，由电场线方向可知 φa>φb
沿电场线方向电势降低，则 Epa4．（2022·河北·高三学业考试）(多选)如图所示，真空空间中菱形区域ABCD的顶点B、D处分别固定有两个相同的点电荷，电荷量为+Q，若在A处放置一点电荷，C处的电场强度恰好为零。已知菱形的边长为a，∠DAB=60°，不计点电荷的重力。下列说法正确的是（ ）
A．在A处放置的点电荷的电荷量大小为QA=33Q
B．若将A处的点电荷由静止释放，该电荷将做加速直线运动
C．若将A处的点电荷以某一初速度释放，该电荷可能做匀速圆周运动
D．若将A处的点电荷以某一初速度释放，该电荷在A、C之间做往复直线运动
【答案】AC
【解析】A．如图所示，B、D两处的点电荷在C处产生的合场强大小 E=2kQa2cs30°=3kQa2
则A处的点电荷在C处产生的场强大小 E1=E=kQA3a2
解得 QA=33Q A正确；
B．分析可知，A处的点电荷带负电，将A处的点电荷由静止释放，该电荷在电场力作用下先由A向O做加速直线运动，再由O向C做减速直线运动，该电荷在A、C之间做往复直线运动，B错误；
C．若将A处的点电荷以某一垂直菱形ABCD所在平面的初速度释放，受到电场力指向BD中点，在电场力作用下，该电荷可能以O点为圆心做匀速圆周运动，C正确；
D．将A处的点电荷以某一初速度释放，如果初速度方向与A、C连线不共线，该电荷将做曲线运动，如果初速度方向与A、C连线共线，该电荷做往复直线运动的范围超过A、C之间，D错误。
故选AC。
考点二 电场力和重力作用下的匀速圆周运动
5．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，竖直向上的匀强电场中固定一点电荷，一带电小球（可视为质点）可绕该点电荷在竖直面内做匀速圆周运动，a、b是运动轨迹上的最高点与最低点，两点电场强度分别为Ea、Eb，则（ ）
A．小球带正电，Ea>Eb
B．小球带正电，EaC．小球带负电，Ea>Eb
D．小球带负电，Ea【答案】B
【解析】小球做匀速圆周运动，则匀强电场的电场力和小球所受重力平衡，所以小球带正电，固定的点电荷带负电，根据电场强度叠加原理可得Ea6．如图所示，在某一空间存在竖直向上的匀强电场，场强大小为E，在该空间的A点固定电荷量为Q的负点电荷，现有一带正电的小球以速度v从B点水平飞入电场，已知A、B两点之间的距离为r，下列关于小球运动的描述正确的是（ ）
A．若场强E=mgq，小球一定做匀速圆周运动
B．若场强E=mgq，小球一定做匀速直线运动
C．若场强E=kQgrv2，小球一定做匀速圆周运动
D．若带正电小球满足qm=gE=mv2kQ，小球一定做匀速圆周运动
【答案】D
【解析】A．若场强为E=mgq，则带正电的小球有qE=mg
若速度v合适，使库仑力恰好作为向心力kQqr2=mv2r
小球才能做匀速圆周运动，A错误；
B．带正电的小球受到的库仑力一定随距离不断变化，小球所受合力不可能始终平衡，故小球不可能做匀速直线运动，B错误；
CD．要使小球做匀速圆周运动，必须同时满足A解析中的两表达式，可解得qm=rv2kQ=gE
C错误，D正确。
7．如图所示，空间分布着竖直向上的匀强电场E，现在电场区域内某点O处放置一负点电荷Q，并在以O点为球心的球面上选取a、b、c、d、e、f六点，其中ac连线为球的水平大圆直径，bd连线与电场方向平行。不计空气阻力，则下列说法中正确的是（ ）
A．b、d两点的电势相等
B．a、c两点的电场强度相同
C．将点电荷＋q从球面上b点移到f点，电势能减小
D．若从a点抛出一带正电小球，小球可能沿a、e、c、f所在圆周作匀速圆周运动
【答案】D
【解析】A．因为负点电荷Q在 b、d两点形成的电势相等，而匀强电场在b、d两点的电势不相等，则叠加后b、d两点的电势不相等，选项A错误；
B．由对称性可知，a、c两点的电场强度大小相同，但是方向不同，选项B错误；
C．将点电荷＋q从球面上b点移到f点，负点电荷Q对点电荷+q不做功，但是匀强电场对点电荷+q做负功，则电势能增加，选项C错误；
D．若从a点抛出一带正电小球，若满足mg=qE，则带正电的小球在负点电荷Q的库仑吸引力的作用下能沿a、e、c、f所在圆周作匀速圆周运动，选项D正确；
8．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，真空中固定的负点电荷所形成的电场中，有一质量为m=2×10−4kg的带电微粒，在此点电荷正下方与负点电荷的距离为0.3m的水平面内做半径为0.4m的匀速圆周运动，已知负点电荷带电荷量为Q=5×10−5C。取重力加速度g=10m/s2，静电力常量k=9.0×109Nm2/C2，则下列判断正确的是（ ）
A．微粒一定带正电，所带电荷量q=59×10−8C
B．微粒做圆周运动的角速度ω=103rad/s
C．微粒运动的圆周轨道上各点场强大小为1.8×106N/C
D．负点电荷对微粒做正功，微粒的电势能不断减少
【答案】C
【解析】AC．微粒的受力如图所示
重力与库仑力的合力提供向心力，故微粒一定带正电，
由几何关系可得负点电荷与微粒之间的距离为L=0.32+0.42m=0.5m
根据点电荷场强公式可知微粒运动的圆周轨道上各点场强大小为
E=kQL2=9.0×109×5×10−50.52N/C=1.8×106N/C
由图中相似三角形可得mgℎ=qEL
解得微粒所带电荷量为q=mgLEℎ=2×10−4×10×0.51.8×106×0.3C=527×10−8CC正确，A错误；
B．微粒受到的合力提供向心力，根据图中相似三角形可得mgℎ=mω2RR
解得微粒做圆周运动的角速度为ω=gℎ=100.3rad/s=1033rad/sB错误；
D．库仑力与速度方向始终垂直，负点电荷对微粒一直不做功，微粒的电势能不变，D错误。
9．（2022·江西萍乡·二模）如图所示，两个完全相同的正点电荷A和B，其连线AB沿竖直方向，中心为O，一重力不可忽略的带电小球C（图中未画出，可视为点电荷）恰能在点电荷A、B形成的电场中做匀速圆周运动，不计空气阻力，小球质量为m，带电荷量为q，速度大小为v，下列说法正确的是（ ）
A．小球可能带正电也可能带负电
B．小球做圆周运动的圆心在OB之间的某点
C．若m不变，q减小，v适当改变时，小球仍可在原轨道做圆周运动
D．若换一个质量不同但比荷相同的小球，小球仍可在原轨道做匀速圆周运动
【答案】D
【解析】A．小球在A、B两点电荷形成的电场中做匀速圆周运动，小球受重力、两点电荷的电场力，电场力竖直分量与重力平衡，水平分量充当向心力，指向AB连线上的圆心，故小球必定带负电，A错误；
B．球在水平面内做匀速圆周运动，圆心一定在AB连线上，由于重力竖直向下，要求电场力一定斜向上指向AB连线，竖直分量与重力平衡，水平分量充当向心力，A、B点电荷激发的电场线如图所示
图中a、b、c三处均有可能是小球做圆周运动路径上的一点，b处对应的轨道圆的圆心在OB之间，B错误；
C．若m不变，q减小，原轨道上小球所受电场力减小，竖直分量减小，不可能与重力平衡，不可能在原轨道做圆周运动，C错误；
D．设电场强度方向与竖直方向夹角为θ，则Eqcsθ=mg Eqsinθ=mv2r=mgtanθ
可得 v2r=gtanθ
若换一个质量不同但比荷相同的小球，则电场力在竖直方向的分力仍可以和重力平衡，电场力在水平方向的分力提供向心力，所以小球仍可在原轨道做匀速圆周运动，D正确。
故选D。
10．(多选)已知无穷大均匀带电平板在其周围空间激发与平面垂直的匀强电场。现在水平无穷大带电平板上方某点固定一点电荷+Q。一质量为m、带电荷量为q的小球以点电荷Q为圆心做匀速圆周运动，其中AC、BD分别为圆周轨迹的水平和竖直直径，重力加速度为g，静电力常量为k，下列说法正确的是（ ）
A．无穷大平板带正电
B．圆周上的场强在B点有最小值，在D点有最大值
C．无穷大平板在空间激发的匀强电场强度大小为mgq
D．若A、C两点处的场强方向相互垂直，则小球做匀速圆周运动的半径为R=kQqmg
【答案】CD
【解析】C．小球受到重力、匀强电场的电场力、点电荷的库仑力，因为小球做匀速圆周运动，所以库仑力提供向心力，重力和平板对小球的电场力平衡mg=qE
无穷大平板在空间激发的匀强电场强度大小为E=mgq 故C正确；
A．点电荷带正电，故小球带负电，匀强电场对小球的电场力方向竖直向上，故电场强度竖直向下，无穷大平板带负电，故A错误；
B．固定点电荷在B、D两点产生的场强方向分别竖直向下和竖直向上，所以B处场强为两个分场强大小之和，D点为两者大小之差，所以B点场强最大，D点场强最小，故B错误；
D．若A、C两点处的场强方向相互垂直，则两分场强在两点处于水平方向的夹角均为45°，
所以kQR2=mgq
