四川省绵阳市2024届高三上学期第二次诊断性考试数学（文）试卷（Word版附解析）

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数满足，则复数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由复数的除法运算计算即可.
【详解】由，可得.
故选：D.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法，结合集合交集的定义进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
故选：A
3. 已知，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用，结合数量积运算即可.
【详解】由，则，
得
即，解得，
因为，
所以与的夹角为.
故选：C
4. 若变量x，y满足不等式组则的最大值是（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据约束条件，作出可行域，平移直线，由直线在y轴上的截距最大时，目标函数取得最大值求解.
【详解】解：由变量x，y满足作出可行域，如图所示：
令，平移直线，当直线经过点时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值2，
故选：D
5. 已知变量x，y之间线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，
则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 变量y与x是负相关关系
C. 该回归直线必过点
D. x增加1个单位，y一定增加2个单位
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定数据及回归方程求出样本中心点，再逐项判断即可得解.
【详解】依题意，，
由，解得，A错误；
回归方程中，，则变量y与x是正相关关系，B错误；
由于样本中心点为，因此该回归直线必过点，C正确；
由回归方程知，x增加1个单位，y大约增加2个单位，D错误.
故选：C
6. 已知为上的减函数，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数函数的单调性得到与0.5的大小，再利用为上的减函数判断.
【详解】因为，
所以，
又因为为上减函数，
所以，
故选：B
7. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式平方判断充分性，再通过特殊值法判断必要性即可得到答案.
【详解】充分性：若，则由平方得，即，故充分性成立，
必要性：令，则，但，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
8. 已知角的终边与角的终边关于对称（为象限角），则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据对称性确定，，再代入化简后的，即可求解.
【详解】设角上任一点为（除原点），点关于的对称点为，落在角的终边，
根据三角函数的定义可知，，，
所以.
故选：C
9. 如图是的大致图象，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】数形结合和导数分析A选项函数图像特征，根据，奇偶性，单调性，利用排除法选出正确答案.
【详解】
对于A选项，研究
的图像可知与轴有两个交点,且一点为
坐标原点,另一个点横坐标为正，其他函数都不具备这样的特点.
另外因为时
所以为R上的增函数，
所以在R上在某一个值左侧为减函数，右侧为增函数，
结合零点和绝对值对图像的影响可判断A正确.
根据排除D选项，
B选项根据
对于都成立可以判断B为偶函数，与所给图像不符，所以B不正确.
C选项根据当时，为上得增函数
与所给图像不符，所以C不正确.
故选：A
10. 已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求数列的解析式，再结合数列的解析式，以及条件，判断数列和的单调性，即可判断选项.
【详解】由条件可知，，
当时，，
当时，，
验证，当时，，
所以，
当时，，单调递减，此时，故A错误；
，单调递增，所以，故B错误；
当时，，成立，
当时，，故C错误；
当时，，
当时，单调递减，当时，数列取得最大值，，
当时，，
所以，故D正确.
故选：D
11. 已知曲线与x轴交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，则过A，B，C三点的圆的圆心轨迹为（ ）
A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线
【答案】A
【解析】
【分析】首先求点的坐标，再利用，可求得轨迹方程.
【详解】的对称轴为，由对称性可知，圆心在上，
令，，
得，
设点在点的左边，所以点的坐标为，，
设圆心为，
根据，得，
整理为，
当时，此时，，，两点重合，圆心为的轨迹方程为，
所以，则，即圆心，
所以圆心的轨迹方程为，而点满足条件，所以圆心轨迹为一条直线.
故选：A
12. 设分别为椭圆的左，右焦点，以为圆心且过的圆与x轴交于另一点P，与y轴交于点Q，线段与C交于点A．已知与的面积之比为，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可逐步计算出点A坐标，由点A在椭圆上，将其代入椭圆方程得到等式后，借助等式即可计算离心率.
【详解】由题意可得、，，
则以为圆心且过的圆的方程为，
令，则，由对称性，不妨取点在轴上方，即，
则，即，
有，则，
又，即有，即，
代入，有，即，
即在椭圆上，故，
化简得，由，
即有，
整理得，即，
有或，
由，故舍去，即，
则.
故选：B.
【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率时，可将已知的几何关系转化为关于椭圆基本量a，b，c的方程，利用和转化为关于的方程，通过解方程求得离心率．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 己知为钝角，，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用同角三角函数基本关系和两角和的正弦公式即可得到答案.
【详解】因为为钝角，，所以，
所以，
故答案为：.
14. 若为奇函数，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】首先求函数的定义域，根据奇函数的性质，求的值，再验证函数为奇函数.
【详解】，
由，得或，
所以函数的定义域为，
因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，得，
此时，
，
即，函数为奇函数，所以.
故答案为：
15. 甲、乙二人用4张不同的扑克牌（其中红桃3张，方片1张）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.则甲、乙二人抽到的花色相同的概率为______.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】由题意得到都抽到是红桃，然后利用古典概型的概率求解.
【详解】解：甲、乙二人抽到的花色相同的概率为，
故答案为：
16. 已知分别是双曲线的左，右焦点，过点作E的渐近线的垂线，垂足为P．点M在E的左支上，当轴时，，则E的渐近线方程为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性取渐近线，求出点坐标，再列出方程求解即得.