则R=kQqmg故D正确。
11．如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E，两个固定的等量正点电荷A、B，连线水平相距l，O点的AB的中点。有一质量为m的带负电小球在两电荷连线的中垂面内做匀速圆周运动，带电小球和电荷A的连线与AB连线夹角为45°，重力加速度为g，静电力常量为k。
（1）求带电小球电荷量的大小；
（2）若规定O点电势为0，两电荷连线所在水平面为重力势能的零势能面，求小球最大的电势能；
（3）若电荷AB的电荷量为Q=2El22k，求小球做匀速圆周运动的角速度。
【答案】（1）mgE；（2）12mgl；（3）2gl
【解析】（1）小球做匀速圆周运动，则有 qE=mg 可得 q=mgE
小球在运动过程中，机械能和电势能之和守恒，因此小球在最低点时电势能Ep最大，
有 12mv2+0=−l2mgl+Ep+12mv2 可得 Ep=12mgl
（3）固定电荷A对小球的库仑引力为 F=kQq22l2
小球所受合力提供向心力，得 2Fsin45−mω2l2 可得 ω=2gl
考点三 径向电场中的匀速圆周运动
12．(多选)一径向电场的示意图，电场强度大小可表示为E=ar，a为常量。比荷相同的两粒子在半径r不同的圆轨道运动。不考虑粒子间的相互作用及重力，则（ ）
A．轨道半径r小的粒子角速度一定小
B．电荷量大的粒子的动能一定大
C．粒子的速度大小与轨道半径r一定无关
D．粒子的速度大小与轨道半径r一定有关
【答案】BC
【解析】A．根据电场力提供向心力可得ar⋅q=mω2r
解得ω=aqm⋅1r可知轨道半径r小的粒子角速度大，故A错误；
BCD．根据电场力提供向心力可得ar⋅q=mv2r
解得v=aqm
又Ek=12mv2
联立可得Ek=aq2
可知电荷量大的粒子的动能一定大，粒子的速度大小与轨道半径r一定无关，故BC正确，D错误。
13. （2022·全国乙卷·T21）(多选)一种可用于卫星上的带电粒子探测装置，由两个同轴的半圆柱形带电导体极板（半径分别为R和）和探测器组成，其横截面如图（a）所示，点O为圆心。在截面内，极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比，方向指向O点。4个带正电的同种粒子从极板间通过，到达探测器。不计重力。粒子1、2做圆周运动，圆的圆心为O、半径分别为、；粒子3从距O点的位置入射并从距O点的位置出射；粒子4从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，轨迹如图（b）中虚线所示。则（ ）
A. 粒子3入射时的动能比它出射时的大
B. 粒子4入射时的动能比它出射时的大
C. 粒子1入射时的动能小于粒子2入射时的动能
D. 粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能
【答案】BD
【解析】C．在截面内，极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比，可设为
带正电的同种粒子1、2在均匀辐向电场中做匀速圆周运动，则有，
可得
即粒子1入射时的动能等于粒子2入射时的动能，故C错误；
A．粒子3从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，做向心运动，电场力做正功，则动能增大，粒子3入射时的动能比它出射时的小，故A错误；
B．粒子4从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，做离心运动，电场力做负功，则动能减小，粒子4入射时的动能比它出射时的大，故B正确；
D．粒子3做向心运动，有
可得
粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能，故D正确；
14．（2022·重庆·三模）“电子能量分析器”主要由处于真空中的电子偏转器和探测板组成。电子偏转器的简化剖面结构如图所示，A、B表示两个同心半圆金属板，两板间存在偏转电场，板A、B的电势分别为φA、φB。电子从偏转器左端的中央M进入，经过偏转电场后到达右端的探测板N。动能不同的电子在偏转电场的作用下到达板N的不同位置，初动能为Ek0的电子沿电势为φC的等势面C（图中虚线）做匀速圆周运动到达板N的正中间。动能为Ek1、Ek2的电子在偏转电场作用下分别到达板N的左边缘和右边缘，动能改变量分别为|ΔEk左|和|ΔEk右|。忽略电场的边缘效应及电子之间的相互影响。下列判断正确的是（ ）
A．偏转电场是匀强电场B．φA>φB
C．Ek1>Ek2D．|ΔEk左|>|ΔEk右|
【答案】D
【解析】AB．由题意可知电子在偏转器中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，等势面C上电场强度大小相等，但方向不同，而匀强电场处处大小相等，方向相同，电子受力的方向与电场的方向相反，所以B板的电势较高，故AB错误；
相较于做匀速圆周运动的电子，动能为Ek1的电子在做近心运动，动能为Ek2的电子在做离心运动，
可知 Ek2>Ek1 故C错误；
D．该电场是辐射状电场,内侧的电场线密集，电场强度大，根据U=Ed定性分析可知 UBC>UCA
即 φB−φC>φC−φA
所以 |ΔEk左|>|ΔEk右| 故D正确。 故选D。
15．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，在坐标系xOy的第Ⅰ象限内，分布着电场强度大小为E、沿y轴负方向的匀强电场；第Ⅱ象限内，圆心为O的14圆环状区域存在沿半径方向的辐向均匀电场，虚线ab为圆环外径和内径间的中心线，中心线上电场强度的大小也恒为E、方向均指向O点，ab圆弧的半径为R。从离子源飘出的正离子束（初速度可忽略），经第Ⅲ象限的电场加速后从x轴上的a点进入辐向电场，并沿中心线ab做圆周运动，之后由b点进入第Ⅰ象限并射到位于x轴的靶上。不计重力和离子间的相互作用，求：
（1）加速电场的电压。
（2）离子射到靶上时离O点的距离及其速率与比荷的函数关系。
【答案】（1）ER2；（2）2R，v=3EqRm
【解析】（1）设离子的质量为m，电荷量为q，加速电场的电压为U，加速后速度大小为v0，
则有 qU=12mv02
离子沿中心线ab做匀速圆周运动，由牛顿运动定律有 qE=mv02R
解得 U=ER2
（2）离子在匀强电场中做类平抛运动，设该过程加速度大小为a，时间为t，离子通过匀强电场后射到靶上时离O点的距离为x，速率为v，由牛顿运动定律及运动学规律有
qE=ma
R=12at2
x=v0t
解得 x=2R
设离子通过匀强电场后射到靶上时的速率为v，由动能定理有 qU+qER=12mv2
解得 v=3EqRm
16．“电子能量分析器”主要由处于真空中的电子偏转器和探测板组成。偏转器是由两个相互绝缘、半径分别为RA和RB的同轴（即z轴）带电足够长半圆柱面a、b组成。设在RA（1）判断半圆柱面a、b的电势高低，并说明理由；
（2）电子入射速度为v0时，恰能在xy平面内做以O为圆心的匀速圆周运动到达探测板，则v0大小为多少；
（3）若电子以某一速度射入偏转电场区域，速度方向与xy平面成45°角，且在垂直z轴方向的运动恰好与（2）相同，求电子到达探测板时，z轴方向上的位移大小。
【答案】（1）a的电势高于b；（2）qkm；（3）πR
【解析】（1）电子带负电，若要最后到达偏转器右端的探测板，电场力提供向心力，电子所受的电场力指向圆心，则电场方向由a→b，即a的电势高于b；
（2）电子做半径为R匀速圆周运动，则有qE=mv02R
解得 v0=qkm
（3）由第2问可知，只要且垂直于入射处直径的分速度为qkm，就能完成（2）的圆周运动，又v1与入射处直径和半圆柱体轴所在平面成45°入射，所以 v1=2qkm
运动时间为 t=12T=12×2πRv0=πRmqk
因此沿柱轴方向粒子的运动位移 x=vzt=22v1t=πR
考点四 利用“等效重力”法处理带电体在复合场中的圆周运动
1．“等效重力”及“等效重力加速度”：
在匀强电场中，将重力与电场力合成，如图所示，
则F合为“等效重力场”中的“等效重力”，g′＝ eq \f(F合,m) 为“等效重力场”中的“等效重力加速度”，F合的方向为“等效重力”的方向，也是“等效重力加速度”的方向.
2．等效最“高”点与最“低”点的确定方法
1）电场力和重力方向相反时
如下图，若qE＝mg，小球做匀速圆周运动；若qE＜mg，a点为等效最“高”点，b点等效最“低”点；若qE＞mg，a点即等效最“低”点 ，b点为等效最“高”点.
2）电场力和重力成一定角度时
如下图，在“等效重力场”中过圆周运动的圆心作“等效重力”的作用线，其反向延长线交于圆周上的那个点即为圆周运动的等效最“高”点，沿着“等效重力”的方向延长交于圆周的那个点为即等效最“低”点。
17.(多选)如图所示，用绝缘细线拴一带负电小球，在竖直平面内做圆周运动，匀强电场方向竖直向下，则( )
A．当小球运动到最高点a时，线的张力一定最小
B．当小球运动到最低点b时，小球的速度一定最大
C．当小球运动到最高点a时，小球的电势能最小
D．小球在运动过程中机械能不守恒
【答案】CD
【解析】若qE＝mg，小球做匀速圆周运动，球在各处对细线的拉力一样大．若qE＜mg，球在a处速度最小，若qE＞mg，球在a处速度最大，故A、B错误；a点电势最高，负电荷在电势最高处电势能最小，故C正确；小球在运动过程中除重力外，还有静电力做功，机械能不守恒，D正确．
18．（2022·河北·高三开学考试）(多选)如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的电场强度E=mgtanθq
B．小球动能的最小值为Ek=mgL2csθ
C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大
【答案】AB
【解析】A．小球静止时细线与竖直方向成θ角，对小球受力分析，小球受重力、拉力和电场力，三力平衡，根据平衡条件，有 qE=mgtanθ
解得 E=mgtanθq 选项A正确；
B．小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，在等效最高点A速度最小，根据牛顿第二定律，有 mgcsθ=mv2L
则最小动能 Ek=12mv2=mgL2csθ 选项B正确；
C．小球的机械能和电势能之和守恒，则小球运动至电势能最大的位置机械能最小，小球带负电，则小球运动到圆周轨迹的最左端点时机械能最小，选项C错误；
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，电场力先做正功，后做负功，再做正功，则其电势能先减小后增大，再减小，选项D错误。
故选AB。
19.（2022·山西运城模拟）(多选)如图所示，整个空间存在水平向左的匀强电场，一长为L的绝缘轻质细硬杆一端固定在O点、另一端固定一个质量为m、电荷量为＋q的小球P，杆可绕O点在竖直平面内无摩擦转动，电场的电场强度大小为E＝eq \f(\r(3)mg,3q).先把杆拉至水平位置，然后将杆无初速度释放，重力加速度为g，不计空气阻力，则( )
A．小球到最低点时速度最大
B．小球从开始至最低点过程中动能一直增大
C．小球对杆的最大拉力大小为eq \f(8\r(3),3)mg
D．小球可绕O点做完整的圆周运动
【答案】BC
【解析】如图所示，
小球受到的重力和电场力分别为mg和qE＝eq \f(\r(3),3)mg，此二力的合力大小为F＝eq \f(2\r(3),3)mg，方向为与竖直方向成30°角，可知杆转到最低点左侧合力F沿杆的方向时小球速度最大，A错，B对；设小球的最大速度为v，从释放到小球达到最大速度的过程，应用动能定理有：F(1＋eq \f(1,2))L＝eq \f(1,2)mv2，设小球速度最大时，杆对小球的拉力为Fm，对小球应用向心力公式有：Fm－F＝eq \f(mv2,L)，解得Fm＝eq \f(8\r(3),3)mg，由牛顿第三定律知C对；根据等效性可知杆转过240°角，速度减小为0，未到达圆周的最高点，小球不能做完整的圆周运动，D错．
20．（2022·北京模拟）(多选)如图，在水平的匀强电场中，一个质量为m、电荷量为+q的小球，系在一根长为L的绝缘细线一端，小球可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径。已知重力加速度为g，电场强度，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时的机械能最大
B．若将小球在A点由静止开始释放，它将沿着ACBD圆弧运动
C．若小球在竖直平面内绕O点做完整的圆周运动，则它运动过程中的最小速度为
D．若将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，它将可以到B点
【答案】ACD
【解析】A．除重力和弹力以外的其他力做功等于机械能的变化，若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时，电场力做功最多，故小球到B点时机械能最大，故A正确；
B．重力与电场力的和为其方向与电场方向成夹角斜向下，故若将小球在A点由静止开始释放，它将先沿这个方向做匀加速直线运动，故B错误；
C．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，设最小速度为v，则有得故C正确；
D．若将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，小球将不会沿圆周运动，因此小球在竖直方向做竖直上抛运动，水平方向做匀加速运动，因故水平加速度和竖直加速度大小均为g，当竖直方向上的位移为零时，运动时间则水平位移为说明小球刚好到B点，故D正确。故选ACD。
21．(2022·桂林秀峰区第一次调研)如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场，质量m＝1 kg的带正电的小球与长L＝2 m的绝缘细线相连，细线的上端固定于O点，O点距地面的高度为3 m，小球的电荷量q＝0.01 C，细线能承受的最大拉力T＝27 N，现将细线拉直与竖直方向成θ＝60°角由静止释放小球，当细线转到竖直方向OA时，细线恰好断裂，最后小球落到地面上，已知重力加速度g取10 m/s2，小球可视为质点，不计空气阻力，求：
(1)电场强度的大小；
(2)小球落地点与OA的水平距离。
【答案】(1)800 V/m (2)2 m
【解析】(1)设小球到达最低点的速度为v，从开始到最低点，根据动能定理得
(mg＋qE)(L－Lcs θ)＝eq \f(1,2)mv2
在最低点细线的拉力刚好为T，根据牛顿第二定律可得T－mg－qE＝meq \f(v2,L)
联立解得v＝6 m/s，E＝800 V/m。
(2)细线断裂后小球以v水平抛出，做类平抛运动，加速度为a＝eq \f(qE＋mg,m)＝18 m/s2
在竖直方向H－L＝eq \f(1,2)at2，解得t＝eq \f(1,3) s
小球落地点与OA的水平距离为x＝vt＝2 m。
22．（2022·全国·高三课时练习）在水平向右的匀强电场中，有一质量为m、带正电的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止时，细线与竖直方向夹角为θ，小球位于B点，A点与B点关于O点对称，如图所示，现给小球一个垂直于悬线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动。
（1）小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值多大？
（2）小球在B点的初速度多大？
【答案】（1）A点速度最小，glcsθ；（2）5glcsθ
【解析】（1）当球静止时，细线与竖直方向夹角为θ，此时小球位于B点，可知重力和电场力的合力方向沿着OB向下，大小为 F合=mgcsθ
现给小球一个垂直于悬线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，运动过程只有重力和电场力的合力对小球做功，可知小球从B到A过程，重力和电场力的合力对小球做负功，小球动能减小；小球从A到B过程，重力和电场力的合力对小球做正功，小球动能增加；故小球在A点动能最小，速度也最小；设小球在A点的速度为vA，此时细线的拉力为零，重力和电场力的合力提供向心力，则有 mgcsθ=mvA2l
解得小球的最小速度为 vA=glcsθ
（2）设小球在B点的初速度为vB，根据动能定理可得 −mgcsθ⋅2l=12mvA2−12mvB2
将vA的数值代入得 vB=5glcsθ
23.如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心在O点，半径为r，内壁光滑，A、B两点分别是圆弧的最低点和最高点．该区间存在方向水平向右的匀强电场，一质量为m、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动(电荷量不变)，经C点时速度最大，O、C连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g.
(1)求小球所受到的电场力大小；
(2)小球在A点速度v0多大时，小球经B点时对轨道的压力最小？
【答案】 (1)eq \r(3)mg (2)2eq \r(2gr)
【解析】(1)对小球受力分析如图所示，
小球在C点速度最大，则在该点电场力与重力的合力沿半径方向，
所以小球受到的电场力大小F＝mgtan θ＝eq \r(3)mg
(2)小球要到达B点，必须到达D点时速度最小；在D点速度最小时，小球经B点时对轨道的压力也最小．设在D点轨道对小球的压力恰为零，则有 eq \f(mg,cs θ)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(2gr)
由轨道上A点运动到D点的过程，由动能定理得 mg·r(1＋cs θ)＋F·rsin θ＝eq \f(1,2)mveq \\al( 2,0)－eq \f(1,2)mv2
解得：v0＝2eq \r(2gr).
24.如图所示，光滑水平轨道与半径为R的光滑竖直半圆轨道在B点平滑连接，在过圆心O的水平界面MN的下方分布有水平向右的匀强电场．现有一质量为m、电荷量为＋q的小球从水平轨道上A点由静止释放，小球运动到C点离开圆轨道后，经界面MN上的P点进入电场(P点恰好在A点的正上方，如图所示，小球可视为质点，小球运动到C点之前电荷量保持不变，经过C点后电荷量立即变为零)．已知A、B间距离为2R，重力加速度为g，在上述运动过程中，求：
(1)电场强度E的大小；
(2)小球在圆轨道上运动时的最大速率；
(3)小球对圆轨道的最大压力的大小．
【答案】 (1)eq \f(mg,q) (2)eq \r((2＋2\r(2))gR) (3)(2＋3eq \r(2))mg
【解析】 (1)设小球过C点时速度大小为vC，小球从A到C由动能定理知
qE·3R－mg·2R＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,C)
小球离开C点后做平抛运动到P点， R＝eq \f(1,2)gt2 2R＝vCt 得E＝eq \f(mg,q)
设小球运动到圆轨道D点时速度最大，设最大速度为v，此时OD与竖直线OB夹角设为α，
小球从A点运动到D点的过程，根据动能定理知qE(2R＋Rsinα)－mgR(1－csα)＝eq \f(1,2)mv2
即eq \f(1,2)mv2＝mgR(sinα＋csα＋1)
根据数学知识可知，当α＝45°时动能最大，由此可得v＝eq \r((2＋2\r(2))gR)
(3)由于小球在D点时速度最大且电场力与重力的合力恰好沿半径方向，故小球在D点时对圆轨道的压力最大，设此压力大小为F，由牛顿第三定律可知小球在D点受到的轨道的弹力大小也为F，在D点对小球进行受力分析，并建立如图所示坐标系，由牛顿第二定律知，
F－qEsinα－mgcsα＝eq \f(mv2,R) 解得F＝(2＋3eq \r(2))mg
25. （2022安阳一模）如图所示，空间有一水平向右的匀强电场，电场强度的大小为E=1.0×104 V/m。该空间有一个半径为R=2m的竖直光滑绝缘圆环的一部分，圆环与光滑水平面相切于C点，A点所在的半径与竖直直径BC成37°角。质量为m=0.04 kg、电荷量为q= +6×10-5 C的带电小球2（可视为质点）静止于C点。轻弹簧一端固定在竖直挡板上，另一端自由伸长时位于P点。质量也为m =0.04 kg的不带电小球1挨着轻弹簧右端，现用力缓慢压缩轻弹簧右端到P点左侧某点后释放。小球1沿光滑水平面运动到C点与小球2发生碰撞，碰撞时间极短，碰后两小球黏合在一起且恰能沿圆弧到达A点。P、C两点间距离较远，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，sin 37°=0.6，cs 37°=0.8。求：