【详解】由双曲线的对称性，取渐近线，
由直线垂直于直线，得直线：，
由与联立解得，即，
由轴，且，得，而点M在双曲线E的左支上，
因此，即，又，整理得，解得，
所以双曲线E的渐近线方程为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：求双曲线离心率或渐近线的方程问题，由题设条件建立关于的关系式是求解问题的关键.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 已知等差数列的前n项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】17. ;
18. .
【解析】
【分析】（1）设数列的公差为，根据题中条件列出方程求解，得出首项和公差，即可求出通项公式；
（2）由（1）的结果，利用裂项相消的方法，即可求出结果.
【小问1详解】
设等差数列的公差为,
由题意得:解得:，
所以的通项公式为，
即.
【小问2详解】
令，则，
即
整理得：.
18. 绵阳市37家A级旅游景区，在2023年国庆中秋双节期间，接待人数和门票收入大幅增长.绵阳某旅行社随机调查了市区100位市民平时外出旅游情况，得到的数据如下表：
（1）能否有的把握认为喜欢旅游与性别有关？
（2）在以上所调查的喜欢旅游的市民中，按性别进行分层抽样随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行访谈，求这两人是不同性别的概率.
附：
【答案】（1）有的把握认为喜欢旅游与性别有关
（2）
【解析】
【分析】（1）首先计算与比较大小，即可作出判断；
（2）首先确定男女各2人和3人，再利用古典概型概率公式，即可求解.
【小问1详解】
根据列联表计算，
所以有的把握认为喜欢旅游与性别有关；
【小问2详解】
按分层比例可知，随机抽取的5人中，男性2人，女性3人，
设男性2人分别为，，女性3人分别为，
5人中任取2人的样本空间为，共包含10个样本点，
其中2人不同性别包含的样本为，有6个样本点，
所以5人中随机抽取2人进行访谈，求这两人是不同性别的概率.
19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求及a；
（2）若周长为48，求的面积.
【答案】（1）；
（2）84
【解析】
【分析】（1）结合数量积的运算及正弦定理，同角三角函数关系即可求解；
（2）结合余弦定理及三角形面积公式即可求解.
【小问1详解】
由，得，
由正弦定理得：，
因为，则，
由，得，所以，
则，又，解得，
所以；
【小问2详解】
，所以……①，
由余弦定理得：……②，
由①②得：，则.
20. 己知直线与抛物线交于A，B两点，F为E的焦点，直线FA，FB的斜率之和为0．
（1）求E的方程；
（2）直线分别交直线于两点，若，求k的取值范围．
【答案】20.
21.
【解析】
【分析】（1）联立直线与抛物线方程，将直线FA，FB斜率之和坐标化，利用韦达定理代入整理求解系数；
（2）由直线方程，令，用表示坐标， 代入利用志达定理将条件转化为的不等关系，求解不等式即得.
【小问1详解】
由，得，设直线与抛物线线交点，
的斜率，的斜率，
由已知直线FA，FB的斜率之和为0，
则
①，
联立方程组，消得，
由，且，得，则.
由韦达定理得，代入①化简得
，
由，解得，
故抛物线E的方程为；
【小问2详解】
由（1）知，焦点，则，，
令，得，
故，解得，
又，
由（1）知，，代入②式得，
，且，
解得，则，或，
故的取值范围为.

21. 己知函数.
（1）求曲线在处的切线方程：
（2）若在上是单调函数，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求切线方程；
（2）首先由，确定在上恒成立，再讨论和两种情况，分区间讨论，即可求解的取值范围.
【小问1详解】
，
且，，
所以曲线在处的切线方程为；
【小问2详解】
因为，且在上是单调函数
所以在上恒成立，即在上是单调递增函数，
若，则在上恒为正数，
在上单调递增，只需，得，
若，则在上恒为正数，
而在上单调递减，则只需，得，
综上可知，的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是确定恒成立，再分情况，分区间讨论，转化为最值问题.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系中，曲线C参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求曲线C极坐标方程；
（2）若A，B为曲线C上的动点，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）曲线C的参数方程消参后得普通方程，再由极坐标与直角坐标的关系化为极坐标方程；
（2）由，利用曲线C的极坐标方程，表示出和，化简求的值；
【小问1详解】
曲线C的参数方程为（t为参数），
消参得普通方程为，即，
则有，
所以曲线C极坐标方程为.
【小问2详解】
由（1）得，
因为，不妨设，
，
，
[选修4-5：不等式选讲]
23. （1）已知a，b，x，y均为正数，求证：并指出等号成立的条件；
（2）利用（1）的结论，求函数的最大值，并指出取最大值时x的值．
【答案】（1）证明见解析，当时取等号；（2）的最大值为，此时.
【解析】
【分析】（1）采用作差法进行证明，再根据最后化简的式子分析取等条件；
（2）将变形为，然后根据（1）的结论求解出最大值并确定此时的值.
【详解】（1）因为
又均为正数，所以，
所以，所以，
当且仅当，即时取等号；
（2）因为，
由（1）可知，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为，此时.x
2
4
6
8
y
5
8.2
13
m
喜欢旅游
不喜欢旅游
总计
男性
20
30
50
女性
30
20
50
总计
50
50
100
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828