（1）黏合体在A点速度大小；
（2）弹簧的弹性势能；
（3）小球黏合体由A点到达水平面运动的时间。
【答案】（1）5m/s；（2）9.2J；（3）0.6s
【解析】(1)小球2所受电场力
小球1和小球2的重力和为
如图所示
小球12所受重力与电场力的合力与竖直方向的夹角为
所以
所以A点是小球12在重力场和电场中做圆周运动的等效最高点，由于小球12恰能沿圆弧到达A点，所以 解得
(2)小球从C点到A点，由动能定理得
解得
小球12的碰撞由动量守恒定律得
解得 小球1碰撞前的速度
由机械能守恒可得弹簧的弹性势能
(3)如图小球12在A点竖直方向上做匀加速运动
竖直方向上的初速度为
由竖直方向匀加速运动可得
解得
26．如图所示，BCDG是光滑绝缘的34圆形轨道，位于竖直平面内，轨道半径为R，下端与水平绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中。现有一质量为m、带正电的小滑块（可视为质点）置于水平轨道上，滑块受到的电场力大小为34mg，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为g。
（1）若滑块从水平轨道上距离B点s=3R的A点由静止释放，求滑块到达C点时受到轨道的作用力大小；
（2）改变s的大小，使滑块恰好始终沿轨道滑行，且从G点飞出轨道，求s的大小。
【答案】（1）74mg；（2）11.5R
【解析】（1）设滑块到达B点时的速度为vB，从A点到B点，由动能定理得 qEs−μmgs=12mvB2−0
而 qE=3mg4
解得 vB=6gR2
设滑块到达C点时速度大小为vC，从A点到C点，由动能定理得 qE(s+R)−μmgs−mgR=12mvC2−0
解得 vC=gR
根据牛顿第二定律有 F−qE=mvC2R
解得滑块到达C点时受到轨道的作用力大小 F=74mg
（2）要使滑块恰好始终沿轨道滑行，则滑至圆轨道DG间n点时，由电场力和重力的合力提供向心力，此时的速度最小（设为vn），则有 (qE)2+(mg)2=mvn2R
又从A到n过程由动能定理得 qEs−Rsin37°−μmgs−mgR+Rcs37°=12mvn2−0
解得 s=11.5R
考点二 电场力和重力作用下的匀速圆周运动（5-11T）
考点三 径向电场中的匀速圆周运动（12-16T）
考点四 利用“等效重力”法处理带电体在复合场中的圆周运动（17-26T）
考点一 仅在电场力作用下的匀速圆周运动
1．某原子电离后其核外只有一个电子，若该电子在核的静电力作用下绕核做匀速圆周运动，那么电子运动（ ）
A．半径越大，加速度越大B．半径越小，周期越大
C．半径越大，角速度越小D．半径越小，线速度越小
2．如图所示，真空中A、B两点相距6r，在A、B两点分别固定带电荷量均为＋Q的点电荷，AB连线的中点为O。质量为m、带电荷量为-q的粒子恰好能绕O点做匀速圆周运动，运动的轨迹半径为4r，不计粒子的重力，则粒子做圆周运动的速度大小为（ ）
A．45kQq5rmB．452kQq5rmC．25kQq5rmD．252kQq5rm
3．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，真空中固定着两个等量同种点电荷A、B，AB连线的中点为O。在过O点并且垂直于AB连线的平面内，a、b两个相同的带电粒子，仅在电场力的作用下，以O点为圆心做半径不同的匀速圆周运动。已知a的半径小于b的半径，不计两个粒子之间的相互作用，则下列说法正确的是（ ）
A．a粒子的动能一定比b粒子的动能小B．a粒子的动能一定比b粒子的动能大
C．a粒子的电势能一定比b粒子的电势能小D．a粒子的电势能一定比b粒子的电势能大
4．（2022·河北·高三学业考试）(多选)如图所示，真空空间中菱形区域ABCD的顶点B、D处分别固定有两个相同的点电荷，电荷量为+Q，若在A处放置一点电荷，C处的电场强度恰好为零。已知菱形的边长为a，∠DAB=60°，不计点电荷的重力。下列说法正确的是（ ）
A．在A处放置的点电荷的电荷量大小为QA=33Q
B．若将A处的点电荷由静止释放，该电荷将做加速直线运动
C．若将A处的点电荷以某一初速度释放，该电荷可能做匀速圆周运动
D．若将A处的点电荷以某一初速度释放，该电荷在A、C之间做往复直线运动
考点二 电场力和重力作用下的匀速圆周运动
5．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，竖直向上的匀强电场中固定一点电荷，一带电小球（可视为质点）可绕该点电荷在竖直面内做匀速圆周运动，a、b是运动轨迹上的最高点与最低点，两点电场强度分别为Ea、Eb，则（ ）
A．小球带正电，Ea>Eb
B．小球带正电，Ea
D．小球带负电，Ea
A．若场强E=mgq，小球一定做匀速圆周运动
B．若场强E=mgq，小球一定做匀速直线运动
C．若场强E=kQgrv2，小球一定做匀速圆周运动
D．若带正电小球满足qm=gE=mv2kQ，小球一定做匀速圆周运动
7．如图所示，空间分布着竖直向上的匀强电场E，现在电场区域内某点O处放置一负点电荷Q，并在以O点为球心的球面上选取a、b、c、d、e、f六点，其中ac连线为球的水平大圆直径，bd连线与电场方向平行。不计空气阻力，则下列说法中正确的是（ ）
A．b、d两点的电势相等
B．a、c两点的电场强度相同
C．将点电荷＋q从球面上b点移到f点，电势能减小
D．若从a点抛出一带正电小球，小球可能沿a、e、c、f所在圆周作匀速圆周运动
8．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，真空中固定的负点电荷所形成的电场中，有一质量为m=2×10−4kg的带电微粒，在此点电荷正下方与负点电荷的距离为0.3m的水平面内做半径为0.4m的匀速圆周运动，已知负点电荷带电荷量为Q=5×10−5C。取重力加速度g=10m/s2，静电力常量k=9.0×109Nm2/C2，则下列判断正确的是（ ）
A．微粒一定带正电，所带电荷量q=59×10−8C
B．微粒做圆周运动的角速度ω=103rad/s
C．微粒运动的圆周轨道上各点场强大小为1.8×106N/C
D．负点电荷对微粒做正功，微粒的电势能不断减少
9．（2022·江西萍乡·二模）如图所示，两个完全相同的正点电荷A和B，其连线AB沿竖直方向，中心为O，一重力不可忽略的带电小球C（图中未画出，可视为点电荷）恰能在点电荷A、B形成的电场中做匀速圆周运动，不计空气阻力，小球质量为m，带电荷量为q，速度大小为v，下列说法正确的是（ ）
A．小球可能带正电也可能带负电
B．小球做圆周运动的圆心在OB之间的某点
C．若m不变，q减小，v适当改变时，小球仍可在原轨道做圆周运动
D．若换一个质量不同但比荷相同的小球，小球仍可在原轨道做匀速圆周运动
10．(多选)已知无穷大均匀带电平板在其周围空间激发与平面垂直的匀强电场。现在水平无穷大带电平板上方某点固定一点电荷+Q。一质量为m、带电荷量为q的小球以点电荷Q为圆心做匀速圆周运动，其中AC、BD分别为圆周轨迹的水平和竖直直径，重力加速度为g，静电力常量为k，下列说法正确的是（ ）
A．无穷大平板带正电
B．圆周上的场强在B点有最小值，在D点有最大值
C．无穷大平板在空间激发的匀强电场强度大小为mgq
D．若A、C两点处的场强方向相互垂直，则小球做匀速圆周运动的半径为R=kQqmg
11．如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E，两个固定的等量正点电荷A、B，连线水平相距l，O点的AB的中点。有一质量为m的带负电小球在两电荷连线的中垂面内做匀速圆周运动，带电小球和电荷A的连线与AB连线夹角为45°，重力加速度为g，静电力常量为k。
（1）求带电小球电荷量的大小；
（2）若规定O点电势为0，两电荷连线所在水平面为重力势能的零势能面，求小球最大的电势能；
（3）若电荷AB的电荷量为Q=2El22k，求小球做匀速圆周运动的角速度。
考点三 径向电场中的匀速圆周运动
12．(多选)一径向电场的示意图，电场强度大小可表示为E=ar，a为常量。比荷相同的两粒子在半径r不同的圆轨道运动。不考虑粒子间的相互作用及重力，则（ ）
A．轨道半径r小的粒子角速度一定小
B．电荷量大的粒子的动能一定大
C．粒子的速度大小与轨道半径r一定无关
D．粒子的速度大小与轨道半径r一定有关
13. （2022·全国乙卷·T21）(多选)一种可用于卫星上的带电粒子探测装置，由两个同轴的半圆柱形带电导体极板（半径分别为R和）和探测器组成，其横截面如图（a）所示，点O为圆心。在截面内，极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比，方向指向O点。4个带正电的同种粒子从极板间通过，到达探测器。不计重力。粒子1、2做圆周运动，圆的圆心为O、半径分别为、；粒子3从距O点的位置入射并从距O点的位置出射；粒子4从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，轨迹如图（b）中虚线所示。则（ ）
A. 粒子3入射时的动能比它出射时的大
B. 粒子4入射时的动能比它出射时的大
C. 粒子1入射时的动能小于粒子2入射时的动能
D. 粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能
14．（2022·重庆·三模）“电子能量分析器”主要由处于真空中的电子偏转器和探测板组成。电子偏转器的简化剖面结构如图所示，A、B表示两个同心半圆金属板，两板间存在偏转电场，板A、B的电势分别为φA、φB。电子从偏转器左端的中央M进入，经过偏转电场后到达右端的探测板N。动能不同的电子在偏转电场的作用下到达板N的不同位置，初动能为Ek0的电子沿电势为φC的等势面C（图中虚线）做匀速圆周运动到达板N的正中间。动能为Ek1、Ek2的电子在偏转电场作用下分别到达板N的左边缘和右边缘，动能改变量分别为|ΔEk左|和|ΔEk右|。忽略电场的边缘效应及电子之间的相互影响。下列判断正确的是（ ）
A．偏转电场是匀强电场B．φA>φB
C．Ek1>Ek2D．|ΔEk左|>|ΔEk右|
15．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，在坐标系xOy的第Ⅰ象限内，分布着电场强度大小为E、沿y轴负方向的匀强电场；第Ⅱ象限内，圆心为O的14圆环状区域存在沿半径方向的辐向均匀电场，虚线ab为圆环外径和内径间的中心线，中心线上电场强度的大小也恒为E、方向均指向O点，ab圆弧的半径为R。从离子源飘出的正离子束（初速度可忽略），经第Ⅲ象限的电场加速后从x轴上的a点进入辐向电场，并沿中心线ab做圆周运动，之后由b点进入第Ⅰ象限并射到位于x轴的靶上。不计重力和离子间的相互作用，求：
（1）加速电场的电压。
（2）离子射到靶上时离O点的距离及其速率与比荷的函数关系。
16．“电子能量分析器”主要由处于真空中的电子偏转器和探测板组成。偏转器是由两个相互绝缘、半径分别为RA和RB的同轴（即z轴）带电足够长半圆柱面a、b组成。设在RA
（2）电子入射速度为v0时，恰能在xy平面内做以O为圆心的匀速圆周运动到达探测板，则v0大小为多少；
（3）若电子以某一速度射入偏转电场区域，速度方向与xy平面成45°角，且在垂直z轴方向的运动恰好与（2）相同，求电子到达探测板时，z轴方向上的位移大小。
考点四 利用“等效重力”法处理带电体在复合场中的圆周运动
1．“等效重力”及“等效重力加速度”：
在匀强电场中，将重力与电场力合成，如图所示，
则F合为“等效重力场”中的“等效重力”，g′＝ eq \f(F合,m) 为“等效重力场”中的“等效重力加速度”，F合的方向为“等效重力”的方向，也是“等效重力加速度”的方向.
2．等效最“高”点与最“低”点的确定方法
1）电场力和重力方向相反时
如下图，若qE＝mg，小球做匀速圆周运动；若qE＜mg，a点为等效最“高”点，b点等效最“低”点；若qE＞mg，a点即等效最“低”点 ，b点为等效最“高”点.
2）电场力和重力成一定角度时
如下图，在“等效重力场”中过圆周运动的圆心作“等效重力”的作用线，其反向延长线交于圆周上的那个点即为圆周运动的等效最“高”点，沿着“等效重力”的方向延长交于圆周的那个点为即等效最“低”点。
17.(多选)如图所示，用绝缘细线拴一带负电小球，在竖直平面内做圆周运动，匀强电场方向竖直向下，则( )
A．当小球运动到最高点a时，线的张力一定最小
B．当小球运动到最低点b时，小球的速度一定最大
C．当小球运动到最高点a时，小球的电势能最小
D．小球在运动过程中机械能不守恒
18．（2022·河北·高三开学考试）(多选)如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的电场强度E=mgtanθq
B．小球动能的最小值为Ek=mgL2csθ
C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大
19.（2022·山西运城模拟）(多选)如图所示，整个空间存在水平向左的匀强电场，一长为L的绝缘轻质细硬杆一端固定在O点、另一端固定一个质量为m、电荷量为＋q的小球P，杆可绕O点在竖直平面内无摩擦转动，电场的电场强度大小为E＝eq \f(\r(3)mg,3q).先把杆拉至水平位置，然后将杆无初速度释放，重力加速度为g，不计空气阻力，则( )
A．小球到最低点时速度最大
B．小球从开始至最低点过程中动能一直增大
C．小球对杆的最大拉力大小为eq \f(8\r(3),3)mg
D．小球可绕O点做完整的圆周运动
20．（2022·北京模拟）(多选)如图，在水平的匀强电场中，一个质量为m、电荷量为+q的小球，系在一根长为L的绝缘细线一端，小球可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径。已知重力加速度为g，电场强度，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时的机械能最大
B．若将小球在A点由静止开始释放，它将沿着ACBD圆弧运动
C．若小球在竖直平面内绕O点做完整的圆周运动，则它运动过程中的最小速度为
D．若将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，它将可以到B点
21．(2022·桂林秀峰区第一次调研)如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场，质量m＝1 kg的带正电的小球与长L＝2 m的绝缘细线相连，细线的上端固定于O点，O点距地面的高度为3 m，小球的电荷量q＝0.01 C，细线能承受的最大拉力T＝27 N，现将细线拉直与竖直方向成θ＝60°角由静止释放小球，当细线转到竖直方向OA时，细线恰好断裂，最后小球落到地面上，已知重力加速度g取10 m/s2，小球可视为质点，不计空气阻力，求：
(1)电场强度的大小；
(2)小球落地点与OA的水平距离。
22．（2022·全国·高三课时练习）在水平向右的匀强电场中，有一质量为m、带正电的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止时，细线与竖直方向夹角为θ，小球位于B点，A点与B点关于O点对称，如图所示，现给小球一个垂直于悬线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动。
（1）小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值多大？
（2）小球在B点的初速度多大？
23.如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心在O点，半径为r，内壁光滑，A、B两点分别是圆弧的最低点和最高点．该区间存在方向水平向右的匀强电场，一质量为m、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动(电荷量不变)，经C点时速度最大，O、C连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g.
(1)求小球所受到的电场力大小；
(2)小球在A点速度v0多大时，小球经B点时对轨道的压力最小？
24.如图所示，光滑水平轨道与半径为R的光滑竖直半圆轨道在B点平滑连接，在过圆心O的水平界面MN的下方分布有水平向右的匀强电场．现有一质量为m、电荷量为＋q的小球从水平轨道上A点由静止释放，小球运动到C点离开圆轨道后，经界面MN上的P点进入电场(P点恰好在A点的正上方，如图所示，小球可视为质点，小球运动到C点之前电荷量保持不变，经过C点后电荷量立即变为零)．已知A、B间距离为2R，重力加速度为g，在上述运动过程中，求：
(1)电场强度E的大小；
(2)小球在圆轨道上运动时的最大速率；
(3)小球对圆轨道的最大压力的大小．
25. （2022安阳一模）如图所示，空间有一水平向右的匀强电场，电场强度的大小为E=1.0×104 V/m。该空间有一个半径为R=2m的竖直光滑绝缘圆环的一部分，圆环与光滑水平面相切于C点，A点所在的半径与竖直直径BC成37°角。质量为m=0.04 kg、电荷量为q= +6×10-5 C的带电小球2（可视为质点）静止于C点。轻弹簧一端固定在竖直挡板上，另一端自由伸长时位于P点。质量也为m =0.04 kg的不带电小球1挨着轻弹簧右端，现用力缓慢压缩轻弹簧右端到P点左侧某点后释放。小球1沿光滑水平面运动到C点与小球2发生碰撞，碰撞时间极短，碰后两小球黏合在一起且恰能沿圆弧到达A点。P、C两点间距离较远，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，sin 37°=0.6，cs 37°=0.8。求：
（1）黏合体在A点速度大小；
（2）弹簧的弹性势能；
（3）小球黏合体由A点到达水平面运动的时间。
26．如图所示，BCDG是光滑绝缘的34圆形轨道，位于竖直平面内，轨道半径为R，下端与水平绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中。现有一质量为m、带正电的小滑块（可视为质点）置于水平轨道上，滑块受到的电场力大小为34mg，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为g。
（1）若滑块从水平轨道上距离B点s=3R的A点由静止释放，求滑块到达C点时受到轨道的作用力大小；
（2）改变s的大小，使滑块恰好始终沿轨道滑行，且从G点飞出轨道，求s的大小。
专题54 带电粒子(体)在电场中的运动之圆周运动
考点一 仅在电场力作用下的匀速圆周运动（1-4T）
考点二 电场力和重力作用下的匀速圆周运动（5-11T）
考点三 径向电场中的匀速圆周运动（12-16T）
考点四 利用“等效重力”法处理带电体在复合场中的圆周运动（17-26T）
考点一 仅在电场力作用下的匀速圆周运动
1．某原子电离后其核外只有一个电子，若该电子在核的静电力作用下绕核做匀速圆周运动，那么电子运动（ ）
A．半径越大，加速度越大B．半径越小，周期越大
C．半径越大，角速度越小D．半径越小，线速度越小
【答案】C
【解析】
根据库仑定律求出原子核与核外电子的库仑力．根据原子核对电子的库仑力提供向心力，由牛顿第二定律求出角速度，加速度，周期，线速度进行比较．
根据原子核对电子的库仑力提供向心力，由牛顿第二定律得
=ma=m=mω2r=，
可得a=
T=
ω=
v=
A、半径越大，加速度越小，故A错误；
B、半径越小，周期越小，故B错误；
C、半径越大，角速度越小，故C正确；
D、半径越小，线速度越大，故D错误．
2．如图所示，真空中A、B两点相距6r，在A、B两点分别固定带电荷量均为＋Q的点电荷，AB连线的中点为O。质量为m、带电荷量为-q的粒子恰好能绕O点做匀速圆周运动，运动的轨迹半径为4r，不计粒子的重力，则粒子做圆周运动的速度大小为（ ）
A．45kQq5rmB．452kQq5rmC．25kQq5rmD．252kQq5rm
【答案】B
【解析】由题意可知，负点电荷将绕O点在AB的中垂面里做匀速圆周运动，其受力图如图所示
其向心力为Fn=2FEcsθ=mv24r
根据库仑定律得FE=kQq3r2+4r2
根据几何关系得csθ=4r3r2+4r2
解得v=452kQq5rm
3．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，真空中固定着两个等量同种点电荷A、B，AB连线的中点为O。在过O点并且垂直于AB连线的平面内，a、b两个相同的带电粒子，仅在电场力的作用下，以O点为圆心做半径不同的匀速圆周运动。已知a的半径小于b的半径，不计两个粒子之间的相互作用，则下列说法正确的是（ ）
A．a粒子的动能一定比b粒子的动能小B．a粒子的动能一定比b粒子的动能大
C．a粒子的电势能一定比b粒子的电势能小D．a粒子的电势能一定比b粒子的电势能大
【答案】C
【解析】AB．a、b做匀速圆周运动，向心力为 Fa=mva2ra Fb=mvb2rb
同时 Fa=2F1csα Fb=2F2csβ
a、b相同粒子，a离场源电荷近，根据库仑力公式 F=kQqr2
可知 F1>F2
但 α>β
可得 csα
它们的大小无法确定，AB错误；
CD．以A、B为正电荷为正电荷为例分析，如图所示
则a、b为负电荷，因为 φ=Epq
q为负电，则φ与Ep成反比，由电场线方向可知 φa>φb
沿电场线方向电势降低，则 Epa
A．在A处放置的点电荷的电荷量大小为QA=33Q
B．若将A处的点电荷由静止释放，该电荷将做加速直线运动
C．若将A处的点电荷以某一初速度释放，该电荷可能做匀速圆周运动
D．若将A处的点电荷以某一初速度释放，该电荷在A、C之间做往复直线运动
【答案】AC
【解析】A．如图所示，B、D两处的点电荷在C处产生的合场强大小 E=2kQa2cs30°=3kQa2
则A处的点电荷在C处产生的场强大小 E1=E=kQA3a2
解得 QA=33Q A正确；
B．分析可知，A处的点电荷带负电，将A处的点电荷由静止释放，该电荷在电场力作用下先由A向O做加速直线运动，再由O向C做减速直线运动，该电荷在A、C之间做往复直线运动，B错误；
C．若将A处的点电荷以某一垂直菱形ABCD所在平面的初速度释放，受到电场力指向BD中点，在电场力作用下，该电荷可能以O点为圆心做匀速圆周运动，C正确；
D．将A处的点电荷以某一初速度释放，如果初速度方向与A、C连线不共线，该电荷将做曲线运动，如果初速度方向与A、C连线共线，该电荷做往复直线运动的范围超过A、C之间，D错误。
故选AC。
考点二 电场力和重力作用下的匀速圆周运动
5．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，竖直向上的匀强电场中固定一点电荷，一带电小球（可视为质点）可绕该点电荷在竖直面内做匀速圆周运动，a、b是运动轨迹上的最高点与最低点，两点电场强度分别为Ea、Eb，则（ ）
A．小球带正电，Ea>Eb
B．小球带正电，Ea
D．小球带负电，Ea
【解析】小球做匀速圆周运动，则匀强电场的电场力和小球所受重力平衡，所以小球带正电，固定的点电荷带负电，根据电场强度叠加原理可得Ea
A．若场强E=mgq，小球一定做匀速圆周运动
B．若场强E=mgq，小球一定做匀速直线运动
C．若场强E=kQgrv2，小球一定做匀速圆周运动
D．若带正电小球满足qm=gE=mv2kQ，小球一定做匀速圆周运动
【答案】D
【解析】A．若场强为E=mgq，则带正电的小球有qE=mg
若速度v合适，使库仑力恰好作为向心力kQqr2=mv2r
小球才能做匀速圆周运动，A错误；
B．带正电的小球受到的库仑力一定随距离不断变化，小球所受合力不可能始终平衡，故小球不可能做匀速直线运动，B错误；
CD．要使小球做匀速圆周运动，必须同时满足A解析中的两表达式，可解得qm=rv2kQ=gE
C错误，D正确。
7．如图所示，空间分布着竖直向上的匀强电场E，现在电场区域内某点O处放置一负点电荷Q，并在以O点为球心的球面上选取a、b、c、d、e、f六点，其中ac连线为球的水平大圆直径，bd连线与电场方向平行。不计空气阻力，则下列说法中正确的是（ ）
A．b、d两点的电势相等
B．a、c两点的电场强度相同
C．将点电荷＋q从球面上b点移到f点，电势能减小
D．若从a点抛出一带正电小球，小球可能沿a、e、c、f所在圆周作匀速圆周运动
【答案】D
【解析】A．因为负点电荷Q在 b、d两点形成的电势相等，而匀强电场在b、d两点的电势不相等，则叠加后b、d两点的电势不相等，选项A错误；
B．由对称性可知，a、c两点的电场强度大小相同，但是方向不同，选项B错误；
C．将点电荷＋q从球面上b点移到f点，负点电荷Q对点电荷+q不做功，但是匀强电场对点电荷+q做负功，则电势能增加，选项C错误；
D．若从a点抛出一带正电小球，若满足mg=qE，则带正电的小球在负点电荷Q的库仑吸引力的作用下能沿a、e、c、f所在圆周作匀速圆周运动，选项D正确；
8．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，真空中固定的负点电荷所形成的电场中，有一质量为m=2×10−4kg的带电微粒，在此点电荷正下方与负点电荷的距离为0.3m的水平面内做半径为0.4m的匀速圆周运动，已知负点电荷带电荷量为Q=5×10−5C。取重力加速度g=10m/s2，静电力常量k=9.0×109Nm2/C2，则下列判断正确的是（ ）
A．微粒一定带正电，所带电荷量q=59×10−8C
B．微粒做圆周运动的角速度ω=103rad/s
C．微粒运动的圆周轨道上各点场强大小为1.8×106N/C
D．负点电荷对微粒做正功，微粒的电势能不断减少
【答案】C
【解析】AC．微粒的受力如图所示
重力与库仑力的合力提供向心力，故微粒一定带正电，
由几何关系可得负点电荷与微粒之间的距离为L=0.32+0.42m=0.5m
根据点电荷场强公式可知微粒运动的圆周轨道上各点场强大小为
E=kQL2=9.0×109×5×10−50.52N/C=1.8×106N/C
由图中相似三角形可得mgℎ=qEL
解得微粒所带电荷量为q=mgLEℎ=2×10−4×10×0.51.8×106×0.3C=527×10−8CC正确，A错误；
B．微粒受到的合力提供向心力，根据图中相似三角形可得mgℎ=mω2RR
解得微粒做圆周运动的角速度为ω=gℎ=100.3rad/s=1033rad/sB错误；
D．库仑力与速度方向始终垂直，负点电荷对微粒一直不做功，微粒的电势能不变，D错误。
9．（2022·江西萍乡·二模）如图所示，两个完全相同的正点电荷A和B，其连线AB沿竖直方向，中心为O，一重力不可忽略的带电小球C（图中未画出，可视为点电荷）恰能在点电荷A、B形成的电场中做匀速圆周运动，不计空气阻力，小球质量为m，带电荷量为q，速度大小为v，下列说法正确的是（ ）
A．小球可能带正电也可能带负电
B．小球做圆周运动的圆心在OB之间的某点
C．若m不变，q减小，v适当改变时，小球仍可在原轨道做圆周运动
D．若换一个质量不同但比荷相同的小球，小球仍可在原轨道做匀速圆周运动
【答案】D
【解析】A．小球在A、B两点电荷形成的电场中做匀速圆周运动，小球受重力、两点电荷的电场力，电场力竖直分量与重力平衡，水平分量充当向心力，指向AB连线上的圆心，故小球必定带负电，A错误；
B．球在水平面内做匀速圆周运动，圆心一定在AB连线上，由于重力竖直向下，要求电场力一定斜向上指向AB连线，竖直分量与重力平衡，水平分量充当向心力，A、B点电荷激发的电场线如图所示
图中a、b、c三处均有可能是小球做圆周运动路径上的一点，b处对应的轨道圆的圆心在OB之间，B错误；
C．若m不变，q减小，原轨道上小球所受电场力减小，竖直分量减小，不可能与重力平衡，不可能在原轨道做圆周运动，C错误；
D．设电场强度方向与竖直方向夹角为θ，则Eqcsθ=mg Eqsinθ=mv2r=mgtanθ
可得 v2r=gtanθ
若换一个质量不同但比荷相同的小球，则电场力在竖直方向的分力仍可以和重力平衡，电场力在水平方向的分力提供向心力，所以小球仍可在原轨道做匀速圆周运动，D正确。
故选D。
10．(多选)已知无穷大均匀带电平板在其周围空间激发与平面垂直的匀强电场。现在水平无穷大带电平板上方某点固定一点电荷+Q。一质量为m、带电荷量为q的小球以点电荷Q为圆心做匀速圆周运动，其中AC、BD分别为圆周轨迹的水平和竖直直径，重力加速度为g，静电力常量为k，下列说法正确的是（ ）
A．无穷大平板带正电
B．圆周上的场强在B点有最小值，在D点有最大值
C．无穷大平板在空间激发的匀强电场强度大小为mgq
D．若A、C两点处的场强方向相互垂直，则小球做匀速圆周运动的半径为R=kQqmg
【答案】CD
【解析】C．小球受到重力、匀强电场的电场力、点电荷的库仑力，因为小球做匀速圆周运动，所以库仑力提供向心力，重力和平板对小球的电场力平衡mg=qE
无穷大平板在空间激发的匀强电场强度大小为E=mgq 故C正确；
A．点电荷带正电，故小球带负电，匀强电场对小球的电场力方向竖直向上，故电场强度竖直向下，无穷大平板带负电，故A错误；
B．固定点电荷在B、D两点产生的场强方向分别竖直向下和竖直向上，所以B处场强为两个分场强大小之和，D点为两者大小之差，所以B点场强最大，D点场强最小，故B错误；
D．若A、C两点处的场强方向相互垂直，则两分场强在两点处于水平方向的夹角均为45°，
所以kQR2=mgq
则R=kQqmg故D正确。
11．如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度为E，两个固定的等量正点电荷A、B，连线水平相距l，O点的AB的中点。有一质量为m的带负电小球在两电荷连线的中垂面内做匀速圆周运动，带电小球和电荷A的连线与AB连线夹角为45°，重力加速度为g，静电力常量为k。
（1）求带电小球电荷量的大小；
（2）若规定O点电势为0，两电荷连线所在水平面为重力势能的零势能面，求小球最大的电势能；
（3）若电荷AB的电荷量为Q=2El22k，求小球做匀速圆周运动的角速度。
【答案】（1）mgE；（2）12mgl；（3）2gl
【解析】（1）小球做匀速圆周运动，则有 qE=mg 可得 q=mgE
小球在运动过程中，机械能和电势能之和守恒，因此小球在最低点时电势能Ep最大，
有 12mv2+0=−l2mgl+Ep+12mv2 可得 Ep=12mgl
（3）固定电荷A对小球的库仑引力为 F=kQq22l2
小球所受合力提供向心力，得 2Fsin45−mω2l2 可得 ω=2gl
考点三 径向电场中的匀速圆周运动
12．(多选)一径向电场的示意图，电场强度大小可表示为E=ar，a为常量。比荷相同的两粒子在半径r不同的圆轨道运动。不考虑粒子间的相互作用及重力，则（ ）
A．轨道半径r小的粒子角速度一定小
B．电荷量大的粒子的动能一定大
C．粒子的速度大小与轨道半径r一定无关
D．粒子的速度大小与轨道半径r一定有关
【答案】BC
【解析】A．根据电场力提供向心力可得ar⋅q=mω2r
解得ω=aqm⋅1r可知轨道半径r小的粒子角速度大，故A错误；
BCD．根据电场力提供向心力可得ar⋅q=mv2r
解得v=aqm
又Ek=12mv2
联立可得Ek=aq2
可知电荷量大的粒子的动能一定大，粒子的速度大小与轨道半径r一定无关，故BC正确，D错误。
13. （2022·全国乙卷·T21）(多选)一种可用于卫星上的带电粒子探测装置，由两个同轴的半圆柱形带电导体极板（半径分别为R和）和探测器组成，其横截面如图（a）所示，点O为圆心。在截面内，极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比，方向指向O点。4个带正电的同种粒子从极板间通过，到达探测器。不计重力。粒子1、2做圆周运动，圆的圆心为O、半径分别为、；粒子3从距O点的位置入射并从距O点的位置出射；粒子4从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，轨迹如图（b）中虚线所示。则（ ）
A. 粒子3入射时的动能比它出射时的大
B. 粒子4入射时的动能比它出射时的大
C. 粒子1入射时的动能小于粒子2入射时的动能
D. 粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能
【答案】BD
【解析】C．在截面内，极板间各点的电场强度大小与其到O点的距离成反比，可设为
带正电的同种粒子1、2在均匀辐向电场中做匀速圆周运动，则有，
可得
即粒子1入射时的动能等于粒子2入射时的动能，故C错误；
A．粒子3从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，做向心运动，电场力做正功，则动能增大，粒子3入射时的动能比它出射时的小，故A错误；
B．粒子4从距O点的位置入射并从距O点的位置出射，做离心运动，电场力做负功，则动能减小，粒子4入射时的动能比它出射时的大，故B正确；
D．粒子3做向心运动，有
可得
粒子1入射时的动能大于粒子3入射时的动能，故D正确；
14．（2022·重庆·三模）“电子能量分析器”主要由处于真空中的电子偏转器和探测板组成。电子偏转器的简化剖面结构如图所示，A、B表示两个同心半圆金属板，两板间存在偏转电场，板A、B的电势分别为φA、φB。电子从偏转器左端的中央M进入，经过偏转电场后到达右端的探测板N。动能不同的电子在偏转电场的作用下到达板N的不同位置，初动能为Ek0的电子沿电势为φC的等势面C（图中虚线）做匀速圆周运动到达板N的正中间。动能为Ek1、Ek2的电子在偏转电场作用下分别到达板N的左边缘和右边缘，动能改变量分别为|ΔEk左|和|ΔEk右|。忽略电场的边缘效应及电子之间的相互影响。下列判断正确的是（ ）
A．偏转电场是匀强电场B．φA>φB
C．Ek1>Ek2D．|ΔEk左|>|ΔEk右|
【答案】D
【解析】AB．由题意可知电子在偏转器中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，等势面C上电场强度大小相等，但方向不同，而匀强电场处处大小相等，方向相同，电子受力的方向与电场的方向相反，所以B板的电势较高，故AB错误；
相较于做匀速圆周运动的电子，动能为Ek1的电子在做近心运动，动能为Ek2的电子在做离心运动，
可知 Ek2>Ek1 故C错误；
D．该电场是辐射状电场,内侧的电场线密集，电场强度大，根据U=Ed定性分析可知 UBC>UCA
即 φB−φC>φC−φA
所以 |ΔEk左|>|ΔEk右| 故D正确。 故选D。
15．（2022·全国·高三课时练习）如图所示，在坐标系xOy的第Ⅰ象限内，分布着电场强度大小为E、沿y轴负方向的匀强电场；第Ⅱ象限内，圆心为O的14圆环状区域存在沿半径方向的辐向均匀电场，虚线ab为圆环外径和内径间的中心线，中心线上电场强度的大小也恒为E、方向均指向O点，ab圆弧的半径为R。从离子源飘出的正离子束（初速度可忽略），经第Ⅲ象限的电场加速后从x轴上的a点进入辐向电场，并沿中心线ab做圆周运动，之后由b点进入第Ⅰ象限并射到位于x轴的靶上。不计重力和离子间的相互作用，求：
（1）加速电场的电压。
（2）离子射到靶上时离O点的距离及其速率与比荷的函数关系。
【答案】（1）ER2；（2）2R，v=3EqRm
【解析】（1）设离子的质量为m，电荷量为q，加速电场的电压为U，加速后速度大小为v0，
则有 qU=12mv02
离子沿中心线ab做匀速圆周运动，由牛顿运动定律有 qE=mv02R
解得 U=ER2
（2）离子在匀强电场中做类平抛运动，设该过程加速度大小为a，时间为t，离子通过匀强电场后射到靶上时离O点的距离为x，速率为v，由牛顿运动定律及运动学规律有
qE=ma
R=12at2
x=v0t
解得 x=2R
设离子通过匀强电场后射到靶上时的速率为v，由动能定理有 qU+qER=12mv2
解得 v=3EqRm
16．“电子能量分析器”主要由处于真空中的电子偏转器和探测板组成。偏转器是由两个相互绝缘、半径分别为RA和RB的同轴（即z轴）带电足够长半圆柱面a、b组成。设在RA
（2）电子入射速度为v0时，恰能在xy平面内做以O为圆心的匀速圆周运动到达探测板，则v0大小为多少；
（3）若电子以某一速度射入偏转电场区域，速度方向与xy平面成45°角，且在垂直z轴方向的运动恰好与（2）相同，求电子到达探测板时，z轴方向上的位移大小。
【答案】（1）a的电势高于b；（2）qkm；（3）πR
【解析】（1）电子带负电，若要最后到达偏转器右端的探测板，电场力提供向心力，电子所受的电场力指向圆心，则电场方向由a→b，即a的电势高于b；
（2）电子做半径为R匀速圆周运动，则有qE=mv02R
解得 v0=qkm
（3）由第2问可知，只要且垂直于入射处直径的分速度为qkm，就能完成（2）的圆周运动，又v1与入射处直径和半圆柱体轴所在平面成45°入射，所以 v1=2qkm
运动时间为 t=12T=12×2πRv0=πRmqk
因此沿柱轴方向粒子的运动位移 x=vzt=22v1t=πR
考点四 利用“等效重力”法处理带电体在复合场中的圆周运动
1．“等效重力”及“等效重力加速度”：
在匀强电场中，将重力与电场力合成，如图所示，
则F合为“等效重力场”中的“等效重力”，g′＝ eq \f(F合,m) 为“等效重力场”中的“等效重力加速度”，F合的方向为“等效重力”的方向，也是“等效重力加速度”的方向.
2．等效最“高”点与最“低”点的确定方法
1）电场力和重力方向相反时
如下图，若qE＝mg，小球做匀速圆周运动；若qE＜mg，a点为等效最“高”点，b点等效最“低”点；若qE＞mg，a点即等效最“低”点 ，b点为等效最“高”点.
2）电场力和重力成一定角度时
如下图，在“等效重力场”中过圆周运动的圆心作“等效重力”的作用线，其反向延长线交于圆周上的那个点即为圆周运动的等效最“高”点，沿着“等效重力”的方向延长交于圆周的那个点为即等效最“低”点。
17.(多选)如图所示，用绝缘细线拴一带负电小球，在竖直平面内做圆周运动，匀强电场方向竖直向下，则( )
A．当小球运动到最高点a时，线的张力一定最小
B．当小球运动到最低点b时，小球的速度一定最大
C．当小球运动到最高点a时，小球的电势能最小
D．小球在运动过程中机械能不守恒
【答案】CD
【解析】若qE＝mg，小球做匀速圆周运动，球在各处对细线的拉力一样大．若qE＜mg，球在a处速度最小，若qE＞mg，球在a处速度最大，故A、B错误；a点电势最高，负电荷在电势最高处电势能最小，故C正确；小球在运动过程中除重力外，还有静电力做功，机械能不守恒，D正确．
18．（2022·河北·高三开学考试）(多选)如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的电场强度E=mgtanθq
B．小球动能的最小值为Ek=mgL2csθ
C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大
【答案】AB
【解析】A．小球静止时细线与竖直方向成θ角，对小球受力分析，小球受重力、拉力和电场力，三力平衡，根据平衡条件，有 qE=mgtanθ
解得 E=mgtanθq 选项A正确；
B．小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，在等效最高点A速度最小，根据牛顿第二定律，有 mgcsθ=mv2L
则最小动能 Ek=12mv2=mgL2csθ 选项B正确；
C．小球的机械能和电势能之和守恒，则小球运动至电势能最大的位置机械能最小，小球带负电，则小球运动到圆周轨迹的最左端点时机械能最小，选项C错误；
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，电场力先做正功，后做负功，再做正功，则其电势能先减小后增大，再减小，选项D错误。
故选AB。
19.（2022·山西运城模拟）(多选)如图所示，整个空间存在水平向左的匀强电场，一长为L的绝缘轻质细硬杆一端固定在O点、另一端固定一个质量为m、电荷量为＋q的小球P，杆可绕O点在竖直平面内无摩擦转动，电场的电场强度大小为E＝eq \f(\r(3)mg,3q).先把杆拉至水平位置，然后将杆无初速度释放，重力加速度为g，不计空气阻力，则( )
A．小球到最低点时速度最大
B．小球从开始至最低点过程中动能一直增大
C．小球对杆的最大拉力大小为eq \f(8\r(3),3)mg
D．小球可绕O点做完整的圆周运动
【答案】BC
【解析】如图所示，
小球受到的重力和电场力分别为mg和qE＝eq \f(\r(3),3)mg，此二力的合力大小为F＝eq \f(2\r(3),3)mg，方向为与竖直方向成30°角，可知杆转到最低点左侧合力F沿杆的方向时小球速度最大，A错，B对；设小球的最大速度为v，从释放到小球达到最大速度的过程，应用动能定理有：F(1＋eq \f(1,2))L＝eq \f(1,2)mv2，设小球速度最大时，杆对小球的拉力为Fm，对小球应用向心力公式有：Fm－F＝eq \f(mv2,L)，解得Fm＝eq \f(8\r(3),3)mg，由牛顿第三定律知C对；根据等效性可知杆转过240°角，速度减小为0，未到达圆周的最高点，小球不能做完整的圆周运动，D错．
20．（2022·北京模拟）(多选)如图，在水平的匀强电场中，一个质量为m、电荷量为+q的小球，系在一根长为L的绝缘细线一端，小球可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径。已知重力加速度为g，电场强度，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时的机械能最大
B．若将小球在A点由静止开始释放，它将沿着ACBD圆弧运动
C．若小球在竖直平面内绕O点做完整的圆周运动，则它运动过程中的最小速度为
D．若将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，它将可以到B点
【答案】ACD
【解析】A．除重力和弹力以外的其他力做功等于机械能的变化，若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时，电场力做功最多，故小球到B点时机械能最大，故A正确；
B．重力与电场力的和为其方向与电场方向成夹角斜向下，故若将小球在A点由静止开始释放，它将先沿这个方向做匀加速直线运动，故B错误；
C．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，设最小速度为v，则有得故C正确；
D．若将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，小球将不会沿圆周运动，因此小球在竖直方向做竖直上抛运动，水平方向做匀加速运动，因故水平加速度和竖直加速度大小均为g，当竖直方向上的位移为零时，运动时间则水平位移为说明小球刚好到B点，故D正确。故选ACD。
21．(2022·桂林秀峰区第一次调研)如图所示，空间存在竖直向下的匀强电场，质量m＝1 kg的带正电的小球与长L＝2 m的绝缘细线相连，细线的上端固定于O点，O点距地面的高度为3 m，小球的电荷量q＝0.01 C，细线能承受的最大拉力T＝27 N，现将细线拉直与竖直方向成θ＝60°角由静止释放小球，当细线转到竖直方向OA时，细线恰好断裂，最后小球落到地面上，已知重力加速度g取10 m/s2，小球可视为质点，不计空气阻力，求：
(1)电场强度的大小；
(2)小球落地点与OA的水平距离。
【答案】(1)800 V/m (2)2 m
【解析】(1)设小球到达最低点的速度为v，从开始到最低点，根据动能定理得
(mg＋qE)(L－Lcs θ)＝eq \f(1,2)mv2
在最低点细线的拉力刚好为T，根据牛顿第二定律可得T－mg－qE＝meq \f(v2,L)
联立解得v＝6 m/s，E＝800 V/m。
(2)细线断裂后小球以v水平抛出，做类平抛运动，加速度为a＝eq \f(qE＋mg,m)＝18 m/s2
在竖直方向H－L＝eq \f(1,2)at2，解得t＝eq \f(1,3) s
小球落地点与OA的水平距离为x＝vt＝2 m。
22．（2022·全国·高三课时练习）在水平向右的匀强电场中，有一质量为m、带正电的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止时，细线与竖直方向夹角为θ，小球位于B点，A点与B点关于O点对称，如图所示，现给小球一个垂直于悬线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动。
（1）小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值多大？
（2）小球在B点的初速度多大？
【答案】（1）A点速度最小，glcsθ；（2）5glcsθ
【解析】（1）当球静止时，细线与竖直方向夹角为θ，此时小球位于B点，可知重力和电场力的合力方向沿着OB向下，大小为 F合=mgcsθ
现给小球一个垂直于悬线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，运动过程只有重力和电场力的合力对小球做功，可知小球从B到A过程，重力和电场力的合力对小球做负功，小球动能减小；小球从A到B过程，重力和电场力的合力对小球做正功，小球动能增加；故小球在A点动能最小，速度也最小；设小球在A点的速度为vA，此时细线的拉力为零，重力和电场力的合力提供向心力，则有 mgcsθ=mvA2l
解得小球的最小速度为 vA=glcsθ
（2）设小球在B点的初速度为vB，根据动能定理可得 −mgcsθ⋅2l=12mvA2−12mvB2
将vA的数值代入得 vB=5glcsθ
23.如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心在O点，半径为r，内壁光滑，A、B两点分别是圆弧的最低点和最高点．该区间存在方向水平向右的匀强电场，一质量为m、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动(电荷量不变)，经C点时速度最大，O、C连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g.
(1)求小球所受到的电场力大小；
(2)小球在A点速度v0多大时，小球经B点时对轨道的压力最小？
【答案】 (1)eq \r(3)mg (2)2eq \r(2gr)
【解析】(1)对小球受力分析如图所示，
小球在C点速度最大，则在该点电场力与重力的合力沿半径方向，
所以小球受到的电场力大小F＝mgtan θ＝eq \r(3)mg
(2)小球要到达B点，必须到达D点时速度最小；在D点速度最小时，小球经B点时对轨道的压力也最小．设在D点轨道对小球的压力恰为零，则有 eq \f(mg,cs θ)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(2gr)
由轨道上A点运动到D点的过程，由动能定理得 mg·r(1＋cs θ)＋F·rsin θ＝eq \f(1,2)mveq \\al( 2,0)－eq \f(1,2)mv2
解得：v0＝2eq \r(2gr).
24.如图所示，光滑水平轨道与半径为R的光滑竖直半圆轨道在B点平滑连接，在过圆心O的水平界面MN的下方分布有水平向右的匀强电场．现有一质量为m、电荷量为＋q的小球从水平轨道上A点由静止释放，小球运动到C点离开圆轨道后，经界面MN上的P点进入电场(P点恰好在A点的正上方，如图所示，小球可视为质点，小球运动到C点之前电荷量保持不变，经过C点后电荷量立即变为零)．已知A、B间距离为2R，重力加速度为g，在上述运动过程中，求：
(1)电场强度E的大小；
(2)小球在圆轨道上运动时的最大速率；
(3)小球对圆轨道的最大压力的大小．
【答案】 (1)eq \f(mg,q) (2)eq \r((2＋2\r(2))gR) (3)(2＋3eq \r(2))mg
【解析】 (1)设小球过C点时速度大小为vC，小球从A到C由动能定理知
qE·3R－mg·2R＝eq \f(1,2)mveq \\al(2,C)
小球离开C点后做平抛运动到P点， R＝eq \f(1,2)gt2 2R＝vCt 得E＝eq \f(mg,q)
设小球运动到圆轨道D点时速度最大，设最大速度为v，此时OD与竖直线OB夹角设为α，
小球从A点运动到D点的过程，根据动能定理知qE(2R＋Rsinα)－mgR(1－csα)＝eq \f(1,2)mv2
即eq \f(1,2)mv2＝mgR(sinα＋csα＋1)
根据数学知识可知，当α＝45°时动能最大，由此可得v＝eq \r((2＋2\r(2))gR)
(3)由于小球在D点时速度最大且电场力与重力的合力恰好沿半径方向，故小球在D点时对圆轨道的压力最大，设此压力大小为F，由牛顿第三定律可知小球在D点受到的轨道的弹力大小也为F，在D点对小球进行受力分析，并建立如图所示坐标系，由牛顿第二定律知，
F－qEsinα－mgcsα＝eq \f(mv2,R) 解得F＝(2＋3eq \r(2))mg
25. （2022安阳一模）如图所示，空间有一水平向右的匀强电场，电场强度的大小为E=1.0×104 V/m。该空间有一个半径为R=2m的竖直光滑绝缘圆环的一部分，圆环与光滑水平面相切于C点，A点所在的半径与竖直直径BC成37°角。质量为m=0.04 kg、电荷量为q= +6×10-5 C的带电小球2（可视为质点）静止于C点。轻弹簧一端固定在竖直挡板上，另一端自由伸长时位于P点。质量也为m =0.04 kg的不带电小球1挨着轻弹簧右端，现用力缓慢压缩轻弹簧右端到P点左侧某点后释放。小球1沿光滑水平面运动到C点与小球2发生碰撞，碰撞时间极短，碰后两小球黏合在一起且恰能沿圆弧到达A点。P、C两点间距离较远，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，sin 37°=0.6，cs 37°=0.8。求：
（1）黏合体在A点速度大小；
（2）弹簧的弹性势能；
（3）小球黏合体由A点到达水平面运动的时间。
【答案】（1）5m/s；（2）9.2J；（3）0.6s
【解析】(1)小球2所受电场力
小球1和小球2的重力和为
如图所示
小球12所受重力与电场力的合力与竖直方向的夹角为
所以
所以A点是小球12在重力场和电场中做圆周运动的等效最高点，由于小球12恰能沿圆弧到达A点，所以 解得
(2)小球从C点到A点，由动能定理得
解得
小球12的碰撞由动量守恒定律得
解得 小球1碰撞前的速度
由机械能守恒可得弹簧的弹性势能
(3)如图小球12在A点竖直方向上做匀加速运动
竖直方向上的初速度为
由竖直方向匀加速运动可得
解得
26．如图所示，BCDG是光滑绝缘的34圆形轨道，位于竖直平面内，轨道半径为R，下端与水平绝缘轨道在B点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中。现有一质量为m、带正电的小滑块（可视为质点）置于水平轨道上，滑块受到的电场力大小为34mg，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为g。
（1）若滑块从水平轨道上距离B点s=3R的A点由静止释放，求滑块到达C点时受到轨道的作用力大小；
（2）改变s的大小，使滑块恰好始终沿轨道滑行，且从G点飞出轨道，求s的大小。
【答案】（1）74mg；（2）11.5R
【解析】（1）设滑块到达B点时的速度为vB，从A点到B点，由动能定理得 qEs−μmgs=12mvB2−0
而 qE=3mg4
解得 vB=6gR2
设滑块到达C点时速度大小为vC，从A点到C点，由动能定理得 qE(s+R)−μmgs−mgR=12mvC2−0
解得 vC=gR
根据牛顿第二定律有 F−qE=mvC2R
解得滑块到达C点时受到轨道的作用力大小 F=74mg
（2）要使滑块恰好始终沿轨道滑行，则滑至圆轨道DG间n点时，由电场力和重力的合力提供向心力，此时的速度最小（设为vn），则有 (qE)2+(mg)2=mvn2R
又从A到n过程由动能定理得 qEs−Rsin37°−μmgs−mgR+Rcs37°=12mvn2−0
解得 s=11.5R
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